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2022年广西梧州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得零分。）
1．（3分）（2022•梧州） 的倒数是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）（2022•梧州）在下列立体图形中，主视图为矩形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）（2022•梧州）下列命题中，假命题是（ ）
A．﹣2的绝对值是﹣2
B．对顶角相等
C．平行四边形是中心对称图形
D．如果直线a∥c，b∥c，那么直线a∥b
4．（3分）（2022•梧州）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的情况（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
5．（3分）（2022•梧州）不等式组 的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）（2022•梧州）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作
第1页（共30页）DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E，F，则下列结论错误的是（ ）
A．∠ADC＝90° B．DE＝DF C．AD＝BC D．BD＝CD
7．（3分）（2022•梧州）已知一组数据3，3，5，6，7，8，10，那么6是这组数据的（ ）
A．平均数但不是中位数 B．平均数也是中位数
C．众数 D．中位数但不是平均数
8．（3分）（2022•梧州）下列计算错误的是（ ）
A．a3•a5＝a8 B．（a2b）3＝a6b3
C．3 +2 ＝5 D．（a+b）2＝a2+b2
9．（3分）（2022•梧州）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+b与直线y＝﹣3x+6相交于点
A，则关于x，y的二元一次方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）（2022•梧州）如图， O是△ABC的外接圆，且AB＝AC，∠BAC＝36°，在 上取
点D（不与点A，B重合），⊙连接BD，AD，则∠BAD+∠ABD的度数是（ ）
第2页（共30页）A．60° B．62° C．72° D．73°
11．（3 分）（2022•梧州）如图，以点 O 为位似中心，作四边形 ABCD 的位似图形
A′B′C′D′，已知 ＝ ，若四边形ABCD的面积是2，则四边形A′B′C′D′
的面积是（ ）
A．4 B．6 C．16 D．18
12．（3分）（2022•梧州）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣2的对称轴是直线x＝﹣1，直线l∥x
轴，且交抛物线于点P（x ，y ），Q（x ，y ），下列结论错误的是（ ）
1 1 2 2
A．b2＞﹣8a
B．若实数m≠﹣1，则a﹣b＜am2+bm
C．3a﹣2＞0
第3页（共30页）D．当y＞﹣2时，x •x ＜0
1 2
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分．）
13．（2分）（2022•梧州）若x＝1，则3x﹣2＝ ．
14．（2分）（2022•梧州）在平面直角坐标系中，请写出直线y＝2x上的一个点的坐标 ．
15．（2分）（2022•梧州）一元二次方程（x﹣2）（x+7）＝0的根是 ．
16．（2分）（2022•梧州）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是AB，AC边上的中点，
连接CD，DE．如果AB＝5m，BC＝3m，那么CD+DE的长是 m．
17．（2分）（2022•梧州）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx+b的图象与反比例函数
1
y ＝ 的图象交于点A（﹣2，2），B（n，﹣1）．当y ＜y 时，x的取值范围是 ．
2 1 2
18．（2分）（2022•梧州）如图，四边形ABCD是 O的内接正四边形，分别以点A，O为圆心，
⊙
取大于 OA的定长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交 O于点E，F．若OA
⊙
＝1，则 ，AE，AB所围成的阴影部分面积为 ．
第4页（共30页）三、解答题（本大题共8小题，满分72分．）
19．（12分）（2022•梧州）（1）计算： ﹣5+（﹣3）×（﹣2）2．
（2）化简：3a+2（a2﹣a）﹣2a•3a．
20．（6分）（2022•梧州）解方程：1﹣ ＝ ．
21．（6分）（2022•梧州）如图，在 ABCD中，E，G，H，F分别是AB，BC，CD，DA上的点，且
BE＝DH，AF＝CG．求证：E▱F＝HG．
22．（8分）（2022•梧州）某校团委为了解学生关注“2022年北京冬奥会”情况，以随机抽样
的方式对学生进行问卷调查，学生只选择一个运动项目作为最关注项目，把调查结果分为
“滑雪”“滑冰”“冰球”“冰壶”“其他”五类，绘制成统计图①和图②．
（1）本次抽样调查的学生共 人；
（2）将图①补充完整；
（3）在这次抽样的学生中，挑选了甲，乙，丙，丁四名学生进行相关培训，最后从这四名学
生中随机抽取2名进行“爱我北京冬奥”主题演讲．请用画树状图法或列表法求出抽中
两名学生分别是甲和乙的概率．
第5页（共30页）23．（8分）（2022•梧州）今年，我国“巅峰使命”2022珠峰科考团对珠穆朗玛峰进行综合科
学考察，搭建了世界最高海拔的自动气象站，还通过释放气球方式进行了高空探测．某学
校兴趣小组开展实践活动，通过观测数据，计算气球升空的高度AB．
如图，在平面内，点B，C，D在同一直线上，AB⊥CB，垂足为点B，∠ACB＝52°，∠ADB＝
60°，CD＝200m，求AB的高度．（精确到1m）
（参考数据：sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28， ≈1.73）
24．（10分）（2022•梧州）梧州市地处亚热带，盛产龙眼．新鲜龙眼的保质期短，若加工成龙眼
干（又叫带壳圆肉）则有利于较长时间保存．已知3kg的新鲜龙眼在无损耗的情况下可以
加工成1kg的龙眼干．
（1）若新鲜龙眼售价为12元/kg．在无损耗的情况下加工成龙眼干，使龙眼干的销售收益
不低于新鲜龙眼的销售收益，则龙眼干的售价应不低于多少元/kg？
（2）在实践中，小苏发现当地在加工龙眼干的过程中新鲜龙眼有6%的损耗，为确保果农
的利益，龙眼干的销售收益应不低于新鲜龙眼的销售收益，此时龙眼干的定价取最低整数
价格．
市场调查还发现，新鲜龙眼以12元/kg最多能卖出100kg，超出部分平均售价是5元/kg，
可售完．果农们都以这种方式出售新鲜龙眼．
第6页（共30页）设某果农有akg新鲜龙眼，他全部加工成龙眼干销售获得的收益与全部以新鲜龙眼销售
获得的收益之差为w元，请写出w与a的函数关系式．
25．（10分）（2022•梧州）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣ x﹣4分别与x，y轴交于点
A，B，抛物线y＝ x2+bx+c恰好经过这两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点C的坐标是（0，6），将△ACO绕着点C逆时针旋转90°得到△ECF，点A的对应
点是点E．
①写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上；
②若点P是y轴上的任一点，求 BP+EP取最小值时，点P的坐标．
26．（12分）（2022•梧州）如图，以AB为直径的半圆中，点O为圆心，点C在圆上，过点C作
CD∥AB，且CD＝OB．连接AD，分别交OC，BC于点E，F，与 O交于点G，若∠ABC＝
45°． ⊙
（1）求证：①△ABF∽△DCF；
②CD是 O的切线．
⊙
（2）求 的值．
第7页（共30页）第8页（共30页）2022年广西梧州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得零分。）
1．（3分）（2022•梧州） 的倒数是（ ）
A． B． C． D．
【分析】应用倒数的定义进行计算即可得出答案．
【解答】解： 的倒数是 ．
故选：A．
【点评】本题主要考查了倒数，熟练掌握倒数定义进行求解是解决本题的关键．
2．（3分）（2022•梧州）在下列立体图形中，主视图为矩形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据主视图是从物体正面看，所得到的图形，分别得出四个几何体的主视图，即可
解答．
【解答】解：A．圆柱的主视图是矩形，故本选项符合题意；
B．球的主视图是圆，故本选项不符合题意；
C．圆锥的主视图是等腰三角形，故本选项不符合题意；
D．三棱锥形的主视图是三角形，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了简单几何体的主视图，注意主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、
第9页（共30页）左面和上面看，所得到的图形．
3．（3分）（2022•梧州）下列命题中，假命题是（ ）
A．﹣2的绝对值是﹣2
B．对顶角相等
C．平行四边形是中心对称图形
D．如果直线a∥c，b∥c，那么直线a∥b
【分析】根据绝对值，中心对称等概念和相交线、平行线的相关定理逐项判断．
【解答】解：﹣2的绝对值是2，故A是假命题，符合题意；
对顶角相等，故B是真命题，不符合题意；
平行四边形是中心对称图形，故C是真命题，不符合题意；
如果直线a∥c，b∥c，那么直线a∥b，故D是真命题，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握绝对值、中心对称等概念和相交线、平行
线的相关定理．
4．（3分）（2022•梧州）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的情况（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【分析】先计算根的判别式的值得到Δ＞0，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断．
【解答】解：∵Δ＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞
0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实
数根．
5．（3分）（2022•梧州）不等式组 的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】求出两个不等式的公共解，并将解集在数轴上表示出来即可．
第10页（共30页）【解答】解：
所以不等式组的解集为﹣1＜x＜2，
在数轴上表示为：
，
故选：C．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组解集的规律：同
大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到是关键．
6．（3分）（2022•梧州）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作
DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E，F，则下列结论错误的是（ ）
A．∠ADC＝90° B．DE＝DF C．AD＝BC D．BD＝CD
【分析】由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，BD＝CD，∠B＝∠C，由“AAS”可证
△BDE≌△CDF，可得DE＝DF．
【解答】解：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，BD＝CD，∠B＝∠C，
∴∠ADC＝90°，
在△BDE和△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（AAS），
∴DE＝DF，
第11页（共30页）故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性
质是解题的关键．
7．（3分）（2022•梧州）已知一组数据3，3，5，6，7，8，10，那么6是这组数据的（ ）
A．平均数但不是中位数 B．平均数也是中位数
C．众数 D．中位数但不是平均数
【分析】应用众数，中位数，算术平均数的计算方法进行计算即可得出答案．
【解答】解：这组数的中位数是6，平均数是 ＝6，众数是3，
所以6是这组数据的平均数也是中位数．
故选：B．
【点评】本题主要考查了众数，中位数，算术平均数，熟练掌握众数，中位数，算术平均数的
计算方法进行求解是解决本题的关键．
8．（3分）（2022•梧州）下列计算错误的是（ ）
A．a3•a5＝a8 B．（a2b）3＝a6b3
C．3 +2 ＝5 D．（a+b）2＝a2+b2
【分析】A．应用同底数幂乘法法则进行计算即可得出答案；
B．应用积的乘方法则进行计算即可得出答案；
C．应用二次根式加减法则进行计算即可得出答案；
D．应用完全平方公式进行计算即可得出答案．
【解答】解：A．因为a3•a5＝a3+5＝a8，所以A选择计算正确，故A选项不符合题意；
B．因为（a2b）3＝a6b3，所以B选择计算正确，故B选项不符合题意；
C．因为3 +2 ＝5 ，所以C选择计算正确，故C选项不符合题意；
D．因为（a+b）2＝a2+2ab+b2，所以D选择计算不正确，故D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次根式的加减，同底数幂乘法，积的乘方，完全平方公式，熟练
掌握二次根式的加减，同底数幂乘法，积的乘方，完全平方公式进行求解是解决本题的关
键．
9．（3分）（2022•梧州）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+b与直线y＝﹣3x+6相交于点
A，则关于x，y的二元一次方程组 的解是（ ）
第12页（共30页）A． B． C． D．
【分析】由图象交点坐标可得方程组的解．
【解答】解：由图象可得直线l 和直线l 交点坐标是（4，5），
1 2
∴方程组组 的解为 ．
故选：B．
【点评】本题考查一次函数与二元一次方程的关系，解题关键是理解直线交点坐标中x与y
的值为方程组的解．
10．（3分）（2022•梧州）如图， O是△ABC的外接圆，且AB＝AC，∠BAC＝36°，在 上取
点D（不与点A，B重合），⊙连接BD，AD，则∠BAD+∠ABD的度数是（ ）
A．60° B．62° C．72° D．73°
【分析】利用等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠C＝72°，从而利用圆内接四边形的性质可
求出∠D＝108°，然后利用三角形内角和定理进行计算即可解答．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∵四边形ADBC是圆内接四边形，
∴∠D+∠C＝180°，
第13页（共30页）∴∠D＝180°﹣∠C＝108°，
∴∠BAD+∠ABD＝180°﹣∠D＝72°，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，圆
周角定理，熟练掌握等腰三角形的性质，以及圆内接四边形的性质是解题的关键．
11．（3 分）（2022•梧州）如图，以点 O 为位似中心，作四边形 ABCD 的位似图形
A′B′C′D′，已知 ＝ ，若四边形ABCD的面积是2，则四边形A′B′C′D′
的面积是（ ）
A．4 B．6 C．16 D．18
【分析】直接利用位似图形的性质得出面积比进而得出答案．
【解答】解：∵以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A′B′C′D′， ＝
，
∴ ＝ ＝ ，
则四边形A′B′C′D′面积为：18．
故选：D．
【点评】此题主要考查了位似变换，正确得出面积比是解题关键．
12．（3分）（2022•梧州）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣2的对称轴是直线x＝﹣1，直线l∥x
轴，且交抛物线于点P（x ，y ），Q（x ，y ），下列结论错误的是（ ）
1 1 2 2
第14页（共30页）A．b2＞﹣8a
B．若实数m≠﹣1，则a﹣b＜am2+bm
C．3a﹣2＞0
D．当y＞﹣2时，x •x ＜0
1 2
【分析】根据函数图象可知a＞0，由此可判断出A；根据抛物线的对称轴可得出b＝2a，也
可得出函数的最小值，在x＝﹣1处取到，由此可判断B；令x＝0，则y＝﹣2，即抛物线与y
轴交于点（0，﹣2），根据函数图象可直接判断D；C没有直接条件判断．
【解答】解：根据函数图象可知a＞0，根据抛物线的对称轴公式可得x＝﹣ ＝﹣1，
∴b＝2a，
∴b2＞0，﹣8a＜0，
∴b2＞﹣8a．故A正确，不符合题意；
∵函数的最小值在x＝﹣1处取到，
∴若实数m≠﹣1，则a﹣b﹣2＜am2+bm﹣2，即若实数m≠﹣1，则a﹣b＜am2+bm．故B正
确，不符合题意；
令x＝0，则y＝﹣2，即抛物线与y轴交于点（0，﹣2），
∴当y＞﹣2时，x ＜0，x ＞0．
1 2
∴当y＞﹣2时，x •x ＜0．故D正确，不符合题意；
1 2
∵a＞0，
∴3a＞0，没有条件可以证明3a＞2．故C错误，符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查二次函数图象的性质，数形结合思想等知识，掌握二次函数图象的
性质是解题关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分．）
第15页（共30页）13．（2分）（2022•梧州）若x＝1，则3x﹣2＝ 1 ．
【分析】把x＝1代入3x﹣2中，计算即可得出答案．
【解答】解：把x＝1代入3x﹣2中，
原式＝3×1﹣2＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了代数式求值，熟练掌握代数式求值的方法进行求解是解决本题的
关键．
14．（2分）（2022•梧州）在平面直角坐标系中，请写出直线y＝2x上的一个点的坐标 （ 1 ，
2 ） ．
【分析】令x＝1，计算出对应的y值即可得出结论．
【解答】解：令x＝1，则y＝2，
∴直线y＝2x经过点（1，2），
∴直线y＝2x上的一个点的坐标为（1，2），
故答案为：（1，2）（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标的特征，由解析式中的x的值求得对应
的y值是解答此类问题的方法．
15．（2分）（2022•梧州）一元二次方程（x﹣2）（x+7）＝0的根是 x ＝ 2 ， x ＝﹣ 7 ．
1 2
【分析】利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．
【解答】解：（x﹣2）（x+7）＝0，
x﹣2＝0或x+7＝0，
x ＝2，x ＝﹣7，
1 2
故答案为：x ＝2，x ＝﹣7．
1 2
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握解一元二次方程﹣因式分解
法是解题的关键．
16．（2分）（2022•梧州）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是AB，AC边上的中点，
连接CD，DE．如果AB＝5m，BC＝3m，那么CD+DE的长是 4 m．
第16页（共30页）【分析】根据三角形中位线定理可得DE的长，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边
的一半”可得CD的长，进一步即可求出CD+DE的长．
【解答】解：∵点D，E分别是AB，AC边上的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝ BC，
∵BC＝3m，
∴DE＝1.5m，
∵∠ACB＝90°，
∴CD＝ AB，
∵AB＝5m，
∴CD＝2.5m，
∴CD+DE＝2.5+1.5＝4（m），
故答案为：4．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，直角三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题
的关键．
17．（2分）（2022•梧州）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx+b的图象与反比例函数
1
y ＝ 的图象交于点A（﹣2，2），B（n，﹣1）．当y ＜y 时，x的取值范围是 ﹣ 2 ＜ x ＜ 0 或
2 1 2
x ＞ 4 ．
【分析】利用待定系数法求得点B坐标，结合图象，利用数形结合法解答即可．
【解答】解：∵反比例函数y ＝ 的图象经过点A（﹣2，2），B（n，﹣1），
2
第17页（共30页）∴﹣1×n＝（﹣2）×2，
∴n＝4．
∴B（4，﹣1）．
由图象可知：第二象限中点A的右侧部分和第四象限中点B的部分满足y ＜y ，
1 2
∴当y ＜y 时，x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞4．
1 2
故答案为：﹣2＜x＜0或x＞4．
【点评】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，一次函数图象上点的坐标的
特征，反比例函数图象上点的坐标的特征，一次函数的性质，反比例函数的性质，待定系
数法，利用数形结合法解答是解题的关键．
18．（2分）（2022•梧州）如图，四边形ABCD是 O的内接正四边形，分别以点A，O为圆心，
⊙
取大于 OA的定长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交 O于点E，F．若OA
⊙
＝1，则 ，AE，AB所围成的阴影部分面积为 ．
【分析】连接OA．由题意可知，∴△AOE为等边三角形，推出S阴影 ＝S扇形AOB ﹣S弓形AOE ﹣
S△AOB ＝S扇形AOB ﹣（S扇形AOE ﹣S△AOE） ﹣S△AOB ＝S扇形AOB ﹣S扇形AOE +S△AOE ﹣S△AOB ，即可求
出答案．
【解答】解：连接OA，
由题意可知，直线MN垂直平分线段OA，
∴EA＝EO，
∵OA＝OE，
∴△AOE为等边三角形，
∴∠AOE＝60°，
第18页（共30页）∵四边形ABCD是 O的内接正四边形，
∴∠AOB＝90°， ⊙
∴∠BOE＝30°，
∵S弓形AOE ＝S扇形AOE ﹣S△AOE ，
∴S阴影 ＝S扇形AOB ﹣S弓形AOE ﹣S△AOB
＝S扇形AOB ﹣（S扇形AOE ﹣S△AOE） ﹣S△AOB
＝S扇形AOB ﹣S扇形AOE +S△AOE ﹣S△AOB
＝S扇形BOE +S△AOE ﹣S△AOB
＝ + ﹣
＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了正多边形与圆，正确运用扇形面积公式是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分．）
19．（12分）（2022•梧州）（1）计算： ﹣5+（﹣3）×（﹣2）2．
（2）化简：3a+2（a2﹣a）﹣2a•3a．
【分析】（1）根据算术平方根的性质，实数的运算法则解答即可；
（2）根据整式的运算法则解答即可．
【解答】解：（1）原式＝3﹣5+（﹣3）×4
＝3﹣5﹣12
＝﹣14，
（2）原式＝3a+2a2﹣2a﹣6a2，
第19页（共30页）＝a﹣4a2．
【点评】本题主要考查了实数的运算和整式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
20．（6分）（2022•梧州）解方程：1﹣ ＝ ．
【分析】方程两边同时乘以（x﹣3），把分式方程化成整式方程，解整式方程检验后，即可得
出分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x﹣3+2＝4，
解得：x＝5，
当x＝5时，x﹣3≠0，
∴x＝5是分式方程的根．
【点评】本题考查了解分式方程，正确把分式方程化成整式方程是解决问题的关键．
21．（6分）（2022•梧州）如图，在 ABCD中，E，G，H，F分别是AB，BC，CD，DA上的点，且
BE＝DH，AF＝CG．求证：E▱F＝HG．
【分析】由平行四边形的性质得出AB＝CD，∠A＝∠C，证明△AEF≌△CHG（SAS），由全
等三角形的性质可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠A＝∠C，
∵BE＝DH，
∴AB﹣BE＝CD﹣DH，
即AE＝CH，
在△AEF和△CHG中，
，
∴△AEF≌△CHG（SAS），
∴EF＝HG．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，证明△AEF≌△CHG
第20页（共30页）是解题的关键．
22．（8分）（2022•梧州）某校团委为了解学生关注“2022年北京冬奥会”情况，以随机抽样
的方式对学生进行问卷调查，学生只选择一个运动项目作为最关注项目，把调查结果分为
“滑雪”“滑冰”“冰球”“冰壶”“其他”五类，绘制成统计图①和图②．
（1）本次抽样调查的学生共 5 0 人；
（2）将图①补充完整；
（3）在这次抽样的学生中，挑选了甲，乙，丙，丁四名学生进行相关培训，最后从这四名学
生中随机抽取2名进行“爱我北京冬奥”主题演讲．请用画树状图法或列表法求出抽中
两名学生分别是甲和乙的概率．
【分析】从两个统计图中可知喜欢“冰球”的有5人，占调查人数的10%，根据频率＝
进行计算即可；
（2）求出样本中喜欢“滑冰”的人数即可；
（3）利用列表法列举出所有可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
【解答】解：（1）5÷10%＝50（人），
故答案为：50；
（2）50﹣28﹣5﹣4﹣3＝10（人），
补全频数分布直方图如下：
第21页（共30页）（3）用列表法表示所有可能出现的结果如下：
共有12种可能出现的结果情况，其中抽取的2人是甲、乙的有2种，
所以抽中两名学生分别是甲和乙的概率为 ＝ ．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图以及列表法求概率，掌握频率＝ 以及列举
出所有可能出现的结果是正确解答的前提．
23．（8分）（2022•梧州）今年，我国“巅峰使命”2022珠峰科考团对珠穆朗玛峰进行综合科
学考察，搭建了世界最高海拔的自动气象站，还通过释放气球方式进行了高空探测．某学
校兴趣小组开展实践活动，通过观测数据，计算气球升空的高度AB．
如图，在平面内，点B，C，D在同一直线上，AB⊥CB，垂足为点B，∠ACB＝52°，∠ADB＝
60°，CD＝200m，求AB的高度．（精确到1m）
（参考数据：sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28， ≈1.73）
第22页（共30页）【分析】设AB＝xm，利用直角三角形的边角关系定理分别表示出CB，BD的长度，利用CD
＝CB﹣DB列出方程，解方程即可求解．
【解答】解：设AB＝xm，
在Rt△ABC中，
∵tan∠ACB＝ ，
∴tan52°＝ ，
∴BC＝ ．
在Rt△ABC中，
∵tan∠ADB＝ ，
∴tan60°＝ ，
∴BD＝ ．
∵CD＝CB﹣DB，
∴ ＝200，
解得：x≈984．
∴AB的高度约为984米．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确利用直角三角形的边角关系定理选择
恰当的关系式是解题的关键．
24．（10分）（2022•梧州）梧州市地处亚热带，盛产龙眼．新鲜龙眼的保质期短，若加工成龙眼
干（又叫带壳圆肉）则有利于较长时间保存．已知3kg的新鲜龙眼在无损耗的情况下可以
第23页（共30页）加工成1kg的龙眼干．
（1）若新鲜龙眼售价为12元/kg．在无损耗的情况下加工成龙眼干，使龙眼干的销售收益
不低于新鲜龙眼的销售收益，则龙眼干的售价应不低于多少元/kg？
（2）在实践中，小苏发现当地在加工龙眼干的过程中新鲜龙眼有6%的损耗，为确保果农
的利益，龙眼干的销售收益应不低于新鲜龙眼的销售收益，此时龙眼干的定价取最低整数
价格．
市场调查还发现，新鲜龙眼以12元/kg最多能卖出100kg，超出部分平均售价是5元/kg，
可售完．果农们都以这种方式出售新鲜龙眼．
设某果农有akg新鲜龙眼，他全部加工成龙眼干销售获得的收益与全部以新鲜龙眼销售
获得的收益之差为w元，请写出w与a的函数关系式．
【分析】（1）设龙眼干的售价为x元/kg，新鲜龙眼共3a千克，得到总收益为12×3a＝36a元；
加工成龙眼干后总收益为ax元，再根据龙眼干的销售收益不低于新鲜龙眼的销售收益得
到不等式ax≥36a，解出即可；
（2）设龙眼干的售价为y元/千克，当a＜100千克时求出新鲜龙眼的销售收益为12a元，龙
眼干的销售收益为 元，根据“龙眼干的销售收益不低于新鲜龙眼的销售收益，且龙
眼干的定价取最低整数价格”得到 ≥12a，解出y＝39；然后再当a≥100千克时同
样求出新鲜龙眼收益与龙眼干收益，再相减即可求解．
【解答】解：（1）设龙眼干的售价为x元/kg，新鲜龙眼共3a千克，
总销售收益为12×3a＝36a（元），
加工成龙眼干后共a千克，
总销售收益为x×a＝ax（元），
∵龙眼干的销售收益不低于新鲜龙眼的销售收益，
∴ax≥36a，
解出：x≥36，
故龙眼干的售价应不低于36元/kg；
（2）a千克的新鲜龙眼一共可以加工成 （1﹣6%）a＝ a 千克龙眼干，
设龙眼干的售价为y元/千克，则龙眼干的总销售收益为 ay元，
第24页（共30页）当a≤100千克时，新鲜龙眼的总收益为12a元，
∵龙眼干的销售收益不低于新鲜龙眼的销售收益，
∴ ≥12a，
解得：y≥ ，
∵y为整数，
∴y最小为39，
∴龙眼干的销售总收益为 a＝ a（元），
此时全部加工成龙眼干销售获得的收益与全部以新鲜龙眼销售获得的收益之差 w＝
a﹣12a＝ ；
当a＞100千克时，新鲜龙眼的总收益为12×100+5（a﹣100）＝（5a+700）元，龙眼干的总
销售收益为 a元，
此时全部加工成龙眼干销售获得的收益与全部以新鲜龙眼销售获得的收益之差 w＝
a﹣（5a+700）＝（ a﹣700）元，
综上，w与a的函数关系式为w＝ ．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用、一次函数的实际应用等，本题的关键是读懂
题意，明确题中的数量关系，正确列出函数关系式或不等式求解．
25．（10分）（2022•梧州）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣ x﹣4分别与x，y轴交于点
A，B，抛物线y＝ x2+bx+c恰好经过这两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点C的坐标是（0，6），将△ACO绕着点C逆时针旋转90°得到△ECF，点A的对应
第25页（共30页）点是点E．
①写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上；
②若点P是y轴上的任一点，求 BP+EP取最小值时，点P的坐标．
【分析】（1）根据直线解析式可得点A、B的坐标，代入二次函数解析式，解方程即可；
（2）①由旋转的性质可得E（6，3），当x＝6时，y＝ ＝3，可知点E在
抛物线上；
②根据sin∠ABO＝ ，得AP＝ BP，则 BP+EP＝AP+PE，当点A、P、E三点
共线时，AP+PE最小，利用待定系数法求出直线AE的解析式，从而解决问题．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣ x﹣4分别与x，y轴交于点A，B，
∴当x＝0时，y＝﹣4；当y＝0时，x＝﹣3，
∴A（﹣3，0），B（0，﹣4），
∵抛物线y＝ x2+bx+c恰好经过这两点．
∴ ，
解得 ，
∴y＝ ﹣ x﹣4；
第26页（共30页）（2）①∵将△ACO绕着点C逆时针旋转90°得到△ECF，
∴∠OCF＝90°，CF＝CO＝6，EF＝AO＝3，EF∥y轴，
∴E（6，3），
当x＝6时，y＝ ＝3，
∴点E在抛物线上；
②过点A作AP⊥AB，交y轴于P，连接PE，AE，
∵A（﹣3，0），B（0，﹣4），
∴OA＝3，OB＝4，
∴AB＝5，
∵sin∠ABO＝ ，
∴AP＝ BP，
∴ BP+EP＝AP+PE，
∴当点A、P、E三点共线时，AP+PE最小，
设直线AE的解析式为y＝kx+b，
∴ ，
∴ ，
∴y＝ x+1，
第27页（共30页）当x＝0时，y＝1，
∴P（0，1）．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，旋转的性质，三角
函数，两点之间、线段最短等知识，利用三角函数将 BP转化为AP的长是解题的关键．
26．（12分）（2022•梧州）如图，以AB为直径的半圆中，点O为圆心，点C在圆上，过点C作
CD∥AB，且CD＝OB．连接AD，分别交OC，BC于点E，F，与 O交于点G，若∠ABC＝
45°． ⊙
（1）求证：①△ABF∽△DCF；
②CD是 O的切线．
⊙
（2）求 的值．
【分析】（1）①根据平行线的性质得到∠FAB＝∠D，根据对顶角相等得到∠AFB＝
∠DFC，根据相似三角形的判定定理证明△ABF∽△DCF；
②根据圆周角定理得到∠AOC＝90°，根据平行线的性质得到∠DCO＝∠AOC＝90°，根
据切线的判定定理证明结论；
（2）过点F作FH∥AB交OC于H，设圆的半径为2a，根据勾股定理用a表示出AE，进而
求出AD，根据相似三角形的性质求出EF，再根据相似三角形的性质求出DG，进而求出
FG，计算即可．
【解答】（1）证明：①∵CD∥AB，
∴∠FAB＝∠D，
∵∠AFB＝∠DFC，
∴△ABF∽△DCF；
②∵∠ABC＝45°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝90°，
∵CD∥AB，
第28页（共30页）∴∠DCO＝∠AOC＝90°，
∵OC是半圆的半径，
∴CD是 O的切线；
（2）解：⊙过点F作FH∥AB交OC于H，
设圆的半径为2a，
∵CD＝OB＝OA，CD∥AB，
∴CE＝OE＝a，AE＝DE，
由勾股定理得：AE＝ ＝ a，
∴AD＝2 a，
∵△ABF∽△DCF，
∴ ＝ ＝ ，
∵FH∥AB，
∴ ＝ ＝ ，
∵FH∥AB，
∴ ＝ ＝ ，
∴EF＝ ，
∵CD是 O的切线，
∴DC2＝⊙DG•DA，即（2a）2＝DG•2 a，
解得：DG＝ ，
∴FG＝ a﹣ ﹣ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ．
第29页（共30页）【点评】本题考查的是切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定和性质，掌握经过半径
的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
第30页（共30页）
