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专题 14 阿基米德三角形与椭圆、双曲线焦点三角形内切圆问题
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题型01 阿基米德三角形...........................................................................................................................................1
题型02 椭圆中焦点三角形的内切圆.......................................................................................................................5
题型03 双曲线中焦点三角形的内切圆...................................................................................................................7
题型 01 阿基米德三角形
【解题规律·提分快招】
一、阿基米德三角形
1、定义：如图所示， 为抛物线 的弦， ， ，分别过 作的抛物线的
切线交于点 ，称 为阿基米德三角形，弦 为阿基米德三角形的底边．
y
B
F
A
O x
P
2、阿基米德焦点三角形性质（弦AB过焦点F时）
性质1：MF⊥AB；性质2：MA⊥MB；性质3：MN∥x轴；性质4：S 最小值为p²
△ABM
对于点A，B:
①抛物线焦点弦与抛物线的交点②由准线上一点向抛物线引两条切线所对应的切点
对于点M
③过焦点弦的一个端点所作的切线与准线的交点
④过焦点弦的两个端点所作两条切线的交点
满足以上①③或①④或②③或②④的三个点所组成的三角形即为“底边过焦点的阿基米德三角形”
3、阿基米德三角形一般性质（弦AB不经过焦点F时）
y
A
M
P
O F x
B
1、阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴．
2、若阿基米德三角形的底边即弦 过抛物线内定点 ，则另一顶点 的轨迹为一条直线．
3、若直线 与抛物线没有公共点，以 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点．
4、底边长为 的阿基米德三角形的面积的最大值为 ．
5、若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点 的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积的最小值为 ．
6、点 的坐标为 ；
7、底边 所在的直线方程为
8、 的面积为 ．
9、若点 的坐标为 ，则底边 的直线方程为 ．
10、如图1，若 为抛物线弧 上的动点，点 处的切线与 ， 分别交于点C，D，则
.
图1
11、若 为抛物线弧 上的动点，抛物线在点 处的切线与阿基米德三角形 的边 ， 分别交于点C，D，则 ．
12、抛物线和它的一条弦所围成的面积，等于以此弦为底边的阿基米德三角形面积的 ．
【典例训练】
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习） 为抛物线 的弦，A(x ,y )，B(x ,y )分别过 作
1 1 2 2
的抛物线的切线交于点 ，称 为阿基米德三角形，弦 为阿基米德三角形的底边.若弦
过焦点 ，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．底边 的直线方程为 ；
C． 是直角三角形；
D． 面积的最小值为 .
2．（2024·陕西西安·二模）阿基米德（公元前287年-公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、
天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号．抛物线上任意两点A，B处的切线
交于点P，称三角形PAB为“阿基米德三角形”.已知抛物线C： 的焦点为F，过A，B两点的直线
的方程为 ，关于“阿基米德三角形”△PAB，下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．点P的坐标为
二、多选题
3．（2024·山东·模拟预测）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形．已
知抛物线 ，阿基米德三角形 ，弦 过 的焦点 ，其中点 在第一象限，则下列说法正确
的是（ ）
A．点 的纵坐标为 B． 的准线方程为
C．若 ，则 的斜率为 D． 面积的最小值为16
4．（23-24高三上·江苏南京·阶段练习）圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基
米德三角形．已知三角形 为抛物线 的“阿基米德三角形”，线段 为抛物线的弦，设线段
中点为 ，下列命题正确的是（ ）
A． 轴
B．若 过点(2,0)，则点S在直线 上
C．若 ，则 面积的最大值为4D．若 过点 ，则
5．（2024·湖北黄冈·模拟预测）抛物线的弦与过弦端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角
形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其
准线上．设抛物线 ，弦 过焦点 为 的中点， 为坐标原点， 为其阿基米德三角形，
则（ ）
A．存在点 ，使得 B．任意点 ，都有
C．任意点 ，都有 D． 面积的最小值为4
6．（24-25高三上·陕西榆林·期末）若过点 可以作抛物线的两条切线，切点分别是 ，则称 为
“阿基米德三角形”．已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线 交 于 两点，以 为顶点
的“阿基米德三角形”为 ，则（ ）
A．点 的横坐标为 B．
C． D． 面积的最小值为16
三、填空题
7．（24-25高三上·上海·单元测试）我们把圆锥曲线的弦AB与过弦的端点A、B处的两条切线所围成的
（P为两切线的交点）叫做“阿基米德三角形”．抛物线有一类特殊的“阿基米德三角形”，当线
段AB经过抛物线的焦点F时， 具有以下性质：
①P点必在抛物线的准线上；② ；③ ．
已知直线l： 与抛物线 交于A、B两点，若 ，则抛物线的“阿基米德三角形”
的顶点P的坐标为 ．
四、解答题
8．（23-24高三下·重庆·阶段练习）过抛物线外一点 作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，我们称
为抛物线的阿基米德三角形，弦AB与抛物线所围成的封闭图形称为相应的“囧边形”，且已知“囧
边形”的面积恰为相应阿基米德三角形面积的三分之二．如图，点 是圆 上的动点，
是抛物线 的阿基米德三角形， 是抛物线 的焦点，且 ．
(1)求抛物线 的方程；(2)利用题给的结论，求图中“囧边形”面积的取值范围；
(3)设 是“圆边形”的抛物线弧 上的任意一动点（异于A，B两点），过D作抛物线的切线 交阿基米
德三角形的两切线边PA，PB于M，N，证明： ．
题型 02 椭圆中焦点三角形的内切圆
【解题规律·提分快招】
焦点三角形双内切圆模型1
点 为椭圆 上任意一点，点P为 的内心,点G为 的重心。
性质1、假设焦点 的内切圆半径为 ，则 .
性质2、
性质3、
性质4、 ， ， ，
性质5、
性质6、
性质7、
性质8、性质9、P的轨迹为
焦点三角形内切圆模型2
点 为椭圆 上任意一点，点I为旁切圆圆心，A,B,C为切点。
结论： ，
焦点三角形双内切圆模型3
，k为直线AB的倾斜角
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24高三上·吉林·期末）已知椭圆方程为 ，P为椭圆上一点，若 ， 为
的内切圆，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三上·吉林延边·期中）点P是椭圆 上一点， ， 是椭圆的两个焦点，且
的内切圆半径为1，当点P在第一象限时，P点的纵坐标为（ ）
A．2 B． C． D．3．（24-25高三上·北京·期末）若 ， 是椭圆C： （ ）的左、右焦点，P为椭圆C上
一点（不是顶点），点I为 的内心，若 的面积是 面积的3倍，则椭圆C的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·福建泉州·期中）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点
是 上的一点， 的内切圆圆心为 ，当 时， ，则椭圆 的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高三下·全国·专题练习）已知 ， 分别是椭圆 ： 的左、右焦点， 为第一象限内
椭圆 上一点， 的内心为点 ，则直线 与 的斜率之积为（ ）
A． B． C． D．
6．（浙江省台州市2024-2025学年高三上学期期末质量评估数学试题）已知椭圆
的左右焦点分别为 ，点 是椭圆 上第一象限的一点， 的内心为 ，若
，则椭圆 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．（23-24高三上·四川成都·期中）已知椭圆 的左､右焦点分别为 是椭圆 在第一象
限的任意一点， 为 的内心，点 是坐标原点，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高三上·浙江杭州·阶段练习）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ．点P
在C上且位于第一象限，圆（ 与线段 的延长线，线段 以及x轴均相切， 的内切圆为圆 ．
若圆 与圆 外切，且圆 圆 的面积之比为9，则C的离心率为（ ）A． B． C． D．
题型 03 双曲线中焦点三角形的内切圆
【解题规律·提分快招】
一、双曲线焦点三角形内切圆的统一性质
【性质1】如图，已知 为双曲线 的左、右焦点，则 的内切圆与 轴
切于双曲线的顶点；且当 点为双曲线左支时，切点为左顶点；且当 点为双曲线右支时，切点为右顶
点．
【性质2】如图，双曲线 的标准方程为 ， 为双曲线 的左、右焦点， 为
双曲线 上异于实轴端点的任意一点， 的内切圆圆心为 ，且圆 与 三边相切于点
．设 ，则 ．
【注】性质2的证明逻辑上同样是利用“算两次”构造方程求解．同理可得， 为双曲线 的左支上异于
实轴端点的任意一点， ．若点 为双曲线 的上异于实轴端点的动点，
内心 的轨迹为 或 ， 且 ．
【性质3】如图，已知 为双曲线 的左、右焦点，过右焦点 作倾斜角为
的直线 交双曲线于 两点，若 的内切圆圆心分别为 ，半径分别为 ，则（1）在直线 上；（2） ．
二、双曲线焦点三角形内切圆的不同模型
单内切圆模型1：点P在右支，①内切圆切于实轴顶点；② ， ；
③ ；
④若 ，则
⑤若 ， ，则
单内切圆模型2：
， （ 为直线AB的倾斜角）
，单内切圆模型3：
单内切圆模型4：
单内切圆模型5：
双内切圆模型6： ， 分别为 的内切圆半径， 为直线 的倾斜角，直线与右支交于AB两点。
②
①
③ 在x=a上
④ ⑤
旁切圆模型7： 为双曲线上任意一点。
②P在右支时，Q的轨迹为
① ；
P在左支时，Q的轨迹为
③
④ ，焦点三角形内切圆内心与重心模型8：①若GM∥x轴，则 ；②若GM∥y轴，则
;
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·云南丽江·阶段练习）已知点 为双曲线 右支上一点， ， 分
别为双曲线的左右焦点，且 ， 为 的内心，若 ，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）双曲线 的右支上一点 在第一象限， ， 分别为
双曲线 的左、右焦点， 为 的内心，若内切圆 的半径为1，则 的面积等于（ ）
A．24 B．12 C． D．
3．（2024·河南郑州·模拟预测）已知第一象限内的点P在双曲线 （ ， ）上，点P
关于原点的对称点为Q， ， ，是C的左、右焦点，点M是 的内心（内切圆圆心），M在x轴
上的射影为 ，记直线 的斜率分别为 ， ，且 ，则C的离心率为（ ）
A．2 B．8 C． D．4．（23-24高三上·湖北襄阳·期末）已知 分别为双曲线 的左､右焦点， 为双曲线 的
右顶点. 过 的直线与双曲线 的右支交于 两点（其中点A在第一象限），设 分别为
的内心，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·山东济宁·三模）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，根据双曲线
的光学性质可知，过双曲线 上任意一点 的切线 平分 .直线 过
交双曲线 的右支于A，B两点，设 的内心分别为 ，若 与 的面
积之比为 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D． .
6．（2024·四川·模拟预测）已知双曲线 的左､右焦点分别为 ，离心率为2，
焦点到渐近线的距离为 .过 作直线 交双曲线 的右支于 两点，若 分别为 与
的内心，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．（23-24高三上·吉林长春·期末）设 分别是双曲线 的左右焦点，过 的直线与双曲线的
右支交于 两点， 的内心为 ，则下列结论正确的是（ ）
A．若 为正三角形，则双曲线的离心率为
B．若直线 交双曲线的左支于点 ，则
C．若 为垂足，则
D． 的内心 一定在直线 上
x2 y2
8．（24-25高三上·山东泰安·阶段练习）已知双曲线C: − =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 ，
a2 b2．过 的直线 交双曲线 的右支于 两点，其中点 在第一象限． 的内心为 ， 与 轴
的交点为 ，记 的内切圆 的半径为 ， 的内切圆 的半径为 ，则下列说法正确的有
（ ）
A．若双曲线渐近线的夹角为 ，则双曲线的离心率为
B．若 ，且 ，则双曲线的离心率为
C．若 ， ，则 的取值范围是
D．若直线 的斜率为 ， ，则双曲线的离心率为
三、填空题
9．（2024·山西晋中·一模）已知点 为双曲线 右支上的一点，点 ， 分别为双曲
线的左、右焦点，若M为 的内心，且 ，则双曲线的离心率为 ．
10．（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知双曲线 的左、右焦点分
别为 ，过 且斜率为 的直线 与双曲线 的左、右两支分别交于 两点（ 在第一象限），
的重心为 ，内心为 ，且 轴，则双曲线 的离心率为 ．
一、单选题
1．（2024·广东茂名·二模）若椭圆 的离心率为 ，两个焦点分别为 ，
， 为椭圆 上异于顶点的任意一点，点 是 的内心，连接 并延长交 于点
，则 （ ）
A．2 B． C．4 D．
2．（2024·江西·模拟预测）已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ， 为椭圆上异于长轴端点的动
点， ， 分别为 的重心和内心，则 （ ）
A． B． C．2 D．3．（24-25高三上·黑龙江·期中）若椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点 是椭圆C上一点，
且 在第一象限， 的内心为 ，直线 与直线 的斜率分别为 、 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三上·广东揭阳·阶段练习）已知椭圆的方程为 分别为椭圆的左、右
焦点， 为椭圆上在第一象限的一点， 为 的内心，直线 与 轴交于点 ，若 ，
则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·陕西·一模）已知 ， 分别为双曲线 的左､右焦点，且 ，点P为双曲线右
支上一点，M为 的内心，若 成立，则λ的值为（ ）
A． B． C．2 D．
6．（2024·河北·三模）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形，在数学
发展的历史长河中，它不断地闪炼出真理的光辉，这个两千多年的古老图形，蕴藏着很多性质．已知抛物
线 ，过焦点的弦 的两个端点的切线相交于点 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 点必在直线 上，且以 为直径的圆过 点
B． 点必在直线 上，但以 为直径的圆不过 点
C． 点必在直线 上，但以 为直径的圆不过 点
D． 点必在直线 上，且以 为直径的圆过 点
二、多选题
7．（23-24高三上·江苏连云港·期中）抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为阿基米德三
角形，该三角形以其深刻的背景、丰富的性质产生了无穷的魅力．设A，B是抛物线 上两个不
同的点，以A，B为切点的切线交于P点．若弦AB过 ，则下列说法正确的有（ ）
A．点P在直线 上 B．C． D． 面积的最小值为8
8．（2024高三下·江苏·专题练习）（多选）如图， 为阿基米德三角形.抛物线 上有两
个不同的点A(x ,y ),B(x ,y )，以A，B为切点的抛物线的切线 相交于点P.给出如下结论，其中
1 1 2 2
正确的为（ ）
A．若弦 过焦点，则 为直角三角形且
B．点P的坐标是
C． 的边 所在的直线方程为
D． 的边 上的中线与y轴平行（或重合）
9．（23-24高三上·四川乐山·期末）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米
德三角形，该三角形以其深刻的背景、丰富的性质产生了无穷的魅力．设抛物线 （ ），弦
过焦点 ， 为其阿基米德三角形，则下列结论一定成立的是（ ）
A．点 在抛物线 （ ）的准线 上
B．存在点 ，使得
C．
D． 面积的最小值为
三、填空题
10．（23-24高三上·山西吕梁·阶段练习）已知椭圆 ： ， ， 为其左、右焦点，
为椭圆 上任一点， 的重心为G，I是内心，且有 （其中 为实数），椭圆 的离心率
.
11．（2024·陕西咸阳·三模）已知 ， 是双曲线 的左，右焦点，点M是双曲线C在第一象
限上一点，设I，G分别为 的内心和重心，若IG与y轴平行，则 ．12．（23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）焦距为12的双曲线 的左右焦点分别为 ， ，
是双曲线右支上一点， 为 的内心， 交 轴于 点，若 ，且 ，则双曲
线的实轴长为
13．（23-24高三下·江西·阶段练习）圆锥曲线C的弦AB与过弦的端点A，B的两条切线的交点P所围成
的三角形PAB叫做阿基米德三角形，若曲线C的方程为 ，弦AB过C的焦点F，设 ，
， ，则有 ， ，对于C的阿基米德三角形PAB给出下列结论：①点P
在直线 上；② ；③ ；④ ，其中所有正确结论的序号为
．
14．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）双曲线的中心为原点 ，焦点在 轴上， 分别是双曲线的两个
焦点，过上焦点 作斜率 的直线 交双曲线上支于点 ,若 ， 的内心分别是 ，
且 ，则双曲线的离心率为 .
15．（23-24高三上·江苏扬州·阶段练习）已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ，右顶点
为 ，过 的直线交双曲线 的右支于 ， 两点（其中点 在第一象限内），设 ， 分别为 ，
的内心，则当 时， ； 内切圆的半径为 ．
16．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线C： 的一条渐近线与直线
垂直，记双曲线C的左、右焦点分别为 ，且 ，过 的直线与双曲线C的右支交于A，B
两点．记 和 的内心分别为M，N，则M，N的最短距离为 ．
