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第二章 相交线与平行线
2.2 探索直线平行的条件
基础篇
一、单选题
1．（2023·全国·九年级专题练习）经过直线l外一点O的四条直线中，与直线l相交的直线
至少有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】C
【分析】根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行进行判断即可．
【详解】根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，得出如果有和直线l平
行的，只能是一条，
即与直线l相交的直线至少有3条，
故选：C．
【点睛】此题考查了经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，熟练掌握内容是
解题的关键．
2．（2023春·浙江·七年级专题练习）下列说法正确的有（ ）
A．相等的角是对顶角
B．直线外一点到已知直线的垂线段叫做点到该直线的距离
C．两条不相交的直线叫做平行线
D．在同一平面内，若直线 ， ，则直线
【答案】D
【分析】根据平行线的定义与性质、平行公理、对顶角的概念以及点到直线的距离的概念
进行判断即可．
【详解】解：A.相等的角不一定是对顶角，对顶角是在两直线相交的前提条件下形成的，
原说法错误，不符合题意；
B.从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，原说法错误，不符
合题意；
C.同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，原说法错误，不符合题意；D. 在同一平面内，若直线 ， ，则直线 ，说法正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了相交线与平行线的一些基本概念，对顶角，正确理解定义是解题
的关键．
3．（2022春·广东江门·七年级校考阶段练习）如图，点E在AC的延长线上，下列条件中
能判断 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行线的判定分别进行分析可得答案．
【详解】解：A、 ，根据内错角相等，两直线平行可得： ，故此选项不
符合；
B、 ，根据内错角相等，两直线平行可得： ，故此选项符合；
C、 ，根据内错角相等，两直线平行可得： ，故此选项不符合；
D、 ，根据同旁内角互补，两直线平行可得： ，故此选项不符
合．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握平行线的判定定理．
4．（2023春·全国·七年级专题练习）在同一个平面内的直线a，b，c，若 ， ，
则b与c的关系是（ ）
A．平行 B．垂直 C．相交 D．不能确定
【答案】A
【分析】根据“同一个平面内，平行于同一条直线的两条直线平行”分析判断即可．
【详解】解：根据“同一个平面内，平行于同一条直线的两条直线平行”可知，
在同一个平面内的直线a，b，c，若 ， ，
则 ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行公理推论，熟练掌握平行公理及其推论是解题关键．
5．（2021春·重庆九龙坡·七年级重庆市渝高中学校校考阶段练习）已知：如图所示，
，则下列说法正确的是（ ）A． 与 平行 B． 与 平行
C． 与 平行， 与 也平行 D．以上说法都不正确
【答案】A
【分析】据平行线的判定，逐项检查，选出符合题意的选项．
【详解】 ， （同位角相等，两直线平行）
由图和题意知，直线 与 被直线 所截，所得到的同位角 与 不一定相
等，所得到的内错角 与 不一定相等，所得的同旁内角 与 不一
定互补，故 与 不一定平行．
∴只有A选项符合题意．
故选： ．
【点睛】此题考查平行线的判定，熟悉平行线的判定方法能正确找得同位角、内错角、同
旁内角是关键．
6．（2023春·七年级单元测试）如图，工人师傅在工程施工中，需在同一平面内弯制一个
变形管道ABCD，使其拐角∠ABC＝150°，∠BCD＝30°，则（ ）
A．AB//BC B．BC//CD C．AB//DC D．AB与CD相交
【答案】C
【分析】根据同旁内角互补，两直线平行即可解答．
【详解】解：∵∠ABC＝150°，∠BCD＝30°
∴AB//DC．
故选C．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，掌握“同旁内角互补，两直线平行”成为解答本
题的关键．
二、填空题
7．（2023春·浙江·七年级专题练习）下列四个命题：
①对顶角相等；
②等角的补角相等；
③如果b//a，c//a，那么b//c；④如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等．
其中是真命题的有______．
【答案】①②③
【分析】利用对顶角的性质，余角和补角、平行公理及推理及平行线的性质逐一进行判断
后即可得到正确的结论．
【详解】①对顶角相等，正确；
②等角的补角相等，正确；
③根据平行公里的推论可知：如果b∥a，c∥a，那么b∥c，正确；
④如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补，故④错误．
其中是真命题的有①②③．
故答案为：①②③
【点睛】本题考查了对顶角的性质，余角和补角、平行公理及推理及平行线的性质，属于
基础定理，应重点掌握．
8．（2021·河南·九年级专题练习）小明把一副三角板摆放在桌面上，如图所示，其中边
， 在同一条直线上，可以得到________//________，依据是________．
【答案】 AC DE 内错角相等,两直线平行
【分析】利用直角三角形的两个直角构成内错角可得答案．
【详解】解：由题意得：
（内错角相等，两直线平行．）
故答案为： 内错角相等，两直线平行．
【点睛】本题考查的是平行线的判定，掌握内错角相等，两直线平行是解题的关键．
9．（2021春·全国·七年级专题练习）如图，若使 ，需要添加一个条件，则这个
条件是________________（填一个即可）．
【答案】 等
【分析】根据平行线的判定条件确定即可.【详解】解：由同位角相等，两直线平行可添加 或 ;
由内错角相等，两直线平行可添加 ；
由同旁内角互补，两直线平行可添加 或 .
故答案为 等
【点睛】本题考查了平行线的判定，在添加条件时一般选择较为简单的条件进行添加，熟
练掌握平行线的判定方法是解题的关键.平行线的判定方法有3个：同位角相等，两直线平
行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.
10．（2023春·浙江·七年级专题练习）如图，已知直线a、直线b和直线c均为直线l所截，
∠1=68°，∠2=68°，∠3=112°．
（1）因为∠1=68°，∠2=68°（已知），所以∠1=∠2（等量代换），所以________ ___
（同位角相等，两直线平行）．
（2）因为∠3+∠4=180°（邻补角定义)，∠3=112°，所以∠4=68°．
又因为∠2=68°，所以∠2=∠4（等量代换），所以_________ ____（同位角相等，两直线
平行）．
【答案】 a b b c
【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行直接作答即可；
（2）根据邻补角互补先求出∠4，再根据同位角相等，两直线平行作答即可．
【详解】解：（1）∵∠1=68°，∠2=68°，
∴∠1=∠2，
∴ ，
故答案为：a，b；
（2）∵∠3+∠4=180°，3=112°，
∴∠4=68°，
∵∠2=68°，
∴∠2=∠4，
∴ ，
故答案为：b，c．
【点睛】本题主要考查了同位角相等，两直线平行的知识，平行的判定：①同位角相等，
两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行；④垂直于同一直线的两条直线平行．
三、解答题
11．（2023春·全国·七年级专题练习）已知：如图，直线AB，CD被直线GH所截，∠1＝
112°，∠2＝68°，求证：AB//CD．
完成下面的证明．
证明：∵AB被直线GH所截，∠1＝112°，
∴∠1＝∠ ＝112°
∵∠2＝68°，
∴∠2+∠3＝ ，
∴AB// （ ）（填推理的依据）
【答案】∠3，180°，CD，同旁内角互补，两直线平行．
【分析】先根据对顶角相等求得∠3的度数，进而得到∠2+∠3=180°，即可判定AB∥CD．
【详解】证明：∵AB被直线GH所截，∠1=112°，
∴∠1=∠3=112°
∵∠2=68°，
∴∠2+∠3=180°，
∴AB∥CD，（同旁内角互补，两直线平行）
故答案为：∠3，180°，CD，同旁内角互补，两直线平行．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，对顶角的性质，掌握两条直线被第三条所截，如
果同旁内角互补，那么这两条直线平行是解题的关键．
12．（2022春·广西钦州·七年级校考阶段练习）根据下列语句画出图形：
（1）过线段AB的中点C，画CD⊥AB；
（2）点P到直线AB的距离是3cm，过点P画直线AB的垂线PC；
（3）过三角形ABC内的一点P，分别画AB，BC，CA的平行线．
【答案】见解析
【分析】（1）根据线段中点和垂直的定义画图；
（2）根据点到直线的距离画图；
（3）根据平行线的性质画图．【详解】解：（1）如图所示，AC=CB，CD⊥AB；
（2）如图所示，点P到直线AB的距离是3cm， AB⊥PC；
（3）如图所示，PD∥AB，PE∥BC，PF∥CA．
．
【点睛】本题考查了基本作图，在作垂线、平行线时可以不用直尺和圆规作图，可以利用
三角板．
提升篇
一、填空题
1．（2023春·七年级课时练习）如图，在条件：① ；② ；③
；④ 中，能判断 的条件是___．
【答案】①
【分析】根据平行线的判定定理解答．
【详解】 ，
．（内错角相等，两直线平行）由② ；③ ；④ ，都不能判断 ，
故答案为：①．
【点睛】此题考查平行线的判定定理，熟记判定定理是解题的关键．
2．（2023春·七年级课时练习）如图，点E、F分别是梯形 两腰的中点，联结 、
，如果图中 的面积为1.5，那么梯形 的面积等于___．
【答案】6
【分析】过点A作 于H，交 于G，根据梯形中位线定理得到
，根据三角形的面积公式、梯形的面积公式计算，得到答案．
【详解】解：过点A作 于H，交 于G，如图，
∵点E、F分别是梯形 两腰的中点，
∴ 是梯形 的中位线，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：6．
【点睛】本题考查的是梯形的中位线、三角形的面积计算，掌握梯形中位线定理是解题的
关键．
3．（2023春·七年级课时练习）在同一平面内有2022条直线 ，如果 ，
， ， ……那么 与 的位置关系是_____________．【答案】垂直
【分析】根据垂直的定义和平行线的性质可得依次是垂直，垂直，平行，平行，4个一循
环，依此可得 ， 的位置关系．
【详解】解：∵在同平面内有2022条直线 ，若 ， ， ，
……
∴ 与 依次是垂直，垂直，平行，平行，…，
∵ …1，
∴ 与 的位置关系是垂直．
故答案为：垂直．
【点睛】本题考查垂线、平行线的规律问题，解题的关键是找出规律．
4．（2023春·七年级课时练习）如图，a、b、c三根木棒钉在一起， ，
现将木棒a、b同时顺时针旋转一周，速度分别为18度/秒和3度/秒，两根木棒都停止时运
动结束，则___________秒后木棒a，b平行．
【答案】2或14或50或110
【分析】设t秒后木棒a，b平行，分四种情况讨论：当 秒时，当 时，
当 时，当 时，即可求解．
【详解】解：设t秒后木棒a，b平行，根据题意得：
当 秒时， ，
解得：t=2；
当 时， ，
解得：t=14；
当 时，木棒a停止运动，
当 时， ，
解得：t=-10；（不合题意，舍去）当 时， 或 ，
解得：t=50或t=110；
综上所述，2或14或50或110秒后木棒a，b平行．
故答案为：2或14或50或110
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，一元一次方程的应用，明确题意，利用分类讨论
思想解答是解题的关键．
5．（2023春·浙江·七年级专题练习）下列说法中：
①若对于任意有理数x，则 存在最大值为6；
②如果关于x的二次多项式 的值与x的取值无关，则
的值为8；
③在同一平面内，一条直线平行于两条平行线中的一条，则这条直线也平行于另一条；
④在同一平面内，四条直线两两相交，如果最多有m个交点，最少有n个交点，则 的
值为5．
其中正确的有_______（填序号）．
【答案】
【分析】分三种情况去绝对值，从而可判断①；根据关于x的二次多项式
的值与x的取值无关，先求解 ， ，从而可判断②；根据平
行公理可判断③，在同一平面内，四条直线两两相交，如果最多有6个交点，最少有1个
交点，可判断④，从而可得答案.
【详解】解： ，在数轴上表示数x的点到表示 和4点的距
离之差，
当 时， ，
当 时， ，
此时 ，
当 时，
，
综上：这个距离之差最大值为6，故①正确；
∵ ，
而关于x的二次多项式 的值与x的取值无关，
∴ ， ，
∴ ， ，∴ ，故②错误；
在同一平面内，一条直线平行于两条平行线中的一条，则这条直线也平行于另一条，
这是平行公理的推论，故③正确；
在同一平面内，四条直线两两相交，如果最多有m个交点，最少有n个交点，
则 ， ，
∴ ，故④正确．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是绝对值的化简，整式的加减运算，多项式中不含某项的含义，平行
公理的应用，相交线的交点问题，掌握以上基础知识是解本题的关键.
二、解答题
6．（2023春·七年级课时练习）如图，已知点O在直线AB上，射线OE平分∠AOC，过点
O作OD⊥OE，G是射线OB上一点，连接DG，使∠ODG+∠DOG=90°．
(1)求证：∠AOE=∠ODG；
(2)若∠ODG=∠C，试判断CD与OE的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)CD OE，理由见解析
【分析】（1）由OD⊥OE得到∠EOC+∠COD=∠AOE+∠DOG=90°，再利用等角的余角相等
即可证明∠AOE=∠ODG；
（2）证明∠EOC=∠C，利用内错角相等两直线平行，即可证明CD OE．
【详解】（1）证明：∵OD⊥OE，
∴∠EOC+∠COD=∠AOE+∠DOG=90°，
∵∠ODG+∠DOG=90°，
∴∠AOE=∠ODG；
（2）解：CD OE．理由如下：
由（1）得∠AOE=∠ODG，
∵射线OE平分∠AOC，
∴∠AOE=∠EOC，∵∠ODG=∠C，
∴∠EOC=∠C，
∴CD OE．
【点睛】本题考查了角平分线定义，垂直的定义，平行线的判定，等角的余角相等，正确
识图是解题的关键．
7．（2023春·全国·七年级专题练习）如图， 于 ， 于 ，
（1）求证： ；
（2）若 ， 平分 ，求证： 平分 ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）依据CD⊥AB于D，EF⊥AB于F，可得∠BDC=∠EFB=90°，进而得到
EF∥CD；
（2）依据EF平分∠AED，可得∠AEF=∠DEF，再根据平行线的性质，即可得到
∠AEF=∠ACD，∠DEF=∠CDE=∠BCD，即可得出∠ACD=∠BCD，可得CD平分∠ACB．
【详解】解：（1）证明：∵
∴
∵
∴
∵
∴
（2）证明：∵ 平分
∴
∵ （由（1）可知）
∴ ，
∵
∴
则
∴ 平分
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，解决问题的关键是运用等量
代换进行推导．
8．（2023春·七年级课时练习）动手操作：如图①：将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．
(1)若∠BCD＝150°，求∠ACE的度数；
(2)试猜想∠BCD与∠ACE的数量关系，请说明理由；
(3)若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角板DCE，试探究当 时，∠BCD等
于多少度，并简要说明理由．
【答案】(1)30°
(2)∠BCD＋∠ACE＝180°；理由见解析
(3)当∠BCD＝120°或60°时， ；理由见解析
【分析】（1）依据∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD，即可得到∠BCD+∠ACE的度数；
（2）依据∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD，即可得到∠BCD+∠ACE的度数；
（3）分两种情况讨论，依据平行线的判定，即可得到当∠BCD等于120°或60°时，
．
【详解】（1）解：∵∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD，
∴∠BCD+∠ACE
=90°+∠ACD+∠ACE
=90°+90°
=180°
∵∠BCD=150°，
∴∠ACE=180°-150°=30°．
（2）∠BCD+∠ACE=180°，理由如下：
∵∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD，
∴∠BCD+∠ACE
=90°+∠ACD+∠ACE
=90°+90°
=180°（3）当∠BCD＝120°或60°时， ．
如图1所示，根据同旁内角互补，两直线平行，
当∠B＋∠BCD＝180°时， ，
∴此时∠BCD＝180°－∠B＝180°－60°＝120°；
如图2所示，根据内错角相等，两直线平行，
当∠BCD＝∠B＝60°时， ．
综上所述，∠BCD=60°或120°.
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质定理和判定定理，
并且能够准确识图，是解题的关键．
