文档内容
2022年贵州省铜仁市中考数学试卷
一、选择题
1．（2022•铜仁市）在实数 ， ， ， 中，有理数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022•铜仁市）如图，在矩形ABCD中，A（﹣3，2），B（3，2），C（3，﹣1），则D的坐标为（
）
A．（﹣2，﹣1） B．（4，﹣1） C．（﹣3，﹣2） D．（﹣3，﹣1）
3．（2022•铜仁市）2022年4月18日，国家统计局发布数据，今年一季度国内生产总值
270178亿元．同比增长4.8%，比2021年四季度环比增长1.3%．把27017800000000用科
学记数法表示为（ ）
A．2.70178×1014 B．2.70178×1013
C．0.270178×1015 D．0.270178×1014
4．（2022•铜仁市）在一个不透明的布袋内，有红球5个，黄球4个，白球1个，蓝球3个，它们
除颜色外，大小、质地都相同．若随机从袋中摸取一个球，则摸中哪种球的概率最大
（ ）
A．红球 B．黄球 C．白球 D．蓝球
5．（2022•铜仁市）如图，OA，OB是 O的两条半径，点C在 O上，若∠AOB＝80°，则∠C
的度数为（ ） ⊙ ⊙
A．30° B．40° C．50° D．60°
6．（2022•铜仁市）下列计算错误的是（ ）
第1页（共29页）A．|﹣2|＝2 B．
C． D．（a2）3＝a3
7．（2022•铜仁市）为了增强学生的安全防范意识，某校初三（1）班班委举行了一次安全知识
抢答赛，抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分．
小红一共得70分，则小红答对的个数为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
8．（2022•铜仁市）如图，在边长为6的正方形ABCD中，以BC为直径画半圆，则阴影部分的
面积是（ ）
A．9 B．6 C．3 D．12
9．（2022•铜仁市）如图，等边△ABC、等边△DEF的边长分别为3和2．开始时点A与点D重
合，DE在AB上，DF在AC上，△DEF沿AB向右平移，当点D到达点B时停止．在此过程
中，设△ABC、△DEF重合部分的面积为y，△DEF移动的距离为x，则y与x的函数图象
大致为（ ）
A． B．
C． D．
第2页（共29页）10．（2022•铜仁市）如图，若抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点
C，若∠OAC＝∠OCB．则ac的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C． D．
二、填空题
11．（2022•铜仁市）不等式组 的解集是 ．
12．（2022•铜仁市）若一元二次方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为 ．
13．（2022•铜仁市）一组数据3，5，8，7，5，8的中位数为 ．
14．（2022•铜仁市）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝80°，延长BC到E，在∠DCE内作射
钱CM，使得∠ECM＝30°，过点D作DF⊥CM，垂足为F．若DF＝ ，则BD的长为
（结果保留根号）．
15．（2022•铜仁市）如图，点A、B在反比例函数 的图象上，AC⊥y轴，垂足为D，
BC⊥AC．若四边形AOBC间面积为6， ，则k的值为 ．
第3页（共29页）16．（2022•铜仁市）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E为AD的中点，将△CDE沿CE
翻折得△CME，点M落在四边形ABCE内．点N为线段CE上的动点，过点N作NP∥EM
交MC于点P，则MN+NP的最小值为 ．
三、解答题
17．（2022•铜仁市）在平面直角坐标系内有三点A（﹣1，4）、B（﹣3，2）、C（0，6）．
（1）求过其中两点的直线的函数表达式（选一种情形作答）；
（2）判断A、B、C三点是否在同一直线上，并说明理由．
18．（2022•铜仁市）如图，点C在BD上，AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，AB＝CD．求证：
△ABC≌△CDE．
19．（2022•铜仁市）2021年7月，中共中央办公厅，国务院办公厅印发了《关于进一步减轻义
务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》．某中学为了切实减轻学生作业负担，
落实课后服务相关要求，开设了书法、摄影、篮球、足球、乒乓球五项课后服务活动，为了
解学生的个性化需求，学校随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如图
所示的扇形统计图和条形统计图，请你根据给出的信息解答下列问题：
（1）求m，n的值并把条形统计图补充完整；
第4页（共29页）（2）若该校有2000名学生，试估计该校参加“书法”活动的学生有多少人？
（3）结合调查信息，请你给该校课后服务活动项目开设方面提出一条合理化的建议．
20．（2022•铜仁市）科学规范戴口罩是阻断新冠病毒传播的有效措施之一，某口罩生产厂家
接到一公司的订单，生产一段时间后，还剩280万个口罩未生产，厂家因更换设备，生产效
率比更换设备前提高了40%．结果刚好提前2天完成订单任务．求该厂家更换设备前和更
换设备后每天各生产多少万个口罩？
21．（2022•铜仁市）为了测量高速公路某桥的桥墩高度，某数学兴趣小组在同一水平地面C、
D两处实地测量，如图所示．在C处测得桥墩顶部A处的仰角为60°和桥墩底部B处的俯
角为40°，在D处测得桥墩顶部A处的仰角为30°，测得C、D两点之间的距离为80m，直
线AB、CD在同一平面内，请你用以上数据，计算桥墩AB的高度．（结果保留整数，参考数
据 ： sin40°≈ 0.64 ， cos40°≈ 0.77 ， tan40°≈ 0.84 ， ≈ 1.73 ）
22．（2022•铜仁市）如图，D是以AB为直径的 O上一点，过点D的切线DE交AB的延长线
于点E，过点B作BC⊥DE交AD的延长线⊙于点C，垂足为点F．
（1）求证：AB＝CB；
（2）若AB＝18，sinA＝ ，求EF的长．
第5页（共29页）23．（2022•铜仁市）为实施“乡村振兴”计划，某村产业合作社种植了“千亩桃园”．2022
年该村桃子丰收，销售前对本地市场进行调查发现：当批发价为4千元/吨时，每天可售出
12吨，每吨涨1千元，每天销量将减少2吨，据测算，每吨平均投入成本2千元，为了抢占
市场，薄利多销，该村产业合作社决定，批发价每吨不低于4千元，不高于5.5千元．请解
答以下问题：
（1）求每天销量y（吨）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取
值范围；
（2）当批发价定为多少时，每天所获利润最大？最大利润是多少？
24．（2022•铜仁市）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，记△COD的面
积为S ，△AOB的面积为S ．
1 2
（1）问题解决：如图①，若AB∥CD，求证：
（2）探索推广：如图②，若AB与CD不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若
不成立，请说明理由．
（3）拓展应用：如图③，在OA上取一点E，使OE＝OC，过点E作EF∥CD交OD于点F，
点H为AB的中点，OH交EF于点G，且OG＝2GH，若 ，求 值．
第6页（共29页）2022年贵州省铜仁市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（2022•铜仁市）在实数 ， ， ， 中，有理数是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据有理数的定义进行求解即可．
【解答】解：在实数 ， ， ， 中，有理数为 ，其他都是无理数，
故选：C．
【点评】本题主要考查了实数的分类，掌握有理数和无理数的定义是解题的关键．
2．（2022•铜仁市）如图，在矩形ABCD中，A（﹣3，2），B（3，2），C（3，﹣1），则D的坐标为（
）
A．（﹣2，﹣1） B．（4，﹣1） C．（﹣3，﹣2） D．（﹣3，﹣1）
【分析】先根据A、B的坐标求出AB的长，则CD＝AB＝6，并证明AB∥CD∥x轴，同理可
得AD∥BC∥y轴，由此即可得到答案．
【解答】解：∵A（﹣3，2），B（3，2），
∴AB＝6，AB∥x轴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝6，AB∥CD∥x轴，
同理可得AD∥BC∥y轴，
∵点C（3，﹣1），
∴点D的坐标为（﹣3，﹣1），
故选：D．
【点评】本题主要考查了坐标与图形，矩形的性质，熟知矩形的性质是解题的关键．
3．（2022•铜仁市）2022年4月18日，国家统计局发布数据，今年一季度国内生产总值
270178亿元．同比增长4.8%，比2021年四季度环比增长1.3%．把27017800000000用科
第7页（共29页）学记数法表示为（ ）
A．2.70178×1014 B．2.70178×1013
C．0.270178×1015 D．0.270178×1014
【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原
数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可
得到答案．
【解答】解：27017800000000＝2.70178×1013
故选：B．
【点评】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
4．（2022•铜仁市）在一个不透明的布袋内，有红球5个，黄球4个，白球1个，蓝球3个，它们
除颜色外，大小、质地都相同．若随机从袋中摸取一个球，则摸中哪种球的概率最大
（ ）
A．红球 B．黄球 C．白球 D．蓝球
【分析】根据概率的求法，因为红球的个数最多，所以摸到红球的概率最大．
【解答】解：在一个不透明的布袋内，有红球5个，黄球4个，白球1个，蓝球3个，它们除
颜色外，大小、质地都相同．若随机从袋中摸取一个球，
因为红球的个数最多，所以摸到红球的概率最大，
摸到红球的概率是： ，
故选：A．
【点评】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其
中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P （A）＝ ．
5．（2022•铜仁市）如图，OA，OB是 O的两条半径，点C在 O上，若∠AOB＝80°，则∠C
的度数为（ ） ⊙ ⊙
第8页（共29页）A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】根据圆周角定理即可求解．
【解答】解：∵OA，OB是 O的两条半径，点C在 O上，∠AOB＝80°，
⊙ ⊙
∴∠C＝ ＝40°．
故选：B．
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或者在等圆中，同弧或等弧所对的圆周角
相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答本题关键．
6．（2022•铜仁市）下列计算错误的是（ ）
A．|﹣2|＝2 B．
C． D．（a2）3＝a3
【分析】根据绝对值、同底数幂的乘法、负整数指数幂、分式的性质、幂的乘方法则计算，判
断即可．
【解答】解：A、|﹣2|＝2，本选项计算正确，不符合题意；
B、a2•a﹣3＝a2﹣3＝a﹣1＝ ，本选项计算正确，不符合题意；
C、 ＝ ＝a+1，本选项计算正确，不符合题意；
D、（a2）3＝a6，本选项计算错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查的是绝对值、同底数幂的乘法、负整数指数幂、分式的性质、幂的乘
方计算法则，掌握相关的运算法则是解题的关键．
7．（2022•铜仁市）为了增强学生的安全防范意识，某校初三（1）班班委举行了一次安全知识
抢答赛，抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分．
小红一共得70分，则小红答对的个数为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
【分析】设小红答对的个数为x个，根据抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得（5
分），每答错或不答一个扣（1分），列出方程求解即可．
【解答】解：设小红答对的个数为x个，
由题意得5x﹣（20﹣x）＝70，
第9页（共29页）解得x＝15，
故选：B．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是列出方程求解是解题的关
键．
8．（2022•铜仁市）如图，在边长为6的正方形ABCD中，以BC为直径画半圆，则阴影部分的
面积是（ ）
A．9 B．6 C．3 D．12
【分析】设AC与半圆交于点E，半圆的圆心为O，连接BE，OE，证明BE＝CE，得到弓形
BE 的 面 积 ＝ 弓 形 CE 的 面 积 ， 则
．
【解答】解：设AC与半圆交于点E，半圆的圆心为O，连接BE，OE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OCE＝45°，
∵OE＝OC，
∴∠OEC＝∠OCE＝45°，
∴∠EOC＝90°，
∴OE垂直平分BC，
∴BE＝CE，
∴弓形BE的面积＝弓形CE的面积，
∴ ，
故选：A．
【点评】本题主要考查了求不规则图形的面积，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，圆
第10页（共29页）的性质，熟知相关知识是解题的关键．
9．（2022•铜仁市）如图，等边△ABC、等边△DEF的边长分别为3和2．开始时点A与点D重
合，DE在AB上，DF在AC上，△DEF沿AB向右平移，当点D到达点B时停止．在此过程
中，设△ABC、△DEF重合部分的面积为y，△DEF移动的距离为x，则y与x的函数图象
大致为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】当△DEF在△ABC内移动时，△ABC、△DEF重合部分的面积不变，当△DEF移
出△ABC时，计算出S△DBN ，得到 ，从而得到答案．
【解答】解：如图所示，当E和B重合时，AD＝AB﹣DB＝3﹣2＝1，
∴当△DEF移动的距离为0≤x≤1时，△DEF在△ABC内，y＝S△DEF ＝ ＝ ，
当E在B的右边时，如图所示，设移动过程中DF与CB交于点N，过点N坐NM垂直于
AE，垂足为M，
根据题意得AD＝x，AB＝3，
∴DB＝AB﹣AD＝3﹣x，
∵∠NDB＝60°，∠NBD＝60°，
第11页（共29页）∴△NDB是等边三角形，
∴DN＝DB＝NB＝3﹣x，
∵NM⊥DB，
∴ ，
∵NM2+DM2＝DN2，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当1≤x≤3时，y是一个关于x的二次函数，且开口向上，
∵当0≤x≤1时， ，
故选：C．
【点评】本题考查图形移动、等边三角形的性质，二次函数的性质，根据题意得到二次函数
的解析式是解题的关键．
10．（2022•铜仁市）如图，若抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点
C，若∠OAC＝∠OCB．则ac的值为（ ）
第12页（共29页）A．﹣1 B．﹣2 C． D．
【分析】设A（x ，0），B（x ，0），C（0，c），由∠OAC＝∠OCB可得△OAC∽△OCB，从而可
1 2
得|x •x |＝c2＝﹣x •x ，由一元二次方程根与系数的关系可得x •x ＝ ，进而求解．
1 2 1 2 1 2
【解答】解：设A（x ，0），B（x ，0），C（0，c），
1 2
∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点C（0，c），
∴OC＝c，
∵∠OAC＝∠OCB，OC⊥AB，
∴△OAC∽△OCB，
∴ ，
∴OC2＝OA•OB，
即|x •x |＝c2＝﹣x •x ，
1 2 1 2
令ax2+bx+c＝0，
根据根与系数的关系知x •x ＝ ，
1 2
∴ ，
故ac＝﹣1，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）之间
的相互转换，同时要将线段的长转化为点的坐标之间的关系，灵活运用数形结合的思想是
解题关键．
二、填空题
11．（2022•铜仁市）不等式组 的解集是 ﹣ 3 ≤ x ＜﹣ 1 ．
第13页（共29页）【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【解答】解： ，
由①得：x≥﹣3，
由②得：x＜﹣1，
则不等式组的解集为﹣3≤x＜﹣1．
故答案为：﹣3≤x＜﹣1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知
“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
12．（2022•铜仁市）若一元二次方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为 1 ．
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝22﹣4×1×k＝0，然后解关于k的方程即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝22﹣4×1×k＝0，即4﹣4k＝0
解得k＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有
如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数
根；当Δ＜0时，方程无实数根．
13．（2022•铜仁市）一组数据3，5，8，7，5，8的中位数为 6 ．
【分析】先将数据按从小到大的顺序排列，然后根据中位数的定义即可找到这组数据的中
位数．
【解答】解：将题目中的数据按照从小到大的顺序排列为：3，5，5，7，8，8，位于最中间位置
的两个数是5，7，故这组数据的中位数是 ．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如
果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数
是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
14．（2022•铜仁市）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝80°，延长BC到E，在∠DCE内作射
钱CM，使得∠ECM＝30°，过点D作DF⊥CM，垂足为F．若DF＝ ，则BD的长为 2
（结果保留根号）．
第14页（共29页）【分析】连接AC，交BD于H，证明△DCH≌△DCF，得出DH的长度，再根据菱形的性质
得出BD的长度．
【解答】解：如图，连接AC，交BD于点H，
由菱形的性质得∠ADC＝∠ABC＝80°，∠DCE＝80°，∠DHC＝90°，
又∵∠ECM＝30°，
∴∠DCF＝50°，
∵DF⊥CM，
∴∠CFD＝90°，
∴∠CDF＝40°，
又∵四边形ABCD是菱形，
∴BD平分∠ADC，
∴∠HDC＝40°，
在△CDH和△CDF中，
，
∴△CDH≌△CDF（AAS），
∴DH＝DF＝ ，
∴DB＝2DH＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查菱形的性质和全等三角形的判定，菱形的对角线互相平分是此题的
关键知识点，得出∠HDC＝∠FDC是这个题最关键的一点．
第15页（共29页）15．（2022•铜仁市）如图，点A、B在反比例函数 的图象上，AC⊥y轴，垂足为D，
BC⊥AC．若四边形AOBC间面积为6， ，则k的值为 3 ．
【分析】设点 ，可得AD＝a， ，从而得到CD＝3a，再由BC⊥AC．可得点B
，从而得到 ，然后根据S梯形OBCD ＝S△AOD +S四边形AOBC ，即可求解．
【解答】解：设点 ，
∵AC⊥y轴，
∴AD＝a， ，
∵ ，
∴AC＝2a，
∴CD＝3a，
∵BC⊥AC．AC⊥y轴，
∴BC∥y轴，
∴点B ，
∴ ，
∵S梯形OBCD ＝S△AOD +S四边形AOBC ，
∴ ，
解得：k＝3．
第16页（共29页）故答案为：3．
【点评】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握反比例函数比例系数
的几何意义是解题的关键．
16．（2022•铜仁市）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E为AD的中点，将△CDE沿CE
翻折得△CME，点M落在四边形ABCE内．点N为线段CE上的动点，过点N作NP∥EM
交MC于点P，则MN+NP的最小值为 ．
【分析】过点M作MF⊥CD于F，推出MN+NP的最小值为MF的长，证明四边形DEMG
为菱形，利用相似三角形的判定和性质求解即可．
【解答】解：作点P关于CE的对称点P′，
由折叠的性质知CE是∠DCM的平分线，
∴点P′在CD上，
过点M作MF⊥CD于F，交CE于点G，
∵MN+NP＝MN+NP′≤MF，
∴MN+NP的最小值为MF的长，
连接DG，DM，
由折叠的性质知CE为线段DM的垂直平分线，
∵AD＝CD＝2，DE＝1，
∴CE＝ ＝ ，
第17页（共29页）∵ CE×DO＝ CD×DE，
∴DO＝ ，
∴EO＝ ，
∵MF⊥CD，∠EDC＝90°，
∴DE∥MF，
∴∠EDO＝∠GMO，
∵CE为线段DM的垂直平分线，
∴DO＝OM，∠DOE＝∠MOG＝90°，
∴△DOE≌△MOG，
∴DE＝GM，
∴四边形DEMG为平行四边形，
∵∠MOG＝90°，
∴四边形DEMG为菱形，
∴EG＝2OE＝ ，GM＝DE＝1，
∴CG＝ ，
∵DE∥MF，即DE∥GF，
∴△CFG∽△CDE，
∴ ，即 ，
∴FG＝ ，
∴MF＝1+ ＝ ，
∴MN+NP的最小值为 ．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查轴对称在解决线段和最小的问题中的应用，熟悉对称点的运用和画
第18页（共29页）法，知道何时线段和最小，会运用勾股定理和相似三角形的判定和性质求线段长度是解题
的关键．
三、解答题
17．（2022•铜仁市）在平面直角坐标系内有三点A（﹣1，4）、B（﹣3，2）、C（0，6）．
（1）求过其中两点的直线的函数表达式（选一种情形作答）；
（2）判断A、B、C三点是否在同一直线上，并说明理由．
【分析】（1）根据A、B两点的坐标求得直线AB的解析式．
（2）把C的坐标代入看是否符合解析式即可判定．
【解答】解：（1）设A（−1，4）、B（−3，2）两点所在直线解析式为y＝kx+b，
∴ ，
解得 ，
∴直线AB的解析式y＝x+5．
（2）当x＝0时，y＝0+5≠6，
∴点C（0，6）不在直线AB上，即点A、B、C三点不在同一条直线上．
【点评】本题考查了待定系数法求解析式，以及判定是否是直线上的点，掌握一次函数图
像上的点的坐标特征是关键．
18．（2022•铜仁市）如图，点C在BD上，AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，AB＝CD．求证：
△ABC≌△CDE．
【分析】根据一线三垂直模型利用AAS证明△ABC≌△CDE即可．
【解答】证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，
∴∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，
∴∠DCE+∠DEC＝90°，∠BCA+∠DCE＝90°，
∴∠BCA＝∠DEC，
在△ABC和△CDE中，
第19页（共29页），
∴△ABC≌△CDE（AAS）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握一线三垂直模型是解题的关键．
19．（2022•铜仁市）2021年7月，中共中央办公厅，国务院办公厅印发了《关于进一步减轻义
务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》．某中学为了切实减轻学生作业负担，
落实课后服务相关要求，开设了书法、摄影、篮球、足球、乒乓球五项课后服务活动，为了
解学生的个性化需求，学校随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如图
所示的扇形统计图和条形统计图，请你根据给出的信息解答下列问题：
（1）求m，n的值并把条形统计图补充完整；
（2）若该校有2000名学生，试估计该校参加“书法”活动的学生有多少人？
（3）结合调查信息，请你给该校课后服务活动项目开设方面提出一条合理化的建议．
【分析】（1）根据乒乓球所占的比例和人数可求出抽取的总人数，因此可求得参加篮球的
人数，根据摄影的人数可求出m的值，再根据扇形图可求得n的值；
（2）根据书法所占的比例，可求得参加书法活动的学生人数；
（3）根据参加活动人数的多少可适当调整课后服务活动项目．
【解答】解：根据乒乓球所占的比例和人数可得，
抽取的人数为 （人），
∴参加篮球的人数有：100﹣40﹣10﹣25﹣5＝20（人），
补全条形统计图如图所示：
第20页（共29页）∵参加摄影的人数为10人，
∴ ，
∴m＝10；
根据扇形图可得：1﹣40%﹣5%﹣25%﹣10%＝20%
∴n＝20；
（2）根据统计图可知“书法”所占25%，
∴2000×25%＝500（人），
∴若该校有2000名学生，试估计该校参加“书法”活动的学生有500人；
（3）根据条形统计图和扇形统计图可知，参加乒乓球的学生人数是最多的，其次是书法、
篮球，参加摄影的学生人数相对来说是较少，最少的是参加足球的学生人数，所以可以适
当的增加乒乓球这项课后服务活动项目的开设，减少足球课后服务活动项目的开设，以满
足大部分同学的需求．
【点评】本题考查了扇形统计图和条形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图
中得到必要的信息是解决问题的关键．
20．（2022•铜仁市）科学规范戴口罩是阻断新冠病毒传播的有效措施之一，某口罩生产厂家
接到一公司的订单，生产一段时间后，还剩280万个口罩未生产，厂家因更换设备，生产效
率比更换设备前提高了40%．结果刚好提前2天完成订单任务．求该厂家更换设备前和更
换设备后每天各生产多少万个口罩？
【分析】设该厂家更换设备前每天生产口罩x万个，则该厂家更换设备后每天生产口罩
（1+40%）x万个，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合提前2天完成订单任务，即可
得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设该厂家更换设备前每天生产口罩x万个，则该厂家更换设备后每天生产口罩
（1+40%）x万个，
第21页（共29页）依题意得： ，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意，
∴（1+40%）x＝（1+40%）×40＝56．
答：该厂家更换设备前每天生产口罩40万个，更换设备后每天生产口罩56万个．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
21．（2022•铜仁市）为了测量高速公路某桥的桥墩高度，某数学兴趣小组在同一水平地面C、
D两处实地测量，如图所示．在C处测得桥墩顶部A处的仰角为60°和桥墩底部B处的俯
角为40°，在D处测得桥墩顶部A处的仰角为30°，测得C、D两点之间的距离为80m，直
线AB、CD在同一平面内，请你用以上数据，计算桥墩AB的高度．（结果保留整数，参考数
据 ： sin40°≈ 0.64 ， cos40°≈ 0.77 ， tan40°≈ 0.84 ， ≈ 1.73 ）
【分析】延长DC交AB于点E，设CE＝x米，由题意可得AB⊥DE，分别在Rt△AEC和
Rt△BEC中，利用锐角三角函数的定义求出AE，BE，在Rt△AED中，利用锐角三角函数
的定义求出DE，根据CD＝DE﹣CE，列方程求得x的值，即可解答．
【解答】解：延长DC交AB于点E，
则DE⊥AB，
设CE＝x米，
在Rt△AEC中，∠ACE＝60°，
∴AE＝EC•tan60°＝ （米），
在Rt△BEC中，∠BCE＝40°，
第22页（共29页）∴BE＝EC•tan40°＝0.84x（米），
在Rt△AED中，∠D＝30°，
∴DE＝ ＝ ＝3x（米），
∵CD＝80米
∴DE﹣CE＝CD，
∴3x﹣x＝80，
∴x＝40，
∴AB＝AE+BE≈40×（1.73+0.84）＝102.8≈103米，
∴桥墩AB的高度为103米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义
是解题的关键．
22．（2022•铜仁市）如图，D是以AB为直径的 O上一点，过点D的切线DE交AB的延长线
于点E，过点B作BC⊥DE交AD的延长线⊙于点C，垂足为点F．
（1）求证：AB＝CB；
（2）若AB＝18，sinA＝ ，求EF的长．
【分析】（1）连接OD，则OD⊥DE，利用BC⊥DE，可得OD∥BC，通过证明得出∠A＝
∠C，结论得证；
第23页（共29页）（2）连接BD，在Rt△ABD中，利用sinA＝ 求得线段BD的长；在Rt△BDF中，利用
sin∠A＝sin∠FDB，解直角三角形可得结论．
【解答】（1）证明：连接OD，如图1，
∵DE是 O的切线，
∴OD⊥D⊙E．
∵BC⊥DE，
∴OD∥BC．
∴∠ODA＝∠C，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠A．
∴∠A＝∠C．
∴AB＝BC；
（2）解：连接BD，则∠ADB＝90°，如图2，
在Rt△ABD中，
∵sinA＝ ＝ ，AB＝18，
∴BD＝6．
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠OBD．
∵∠OBD+∠A＝∠FDB+∠ODB＝90°，
∴∠A＝∠FDB．
∴sin∠A＝sin∠FDB．
在Rt△BDF中，
∵sin∠BDF＝ ＝ ，
∴BF＝2．
由（1）知：OD∥BF，
∴△EBF∽△EOD．
∴ ＝ ．即： ＝ ．
解得：BE＝ ．
第24页（共29页）∴EF＝ ．
【点评】本题主要考查了圆的切线的性质，垂径定理，圆周角定理，三角形相似的判定与性
质，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定，平行线的判定与性质．连接过切点的半
径和直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线．
23．（2022•铜仁市）为实施“乡村振兴”计划，某村产业合作社种植了“千亩桃园”．2022
年该村桃子丰收，销售前对本地市场进行调查发现：当批发价为4千元/吨时，每天可售出
12吨，每吨涨1千元，每天销量将减少2吨，据测算，每吨平均投入成本2千元，为了抢占
市场，薄利多销，该村产业合作社决定，批发价每吨不低于4千元，不高于5.5千元．请解
答以下问题：
（1）求每天销量y（吨）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取
值范围；
（2）当批发价定为多少时，每天所获利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）根据题意直接写出y与x之间的函数关系式和自变量的取值范围；
（2）根据销售利润＝销售量×（批发价﹣成本价），列出销售利润w（千元）与批发价x（千
元/吨）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润．
【解答】解：（1）根据题意得y＝12﹣2（x﹣4）＝﹣2x+20（4≤x≤5.5），
所以每天销量y（吨）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式y＝﹣2x+20，
自变量x的取值范围是4≤x≤5.5；
第25页（共29页）（2）设每天获得的利润为W千元，根据题意得w＝（﹣2x+20）（x﹣2）＝﹣2x2+24x﹣40＝
﹣2（x﹣6）2+32，
∵﹣2＜0，
∴当x＜6，W随x的增大而增大．
∵4≤x≤5.5，
∴当x＝5.5时，w有最大值，最大值为﹣2×（5.5﹣6）2+32＝31.5，
∴将批发价定为5.5元时，每天获得的利润最大，最大利润是31.5千元．
【点评】本题考查二次函数应用，以及利用二次函数的性质求最大值，解题的关键是读懂
题意，列出函数关系式．
24．（2022•铜仁市）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，记△COD的面
积为S ，△AOB的面积为S ．
1 2
（1）问题解决：如图①，若AB∥CD，求证：
（2）探索推广：如图②，若AB与CD不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若
不成立，请说明理由．
（3）拓展应用：如图③，在OA上取一点E，使OE＝OC，过点E作EF∥CD交OD于点F，
点H为AB的中点，OH交EF于点G，且OG＝2GH，若 ，求 值．
【分析】（1）过点D作AE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F，求出DE＝OD⋅sin∠DOE，
BF＝OB⋅sin∠BOF，然后由三角形面积公式求解即可；
（2）同（1）求解即可；
（3）过点 A 作 AM∥EF 交 OB 于 M，取 BM 中点 N，连接 HN，先由 AAS 证得
第26页（共29页）△OEF≌△OCD，得到OD＝OF，再证明△OEF∽△OAM，得到 ＝ ＝ ，设OE＝
OC＝5m，OF＝OD＝5n，则OA＝6m，OM＝6n，然后证明△OGF∽△OHN，推出ON＝
OF＝ ，BN＝MN＝ON﹣OM＝ ，则OB＝ON+BN＝9n，由（2）结论求解即可．
【解答】（1）证明：过点D作AE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F，如图①所示：
∴DE＝OD⋅sin∠DOE，BF＝OB⋅sin∠BOF，
∴S ＝ OC•DE＝ OC•OD•sin∠DOE，S ＝ OA•BF＝ OA•OB•sin∠BOF，
1 2
∵∠DOE＝∠BOF，
∴sin∠DOE＝sin∠BOF，
∴ ＝ ＝ ；
（2）解：（1）中的结论成立，理由如下：
过点D作AE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F，如图②所示：
∴DE＝OD⋅sin∠DOE，BF＝OB⋅sin∠BOF，
∴S ＝ OC•DE＝ OC•OD•sin∠DOE，S ＝ OA•BF＝ OA•OB•sin∠BOF，
1 2
∵∠DOE＝∠BOF，
∴sin∠DOE＝sin∠BOF；
∴ ＝ ＝ ；
（3）解：过点A作AM∥EF交OB于M，取BM中点N，连接HN，如图③所示：
∵EF∥CD，
∴∠ODC＝∠OFE，∠OCD＝∠OEF，
又∵OE＝OC，
∴△OEF≌△OCD（AAS），
∴OD＝OF，
第27页（共29页）∵EF∥AM，
∴△OEF∽△OAM，
∴ ＝ ＝ ，
设OE＝OC＝5m，OF＝OD＝5n，则OA＝6m，OM＝6n，
∵H是AB的中点，N是BM的中点，
∴HN是△ABM的中位线，
∴HN∥AM∥EF，
∴△OGF∽△OHN，
∴ ＝ ，
∵OG＝2GH，
∴OG＝ OH，
∴ ＝ ＝ ，
∴ON＝ OF＝ ，BN＝MN＝ON﹣OM＝ ﹣6n＝ ，
∴OB＝ON+BN＝ + ＝9n，
由（2）得： ＝ ＝ ＝ ．
第28页（共29页）【点评】本题是四边形综合题，考查了锐角三角函数的定义、相似三角形的判定与性质、全
等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、三角形面积的计算等知识；正确作出辅助线
构建直角三角形与相似三角形是解题的关键．
第29页（共29页）
