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2.2 二次函数的图象与性质
第 1 课时 二次函数 y=x2和 y=-x2的图象与性质
1．会用描点法画出形如y＝x2和y＝－x2的二次函数图象，理解抛物线的概念；(重点)
2．通过观察图象能说出二次函数y＝x2和y＝－x2的图象特征和性质，并会应用．(难
点)
一、情境导入
学生观看图片
雨后天空的彩虹、河上架起的拱桥等都会形成一条曲线．
问题1：这些曲线能否用函数关系式表示？
问题2：如何画出这样的函数图象？
二、合作探究
探究点：二次函数y＝x2和y＝－x2的图象与性质
【类型一】 二次函数 y ＝ x 2 和 y ＝－ x 2 的图象的画法及特点
在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象：
(1)y＝x2；(2)y＝－x2.
根据图象分别说出抛物线(1)(2)的对称轴、顶点坐标、开口方向及最高(低)点坐标．
解析：利用列表、描点、连线的方法作出两个函数的图象即可．
解：列表如下：
x y ) －2 －1 0 1 2
y＝x2 4 1 0 1 4
y＝－x2 －4 －1 0 －1 －4
描点、连线可得图象如下：
(1)抛物线y＝x2的对称轴为y轴，顶点坐标为(0，0)，开口方向向上，最低点坐标为
(0，0)；
(2)抛物线y＝－x2的对称轴为y轴，顶点坐标为(0，0)，开口方向向下，最高点坐标为
(0，0)．
方法总结：画抛物线y＝x2和y＝－x2的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
【类型二】 二次函数 y ＝ x 2 和 y ＝－ x 2 的图象的增减性
二次函数y＝(m＋1)x2的图象过点(－2，4)，则m＝________，这个二次函数的解
析式为________，当x<0，y随x的增大而________(填“增大”或“减小”)；当x>0，y随
x的增大而________(填“增大”或“减小”)．
解析：将点(－2，4)代入y＝(m＋1)x2中得出m＝0.所以二次函数解析式为y＝x2.故当
x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大．故答案分别为0；y＝x2；减
小；增大．
方法总结：此类题的关键在于确定用二次函数的解析式，根据图象性质分析函数值的
增减性得出答案．
【类型三】 二次函数 y ＝ x 2 与一次函数的综合
已知：如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2交于A、B两点，求出A、B两点的坐
标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积．
解析：联立两解析式构成方程组方程组的解即为交点坐标．
解：由题意得解得或所以直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2的交点坐标为A(4，16)和B(－
1，1)．如图，连接AO、BO.∵直线y＝3x＋4与y轴相交于点C(0，4)，∴CO＝4.∴S ＝
△ACO
·CO·4＝8，S ＝×4×1＝2，∴S ＝S ＋S ＝10.
△BOC △ABO △ACO △BOC
方法总结：解本题的关键是求直线和抛物线的交点，可联立方程求解．
三、板书设计
二次函数y＝x2和y＝－x2的图象与性质
1．二次函数y＝x2和y＝－x2的图象的画法及特点
2．二次函数y＝x2和y＝－x2的图象的性质
3．二次函数y＝x2和y＝－x2的应用
在教学中主要采用了体验探究的教学方式，在教师的配合引导下，让学生自己动手作图，
观察、归纳出二次函数的性质，体验知识的形成过程，力求体现“主体参与、自主探索、
合作交流、指导引探”的教学理念.
