文档内容
2022年广西北海市中考数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合
要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．（3分）（2022•广西）﹣ 的相反数是（ ）
A． B．﹣ C．3 D．﹣3
2．（3分）（2022•广西）2022北京冬残奥会的会徽是以汉字“飞”为灵感来设计的，展现了运
动员不断飞跃，超越自我，奋力拼搏，激励世界的冬残奥精神．下列的四个图中，能由如图
所示的会徽经过平移得到的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）（2022•广西）空气由多种气体混合而成，为了直观介绍空气中各成分的百分比，最
适合使用的统计图是（ ）
A．条形图 B．折线图 C．扇形图 D．直方图
4．（3分）（2022•广西）如图，数轴上的点A表示的数是﹣1，则点A关于原点对称的点表示的
数是（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
5．（3分）（2022•广西）不等式2x﹣4＜10的解集是（ ）
A．x＜3 B．x＜7 C．x＞3 D．x＞7
6．（3分）（2022•广西）如图，直线a∥b，∠1＝55°，则∠2的度数是（ ）
A．35° B．45° C．55° D．125°
第1页（共29页）7．（3分）（2022•广西）下列事件是必然事件的是（ ）
A．三角形内角和是180°
B．端午节赛龙舟，红队获得冠军
C．掷一枚均匀骰子，点数是6的一面朝上
D．打开电视，正在播放神舟十四号载人飞船发射实况
8．（3分）（2022•广西）如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹
角为 ，则高BC是（ ）
α
A．12sin 米 B．12cos 米 C． 米 D． 米
α α
9．（3分）（2022•广西）下列运算正确的是（ ）
A．a+a2＝a3 B．a•a2＝a3 C．a6÷a2＝a3 D．（a﹣1）3＝a3
10．（3分）（2022•广西）《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一
个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽
度相等，则边衬的宽度应是多少米？设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程（ ）
A． ＝ B． ＝
C． ＝ D． ＝
11．（3分）（2022•广西）如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，∠BAC＝ ，将△ABC绕点A逆时针
旋转2 ，得到△AB′C′，连接B′C并延长交AB于点D，当Bα′D⊥AB时， 的长是
（ α）
第2页（共29页）A． B． C． D．
π π π π
12．（3分）（2022•广西）已知反比例函数y＝ （b≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝cx﹣a
（c≠0）和二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．（2分）（2022•广西）化简： ＝ ．
14．（2分）（2022•广西）当x＝ 时，分式 的值为零．
15．（2分）（2022•广西）如图，一个质地均匀的正五边形转盘，指针的位置固定，当转盘自由
转动停止后，观察指针指向区域内的数（若指针正好指向分界线，则重新转一次），这个数
第3页（共29页）是一个奇数的概率是 ．
16．（2分）（2022•广西）古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部
直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图，木杆EF长2米，它的影长FD是4米，
同一时刻测得OA是268米，则金字塔的高度BO是 米．
17．（2分）（2022•广西）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知3a﹣b＝2，求
代数式6a﹣2b﹣1的值．”可以这样解：6a﹣2b﹣1＝2（3a﹣b）﹣1＝2×2﹣1＝3．根据阅
读材料，解决问题：若 x＝2 是关于 x 的一元一次方程 ax+b＝3 的解，则代数式
4a2+4ab+b2+4a+2b﹣1的值是 ．
18．（2分）（2022•广西）如图，在正方形ABCD中，AB＝4 ，对角线AC，BD相交于点O．点
E是对角线AC上一点，连接BE，过点E作EF⊥BE，分别交CD，BD于点F，G，连接BF，
交AC于点H，将△EFH沿EF翻折，点H的对应点H′恰好落在BD上，得到△EFH′．
若点F为CD的中点，则△EGH′的周长是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（6分）（2022•广西）计算：（﹣1+2）×3+22÷（﹣4）．
20．（6分）（2022•广西）先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）+（xy2﹣2xy）÷x，其中x＝1，y＝ ．
21．（10分）（2022•广西）如图，在 ABCD中，BD是它的一条对角线．
第4页（共29页）
▱（1）求证：△ABD≌△CDB；
（2）尺规作图：作BD的垂直平分线EF，分别交AD，BC于点E，F（不写作法，保留作图痕
迹）；
（3）连接BE，若∠DBE＝25°，求∠AEB的度数．
22．（10分）（2022•广西）综合与实践
【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的
实践活动．
【实践发现】同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各1片，通过测量得到这些树叶的长y
（单位：cm），宽x（单位：cm）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
芒果树叶 3.8 3.7 3.5 3.4 3.8 4.0 3.6 4.0 3.6 4.0
的长宽比
荔枝树叶 2.0 2.0 20 2.4 1.8 19 1.8 2.0 1.3 1.9
的长宽比
【实践探究】分析数据如下：
平均数 中位数 众数 方差
芒果树叶的长宽 3.74 m 4.0 0.0424
比
荔枝树叶的长宽 1.91 2.0 n 0.0669
比
【问题解决】
（1）上述表格中：m＝ ，n＝ ；
（2）①A同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为芒果树叶的形状差别大．”
②B同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为
宽的两倍．”
上面两位同学的说法中，合理的是 （填序号）；
（3）现有一片长11cm，宽5.6cm的树叶，请判断这片树叶更可能来自于芒果、荔枝中的哪
种树？并给出你的理由．
第5页（共29页）23．（10分）（2022•广西）打油茶是广西少数民族特有的一种民俗．某特产公司近期销售一种
盒装油茶，每盒的成本价为50元，经市场调研发现，该种油茶的月销售量y（盒）与销售单
价x（元）之间的函数图象如图所示．
（1）求y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当销售单价定为多少元时，该种油茶的月销售利润最大？求出最大利润．
24．（10分）（2022•广西）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径作 O交BC于点D，过
点D作DE⊥AB，垂足为E，延长BA交 O于点F． ⊙
（1）求证：DE是 O的切线； ⊙
⊙
（2）若 ＝ ，AF＝10，求 O的半径．
⊙
25．（10分）（2022•广西）已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左
侧）．
（1）求点A，点B的坐标；
（2）如图，过点A的直线l：y＝﹣x﹣1与抛物线的另一个交点为C，点P为抛物线对称轴
上的一点，连接PA，PC，设点P的纵坐标为m，当PA＝PC时，求m的值；
第6页（共29页）（3）将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段MN，若抛
物线y＝a（﹣x2+2x+3）（a≠0）与线段MN只有一个交点，请直接写出a的取值范围．
26．（10分）（2022•广西）已知∠MON＝ ，点A，B分别在射线OM，ON上运动，AB＝6．
（1）如图①，若 ＝90°，取AB中点D，α点A，B运动时，点D也随之运动，点A，B，D的对
应点分别为A′，αB′，D′，连接OD，OD′．判断OD与OD′有什么数量关系？证明你
的结论；
（2）如图②，若 ＝60°，以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，求点O与点C的
最大距离； α
（3）如图③，若 ＝45°，当点A，B运动到什么位置时，△AOB的面积最大？请说明理由，
并求出△AOB面α积的最大值．
第7页（共29页）2022年广西北海市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合
要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．（3分）（2022•广西）﹣ 的相反数是（ ）
A． B．﹣ C．3 D．﹣3
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数求解后选择即可．
【解答】解：﹣ 的相反数是 ．
故选：A．
【点评】本题主要考查了互为相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
2．（3分）（2022•广西）2022北京冬残奥会的会徽是以汉字“飞”为灵感来设计的，展现了运
动员不断飞跃，超越自我，奋力拼搏，激励世界的冬残奥精神．下列的四个图中，能由如图
所示的会徽经过平移得到的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，这
样的图形运动叫做平移，平移不改变图形的形状大小．
【解答】解：根据平移的性质可知：能由如图经过平移得到的是D，
故选：D．
【点评】本题考查了利用平移设计图案，解决本题的关键是熟记平移的定义．确定一个基
本图案按照一定的方向平移一定的距离，连续作图即可设计出美丽的图案．通过改变平移
的方向和距离可使图案变得丰富多彩．
3．（3分）（2022•广西）空气由多种气体混合而成，为了直观介绍空气中各成分的百分比，最
第8页（共29页）适合使用的统计图是（ ）
A．条形图 B．折线图 C．扇形图 D．直方图
【分析】扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具
体的数据；
折线统计图表示的是事物的变化情况；
条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目；
频数分布直方图，清楚显示在各个不同区间内取值，各组频数分布情况，易于显示各组之
间频数的差别．
【解答】解：根据题意，得
要求直观反映空气的组成情况，即各部分在总体中所占的百分比，结合统计图各自的特点，
应选择扇形统计图．
故选：C．
【点评】此题考查扇形统计图、折线统计图、条形统计图各自的特点．
4．（3分）（2022•广西）如图，数轴上的点A表示的数是﹣1，则点A关于原点对称的点表示的
数是（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
【分析】关于原点对称的数是互为相反数．
【解答】解：∵关于原点对称的数是互为相反数，
又∵1和﹣1是互为相反数，
故选：C．
【点评】本题考查数轴和相反数的知识，掌握基本概念是解题的关键．
5．（3分）（2022•广西）不等式2x﹣4＜10的解集是（ ）
A．x＜3 B．x＜7 C．x＞3 D．x＞7
【分析】根据解一元一次不等式的方法可以求得该不等式的解集．
【解答】解：2x﹣4＜10，
移项，得：2x＜10+4，
合并同类项，得：2x＜14，
系数化为1，得：x＜7，
故选：B．
第9页（共29页）【点评】本题考查解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
6．（3分）（2022•广西）如图，直线a∥b，∠1＝55°，则∠2的度数是（ ）
A．35° B．45° C．55° D．125°
【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠3＝∠1，再根据对顶角相等可得∠2＝∠3．
【解答】解：如图，∵a∥b，
∴∠3＝∠1＝55°，
∴∠2＝∠3＝55°．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，对顶角相等的性质，熟记性质是解题的关键．
7．（3分）（2022•广西）下列事件是必然事件的是（ ）
A．三角形内角和是180°
B．端午节赛龙舟，红队获得冠军
C．掷一枚均匀骰子，点数是6的一面朝上
D．打开电视，正在播放神舟十四号载人飞船发射实况
【分析】根据三角形内角和定理，随机事件，必然事件，不可能事件的定义，逐一判断即可
解答．
【解答】解：A、三角形内角和是180°，是必然事件，故A符合题意；
B、端午节赛龙舟，红队获得冠军，是随机事件，故B不符合题意；
C、掷一枚均匀骰子，点数是6的一面朝上，是随机事件，故C不符合题意；
D、打开电视，正在播放神舟十四号载人飞船发射实况，是随机事件，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能
事件的定义是解题的关键．
8．（3分）（2022•广西）如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹
角为 ，则高BC是（ ）
α 第10页（共29页）A．12sin 米 B．12cos 米 C． 米 D． 米
α α
【分析】直接根据∠A的正弦可得结论．
【解答】解：Rt△ABC中，sin ＝ ，
α
∵AB＝12，
∴BC＝12sin ．
故选：A． α
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，掌握正弦的定义是解本题的关键．
9．（3分）（2022•广西）下列运算正确的是（ ）
A．a+a2＝a3 B．a•a2＝a3 C．a6÷a2＝a3 D．（a﹣1）3＝a3
【分析】按照整式幂的运算法则逐一计算进行辨别．
【解答】解：∵a与a2不是同类项，
∴选项A不符合题意；
∵a•a2＝a3，
∴选项B符合题意；
∵a6÷a2＝a4，
∴选项C不符合题意；
∵（a﹣1）3＝（ ）3＝ ，
∴选项D不符合题意，
故选：B．
【点评】此题考查了整式幂的相关运算能力，关键是能准确理解并运用该计算法则．
10．（3分）（2022•广西）《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一
个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽
度相等，则边衬的宽度应是多少米？设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程（ ）
第11页（共29页）A． ＝ B． ＝
C． ＝ D． ＝
【分析】根据题意可知，装裱后的长为2.4+2x，宽为1.4+2x，再根据整幅图画宽与长的比是
8：13，即可得到相应的方程．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：D．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的
分式方程．
11．（3分）（2022•广西）如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，∠BAC＝ ，将△ABC绕点A逆时针
旋转2 ，得到△AB′C′，连接B′C并延长交AB于点D，当Bα′D⊥AB时， 的长是
（ α）
A． B． C． D．
π π π π
【分析】根据旋转的性质可得AC′∥B′D，则可得∠C′AD＝∠C′AB′+∠B′AB＝
90°，即可算出 的度数，根据已知可算出AD的长度，根据弧长公式即可得出答案．
【解答】解：根α据题意可得，
AC′∥B′D，
∵B′D⊥AB，
第12页（共29页）∴∠C′AD＝∠C′AB′+∠B′AB＝90°，
∵∠C′AD＝ ，
∴ +2 ＝90°，α
∴α＝3α0°，
∵αAC＝4，
∴AD＝AC•cos30°＝4× ＝2 ，
∴ ，
∴ 的长度l＝ ＝ ．
故选：B．
【点评】本题主要考查了弧长的计算及旋转的性质，熟练掌握弧长的计算及旋转的性质进
行求解是解决本题的关键．
12．（3分）（2022•广西）已知反比例函数y＝ （b≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝cx﹣a
（c≠0）和二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
第13页（共29页）【分析】本题形数结合，根据二次函数y＝ （b≠0）的图象位置，可判断b＞0；再由二次函
数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象性质，排除A，B，再根据一次函数y＝cx﹣a（c≠0）的图象和
性质，排除C．
【解答】解：∵反比例函数y＝ （b≠0）的图象位于一、三象限，
∴b＞0；
∵A、B的抛物线都是开口向下，
∴a＜0，根据同左异右，对称轴应该在y轴的右侧，
故A、B都是错误的．
∵C、D的抛物线都是开口向上，
∴a＞0，根据同左异右，对称轴应该在y轴的左侧，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0
由a＞0，c＜0，排除C．
故选：D．
【点评】此题考查一次函数，二次函数及反比例函数中的图象和性质，因此，掌握函数的图
象和性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．（2分）（2022•广西）化简： ＝ 2 ．
【分析】应用二次根式的化简的方法进行计算即可得出答案．
【解答】解： ＝ ＝ ＝2 ．
故答案为：2 ．
【点评】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简的计算方法进行求解
是解决本题的关键．
14．（2分）（2022•广西）当x＝ 0 时，分式 的值为零．
【分析】根据分式值为0的条件：分子为0，分母不为0，可得2x＝0且x+2≠0，然后进行计
算即可解答．
【解答】解：由题意得：
2x＝0且x+2≠0，
∴x＝0且x≠﹣2，
第14页（共29页）∴当x＝0时，分式 的值为零，
故答案为：0．
【点评】本题考查了分式值为0的条件，熟练掌握分式值为0的条件是解题的关键．
15．（2分）（2022•广西）如图，一个质地均匀的正五边形转盘，指针的位置固定，当转盘自由
转动停止后，观察指针指向区域内的数（若指针正好指向分界线，则重新转一次），这个数
是一个奇数的概率是 ．
【分析】根据题意可写出所有的可能性，然后再写出其中指向的区域内的数是奇数的可能
性，从而可以计算出指向的区域内的数是一个奇数的概率．
【解答】解：由图可知，
指针指向的区域有5种可能性，其中指向的区域内的数是奇数的可能性有3种，
∴这个数是一个奇数的概率是 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
16．（2分）（2022•广西）古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部
直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图，木杆EF长2米，它的影长FD是4米，
同一时刻测得OA是268米，则金字塔的高度BO是 13 4 米．
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的
太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
【解答】解：据相同时刻的物高与影长成比例，
第15页（共29页）设金字塔的高度BO为x米，则可列比例为， ，
解得：x＝134，
答：金字塔的高度BO是134米，
故答案为：134．
【点评】本题主要考查同一时刻物高和影长成正比．考查利用所学知识解决实际问题的能
力．
17．（2分）（2022•广西）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知3a﹣b＝2，求
代数式6a﹣2b﹣1的值．”可以这样解：6a﹣2b﹣1＝2（3a﹣b）﹣1＝2×2﹣1＝3．根据阅
读材料，解决问题：若 x＝2 是关于 x 的一元一次方程 ax+b＝3 的解，则代数式
4a2+4ab+b2+4a+2b﹣1的值是 1 4 ．
【分析】根据x＝2是关于x的一元一次方程ax+b＝3的解，可得：b＝3﹣2a，直接代入所求
式即可解答．
【解答】解：∵x＝2是关于x的一元一次方程ax+b＝3的解，
∴2a+b＝3，
∴b＝3﹣2a，
∴4a2+4ab+b2+4a+2b﹣1
＝4a2+4a（3﹣2a）+（3﹣2a）2+4a+2（3﹣2a）﹣1
＝4a2+12a﹣8a2+9﹣12a+4a2+4a+6﹣4a﹣1
＝14．
故答案为：14．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的解和代数式求值，要熟练掌握，解答此题的关键
是判断出a、b的关系．
18．（2分）（2022•广西）如图，在正方形ABCD中，AB＝4 ，对角线AC，BD相交于点O．点
E是对角线AC上一点，连接BE，过点E作EF⊥BE，分别交CD，BD于点F，G，连接BF，
交AC于点H，将△EFH沿EF翻折，点H的对应点H′恰好落在BD上，得到△EFH′．
若点F为CD的中点，则△EGH′的周长是 5+ ．
第16页（共29页）【分析】作辅助线，构建全等三角形，先根据翻折的性质得△EGH'≌△EGH，所以△EGH′
的周长＝△EGH的周长，接下来计算△EGH的三边即可；证明△BME≌△FNE（ASA）和
△BEO≌△EFP（AAS），得OE＝PF＝2，OB＝EP＝4，利用三角函数和勾股定理分别计算
EG，GH和EH的长，相加可得结论．
【解答】解：如图，过点E作EM⊥BC于M，作EN⊥CD于N，过点F作FP⊥AC于P，连接
GH，
∵将△EFH沿EF翻折得到△EFH′，
∴△EGH'≌△EGH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝BC＝4 ，∠BCD＝90°，∠ACD＝∠ACB＝45°，
∴BD＝ BC＝8，△CPF是等腰直角三角形，
∵F是CD的中点，
∴CF＝ CD＝2 ，
∴CP＝PF＝2，OB＝ BD＝4，
∵∠ACD＝∠ACB，EM⊥BC，EN⊥CD，
∴EM＝EN，∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，
∴∠MEN＝90°，
∵EF⊥BE，
第17页（共29页）∴∠BEF＝90°，
∴∠BEM＝∠FEN，
∵∠BME＝∠FNE，
∴△BME≌△FNE（ASA），
∴EB＝EF，
∵∠BEO+∠PEF＝∠PEF+∠EFP＝90°，
∴∠BEO＝∠EFP，
∵∠BOE＝∠EPF＝90°，
∴△BEO≌△EFP（AAS），
∴OE＝PF＝2，OB＝EP＝4，
∵tan∠OEG＝ ＝ ，即 ＝ ，
∴OG＝1，
∴EG＝ ＝ ，
∵OB∥FP，
∴∠OBH＝∠PFH，
∴tan∠OBH＝tan∠PFH，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ＝2，
∴OH＝2PH，
∵OP＝OC﹣PC＝4﹣2＝2，
∴OH＝ ×2＝ ，
在Rt△OGH中，由勾股定理得：GH＝ ＝ ，
∴△EGH′的周长＝△EGH的周长＝EH+EG+GH＝2+ + + ＝5+ ．
故答案为：5+ ．
【点评】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，图形
的翻折等知识，本题十分复杂，解决问题的关键是关注特殊性，添加辅助线，需要十分扎
第18页（共29页）实的基础和很强的能力．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（6分）（2022•广西）计算：（﹣1+2）×3+22÷（﹣4）．
【分析】先算乘方，再算括号里面的和乘除法，最后算加减．
【解答】解：原式＝1×3+4÷（﹣4）
＝3﹣1
＝2．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则和运算律是解决本题的关
键
20．（6分）（2022•广西）先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）+（xy2﹣2xy）÷x，其中x＝1，y＝ ．
【分析】根据平方差公式和多项式除以单项式，可以将题目中的式子化简，然后将x、y的值
代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：（x+y）（x﹣y）+（xy2﹣2xy）÷x
＝x2﹣y2+y2﹣2y
＝x2﹣2y，
当x＝1，y＝ 时，原式＝12﹣2× ＝0．
【点评】本题考查整式的混合运算—化简求值，解答本题的关键是明确整式混合运算的运
算法则，注意平方差公式的应用．
21．（10分）（2022•广西）如图，在 ABCD中，BD是它的一条对角线．
（1）求证：△ABD≌△CDB； ▱
（2）尺规作图：作BD的垂直平分线EF，分别交AD，BC于点E，F（不写作法，保留作图痕
迹）；
（3）连接BE，若∠DBE＝25°，求∠AEB的度数．
【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB＝CD，AD＝BC，再由BD＝BD，即可证明
△ABD≌△CDB；
（2）利用线段垂直平分线的作法进行作图即可；
第19页（共29页）（3）由垂直平分线的性质得出EB＝ED，进而得出∠DBE＝∠BDE＝25°，再由三角形外角
的性质即可求出∠AEB的度数．
【解答】（1）证明：如图1，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∵BD＝BD，
∴△ABD≌△CDB（SSS）；
（2）如图所示，
（3）解：如图3，
∵EF垂直平分BD，∠DBE＝25°，
∴EB＝ED，
∴∠DBE＝∠BDE＝25°，
∵∠AEB是△BED的外角，
∴∠AEB＝∠DBE+∠BDE＝25°+25°＝50°．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定，线段垂直平分线的性质，基本
作图，三角形外角的性质，掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定方法，线段垂直平
分线的作法，线段垂直平分线的性质，三角形外角的定义与性质是解决问题的关键．
第20页（共29页）22．（10分）（2022•广西）综合与实践
【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的
实践活动．
【实践发现】同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各1片，通过测量得到这些树叶的长y
（单位：cm），宽x（单位：cm）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
芒果树叶 3.8 3.7 3.5 3.4 3.8 4.0 3.6 4.0 3.6 4.0
的长宽比
荔枝树叶 2.0 2.0 20 2.4 1.8 19 1.8 2.0 1.3 1.9
的长宽比
【实践探究】分析数据如下：
平均数 中位数 众数 方差
芒果树叶的长宽 3.74 m 4.0 0.0424
比
荔枝树叶的长宽 1.91 2.0 n 0.0669
比
【问题解决】
（1）上述表格中：m＝ 3.7 5 ，n＝ 2. 0 ；
（2）①A同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为芒果树叶的形状差别大．”
②B同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为
宽的两倍．”
上面两位同学的说法中，合理的是 B （填序号）；
（3）现有一片长11cm，宽5.6cm的树叶，请判断这片树叶更可能来自于芒果、荔枝中的哪
种树？并给出你的理由．
【分析】（1）根据中位数和众数的定义解答即可；
（2）根据题目给出的数据判断即可；
（3）根据树叶的长宽比判断即可．
第21页（共29页）【解答】解：（1）把10片芒果树叶的长宽比从小到大排列，排在中间的两个数分别为3.7、
3.8，故m＝ ＝3.75；
10片荔枝树叶的长宽比中出现次数最多的是2.0，故n＝2.0；
故答案为：3.75；2.0；
（2）∵0.0424＜0.0669，
∴芒果树叶的形状差别小，故A同学说法不合理；
∵荔枝树叶的长宽比的平均数1.91，中位数是2.0，众数是2.0，
∴B同学说法合理．
故答案为：B；
（3）∵一片长11cm，宽5.6cm的树叶，长宽比接近2，
∴这片树叶更可能来自荔枝．
【点评】本题考查了众数，中位数，平均数和方差，掌握相关定义是解答本题的关键．
23．（10分）（2022•广西）打油茶是广西少数民族特有的一种民俗．某特产公司近期销售一种
盒装油茶，每盒的成本价为50元，经市场调研发现，该种油茶的月销售量y（盒）与销售单
价x（元）之间的函数图象如图所示．
（1）求y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当销售单价定为多少元时，该种油茶的月销售利润最大？求出最大利润．
【分析】（1）可用待定系数法来确定y与x之间的函数关系式，根据图象可得x的取值范
围即可；
（2）根据利润＝销售量×单件的利润，然后将（1）中的函数式代入其中，求出利润和销售单
件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润．
【解答】解：（1）设函数解析式为y＝kx+b，由题意得：
，
第22页（共29页）解得： ，
∴y＝﹣5x+500，
当y＝0时，﹣5x+500＝0，
∴x＝100，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣5x+500（50＜x＜100）；
（2）设销售利润为w元，
w＝（x﹣50）（﹣5x+500）＝﹣5x2+750x﹣25000＝﹣5（x﹣75）2+3125，
∵抛物线开口向下，
∴50＜x＜100，
∴当x＝75时，w有最大值，是3125，
∴当销售单价定为75元时，该种油茶的月销售利润最大，最大利润是3125元．
【点评】本题考查了一次函数的应用，二次函数的最值问题，在本题中，还需注意的是自变
量的取值范围．
24．（10分）（2022•广西）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径作 O交BC于点D，过
点D作DE⊥AB，垂足为E，延长BA交 O于点F． ⊙
（1）求证：DE是 O的切线； ⊙
⊙
（2）若 ＝ ，AF＝10，求 O的半径．
⊙
【分析】（1）连接OD，进而判断出OD∥AB，即可得出结论；
（2）设AE＝2m，DE＝3m，进而表示出AD＝ m，再判断出△ABD∽△ADE，得出比例
式，进而表示出AB＝ m，BD＝ m，再判断出△ADB∽△CFB，得出比例式建立方
程求出m，最后根据勾股定理求出AC＝26，即可求出答案．
【解答】（1）证明：如图1，
连接OD，则OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
第23页（共29页）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠OCD，
∴∠B＝∠ODC，
∴OD∥AB，
∵DE⊥AB，
∴OD⊥DE，
∵OD为 O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
⊙
（2）解：如图2，连接AD，
∵ ＝ ，
∴设AE＝2m，DE＝3m，
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝∠BED＝90°，
在Rt△ADE中，根据勾股定理得，AD＝ ＝ m，
∵AC为直径，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°＝∠AED，
∴∠A＝∠A，
∴△ABD∽△ADE，
∴ ＝ ，
∴ ，
∴AB＝ m，BD＝ m，
∵AB＝AC，∠ADC＝90°，
∴DC＝ m，BC＝2BD＝3 m，
连接AF，则∠ADB＝∠F，
∵∠B＝∠B，
∴△ADB∽△CFB，
第24页（共29页）∴ ，
∵AF＝10，
∴BF＝AB+AF＝ m+10，
∴ ，
∴m＝4，
∴AD＝4 ，CD＝6 ，
在Rt△ADC中，根据勾股定理得，AC＝ ＝26，
∴ O的半径为 AC＝13．
⊙
【点评】此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定，平行线的性质，相似三角形的判定和
性质，勾股定理，作出辅助线构造出相似三角形是解本题的关键．
25．（10分）（2022•广西）已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左
侧）．
（1）求点A，点B的坐标；
（2）如图，过点A的直线l：y＝﹣x﹣1与抛物线的另一个交点为C，点P为抛物线对称轴
上的一点，连接PA，PC，设点P的纵坐标为m，当PA＝PC时，求m的值；
（3）将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段MN，若抛
第25页（共29页）物线y＝a（﹣x2+2x+3）（a≠0）与线段MN只有一个交点，请直接写出a的取值范围．
【分析】（1）令y＝0，从而﹣x2+2x+3＝0，解方程进而求得结果；
（2）设点P（1，m），根据PA＝PC列出方程，进一步求得结果；
（3）分为a＞0和a＜0两种情形．当a＞0时，抛物线的顶点等于5及x＝0时，y＞0，当a＜
0时，将x＝4代入抛物线解析式，y的值大于等于5，从而求得结果．
【解答】解：（1）当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，
∴x ＝﹣1，x ＝3，
1 2
∴A （﹣1，0），B（3，0）；
（2）∵抛物线对称轴为：x＝ ＝1，
∴设P（1，m），
由﹣x2+2x+3＝﹣x﹣1得，
x ＝﹣1（舍去），x ＝4，
3 4
当x＝4时，y＝﹣4﹣1＝﹣5，
∴C（4，﹣5），
由PA2＝PC2得，
22+m2＝（4﹣1）2+（m+5）2，
∴m＝﹣3；
（3）可得M（0，5），N（4，5），
当a＞0时，
∵y＝﹣a（x﹣1）2+4a，
第26页（共29页）∴抛物线的顶点为：（1，4a），
当4a＝5时，只有一个公共点，
∴a＝ ，
当x＝0时，y＞5，
∴3a＞5，
∴a＞ ，
∴a＞ 或a＝ ，
当a＜0时，
（﹣16+8+3）a≥5，
∴a≤﹣1，
综上所述：a＞ 或a＝ 或a≤﹣1．
【点评】本题考查二次函数图象与x轴的交点与一元二次方程的关系，勾股定理列方程，分
类讨论等知识思想，解决问题的关键是正确分类．
26．（10分）（2022•广西）已知∠MON＝ ，点A，B分别在射线OM，ON上运动，AB＝6．
（1）如图①，若 ＝90°，取AB中点D，α点A，B运动时，点D也随之运动，点A，B，D的对
应点分别为A′，αB′，D′，连接OD，OD′．判断OD与OD′有什么数量关系？证明你
的结论；
（2）如图②，若 ＝60°，以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，求点O与点C的
最大距离； α
（3）如图③，若 ＝45°，当点A，B运动到什么位置时，△AOB的面积最大？请说明理由，
并求出△AOB面α积的最大值．
第27页（共29页）【分析】（1）根据“直角三角形斜边中线等于斜边一半”可得OD＝ ，OD′＝
，进而得出结论；
（2）作△AOB的外接圆I，连接CI并延长，分别交 I于O′和D，当O运动到O′时，OC
最大，求出CD和等边三角形AO′B上的高O′D⊙，进而求得结果；
（3）作等腰直角三角形AIB，以I为圆心，AI为半径作 I，取AB的中点C，连接CI并延长
交 I于O，此时△AOB的面积最大，进一步求得结果⊙．
【⊙解答】解：（1）OD＝OD′，理由如下：
在Rt△AOB中，点D是AB的中点，
∴OD＝ ，
同理可得：OD′＝ ，
∵AB＝A′B′，
∴OD＝OD′；
（2）如图1，
作△AOB的外接圆I，连接CI并延长，分别交 I于O′和D，
当O运动到O′时，OC最大， ⊙
此时△AOB是等边三角形，
∴BO′＝AB＝6，
OC最大 ＝CO′＝CD+DO′＝ + BO′＝3+3 ；
（3）如图2，
第28页（共29页）作等腰直角三角形AIB，以I为圆心，AI为半径作 I，
⊙
∴AI＝ ＝3 ，∠AOB＝ ，
则点O在 I上，取AB的中点C，连接CI并延长交 I于O，
此时△AO⊙B的面积最大， ⊙
∵OC＝CI+OI＝ AB+3 ＝3+3 ，
∴S△AOB最大 ＝ ＝9+9 ．
【点评】本题考查了直角三角形性质，等腰三角形性质，确定圆的条件等知识，解决问题的
关键是熟练掌握“定弦对定角”的模型．
声
第29页（共29页）
