文档内容
2.2 探索直线平行的条件
同位角、内错角、同旁内角的概念
知识点一
（1）同位角概念：两条直线被第三条直线所截，位置相同的一对角。
注：如下图，位置相同指：①两个角都在第三条直线c的同一侧；②且两个角都在两条直线a、b的上方
（或下方）。例：∠1与∠5都在c的右侧，且都在a、b的上方，则∠1与∠5为同位角
（2）内错角的概念：两直线被第三条直线所截，在两条直线之内，并且分别在第三条直线两侧的一对角
（位置完全错开的角）
注：如下图，位置完全错开指：①两个角在第三条直线c的不同侧；②且两个角在两条直线a、b的上下不
同位置（即都在两条直线的内侧）。例：∠2与∠8分别在c的左右两侧，且∠2在a的下方，∠8在b的
上方（即∠2、∠8在a、b内侧），则∠2与∠8为内错角
（3）同旁内角：两直线被第三条直线所截，在第三条直线同侧，并且在两条直线之内的一对角。
注：如下图，同旁内角指：①两个角在第三条直线c的同一侧；②且两个角在a、b两条直线的内侧
例：∠2与∠5，两个角都在直线c的右侧，且都在a、b两条直线的内侧，则∠2与∠5为同旁内角。
注：同位角、内错角和同旁内角是3条直线直角的位置关系，且无角度间大小关系。
平行线的概念
知识点二
（1）同一平面两条直线间的关系：①平行；②相交
（2）平行线概念：在同一平面内，不相交的两条直线
注：①平行的概念，必须加前提条件“在同一平面内”；②必须是两条直线间的关系（非“射线”、“线
段”）（3）平行公理：经过线外一点，有且仅有一条直线与这条直线平行
注：与垂线性质比较相似，但也存在不同的地方。相同点：过一点都有且仅能作一条线与已知直线平行
（垂直）；不同点：垂直性质中，这个点可以在直线外，也可以在直线上，但在平行公理中，这个点必须
在直线外。
平行线的判定
知识点三
（1）判定方法一：同位角相等，两直线平行
（2）判定方法二：内错角相等，两直线平行
（3）判定方法三：同旁内角互补，两直线平行
（4）在同一平面内，若两条直线都垂直于同一条直线，则这两条直线平行。即：若a⊥c，且b⊥c，则a∥b
（5）平行线的传递性：若l∥l，l∥l，则l∥l（用共面知识可证明，此处不证）。
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题型一 识别三线八角
【例题1】（2022秋•唐河县期末）如图，下列图形中的 和 不是同位角的是
A． B．C． D．
【分析】根据同位角的意义逐项进行判断即可．
【解答】解：选项 中的 与 ，是直线 、 被直线 所截的同位角，因此选项 不符合题意；
选项 中的 与 ，是直线 、 被直线 所截的同位角，因此选项 不符合题意；
选项 中的 与 ，没有公共的截线，因此不是同位角，所以选项 符合题意；
选项 中的 与 ，是直线 、 被直线 所截的同位角，因此选项 不符合题意；
故选： ．解题技巧提炼
方法一、定义法：如下图：
** 错误的表达式 **确定第三条直线截另外2条直线，从而找出8个角
例：确定直线c截a、b两条直线，则在直线c的两侧有∠1、∠2、∠3、∠4、
∠5、∠6、∠7、∠8这8个角，则3类角的关系必定是在这8个角中寻找
** 错误的表达式 **根据角的名字（特点）确定位置关系。注意，位置关系包含
2个部分：a.与第三条直线的位置关系；b.与被截两条直线的位置关系
例：同位角，即：在第三条直线的同一侧，且在被截两条直线的同一侧。则∠8
与∠4符合同位角关系。
内错角，即：在第三条直线的两侧（错开），且在被截两条直线的内侧。则∠8
与∠2符合内错角关系。
同旁内角，即：在第三条直线的同侧，且在被截两条直线的内侧。则∠8与∠3符
合同旁内角关系。
方法二、像形识别法：** 错误的表达式 **同位角：F ** 错误的表达式 **内
错角：Z ** 错误的表达式 **同旁内角：C
【变式1-1】（2022秋•榆树市期末）如图，直线 ， 被直线 所截，则 与 是
A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角
【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截
线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．
【解答】解：由题意可得， 与 是直线 ， 被直线 所截而成的同位角．故选： ．
【变式1-2】（2022秋•宛城区期末）如图所示，下列结论中正确的是
A． 和 是同位角 B． 和 是同旁内角
C． 和 是内错角 D． 和 是对顶角
【分析】根据同位角，内错角，同旁内角以及对顶角的定义进行解答．
【解答】解： 、 和 是同旁内角，故本选项错误；
、 和 是同旁内角，故本选项正确；
、 和 是同位角，故本选项错误；
、 和 是邻补角，故本选项错误；
故选： ．
【变式1-3】（2022秋•南阳期末）如图，下列判断：① 与 是同位角；② 与 是同旁内角；
③ 与 是内错角；④ 与 是同位角．其中正确的是
A．①、② B．①、②、④ C．②、③、④ D．①、②、③、④
【分析】根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三
条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，
若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．同旁内角：
两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同
旁，则这样一对角叫做同旁内角作答．
【解答】解：①由同位角的概念得出： 与 是同位角；②由同旁内角的概念得出： 与 是同旁内角；
③由内错角的概念得出： 与 不是内错角，错误；
④由内错角的概念得出： 与 是内错角，错误．
故正确的有2个，是①②．
故选： ．
【变式1-4】（2022•东阳市校级开学）图中， 和 是同位角的是
A． B． C． D．
【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截
线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，由此即可判断．
【解答】解： 、 和 不是同位角，故 不符合题意；
、 和 不是同位角，故 不符合题意；
、 和 不是同位角，故 不符合题意；
、 和 是同位角，故 符合题意．
故选： ．
【变式1-5】（2022春•秀山县校级月考）如图，直线 ， 被 所截，则 与 是
A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角、邻补角的定义进行判断即可．
【解答】解： 与 是直线 ， 被 所截得的内错角，
故选： ．题型二 平行线的判定
【例题2】（2022春•东莞市期中）如图，点 在 的延长线上，下列条件不能判定 的是
A． B． C． D．
【分析】根据平行线的判定定理“同位角相等，两直线平行”、“内错角相等，两直线平行”、“同旁内
角互补，两直线平行”分别进行分析．
【解答】解： 、根据内错角相等，两直线平行可判定 ，故此选项不合题意；
、根据同位角相等，两直线平行可判定 ，故此选项不合题意；
、根据内错角相等，两直线平行可判定 ，无法判定 ，故此选项符合题意；
、根据同旁内角互补，两直线平行可判定 ，故此选项不合题意；
故选： ．
解题技巧提炼
1）借助平行公理及推论证平行：证平行中，理清需要证明的是哪两条线，然后再
观察题干，看那些已知条件的某部分与证平行的3类角有关系，则优先考虑以此
展开证明推导。
2）转化法论证平行：在证明的过程中，有些题目并不能很明确的发现3类角之间
的关系，通常需要寻找中间角，将已知角进行转化，最终推导出3类角之间的关
系。
【变式2-1】（2022春•济南期中）如图，将木条 ， 与 钉在一起， ， ，要使木条
与 平行，木条 旋转的度数至少是A． B． C． D．
【分析】根据同位角相等两直线平行，求出旋转后 的同位角的度数，然后用 减去即可得到木条 旋
转的度数．
【解答】解： 时， ，
要使木条 与 平行，木条 旋转的度数至少是 ．
故选： ．
【变式2-2】（2021秋•晋江市校级期末）如图， 和 分别为直线 与直线 和 相交所成角．如果
，那么添加下列哪个条件后，可判定
A． B． C． D．
【分析】欲证 ，在图中发现 、 被直线 所截，且已知 ，可根据同位角相等，两直线平行，
再结合答案来补充条件．【解答】解： ，要使 ，
则需 （同位角相等，两直线平行），
由图可知， 与 是邻补角，
则只需 ，
故选： ．
【变式2-3】（2022春•江汉区校级月考）如图，点 在 的延长线上，下列条件中能判定 的
是
A． B． C． D．
【分析】直接利用平行线的判定方法分别判断得出答案．
【解答】解： 、当 时，可得： ，符合题意；
、当 时，可得： ，不合题意；
、当 时，可得： ，不合题意；
、当 时，可得： ，不合题意．
故选： ．
【变式2-4】（2022春•秦淮区校级月考）如图所示，下列条件中能判定 是
A． B． C． D．
【分析】根据内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行分别得出即可求解．
【解答】解： 、 ，
（内错角相等，两直线平行），故此选项不符合题意；
、由 无法得到 ，故此选项不符合题意；、 ，
（同旁内角互补，两直线平行），故此选项不符合题意；
、 ，
（内错角相等，两直线平行），故此选项符合题意．
故选： ．
【变式2-5】（2021秋•船山区期末）如图，有下列一些条件：
① ，
② ，
③ ，
④ ，
⑤ ，
⑥ ．
其中能判断直线 的有
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．依据平行线
的判定方法即可得出结论．
【解答】解：①由 ，可得 ；
②由 ，不能得到 ；
③由 ，可得 ；
④由 ，可得 ；
⑤由 ， ，可得 ，即可得到 ；
⑥由 ，可得 ；
故能判断直线 的有5个．
故选： ．题型三 平行线间的面积问题
【例题3】正方形网格中的交点，我们称之为格点如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为 1．现
有格点 、 ，那么，在网格图中找出格点 ，使以 、 和格点 为顶点的三角形的面积为2．这样的
点可找到的个数为
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】因为每个小正方形的边长是1，则可以先找到一点 ，则三角形 的面积是2，满足题目要求
再过 点作 的平行线，平行线与网格点重合的点，因这些点与 、 组成的三角形都是同底等高，则
这些三角形的面积都是2，所以这些点即为符合要求的点；同理，过 点作 的平行线，与网格点重合
的点也是符合要求的格点．将所有的符合要求的格点数加起来，就是问题的答案．
【解答】解：如图所示，在网格图中可以找到点 ，
则三角形 的面积是2，再过 点作 的平行线，平行线与网格点重合的点即为符合要求的点，
这样的点有5个；
同样的方法，过 点作 的平行线，又能得到4个不同符合要求的格点，
所以符合要求的格点共有： （个 ；
故选： ．解题技巧提炼
两条平行线之间，距离相等。故同底三角形，因高也相等，所以面积相等。在解
此类题型时，先确定公共底，然后在与底平行的直线上寻找三角形的另一个顶
点，这样组成的三角形面积相等。
【变式3-1】（2022春•宝山区校级月考）如图，已知直线 ，点 、 在直线 上，点 、 在直
线 上，如果 的面积和 的面积之比为 ，那么 的值为 ．
【分析】利用行线间的距离处处相等得到 点到直线 的距离等于 点到直线 的距离，然后根据三角形
面积求解．
【解答】解： 直线 ，
点到直线 的距离等于 点到直线 的距离，
的面积和 的面积 ，
的面积和 的面积之比为 ，
．
故答案为： ．
【变式3-2】（2022春•松江区校级期中）如图，四边形 中， ， 、 相交于点 ，
的面积等于2， 的面积等于1，那么 的面积等于 ．
【分析】先计算出 的面积为3，再根据平行线的性质得到 点和 点到 的距离相等，然后根据
三角形面积公式得到 的面积．
【解答】解： 的面积等于2， 的面积等于1，
的面积为 ，
，点和 点到 的距离相等，
的面积等于 的面积，
即 的面积为3．
故答案为：3．
【变式3-3】（2021春•株洲期末）如图，直线 ，点 在 上，若 ， ，三角形
的面积为6，则三角形 的面积为 ．
【分析】过点 作 于点 ，由 的面积为 6 可求出 的长，再由 可知 为
的高，由三角形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：过点 作 于点 ，如图所示：
的面积为6， ，
，
解得： ，
，
是 的高，
．
故答案为：10．
【变式3-4】（2021春•湘乡市期末）如图，已知 ， 的面积是15，则 面积等于．
【分析】根据平行线之间的距离处处相等，可得点 到 的距离与点 到 的距离相等，从而可得
的面积等于 的面积．
【解答】解： ，
点 到 的距离与点 到 的距离相等，
即 的 边上的高等于 的 边上的高，
与 共有 边，
．
故答案为：15．
【变式3-5】如图所示，直线 ， 是 上的动点，当点 的位置变化时，三角形 的面积
（填“变大”“变小”或者“不变” ．
【分析】由平行线的性质得到点 到 的距离不变，从而得到结果．
【解答】解： ，
点 在 上运动时，点 到 的距离不变，
的高不变，
的面积不变，
故答案为：不变．
题型四 平行线的判定的综合应用
【例题4】（2021秋•遂川县期末）如图， 平分 ，若 ， ，求证： ．【分析】根据平行线的判定，依据角平分线的定义即可解决问题．
【解答】证明： 平分 ， ，
（角平分线定义），
，（已知），
（等量代换），
（同位角相等两直线平行）．
解题技巧提炼
解题的关键是熟练掌握基本知识．
【变式4-1】（2021秋•晋江市期末）如图，如果直线 与 交于点 ， ， ，
试判断 与 是否平行，并说明理由．
【分析】根据内错角相等，两直线平行可得 ，根据同位角相等，两直线平行可得 ，再根
据两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行即可求解．
【解答】解： ，理由如下：
，
，
，
，
．【变式4-2】（2022秋•北京期中）如图，已知 ， ， ，求证： ．
【分析】先根据三角形外角性质，求得 ，再根据 ，即可得到 ，进而根据平行线
的判定可得 ．
【解答】证明： 是 ， 所在三角形的外角，
，
又 ，
，
．
【变式 4-3】（2022 春•邛崃市期中）如图： ， 平分 ， 平分 ，
，求证： ．请完成下面的解题过程．
解： 平分 ， 平分 （已知）
， （角平分线的定义）
又 （已知）
．
又 （已知）
．【分析】根据角平分线的定义结合题意推出 ，即可判定 ．
【解答】解： 平分 ， 平分 （已知），
， （角平分线的定义）．
又 （已知），
，
又 （已知），
（等量代换），
（同位角相等，两直线平行）．
故答案为： ； ； ； ； ； ； ；同位角相等，两直线平行．
【变式4-4】（2022春•新城区校级期末）如图，已知 中，点 、 、 分别在线段 、 、
上，且 ， ．请说明 的理由．
【分析】根据平行线的判定定理求解即可．
【解答】解： ，
，
，
，
，
．
【变式4-5】（2022春•清镇市期中）如图所示，已知： ， ， ， ．求证： ．
【分析】根据同旁内角互补，两直线平行．以及两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行即可
求解．
【解答】证明： ， ， ， ，
， ，
， ，
．
