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2022年广西玉林市中考数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的，把正确答案的标号填（涂）在答题卡内相应的位置上．
1．（3分）（2022•玉林）5的倒数是（ ）
A． B．﹣ C．5 D．﹣5
2．（3分）（2022•玉林）下列各数中为无理数的是（ ）
A． B．1.5 C．0 D．﹣1
3．（3分）（2022•玉林）今年我市高中计划招生52300人，将数据52300用科学记数法表示是
（ ）
A．0.523×105 B．5.23×103 C．5.23×104 D．52.3×103
4．（3分）（2022•玉林）如图，从热气球A看一栋楼底部C的俯角是（ ）
A．∠BAD B．∠ACB C．∠BAC D．∠DAC
5．（3分）（2022•玉林）如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
第1页（共31页）6．（3分）（2022•玉林）请你量一量如图△ABC中BC边上的高的长度，下列最接近的是
（ ）
A．0.5cm B．0.7cm C．1.5cm D．2cm
7．（3分）（2022•玉林）垃圾分类利国利民．某校宣传小组就“空矿泉水瓶应投放到哪种颜色
的垃圾收集桶内”进行统计活动，他们随机采访50名学生并作好记录．以下是排乱的统
计步骤：
①从扇形统计图中分析出本校学生对空矿泉水瓶投放的正确率
②整理采访记录并绘制空矿泉水瓶投放频数分布表
③绘制扇形统计图来表示空矿泉水瓶投放各收集桶所占的百分比
正确统计步骤的顺序应该是（ ）
A．②→③→① B．②→①→③ C．③→①→② D．③→②→①
8．（3分）（2022•玉林）若x是非负整数，则表示 ﹣ 的值的对应点落在如图数轴
上的范围是（ ）
A．① B．② C．③ D．①或②
9．（3分）（2022•玉林）龟兔赛跑之后，输了比赛的兔子决定和乌龟再赛一场．图中的函数图
象表示了龟兔再次赛跑的过程（x表示兔子和乌龟从起点出发所走的时间，y ，y 分别表示
1 2
兔子与乌龟所走的路程）．下列说法错误的是（ ）
第2页（共31页）A．兔子和乌龟比赛路程是500米
B．中途，兔子比乌龟多休息了35分钟
C．兔子比乌龟多走了50米
D．比赛结果，兔子比乌龟早5分钟到达终点
10．（3分）（2022•玉林）若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是正方形，则四
边形ABCD的两条对角线AC，BD一定是（ ）
A．互相平分 B．互相垂直
C．互相平分且相等 D．互相垂直且相等
11．（3分）（2022•玉林）小嘉说：将二次函数y＝x2的图象平移或翻折后经过点（2，0）有4种
方法：
①向右平移2个单位长度
②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
③向下平移4个单位长度
④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度
你认为小嘉说的方法中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．（3分）（2022•玉林）如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为2的正六边形
ABCDEF的顶点A处．两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，黑
跳棋按逆时针方向3秒钟跳1个顶点，两枚跳棋同时跳动，经过2022秒钟后，两枚跳棋之
间的距离是（ ）
第3页（共31页）A．4 B．2 C．2 D．0
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．（3分）（2022•玉林）计算：2÷（﹣2）＝ ．
14．（3分）（2022•玉林）计算：3a﹣a＝ ．
15．（3分）（2022•玉林）已知： ＝60°，则 的余角是 °．
16．（3分）（2022•玉林）数学课上，老α师将如图边α长为1的正方形铁丝框变形成以A为圆心，
AB为半径的扇形（铁丝的粗细忽略不计），则所得扇形DAB的面积是 ．
17．（3分）（2022•玉林）如图，在5×7网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均
在格点上，点O是△ABC的外心，在不添加其他字母的情况下，则除△ABC外把你认为外
心也是O的三角形都写出来 ．
18．（3分）（2022•玉林）如图，点A在双曲线y＝ （k＞0，x＞0）上，点B在直线l：y＝mx﹣2b
（m＞0，b＞0）上，A与B关于x轴对称，直线l与y轴交于点C，当四边形AOCB是菱形时，
有以下结论：
①A（b， b）
第4页（共31页）②当b＝2时，k＝4
③m＝
④S四边形AOCB ＝2b2
则所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本大题共8小题，满分共66分．解答应写出证明过程或演算步骤（含相应的文字
说明）．将解答写在答题卡上．
19．（6分）（2022•玉林）计算：20220+ +|﹣ |﹣sin30°．
20．（6分）（2022•玉林）解方程： ＝ ．
21．（8分）（2022•玉林）问题情境：在数学探究活动中，老师给出了如图的图形及下面三个等
式：①AB＝AC；②DB＝DC；③∠BAD＝∠CAD．若以其中两个等式作为已知条件，能
否得到余下一个等式成立？
解决方案：探究△ABD与△ACD全等．
问题解决：
（1）当选择①②作为已知条件时，△ABD与△ACD全等吗？ （填“全等”或
“不全等”），理由是 ；
（2）当任意选择两个等式作为已知条件时，请用画树状图法或列表法求△ABD≌△ACD
的概率．
第5页（共31页）22．（8分）（2022•玉林）为了加强对青少年防溺水安全教育，5月底某校开展了“远离溺水，
珍爱生命”的防溺水安全知识比赛．下面是从参赛学生中随机收集到的20名学生的成绩
（单位：分）：
87 99 86 89 91 91 95 96 87 97
91 97 96 86 96 89 100 91 99 97
整理数据：
成绩（分） 86 87 89 91 95 96 97 99 100
学生人数（人） 2 2 2 a 1 3 b 2 1
分析数据：
平均数 众数 中位数
93 c d
解决问题：
（1）直接写出上面表格中的a，b，c，d的值；
（2）若成绩达到95分及以上为“优秀”等级，求“优秀”等级所占的百分率；
（3）请估计该校1500名学生中成绩达到95分及以上的学生人数．
23．（8分）（2022•玉林）如图，AB是 O的直径，C，D都是 O上的点，AD平分∠CAB，过点
D作AC的垂线交AC的延长线于⊙点E，交AB的延长线于⊙点F．
（1）求证：EF是 O的切线；
（2）若AB＝10，A⊙C＝6，求tan∠DAB的值．
第6页（共31页）24．（8分）（2022•玉林）我市某乡村振兴果蔬加工公司先后两次购买龙眼共21吨，第一次购
买龙眼的价格为0.4万元/吨；因龙眼大量上市，价格下跌，第二次购买龙眼的价格为0.3
万元/吨，两次购买龙眼共用了7万元．
（1）求两次购买龙眼各是多少吨？
（2）公司把两次购买的龙眼加工成桂圆肉和龙眼干，1吨龙眼可加工成桂圆肉0.2吨或龙
眼干0.5吨，桂圆肉和龙眼干的销售价格分别是10万元/吨和3万元/吨，若全部的销售额
不少于39万元，则至少需要把多少吨龙眼加工成桂圆肉？
25．（10分）（2022•玉林）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，点E是DC边上的任一点
（不包括端点D，C），过点A作AF⊥AE交CB的延长线于点F，设DE＝a．
（1）求BF的长（用含a的代数式表示）；
（2）连接EF交AB于点G，连接GC，当GC∥AE时，求证：四边形AGCE是菱形．
26．（12分）（2022•玉林）如图，已知抛物线：y＝﹣2x2+bx+c与x轴交于点A，B（2，0）（A在B
的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线x＝ ，P是第一象限内抛物线上的任一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D为线段OC的中点，则△POD能否是等边三角形？请说明理由；
（3）过点P作x轴的垂线与线段BC交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三角形
第7页（共31页）与△BMH相似，求点P的坐标．
第8页（共31页）2022年广西玉林市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的，把正确答案的标号填（涂）在答题卡内相应的位置上．
1．（3分）（2022•玉林）5的倒数是（ ）
A． B．﹣ C．5 D．﹣5
【分析】根据倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
【解答】解：5的倒数是 ．
故选：A．
【点评】本题主要考查了倒数的定义．注意一个数与它的倒数符号相同．
2．（3分）（2022•玉林）下列各数中为无理数的是（ ）
A． B．1.5 C．0 D．﹣1
【分析】根据无理数的定义进行判断即可．
【解答】解：A、 是无理数，因此选项A符合题意；
B、1.5是有限小数，属于有理数，不是无理数，因此选项B不符合题意；
C、0是整数，属于有理数，不是无理数，因此选项C不符合题意；
D、﹣1是整数，属于有理数，不是无理数，因此选项D不符合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循
环小数为无理数．如 ， ，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
3．（3分）（2022•玉林）今π年我市高中计划招生52300人，将数据52300用科学记数法表示是
（ ）
A．0.523×105 B．5.23×103 C．5.23×104 D．52.3×103
【分析】将较大的数写成科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数即可．
【解答】解：52300＝5.23×104，
故选：C．
【点评】本题考查了科学记数法﹣表示较大的数，掌握10的指数比原来的整数位数少1是
解题的关键．
第9页（共31页）4．（3分）（2022•玉林）如图，从热气球A看一栋楼底部C的俯角是（ ）
A．∠BAD B．∠ACB C．∠BAC D．∠DAC
【分析】俯角是向下看的视线与水平线的夹角，直接根据定义进行判断即可．
【解答】解：从热气球A看一栋楼底部C的俯角是∠DAC．
故选：D．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握俯角的定义是关键．
5．（3分）（2022•玉林）如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据视图的定义，画出这个几何体的主视图即可．
【解答】解：这个几何体的主视图如下：
故选：B．
【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的画法
是正确判断的前提．
6．（3分）（2022•玉林）请你量一量如图△ABC中BC边上的高的长度，下列最接近的是
第10页（共31页）（ ）
A．0.5cm B．0.7cm C．1.5cm D．2cm
【分析】过点A作AD⊥BC于D，用刻度尺测量AD即可．
【解答】解：过点A作AD⊥BC于D，
用刻度尺测量AD的长度，更接近2cm，
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶
点之间的线段叫做三角形的高．
7．（3分）（2022•玉林）垃圾分类利国利民．某校宣传小组就“空矿泉水瓶应投放到哪种颜色
的垃圾收集桶内”进行统计活动，他们随机采访50名学生并作好记录．以下是排乱的统
计步骤：
①从扇形统计图中分析出本校学生对空矿泉水瓶投放的正确率
②整理采访记录并绘制空矿泉水瓶投放频数分布表
③绘制扇形统计图来表示空矿泉水瓶投放各收集桶所占的百分比
正确统计步骤的顺序应该是（ ）
A．②→③→① B．②→①→③ C．③→①→② D．③→②→①
【分析】根据统计调查的一般过程判断即可．
【解答】解：正确统计步骤的顺序应该是：整理采访记录并绘制空矿泉水瓶投放频数分布
表，绘制扇形统计图来表示空矿泉水瓶投放各收集桶所占的百分比，从扇形统计图中分析
出本校学生对空矿泉水瓶投放的正确率，即正确统计步骤的顺序应该是：②→③→①，
故选：A．
【点评】本题考查的是扇形统计图，统计调查的一般过程：①问卷调查法﹣﹣﹣﹣﹣收集
第11页（共31页）数据；②列统计表﹣﹣﹣﹣﹣整理数据；③画统计图﹣﹣﹣﹣﹣描述数据．
8．（3分）（2022•玉林）若x是非负整数，则表示 ﹣ 的值的对应点落在如图数轴
上的范围是（ ）
A．① B．② C．③ D．①或②
【分析】原式第二项约分后，利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，即可作出判
断．
【解答】解：原式＝ ﹣
＝ ﹣
＝
＝
＝
＝1，
则表示 ﹣ 的值的对应点落在如图数轴上的范围是②．
故选：B．
【点评】此题考查了分式的化简求值，以及数轴，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9．（3分）（2022•玉林）龟兔赛跑之后，输了比赛的兔子决定和乌龟再赛一场．图中的函数图
象表示了龟兔再次赛跑的过程（x表示兔子和乌龟从起点出发所走的时间，y ，y 分别表示
1 2
兔子与乌龟所走的路程）．下列说法错误的是（ ）
第12页（共31页）A．兔子和乌龟比赛路程是500米
B．中途，兔子比乌龟多休息了35分钟
C．兔子比乌龟多走了50米
D．比赛结果，兔子比乌龟早5分钟到达终点
【分析】根据函数图象中的数据可以判断各个选项中的结论是否正确．
【解答】解：A、“龟兔再次赛跑”的路程为500米，原说法正确，故此选项不符合题意；
B、乌龟在途中休息了35﹣30＝5（分钟），兔子在途中休息了50﹣10＝40（分钟），兔子比
乌龟多休息了35分钟，原说法正确，故此选项不符合题意；
C、兔子和乌龟同时从起点出发，都走了500米，原说法错误，故此选项符合题意；
D、比赛结果，兔子比乌龟早5分钟到达终点，原说法正确，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的应用，能够从函数图象中获取解答问题的信息是解答本题的
关键．
10．（3分）（2022•玉林）若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是正方形，则四
边形ABCD的两条对角线AC，BD一定是（ ）
A．互相平分 B．互相垂直
C．互相平分且相等 D．互相垂直且相等
【分析】根据三角形中位线定理得到所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四
边形，若所得四边形是正方形，那么邻边互相垂直且相等，选择即可，
【解答】解：如图，
第13页（共31页）∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
∴EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵四边形EFGH是正方形，即EF⊥FG，FE＝FG，
∴AC⊥BD，AC＝BD，
故选：D．
【点评】本题考查了中点四边形，三角形中位线定理以及正方形的性质，解题的关键是构
造三角形利用三角形的中位线定理解答．
11．（3分）（2022•玉林）小嘉说：将二次函数y＝x2的图象平移或翻折后经过点（2，0）有4种
方法：
①向右平移2个单位长度
②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
③向下平移4个单位长度
④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度
你认为小嘉说的方法中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】分别求出平移或翻折后的解析式，将点（2，0）代入可求解．
【解答】解：①向右平移2个单位长度，则平移后的解析式为y＝（x﹣2）2，当x＝2时，y＝
0，所以平移后的抛物线过点（2，0），故①符合题意；
②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，则平移后的解析式为y＝（x﹣1）2
﹣1，当x＝2时，y＝0，所以平移后的抛物线过点（2，0），故②符合题意；
③向下平移4个单位长度，则平移后的解析式为y＝x2﹣4，当x＝2时，y＝0，所以平移后
的抛物线过点（2，0），故③符合题意；
④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度，则平移后的解析式为y＝﹣x2+4，当x＝2时，y
第14页（共31页）＝0，所以平移后的抛物线过点（2，0），故④符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，求出平移
或翻折后的解析式是解题的关键．
12．（3分）（2022•玉林）如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为2的正六边形
ABCDEF的顶点A处．两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，黑
跳棋按逆时针方向3秒钟跳1个顶点，两枚跳棋同时跳动，经过2022秒钟后，两枚跳棋之
间的距离是（ ）
A．4 B．2 C．2 D．0
【分析】分别计算红跳棋和黑跳棋过2022秒钟后的位置，红跳棋跳回到A点，黑跳棋跳到
F点，可得结论．
【解答】解：∵红跳棋从A点按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，
∴红跳棋每过6秒返回到A点，
2022÷6＝337，
∴经过2022秒钟后，红跳棋跳回到A点，
∵黑跳棋从A点按逆时针方向3秒钟跳1个顶点，
∴黑跳棋每过18秒返回到A点，
2022÷18＝112•••6，
∴经过2022秒钟后，黑跳棋跳到E点，
连接AE，过点F作FM⊥AE，
第15页（共31页）由题意可得：AF＝AE＝2，∠AFE＝120°，
∴∠FAE＝30°，
在Rt△AFM中，AM＝ AF＝ ，
∴AE＝2AM＝2 ，
∴经过2022秒钟后，两枚跳棋之间的距离是2 ．
故选：B．
【点评】本题考查了正六边形和两动点运动问题，根据方向和速度确定经过2022秒钟后两
枚跳棋的位置是解本题的关键．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．（3分）（2022•玉林）计算：2÷（﹣2）＝ ﹣ 1 ．
【分析】根据有理数的除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除即可得
出答案．
【解答】解：2÷（﹣2）
＝﹣（2÷2）
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了有理数的除法，掌握有理数的除法法则：两数相除，同号得正，异号得
负，并把绝对值相除是解题的关键．
14．（3分）（2022•玉林）计算：3a﹣a＝ 2 a ．
【分析】根据合并同类项的法则进行解答即可．
【解答】解：3a﹣a＝2a．
故答案为：2a．
【点评】此题考查了合并同类项，掌握合并同类项的法则是解题的关键．
15．（3分）（2022•玉林）已知： ＝60°，则 的余角是 3 0 °．
【分析】根据如果两个角的和等于α90°，就说这α两个角互为余角，即其中一个角是另一个角
的余角即可得出答案．
【解答】解：90°﹣60°＝30°，
故答案为：30．
【点评】本题考查了余角和补角，掌握如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角，
即其中一个角是另一个角的余角是解题的关键．
第16页（共31页）16．（3分）（2022•玉林）数学课上，老师将如图边长为1的正方形铁丝框变形成以A为圆心，
AB为半径的扇形（铁丝的粗细忽略不计），则所得扇形DAB的面积是 1 ．
【分析】先求出弧长BD＝CD+BC，再根据扇形面积公式：S＝ lR（其中l为扇形的弧长，R
是扇形的半径）计算即可．
【解答】解：由题意 ＝CD+BC＝1+1＝2，
S扇形ABD ＝ • •AB＝ ×2×1＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查正方形的性质和扇形面积的计算，解题的关键是记住扇形面积计算公式：
设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形 ＝ 或S扇形 ＝ lR（其中l为
扇形的弧长），求出 ＝CD+BC＝2是解题的关键．
17．（3分）（2022•玉林）如图，在5×7网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均
在格点上，点O是△ABC的外心，在不添加其他字母的情况下，则除△ABC外把你认为外
心也是O的三角形都写出来 △ ABD ，△ ACD ，△ BCD ．
【分析】由网格利用勾股定理分别求解OA，OB，OC，OD，OE，根据三角形的外心到三角形
顶点的距离相等可求解．
【解答】解：由图可知：
OA＝ ，
第17页（共31页）OB＝ ，
OC＝ ，
OD＝ ，
OE＝ ，
∴OA＝OB＝OC＝OD≠OE，
∴△ABD，△ACD，△BCD的外心都是点O，
故答案为：△ABD，△ACD，△BCD．
【点评】本题主要考查三角形外接圆与外心，勾股定理，求得OA＝OB＝OC＝OD≠OE是
解题的关键．
18．（3分）（2022•玉林）如图，点A在双曲线y＝ （k＞0，x＞0）上，点B在直线l：y＝mx﹣2b
（m＞0，b＞0）上，A与B关于x轴对称，直线l与y轴交于点C，当四边形AOCB是菱形时，
有以下结论：
①A（b， b）
②当b＝2时，k＝4
③m＝
④S四边形AOCB ＝2b2
则所有正确结论的序号是 ②③ ．
【分析】①根据菱形的性质和勾股定理计算点A的坐标；
第18页（共31页）②根据①中的坐标，直接将b＝2代入即可解答；
③计算点B的坐标，代入一次函数的解析式可解答；
④根据菱形的面积＝底边×高可解答．
【解答】解：如图，
①y＝mx﹣2b中，当x＝0时，y＝﹣2b，
∴C（0，﹣2b），
∴OC＝2b，
∵四边形AOCB是菱形，
∴AB＝OC＝OA＝2b，
∵A与B关于x轴对称，
∴AB⊥OD，AD＝BD＝b，
∴OD＝ ＝ b，
∴A（ b，b）；
故①不正确；
②当b＝2时，点A的坐标为（2 ，2），
∴k＝2 ×2＝4 ，
故②正确；
③∵A（ b，b），A与B关于x轴对称，
∴B（ b，﹣b），
∵点B在直线y＝mx﹣2b上，
∴ bm﹣2b＝﹣b，
∴m＝ ，
第19页（共31页）故③正确；
④菱形AOCB的面积＝AB•OD＝2b• b＝2 b2，
故④不正确；
所以本题结论正确的有：①②③；
故答案为：②③．
【点评】本题是反比例函数和一次函数的交点问题，考查了坐标与图形性质，勾股定理，关
于x轴对称，菱形的性质等知识，掌握函数图象上的点满足对应函数的解析式是解本题的
关键．
三、解答题：本大题共8小题，满分共66分．解答应写出证明过程或演算步骤（含相应的文字
说明）．将解答写在答题卡上．
19．（6分）（2022•玉林）计算：20220+ +|﹣ |﹣sin30°．
【分析】利用零指数幂和特殊角的三角函数值进行化简，可求解．
【解答】解：原式＝1+2+ ﹣ ＝3．
【点评】本题考查了实数的运算，利用零指数幂和特殊角的三角函数值化简是解题的关键．
20．（6分）（2022•玉林）解方程： ＝ ．
【分析】根据解分式方程的一般步骤解出方程，检验，即可得到答案．
【解答】解：方程两边同乘2（x﹣1），得2x＝x﹣1，
解得：x＝﹣1，
检验，当x＝﹣1时，2（x﹣1）＝﹣4≠0，
所以原分式方程的解为x＝﹣1．
【点评】本题考查的是解分式方程，解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；
③检验；④得出结论，注意解分式方程时，一定要检验．
21．（8分）（2022•玉林）问题情境：在数学探究活动中，老师给出了如图的图形及下面三个等
式：①AB＝AC；②DB＝DC；③∠BAD＝∠CAD．若以其中两个等式作为已知条件，能
否得到余下一个等式成立？
解决方案：探究△ABD与△ACD全等．
问题解决：
（1）当选择①②作为已知条件时，△ABD与△ACD全等吗？ 全等 （填“全等”或
“不全等”），理由是 三边对应相等的两个三角形全等 ；
第20页（共31页）（2）当任意选择两个等式作为已知条件时，请用画树状图法或列表法求△ABD≌△ACD
的概率．
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理解答即可；
（2）先画树状图或列表，再根据所得的结果再判断△ABD≌△ACD的概率即可．
【解答】解：（1）在△ABD和△ACD中，
，
∴，△ABD≌△ACD（SSS）．
故答案为：全等，三边对应相等的两个三角形全等；
（2）树状图：
所有可能出现的结果（①②）（①③）（②①）（②③）（③①）（③②）共有六种等可
能的情况，符合条件的有（①②）（①③）（②①）（③①）有四种，
令△ABD≌△ACD为事件A，则P（A）＝ ．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定定理和随机事件的概率，熟练掌握相关判定定
理和求概率的方法是解答本题的关键．
22．（8分）（2022•玉林）为了加强对青少年防溺水安全教育，5月底某校开展了“远离溺水，
珍爱生命”的防溺水安全知识比赛．下面是从参赛学生中随机收集到的20名学生的成绩
（单位：分）：
第21页（共31页）87 99 86 89 91 91 95 96 87 97
91 97 96 86 96 89 100 91 99 97
整理数据：
成绩（分） 86 87 89 91 95 96 97 99 100
学生人数（人） 2 2 2 a 1 3 b 2 1
分析数据：
平均数 众数 中位数
93 c d
解决问题：
（1）直接写出上面表格中的a，b，c，d的值；
（2）若成绩达到95分及以上为“优秀”等级，求“优秀”等级所占的百分率；
（3）请估计该校1500名学生中成绩达到95分及以上的学生人数．
【分析】（1）根据20名学生的成绩的具体数据求出a、b，根据众数的定义求出c，根据中位
数的定义求出d；
（2）根据“优秀”等级人数求出“优秀”等级所占的百分率；
（3）根据“优秀”等级所占的百分率估计该校1500名学生中成绩达到95分及以上的学
生人数．
【解答】解：（1）∵91分的有4人，97分的有3人，
∴a＝4，b＝3，
∵91分的人数最多，
∴众数为91，即c＝91，
d＝ ＝93，
综上所述，a＝4，b＝3，c＝4，d＝93；
（2）成绩达到95分及以上有10人，
则“优秀”等级所占的百分率为： ×100%＝50%；
（3）估计该校1500名学生中成绩达到95分及以上的学生人数为：1500×50%＝750（人）．
【点评】本题考查的是众数、中位数以及用样本估计总体，掌握众数、中位数的定义是解题
的关键．
23．（8分）（2022•玉林）如图，AB是 O的直径，C，D都是 O上的点，AD平分∠CAB，过点
D作AC的垂线交AC的延长线于⊙点E，交AB的延长线于⊙点F．
第22页（共31页）（1）求证：EF是 O的切线；
（2）若AB＝10，A⊙C＝6，求tan∠DAB的值．
【分析】（1）连接OD，由题可知，D已经是圆上一点，欲证EF为切线，只需证明∠ODF＝
90°即可；
（2）连接BC，根据勾股定理求出BC，进而根据三角形的中位线定理可得OH的长，从而得
DH的长，由等角的正切可得结论．
【解答】（1）证明：如图1，连接OD，
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD＝∠EAD．
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD．
∴∠ODA＝∠EAD．
∴OD∥AE．
∵∠ODF＝∠AEF＝90°且D在 O上，
∴EF是 O的切线； ⊙
⊙
（2）连接BC，交OD于H，
第23页（共31页）∵AB是 O的直径，
∴∠ACB⊙＝90°，
∵AB＝10，AC＝6，
∴BC＝ ＝ ＝8，
∵∠E＝∠ACB＝90°，
∴BC∥EF，
∴∠OHB＝∠ODF＝90°，
∴OD⊥BC，
∴CH＝ BC＝4，
∵CH＝BH，OA＝OB，
∴OH＝ AC＝3，
∴DH＝5﹣3＝2，
∵∠E＝∠HCE＝∠EDH＝90°，
∴四边形ECHD是矩形，
∴ED＝CH＝4，CE＝DH＝2，
∴AE＝6+2＝8，
∵∠DAB＝∠DAE，
∴tan∠DAB＝tan∠DAE＝ ＝ ＝ ．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理，角平分线的定义，切线的判定等知识
点的应用，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力，两小题题型都很好，都具有一
定的代表性．
第24页（共31页）24．（8分）（2022•玉林）我市某乡村振兴果蔬加工公司先后两次购买龙眼共21吨，第一次购
买龙眼的价格为0.4万元/吨；因龙眼大量上市，价格下跌，第二次购买龙眼的价格为0.3
万元/吨，两次购买龙眼共用了7万元．
（1）求两次购买龙眼各是多少吨？
（2）公司把两次购买的龙眼加工成桂圆肉和龙眼干，1吨龙眼可加工成桂圆肉0.2吨或龙
眼干0.5吨，桂圆肉和龙眼干的销售价格分别是10万元/吨和3万元/吨，若全部的销售额
不少于39万元，则至少需要把多少吨龙眼加工成桂圆肉？
【分析】（1）设第一次购买龙眼x吨，则第二次购买龙眼（21﹣x）吨，根据题意列出一元一
次方程，解方程即可得出答案；
（2）设把y吨龙眼加工成桂圆肉，则把（21﹣y）吨龙眼加工成龙眼干，根据题意列出一元
一次不等式，解一元一次不等式即可得出答案．
【解答】解：（1）设第一次购买龙眼x吨，则第二次购买龙眼（21﹣x）吨，
由题意得：0.4x+0.3（21﹣x）＝7，
解得：x＝7，
∴21﹣x＝21﹣7＝14（吨），
答：第一次购买龙眼7吨，则第二次购买龙眼14吨；
（2）设把y吨龙眼加工成桂圆肉，则把（21﹣y）吨龙眼加工成龙眼干，
由题意得：10×0.2y+3×0.5（21﹣y）≥39，
解得：y≥15，
∴至少需要把15吨龙眼加工成桂圆肉，
答：至少需要把15吨龙眼加工成桂圆肉．
【点评】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式的应用，根据题意找出题目中的相等
关系和不等关系是解决问题的关键．
25．（10分）（2022•玉林）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，点E是DC边上的任一点
（不包括端点D，C），过点A作AF⊥AE交CB的延长线于点F，设DE＝a．
（1）求BF的长（用含a的代数式表示）；
（2）连接EF交AB于点G，连接GC，当GC∥AE时，求证：四边形AGCE是菱形．
第25页（共31页）【分析】（1）根据矩形的性质可得∠ADE＝∠ABF，∠∠DAE+∠BAE＝90°，结合题干
AF⊥AE可得∠BAF+∠BAE＝90°，进而可得∠DAE＝∠BAF，进而可得△ADE∽△ABF，
利用相似三角形的性质可得BF的长度；
（2）先根据AG∥CE，GC∥AE进而可得四边形AGCE是平行四边形，通过勾股定理可得
GF2、EF2、AE2，再过点G作GM⊥AF于点M，易得△MGF∽△AEF，进而利用相似三角形
的性质可得GM的长，即可得GM＝GB，进而可得GF是∠AFB的角平分线，最后利用角
平分线得性质可得EA＝EC，即可得平行四边形AGCE是菱形．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADE＝∠ABF＝∠BAD＝90°，
∴∠DAE+∠BAE＝90°，
∵AF⊥AE，
∴∠BAF+∠BAE＝90°，
∴∠DAE＝∠BAF，
∴△ADE∽△ABF，
∴ ，即 ，
∴BF＝2a，
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AG∥CE，
∵GC∥AE，
∴四边形AGCE是平行四边形．
∴AG＝CE＝8﹣a，
∴BG＝AB﹣AG＝8﹣（8﹣a）＝a，
在Rt△BGF中，GF2＝a2+（2a）2＝5a2，
第26页（共31页）在Rt△CEF中，EF2＝（2a+4）2+（8﹣a）2＝5a2+80，
在Rt△ADE中，AE2＝42+a2＝16+a2，
如图，过点G作GM⊥AF于点M，
∴GM∥AE，
∴△MGF∽△AEF，
∴ ，
∴ ，
∴ ＝ ，
∴GM＝a，
∴GM＝BG，
又∵GM⊥AF，GB⊥FC，
∴GF是∠AFB的角平分线，
∴EA＝EC，
∴平行四边形AGCE是菱形．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质、菱形的判定、矩形性质等，解题关键是熟
练掌握相关性质与判定．
26．（12分）（2022•玉林）如图，已知抛物线：y＝﹣2x2+bx+c与x轴交于点A，B（2，0）（A在B
的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线x＝ ，P是第一象限内抛物线上的任一点．
（1）求抛物线的解析式；
第27页（共31页）（2）若点D为线段OC的中点，则△POD能否是等边三角形？请说明理由；
（3）过点P作x轴的垂线与线段BC交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三角形
与△BMH相似，求点P的坐标．
【分析】（1）把点B（2，0）代入y＝﹣2x2+bx+c中，再由对称轴是直线x＝ 列方程，两个方
程组成方程组可解答；
（2）当△POD是等边三角形时，点P在OD的垂直平分线上，所以作OD的垂直平分线与
抛物线的交点即为点P，计算OD≠PD，可知△POD不可能是等边三角形；
（3）分种情况：①当PC∥x轴时，△CPM∽△BHM时，根据PH的长列方程可解答；
②②如图3，△PCM∽△BHM，过点P作PE⊥y轴于E，证明△PEC∽△COB，可得结论．
【解答】解：（1）由题意得： ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣2x2+2x+4；
（2）△POD不可能是等边三角形，理由如下：
如图1，取OD的中点E，过点E作EP∥x轴，交抛物线于点P，连接PD，PO，
第28页（共31页）∵C（0，4），D是OD的中点，
∴E（0，1），
当y＝1时，﹣2x2+2x+4＝1，
2x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x ＝ ，x ＝ （舍），
1 2
∴P（ ，1），
∴OD≠PD，
∴△POD不可能是等边三角形；
（3）设点P的坐标为（t，﹣2t2+2t+4），则OH＝t，BH＝2﹣t，
分两种情况：
①如图2，△CMP∽△BMH，
∴∠PCM＝∠OBC，∠BHM＝∠CPM＝90°，
第29页（共31页）∴tan∠OBC＝tan∠PCM，
∴ ＝ ＝ ＝ ＝2，
∴PM＝2PC＝2t，MH＝2BH＝2（2﹣t），
∵PH＝PM+MH，
∴2t+2（2﹣t）＝﹣2t2+2t+4，
解得：t ＝0，t ＝1，
1 2
∴P（1，4）；
②如图3，△PCM∽△BHM，则∠PCM＝∠BHM＝90°，
过点P作PE⊥y轴于E，
∴∠PEC＝∠BOC＝∠PCM＝90°，
∴∠PCE+∠EPC＝∠PCE+∠BCO＝90°，
∴∠BCO＝∠EPC，
∴△PEC∽△COB，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
解得：t ＝0（舍），t ＝ ，
1 2
∴P（ ， ）；
第30页（共31页）综上，点P的坐标为（1，4）或（ ， ）．
【点评】本题是二次函数的综合题，涉及待定系数法，等边三角形的判定，相似三角形性质
和判定，三角函数等知识，解题的关键是运用分类讨论的思想解决以P，M，C为顶点的三
角形与△BMH相似的情况．
第31页（共31页）
