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2.2 二次函数的图象和性质
第4课时 二次函数 y = a(x-h)2+k 的图象与性质
教学内容 第4课时 二次函数 y = a(x-h)2+k 的图象与性质 课时 1
1.引导学生运用观察、分析、比较、抽象、类比、概况等方法，探究二次函数
y＝a(x－h)2＋k的图象和它的开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性等；
核心素养
2．掌握二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象的平移规律；
目标
3.向学生渗透事物总是不断运动变化和发展的观点，进一步培养学生数形结合
的思想、动手操作能力和逻辑思维能力．
1．掌握二次函数y＝ax2与y＝a(x－h)2＋k(a≠0)图象之间的联系；
知识目标 2．能灵活运用二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的知识解决简单的问题．
教学重点 掌握二次函数y＝ax2与y＝a(x－h)2＋k(a≠0)图象之间的联系.
教学难点 能灵活运用二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的知识解决简单的问题.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、情境 一、创设情境，导入新知
导入 1. 说出下列函数图象的开口方向、对称轴、顶 设计意图：以题组的形式
点、最值和增减变化情况: 进行引入，不仅复习回顾
了以前学过的函数的图象
和性质，也为学习新知奠
定基础.
2. 请说出二次函数 y = 2x2 的开口方向、顶点坐
标、对称轴及最值？
3. 把 y = 2x2 的图象
向下平移 个单位 →
向左平移3个单位 →
4. 请猜测一下，二次函数 y = 2(x + 3)2 - 的
图象是否可以由 y = 2x2 平移得到？
师生活动：学生自主解答问题，教师做好提示、
点评．
二、探究 二、小组合作，探究概念和性质
新知 知识点一：二次函数 y = a(x - h)2 + k 的图象
设计意图：学生自己动手
和性质
画图象，根据图象更容易
例1 画出函数 y = 2(x + 3)2 - 的图象，并指
找到它们的开口方向、对
出它的开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性.
称轴、顶点坐标和最值，
也更容易发现这几个二次
师生活动：学生自主列表画图，然后小组讨论问
函数图象之间的位置关
题
系.
解：先列表：
1再描点、连线.
1.开口方向： ；
2.对称轴： ；
3.顶点坐标是 ；
4.增减性：_______________________________.
想一想：函数 y = a(x - h)2 + k (a＜0) 的性质
是什么？
师生活动：每组找出一位同学展示自己所总结的
结果．
答案：
1. 向上；
2. 直线 x = -3；
3.(−3，−0.5)；
4.当 x＜-3 时，y 随 x 增大而减小；当 x＞-3
时，y 随 x 增大而增大.
设计意图：培养自主学习
习惯，类比 y = a(x -
试一试 画出二次函数 的图
h)2+k a＞0性质的方法，
象，并填空.
添加a＜0的实例，整体
1.开口方向： ；
加深y = a(x - h)2+k 的
2.对称轴： ；
性质理解，体会数形结合
3.顶点坐标是 ；
思想.
4.增减性：
___________________________________________
_________________.
想一想：函数 y = a(x - h)2 + k (a＜0) 的性质
是什么？
师生活动：每组找出一位同学展示自己所总结的
结果．
答案：
1. 向下；
2. 直线 x = -1；
3. (−1，−1)；
4.当 x＜-1 时，y 随 x 增大而增大；
当 x＞-1 时，y 随 x 增大而减小
归纳总结 设计意图：培养学生归
纳、整理知识的意识.注
意将图象与表达式进行联
系，
让学生理解知识点.
师生活动：学生举手回答问题，出现错误及时解
释指正.
典例精析
例 2 已知抛物线 y＝a(x − 3)2 + 2 经过点
2(1，− 2)．
(1) 指出抛物线的对称轴；
(2) 求 a 的值；
(3) 若点 A(m，y)、B(n，y) (m＜n＜3) 都在该抛
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物线上，试比较 y 与 y 的大小．
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师生活动：
1.两名学生板演，其余学生在练习本上做题。
2小组内批阅。
3.对板演的内容进行评价纠错。
解：(1) 由 y＝a(x﹣3)2 + 2 可知其顶点为 (3，
2)，
对称轴为直线 x＝3.
(2) ∵ 抛物线 y＝a(x﹣3)2 + 2 经过点(1，-2)，
∴ -2＝a(1 - 3)2 + 2，
∴ a＝-1.
(3)∵ y＝﹣(x﹣3)2 + 2，
∴ 此函数的图象开口向下，
当 x＜3 时，y 随 x 的增大而增大.
∵ 点 A(m，y)，B(n，y) (m＜n＜3) 都在该抛物
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线上，
∴ y＜y.
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设计意图：
经过前期的探索,学生完
知 识 点 二 ： 二 次 函 数 y=a(x + h)2+k 与 全有能力推测出表达式的
变化会引起图象的何种变
y=ax2(a≠0) 的关系
化.
画一画，填出下表：
因此,先让学生合情推
理，再画图验证，培养学
生的合情推理能力和分析
能力,有利于培养学生的
数学直觉和感悟能力.利
用图象,直观地研究二次
函数的性质，可以培养学
生用数形结合的方法思
考,积累研究函数性质的
师生活动：学生用描点法画出二次函数的图象，
经验.最后，总结规律，
然后同组的同学比较所画的图象是否一样，根据
有效地让学生从感性认识
自己所画出的函数图象，指出其开口方向、对称
上升到了理性认识，并形
轴和顶点坐标，并观察其增减性.
成自己对本节课重点内容
的理解.
y = 2x2怎样移动可以得到 y = 2(x + 3)2 - ？
师 生 活 动 ： 老 师 播 放
PPT，
让学生观察，然后小组谈
论，
探讨平移的方法.
例3 怎样移动抛物线 y = 2x2 就可以得到抛物线
y = 2(x + 3)2 -
3归纳总结
二次函数 y = ax2 与 y = a(x±h)2 ± k 的关系
设计意图：巩固二次函数
平移的方法，加强对其的
理解.
简记为：
上下平移，常数项上加下减；
左右平移，自变量左加右减.
二次项系数 a 不变.
链接中考
1. (哈尔滨)将抛物线 y =﹣5x2 + 1 向左平移 1
个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，所得到 设计意图：通过画图初步
的抛物线为 ( ) 感受 a，h，k 的正负对
A．y =﹣5(x + 1)2﹣1 B．y =﹣5(x﹣1)2﹣1 图象的影响.
C．y =﹣5(x + 1)2 + 3 D．y =﹣5(x﹣1)2 + 3
答案：A
师生活动：让学生尝试解答，并互相交流、总
结，归纳解题步骤，教师结合学生的具体活动，
加以指导.
试着画出二次函数 y = a(x - h)2 + k 不同情况
下的大致图象. ( 按 a，h，k 的正负分类)
师生活动：学生自主探究画图，然后同组的同学
比较所画的图象是否一样，然后小组展示结果，
设计意图：巩固学生从二
老师根据有问题的结果加以解释.
次函数图象中辨别系数的
正负的方法.
例4 已知二次函数 y＝a(x－1)2－k 的图象如图
所示，则一次函数 y＝ax＋k 的大致图象是 (
)
4三、当堂
练习，巩
固所学
答案：A
师生活动：让学生尝试解答，举手回答问题.
设计意图：考查学生对二
次函数的性质和平移的掌
师生一起共同归纳，对于二次函数 y = a(x - h)2 握.
+ k (a≠0)图象性质中，字母 a，h，k 所起的作 及时练习巩固，体现学以
用： 致用的观念，消除学生学
预设：① a 决定开口方向. 无所用的思想顾虑。
② (h，k) 决定顶点坐标.
h 决定对称轴 (直线 x = h). h＜0，对称轴在 y
轴的左侧；
h＞0，对称轴在 y 轴的右侧；
k＞0，顶点在 x 轴的上侧；k＜0，顶点在 x 轴
的下侧.
③ a，h(对称轴) 决定函数的增减性.
三、当堂练习，巩固所学
1.完成下列表格:
2. 已知函数 y＝-(x - 4)2-1.
(1) 指出函数图象的开口方向是 ，对称
轴是 ，
顶点坐标为 ；
(2) 当 x 时，y 随 x 的增大而减小；
(3) 怎样移动抛物线 y＝ -x2，就可以得到抛物线
y＝ -(x - 4)2 - 1?
3. 已知二次函数 y＝a(x－1)2－4 的图象经过点
(3，0)．
(1) 求 a 的值；
(2) 若 A(m，y)、B(m＋n，y) (n＞0) 是该函数图
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象上的两点，当 y＝y 时，
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求 m、n 之间的数量关系．
5二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质
1．二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质
板书设计 2．二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与y＝ax2的图象的关系
3．二次函数y＝a(x－h)2＋k的应
课后小结
要使课堂真正成为学生展示自我的舞台，还学生课堂学习的主体地位，教师
要把激发学生学习热情和提高学生学习能力放在教学首位，为学生提供展示
教学反思 自己聪明才智的机会，使课堂真正成为学生展示自我的舞台．充分利用合作
交流的形式，能使教师发现学生分析问题、解决问题的独到见解以及思维的
误区，以便指导今后的教学.
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