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第二章 二次函数
2.2 二次函数的图象与性质
第1课时 二次函数 y = x2 和 y =－x2 的图象与性质
学习目标：
1．会用描点法画出形如y＝x2和y＝－x2的二次函数图象，理解抛物线的概念；(重点)
2．通过观察图象能说出二次函数y＝x2和y＝－x2的图象特征和性质，并会应用．(难点)
自主学习
一、复习回顾
1.你还记得一次函数与反比例函数的图象吗？
① 一次函数 y = kx + b (k≠0)
2. 通常怎样画一个函数的图象？
3. 那么二次函数 y = x2 的图象是什么样的呢？你能动手画出它吗？
1合作探究
一、要点探究
知识点一： 二次函数 y=x2 和 y= -x2 的图象和性质
合作探究
你会用描点法画二次函数 y = x2 的图象吗?
1. 列表：在 y = x2 中自变量 x 可以是任意实数，列表表示几组对应值：
(2)在直角坐标系中描点.
(3)用光滑的曲线连接各点，便得到函数y = x2的图象.
观察思考
问题1 你能描述图象的形状吗？
问题2 图象与 x 轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？
问题3 当 x < 0 时，随着 x 值的增大，y 值如何变化？
当 x > 0 时呢？
问题4 当 x 取何值时，y 的值最小？最小值是什么？
问题5 图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
2合作探究
做一做：画出函数 y = －x2 的图象，并仿照 y = x2 的性质说出 y = －x2 有哪些性质？
要点归纳
典例精析
例1 若点 A(-3，y)，B(-2，y) 是二次函数 y = -x2图象上的两点，那么 y 与 y 的大小
1 2 1 2
关系是________.
例1变式 若点 A(-1，y)， B(2，y2) 是二次函数 y = -x2 图象上的两点，那么 y 与 y 的
1 1 2
大小关系是__________.
例2 已知：如图，直线 y＝3x＋4 与抛物线 y＝x2 交于A、B 两点，求出 A、B 两点的坐
标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积．
二、课堂小结
3当堂检测
1. 两条抛物线 y = x2 与 y = -x2 在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（ ）
A. 顶点坐标均为 (0，0) B. 对称轴均为 x = 0
C. 开口都向上 D. 都有 (0，0) 处取最值
2．若点 A(2，m) 在抛物线 y = x2 上，则点 A 关于 y 轴对称点的坐标是 ．
3．设正方形的边长为 a，面积为 S，试作出 S 随 a 的变化而变化的图象．
4. 已知二次函数 y = x2，若 x≥m 时，y 最小值为 0，求实数 m 的取值范围．
5.已知 是二次函数，且当 x ＞ 0时，y 随 x 的增大而减小，
则 a =________.
4参考答案
一、创设情境，导入新知
1.你还记得一次函数与反比例函数的图象吗？
① 一次函数 y = kx + b (k≠0)
2. 通常怎样画一个函数的图象？
列表、描点、连线.
二、小组合作，探究概念和性质
知识点一： 二次函数 y=x2 和 y= -x2 的图象和性质
合作探究
你会用描点法画二次函数 y = x2 的图象吗?
1. 列表：在 y = x2 中自变量 x 可以是任意实数，列表表示几组对应值：
2. 描点：根据表中 x， y 的数值在坐标平面中描点(x，y)
3. 连线：如图，再用光滑的曲线顺次连接各点，就得到 y = x2 的图象．
5观察思考
问题1 你能描述图象的形状吗？
二次函数 y = x2 的图象是一条抛物线，并且抛物线开口向上.
问题2 图象与 x 轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？
有，(0，0).
问题3 当 x < 0 时，随着 x 值的增大，y 值如何变化？
当 x > 0 时呢？
当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小；当 x > 0 时，y 随 x 的增大而增大.
问题4 当 x 取何值时，y 的值最小？最小值是什么？
x = 0 时，y = 0.
min
问题5 图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
合作探究
做一做：画出函数 y = －x2 的图象，并仿照 y = x2 的性质说出 y = －x2 有哪些性质？
1.图象是一条开口向下的抛物线.
2. 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而增大；
当 x > 0 时，y 随 x 的增大而减小；
当 x = 0 时，ymax = 0.
3.抛物线关于 y 轴对称.
4. 顶点坐标是（0，0）；是抛物线上的最高点.
要点归纳
6典例精析
例1 若点 A(-3，y)，B(-2，y) 是二次函数 y = -x2图象上的两点，那么 y 与 y 的大小
1 2 1 2
关系是___y＞y___.
2 1
例1变式 若点 A(-1，y)， B(2，y2) 是二次函数 y = -x2 图象上的两点，那么 y 与 y 的
1 1 2
大小关系是___y＞y___.
1 2
例2 已知：如图，直线 y＝3x＋4 与抛物线 y＝x2 交于A、B 两点，求出 A、B 两点的坐
标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积．
当堂检测
71.C
2.(-2，4)
3.
4.
解：∵二次函数 y = x2，
∴当 x = 0 时，y 有最小值，且 y最小值 = 0，
∵当 x≥m 时，y最小值 = 0，
∴ m≤0．
5.3
8
