文档内容
2.3.1二次根式（性质意义与乘除运算）-北师大版(2025)数学八年级上册
一、选择题
1．（2023八上·滕州开学考） 若式子√x−1在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x<1 B．x>1 C．x≤1 D．x≥1
√a
2．（广东省揭阳真理中学2024-2025学年八年级上学期第一次训练数学试题）当a<0,b<0时，可把
b
化简为（ ）
1 1 1 √a
A． √ab B．− √ab C．− √−ab D．b
b b b b
√x+1
3．（2023八上·六安期中）函数y= 的自变量的取值范围是（ ）
x
A．x≥−1 B．x≥−1且x≠0
C．x>0 D．x>−1且x≠0
4．（2024八上·高州开学考）若√8与最简二次根式√a+1是同类二次根式，则a的值为（ ）
A．7 B．9 C．2 D．1
√ a+1
5．（2024八上·上海市月考）化简二次根式a − ，结果是（ ）
a2
A．√a+1 B．−√a−1 C．−√−a−1 D．−√−a+1
6．（2020八上·青神期中）若 √x−2+|y+7|+(z−7) 2=0 ，则 x−y+z 的平方根为（ ）
A．±2 B．4 C．2 D．±4
7．（2025八上·石景山期末）实数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简√m2-|m-n|的
结果是（ ）
A．n B．-n C．2m-n D．-2m+n
8．（2024八上·上海市月考）当x<0，y<0时，在下列各式的计算中，正确的是（ ）
A．√x2y5=x y2√xy B．√x5y3=−x2y√xy
C．√4x3y=2x√−xy D．√−9x4 y=−3x2√y
二、填空题
1 / 139．（2023八上·杨浦期中）已知mn<0，化简：√−m2n= ．
10．（2022八上·闵行期中）化简：√(π−3) 2= ．
√6×√8
11．（2021八上·雁塔期末）计算： = .
√2
12．（2024八上·房山期末）计算(√5) 2 −(1−3√2)(1+3√2)= ．
13．（2018八上·顺义期末）计算： (√3−√2)
❑2
= .
14．（2023八上·太原月考）已知√2.1≈1.449，√21≈4.573，则√210≈ .
三、计算题
√ 2 1
15．（2019八上·松江期中）计算： 2 ÷ √6m·√8m3
3m 6
√b √a3
16．（2022八上·昌平期中）计算： × ÷√ab
a b
1√x2
17．（2023八上·闵行期中）计算：3√x2 y× ❑÷2√x3 y2(x>0，y>0)
❑ 6 y ❑ ❑
√ 1 √2 √ 3
18．（2023八上·浦东期中）计算：3 1 ÷ ×
7 2 14
四、解答题
19．（2020八上·万州期中）已知 a ， b 两数在数轴上的表示如图所示，化简：
√(a+2) 2−√(b−2) 2+√(a+b) 2 .
20．（2024八上·怀化期末）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题
2
化简：(√2−3x) −|1−x|．
解：隐含条件2−3x≥0，
2
解得x≤ ，
3
∴1−x>0，
∴原式=(2−3x)−(1−x)=2−3x−1+x=1−2x
【启发应用】
2 / 13（1）按照上面的解法，试化简√(x−π) 2−(√3−x) 2（结果保留π）
【类比迁移】
（2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：√a2−√(a+b) 2−|b−a|
（ 3 ） 已 知 a ， b ， c 为 △ABC的 三 边 长 ． 化 简 ：
√(a+b+c) 2+√(a−b−c) 2−√(b−a−c) 2+√(c−b−a) 2
21．（2023八上·高州月考）如图，实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简
√a2+|b−a|−√3 (a+b) 3−√(b−c) 2的结果．
√x−2 √x−2
22．（2023八上·福州月考）已知 = 成立。
√3−x 3−x
（1）填空：x的取值范围是 .
√x2−4x+4
（2）化简：
x2−6x+9
23．（2023八上·栾城期中）实数a与b满足b=√4−a.
（1）写出a与b的取值范围；
（2）已知√3b是有理数，
①当a是正整数时，求b的值；
②当a是整数时，若将符合条件的a的值从大到小排列，求排在第3个位置和第11个位置的a.
24．（2023八上·兰州期中）我们规定用（a，b）表示一对数对，给出如下定义：记m＝√a，n＝√b
（a＞0，b＞0），将（m，n）与（n，m）称为数对（a，b）的一对“对称数对”．例如（4，1）的
一对“对称数对”为（2，1）与（1，2）．
（1）数对（25，4）的一对“对称数对”是 和 ；
（2）若数对（x，2）的一对“对称数对”的一个数对是（√2，3），求x的值．
五、实践探究题
3 / 13√ 2 √8 √22×2 √2 2
25．（2019八上·陕西月考）先来看一个有趣的现象： 2 = = =2 ，这里根号里
3 3 3 3 3
前后2经过适当的演变，竟“跑”到了根号外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性
√ 3 √3 √ 4 √ 4
质的数还有许多，如 3 =3 ， 4 =4
8 8 15 15
√ 5
（1）猜想： 5 = ，并验证你的猜想。
24
（2）你能只用一个正数n(n≥2)来表示含有上述规律的等式吗?写出此等式，并证明。
（3）请再写出1个具有“穿墙”性质的数。
26．（2016八上·景德镇期中）探究题：
√ 3 2 3
√32 =3， √0.52 =0.5， √(−6) 2 =6， (− ) = ， √02 =0．
4 4
根据以上算式，回答：
（1）√a2 一定等于a吗？如果不是，那么 √a2 = ；
（2）利用你总结的规律，计算：
①若x＜2，则 √(x−2) 2 = ；
②√(3.14−π) 2 = ．
（3）若a，b，c为三角形的三边长，化简： √(a+b−c) 2 + √(b−c−a) 2 + √(b+c−a) 2 ．
4 / 13答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵式子√x−1在实数范围内有意义，
∴x-1≥0，
解得：x≥1，
故答案为：D.
【分析】根据二次根式有意义的条件求出x-1≥0，再求解即可。
2．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
3．【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x+1≥0，且x≠0，
解得：x≥-1且x≠0.
故答案为：B.
【分析】根据二次根式成立的条件及分式的分母不等于0即可得出自变量的取值范围。
4．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：∵√8=2√2，且√8与最简二次根式√a+1是同类二次根式
∴√a+1=√2
∴a+1=2
∴a=1
故选：D．
【分析】同类二次根式是指化简后被开方数相同，将√8先化简，然后根据同类二次根式的定义列方
程解答即可.
5．【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简
6．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；偶次方的非负性；绝对值的非负性
5 / 13【解析】【解答】∵√x−2+|y+7|+(z−7) 2=0 ，
{x−2=0
∴ y+7=0 ，
z−7=0
{
x=2
解得 y=−7 ，
z=7
∴x−y+z=2−(−7)+7=16 ，
∴±√16=±4 ；
故答案为：D．
【分析】根据二次根式的性质、绝对值以及偶次幂的非负性，计算得到x、y和z的值，计算得到代
数式的值即可。
7．【答案】B
【知识点】无理数在数轴上表示；二次根式的性质与化简
8．【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A．∵x<0，y<0，
∴x2y5<0，
∴√x2y5无意义，故A错误；
B．∵x<0，y<0，
∴x5y3＞0
∴√x5y3=√x4 y2 ⋅xy=|x2y|√xy=−x2y√xy，故B正确；
C．∵x<0，y<0，
∴4x3y＞0
∴√4x3y=√4x2 ⋅xy=|2x|√xy=−2x√xy，故C错误；
D．∵x<0，y<0，
∴-9x4 y＞0
∴√−9x4 y=√9x4 ⋅(−y)=|3x2|⋅√−y=3x2√−y，故D错误．
故选：B．
6 / 13【分析】由x<0，y<0判断出各项中被开方数有无意义，若有意义分别化简，再判断即可.
9．【答案】m√−n
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】∵mn<0，
∴√-m2n要有意义，即-m2n≥0，
∴n≤0，
∴m>0，n<0，
∴√-m2n=|m|√-n=m√-n；
故答案为：m√-n.
【分析】根据二次根式性质，判断m、n的正负值，化简即可解得。
10．【答案】π−3
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵π>3，
∴π−3>0；
∴√(π−3) 2=π−3.
{a（a＞0）
【分析】由√a= 0（a=0） 进行解答即可.
-a（a＜0）
11．【答案】2√6
【知识点】二次根式的乘除法
√6×8
【解析】【解答】解：原式= =√24=2√6 ，
2
故答案为： 2√6 .
【分析】先进行二次根式的乘除法的运算，再将其化简为最简二次根式即可.
12．【答案】22
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：原式=5−[12−(3√2) 2]=5−(−17)=22，
7 / 13故填：22．
【分析】根据二次根式的性质和运算法则，平方差公式分别运算，最后相减即可得到结果.
13．【答案】5−2√6
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】 (√3−√2) 2 =3－2 √6 +2=5－2 √6 .
故答案为：5－2 √6.
【分析】先依据完全平方公式和二次根式的乘法法则进行计算，最后，再依据实数的加减法则进行
计算即可.
14．【答案】14.49
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】根据题意
√210=√2.1×100=10√2.1≈10×1.449=14.49
故答案为： 14.49
【分析】根据二次根式的运算法则进行计算。
√ 2 6
15．【答案】解：原式 =2 · ·2m√2m
3m √6m
=8√2m
故答案为： 8√2m
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【分析】先进行分母有理化，然后进行二次根式的乘除运算即可.
b a3
16．【答案】解：∵ ≥0， ≥0，ab≥0，
a b
∴a，b同号，且a≠0，b≠0，
√b √a3
× ÷√ab
a b
√b a3
= × ÷√ab，
a b
=√a2÷√ab，
√ a2
= ，
ab
8 / 13√a
= ，
b
√ab
= ；
|b|
√ab √ab
∴当b<0 时，原式=− ；当b>0 时，原式= ．
b b
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【分析】利用二次根式的性质及二次根式的乘除法的计算方法求解即可。
1 √ x2
17．【答案】解：原式=(3× ÷2) x2 y⋅ ❑÷x3 y2
6 ❑ y ❑ ❑
1 √ x2 1
= x2 y⋅ ❑⋅
4 ❑ y x3 y2
❑ ❑
1 √ x
=
4 y2
❑
√x
=
4 y
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【分析】根据二次根式的乘除法法则进行计算。把被开方数相乘除，有理因数相乘除，再
化简即可。
√ 1 √2 √ 3
18．【答案】解：3 1 ÷ ×
7 2 14
√8 √ 3
=3 ×√2×
7 14
√8×2 3
=3 ×
7 14
6√6
= ．
7
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【分析】首先把带分数转化成假分数，把除法转化为乘法，然后进行根式的乘法运算。
19．【答案】解：根据题意得， a+2>0，b-2<0，a+b<0
∴√(a+2) 2−√(b−2) 2+√(a+b) 2
=a+2−(2−b)−(a+b)
=a+2−2+b−a−b
9 / 13=0
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】根据数轴上a、b的位置，分别判断出a+2，b-2，a+b的正负性，再根据二次根式
的性质化简解题即可。
20．【答案】解：（1）隐含条件3−x≥0，解得x≤3，
∴x−π<0，
∴√(x−π) 2−(√3−x) 2
=|x−π|−(3−x)
=π−x−3+x
=π−3；
（2）由数轴可知，a<0|b|，
∴a+b<0,b−a>0，
∴√a2−√(a+b) 2−|b−a|
=|a|−|a+b|−(b−a)
=−a−[−(a+b)]−b+a
=−a+a+b−b+a
=a；
（3）∵a,b,c为△ABC的三边长，
∴a+b>c，a+c>b，b+c>a，a>0,b>0,c>0，
∴a+b+c>0，a−b−c<0，b−a−c<0，c−b−a<0，
∴√(a+b+c) 2+√(a−b−c) 2−√(b−a−c) 2+√(c−b−a) 2
=|a+b+c|+|a−b−c|−|b−a−c|+|c−b−a|
=a+b+c+(b+c−a)−(a+c−b)+(a+b−c)
=a+b+c+b+c−a−a−c+b+a+b−c
=4b
【知识点】二次根式的性质与化简；三角形三边关系
【解析】【分析】（1）先求出x≤3，然后运用二次根式的性质化简合并解题即可；
10 / 13（2）根据数轴得到a<0|b|，即可得到a+b<0,b−a>0，然后化简二次根式合并解题即可；
（3）利用三角形三边关系得到a+b>c，a+c>b，b+c>a，a>0,b>0,c>0，继而可得a+b+c>0，
a−b−c<0，b−a−c<0，c−b−a<0，然后化简二次根式合并解题即可．
21．【答案】解：根据图示，可得：a0
解得：2≤x<3，
故答案为：2≤x<3；
{x−2≥0
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件得到 ，解不等式组即可；
3−x>0
（2）把二次根式的分子和分母因式分解，然后根据x的取值范围计算即可．
{4−a≥0
23．【答案】（1）解：由题可知： ，解得：a≤4，b≥0；
b≥0
（2）解：①∵a≤4，且a是正整数时，
∴a可以取1，2，3，4，
又∵b=√4−a
11 / 13∴b的对应值分别为：√3，√2，0，
又∵√3b是有理数，
∴b=√3或0；
②∵√3b是有理数，a是整数，
∴b是√3的整数倍，
a可能取值为：4，3，2，1，0，−1，−2，−3，−4，−5⋯
b的对应值为：0，1，√2，√3，√4，√5，√6，√7，√8，3⋯
∵b是√3的整数倍，
∴b=0，√3，2√3，3√3⋯
∴第3个数b=2√3，第11个数b=10√3，
又∵b=√4−a
∴即4-a=b2=(2√3) 2或4−a=b2=(10√3) 2，解得：x=−8或-296，
综上，第3个位置上的x=−8，第11个位置上的x−296.
【知识点】无理数的大小比较；二次根式有意义的条件
【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质及等式性质可列出不等式组，解不等式组即可求出答案；
（2）①根据正整数的定义可得a取1，2，3，4，则b的对应值分别为：√3，√2，0，再根据有理数
的定义即可求出答案.
②根据有理数，整数的性质可得b是√3的整数倍，则b=0，√3，2√3，3√3⋯，所以第3个数
b=2√3，第11个数b=10√3，根据b=√4−a，即4-a=b2=(2√3) 2或4−a=b2=(10√3) 2，解得：
x−8或-296，即可求出答案.
24．【答案】（1）（5，2）；（2，5）
（2）解：由题意可得x＝32＝9．
【知识点】二次根式的定义；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
√25=5，√4=2
则数对（25，4）的一对“对称数对”是（5，2）和（2，5）
故答案为：（5，2），（2，5）
【分析】（1）根据数对的定义，结合有理数的二次根式即可求出答案；
（2）根据数对的定义即可求出答案.
12 / 13√ 5 √ 5 √125 √52×5 √ 5 √ 5
25．【答案】（1）5 ；证明：∵ 5 = = =5 故答案为：5
24 24 24 24 24 24
√ n √ n √ n √n3-n+n √ n3 √ n
（2） n =n 证明： n = = =n ；
n2-1 n2-1 n2-1 n2-1 n2-1 n2-1
（3）解：当n=7时
√ 7 √ 7
7 =7
48 48
【知识点】二次根式的性质与化简；探索数与式的规律
√ n √ n
【解析】【分析】（1）根据阅读材料，观察可得出等式的规律为 n =n ，根据此规律
n2-1 n2-1
可得猜想。
（2）根据（1）中的规律，进行证明即可。
（3）取一个正整数n的值代入就可得到结果。
26．【答案】（1）|a|
（2）2﹣x；π﹣3.14
（3）解：∵a+b＞c，b＜c+a，b+c＞a，
∴a+b﹣c＞0，b﹣c﹣a＜0，b+c﹣a＞0，
∴原式=|a+b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|b+c﹣a|
=a+b﹣c﹣（b﹣c﹣a）+（b+c﹣a）
=a+b+c
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：（1.）由题意可知： √a2 =|a|，
（2.）①当x＜2时，
∴x﹣2＜0，
∴√(x−2) 2 =|x﹣2|=﹣（x﹣2）=2﹣x，
②∵3.14﹣π＜0，
∴√(3.14−π) 2 =|3.14﹣π|=π﹣3.14，
故答案为：（1）|a|；（2）①2﹣x；②π﹣3.4
【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．
13 / 13
