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第二章 一元二次方程
2.2 用配方法求解一元二次方程
精选练习
基础篇
一、单选题
1．（2022·北京平谷·八年级期末）把一元二次方程 配方后，下列变形正确的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
掌握配方法解一元二次方程即可得出答案．
【详解】
，
，
，
故选C．
【点睛】
本题考查了用配方法解一元二次方程，准确掌握方法是本题的关键．
2．（2022·湖南株洲·九年级期末）方程 的根为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据直接开平方法解一元二次方程即可得到结论．【详解】
解： ，
移项得 ，
系数化1得 ，
开方得 ，
故选：C．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法是解决此类问题的
关键．
3．（2022·黑龙江哈尔滨·九年级期末）将方程x2−4x＋1＝0化成（x＋m）2＝n的形式是（
）
A．（x−1）2＝12 B．（2x−1）2＝12
C．（x−1）2＝0 D．（x−2）2＝3
【答案】D
【解析】
【分析】
移项，再配方，即可得出选项．
【详解】
解：x2-4x+1=0，
x2-4x=-1，
配方，得x2-4x+4=-1+4，
即（x-2）2=3，
故选：D．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
4．（2021·河南周口·九年级期中）如果 是方程 的一个根，则这个方程的其它根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】
【分析】
将 代入方程得出 的值，从而还原方程，再利用直接开平方法求解即可得出答案．
【详解】
解：将 代入方程，得： ，
解得 ，
方程为 ，
则 ，
或 ，
即这个方程的另一个根为 ，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平
方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法．
5．（2022·北京石景山·八年级期末）用配方法解一元二次方程 ，此方程可化为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后可得答案．
【详解】
解： ，
，
则 ，
即 ，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法．
6．（2022·山东聊城·中考真题）用配方法解一元二次方程 时，将它化为 的形式，
则 的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案．
【详解】
解：∵ ，
∴ ， ，
则 ，即 ，
∴ ， ，
∴ ．
故选：B．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
二、填空题
7．（2022·江苏扬州·九年级期末）已知x＝﹣1是一元二次方程x2﹣6x+m2﹣4m﹣3＝0的一个根，则m的
值为__________．
【答案】2
【解析】
【分析】
把x=-1代入x2-6x+m2-4m-3=0即可得出m的值．
【详解】
解：由题意可得：1+6+m2-4m-3=0，
整理，得∴m=2．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解及一元二次方程的解法，解题的关键是掌握一元二次方程的根．
8．（2021·江苏宿迁·九年级期中）一元二次方程 -4x-3=0配方可化为_______________．
【答案】（x-2）2=7
【解析】
【分析】
移项后，两边都加上一次项系数一半的平方即可．
【详解】
解：∵x2-4x-3=0，
∴x2-4x=3，
则x2-4x+4=3+4，即（x-2）2=7，
故答案为：（x-2）2=7．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
9．（2022·全国·九年级课时练习）已知关于x的一元二次方程(x+1)2+m＝0可以用直接开平方法求解，则m
的取值范围是________．
【答案】m≤0
【解析】
【分析】
根据直接开平方法进行求解即可．
【详解】
解：∵（x+1）2+m＝0，
∴（x+1）2＝﹣m，
∵方程（x+1）2+m＝0可以用直接开平方法求解，
∴﹣m≥0，
∴m≤0．
故答案为m≤0．【点睛】
本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握直接开平方法是解题的关键．
10．（2021·吉林辽源·九年级期末）解一元二次方程的基本思想是降次，即把二次方程化成一次方程求解．
一元二次方程 可以化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋3＝5，则另一个一元
一次方程是________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据直接开平方法即可解答．
【详解】
解： ，
或 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握和运用一元二次方程的解法是解决本题的关键．
三、解答题
11．（2022·江苏·苏州市平江中学校八年级期中）解下列方程：
(1)
(2)
【答案】(1) ，
(2) ， ．
【解析】
【分析】
（1）利用直接开方法，继而得出两个关于 的一元一次方程，再进一步求解即可；
（2）利用配方法，再开方求解，继而得出两个关于 的一元一次方程，再进一步求解即可．
(1)解：
，
或 ，
， ；
(2)
解： ，
或 ，
， ．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配
方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
12．（2022·江苏·九年级专题练习）解方程：
(1)4（2x﹣1）2﹣36＝0
(2)（y＋2）2＝（3y﹣1）2
【答案】(1)x＝2或﹣1
(2)y ，y ．
1 2
【解析】
【分析】
（1）先对原方程进行整理，再利用直接开平方法求解；
（2）对方程两边分别开平方，得到y+2＝±（3y﹣1），解一元一次方程即可．
(1)
解：4（2x﹣1）2﹣36＝0，
4（2x﹣1）2＝36，
（2x﹣1）2＝9，
2x﹣1＝±3，
x＝2或﹣1(2)
解：直接开平方，得y+2＝±（3y﹣1）
即y+2＝3y﹣1或y+2＝﹣（3y﹣1），
解得：y＝ ，y＝ ．
1 2
【点睛】
本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法．解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把
常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．（1）用直接开方法求一元
二次方程的解的类型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c
（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开
求得方程解”．（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体．（3）用直接开方法求一元二次方程的解，
要仔细观察方程的特点．
提升篇
一、填空题
1．（2022·全国·九年级课时练习）如果关于x的方程 没有实数根，那么实数m的取值范围是
__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据直接开平方法定义即可求得m的取值范围．
【详解】
解：∵关于x的方程 没有实数根，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】
考查了解一元二次方程的直接开平方法，解决本题的关键是掌握直接开平方法．
2．（2022·江苏·九年级专题练习）若实数x，y满足条件2x2﹣6x＋y2＝0，则x2＋y2＋2x的最大值是____．
【答案】15【解析】
【分析】
先将2x2﹣6x+y2＝0，变形为y2＝﹣2x2+6x，代入所求代数式并化简为x2+y2+2x＝﹣（x﹣4）2+16，利用非负
数性质可得x2+y2+2x≤16，再因为y2＝﹣2x2+6x≥0，求得0≤x≤3，即可求解．
【详解】
解：∵2x2﹣6x+y2＝0，
∴y2＝﹣2x2+6x，
∴x2+y2+2x＝x2﹣2x2+6x+2x＝﹣x2+8x＝﹣（x2﹣8x+16）+16＝﹣（x﹣4）2+16，
∵（x﹣4）2≥0，
∴x2+y2+2x≤16，
∵y2＝﹣2x2+6x≥0，
解得0≤x≤3，
当x＝3时，x2+y2+2x取得最大值为15，
故答案为：15．
【点睛】
本题考查了配方法，熟练掌握配方法以及完全平方式的非负性是解决本题的关键．
3．（2022·全国·九年级课时练习）已知代数式A＝3x2﹣x＋1，B＝4x2＋3x＋7，则A____B（填＞，＜或
＝）．
【答案】<
【解析】
【分析】
先求A-B的差，再将差用配方法变形为A﹣B＝﹣（x+2）2﹣2，然后利用非负数性质求解．
【详解】
解：A﹣B＝3x2﹣x+1﹣（4x2+3x+7）＝﹣x2﹣4x﹣6＝﹣（x+2）2﹣2，
∵﹣（x+2）2≤0，
∴﹣（x+2）2﹣2<0，
∴A﹣B<0，
∴A<B，
故答案为：<．
【点睛】
本题考查了配方法的综合应用，配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
4．（2022·全国·九年级课时练习）已知实数a、b满足 ，则 ________．
【答案】2
【解析】
【分析】
设 ，将已知方程整理为关于y的一元二次方程，利用因式分解法求出方程的解，得到y的值，即
可确定出 的值．
【详解】
解：设 ，则原方程变形为 ，
解得 ， ，
∴ 2或-1，
∵ ，
∴ ．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目
的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单
化，变得容易处理．
3
t= √5
5．（2022·江苏·九年级专题练习）利用配方法解一元二次方程 时，将方程配方为 2 ，
则mn=______．
【答案】6
【解析】
【分析】
根据配方法的一般步骤先把常数项7移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数-6的一半的平方，求出
m，n的值即可得出答案．
【详解】
解：x2-6x+7=0，
x2-6x=-7，x2-6x+9=-7+9，
（x-3）2=2，
则m=3，n=2，
∴mn=3×2=6．
故答案为：6．
【点睛】
此题考查了配方法的应用，掌握配方法的一般步骤是本题的关键，配方法的一般步骤是（1）把常数项移
到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
二、解答题
6．（2022·全国·九年级专题练习）用配方法解下列方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)【解析】
【分析】
利用配方法求解即可．
（1）解：3x2−5x=2移项得：x2- x= ，配方得：x2- x+ = + ，合并得：（x- ）2= ，解得：x=
1
+ =2，x= - =- ；
2
（2）解：x2+8x=9配方得：x2+8x +16=9+16，合并得：（x+4）2=25，解得x=1，x=-9；
1 2
（3）解：x2+12x−15=0移项得：x2+12x+36=15+36，配方得：（x+6）2=51解得x=-6＋ ，x=-6-
1 2
（4）解： x2−x−4=0去分母得： ，移项得： ，配方得：x2-4 x+4=16+4，合并
得：（x-2）2=20，解得：x=2＋2 ，x=2－2 ；
1 2
（5）解：2x2+12x+10=0 系数化为1得： ，移项得： ，配方得：x2+6x+9=-5+9，
合并得：（x+3）2=4，解得：x=-1，x=--5；
1 2
（6）解：x2+px+q=0，移项得： ，配方得：x2+px+ =-q+ ，合并得：(x+ )2= ，
解得x= ．
【点睛】
本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟知配方法是解题的关键．
7．（2022·全国·九年级课时练习）已知方程2x2+bx+a＝0（a≠0）的一个根是a．
(1)求2a+b的值；
(2)若此方程有两个相等的实数解，求出此方程的解．
【答案】(1) ；
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据方程的解的概念将x＝a代入方程并整理得a（2a+b+1）＝0，由a≠0知2a+b+1＝0，可得答案；
（2）由方程有两个相等实数根可得Δ＝0，将b＝﹣2a﹣1代入可得关于a的方程，求出a即可得方程的解．（1）解：∵方程2x2+bx+a＝0（a≠0）的一个根是a，∴2a2+ab+a＝0，即a（2a+b+1）＝0，∵a≠0，
∴2a+b+1＝0，∴2a+b＝﹣1；
（2）∵方程有两个相等的实数解，∴Δ＝b2﹣8a＝0，由（1）知，2a+b+1＝0，即b＝﹣2a﹣1，∴（﹣2a
﹣1）2﹣8a＝0，整理得：（2a﹣1）2＝0，解得：a＝ ，∴b＝﹣2，∴此方程的解为：x＝ ．
【点睛】
本题考查了方程的解的概念及一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0时，
方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根．
8．（2022·全国·九年级课时练习）已知：关于x的方程kx2﹣（4k﹣3）x＋3k﹣3＝0
(1)求证：无论k取何值，方程都有实根；
(2)若x＝﹣1是该方程的一个根，求k的值；
(3)若方程的两个实根均为正整数，求k的值（k为整数）．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)k＝﹣3或k＝﹣1或k＝3
【解析】
【分析】
（1）直接计算根的判别式即可证明；
（2）将x=-1带入即可求解；
（3）由公式法表示出方程的两根，根据两根均为正整数即可求出k的值．
（1）证明：当k≠0时，∵方程 ∴
∴ 当k＝0时，3x﹣3＝0，解得x＝1．∴无
论k取何值，方程都有实根．
（2）把x＝﹣1代入方程得k+4k﹣3+3k﹣3＝0，解得k ．故k的值为 ．
（3）解： ，∴a＝k，b＝﹣（4k﹣3），c＝3k﹣3，∵运用公式法解方程可知道此方程的根为x ，∴此方程的两个根分别为 ， ，∵
方程的两个实根均为正整数，∴k＝﹣3或k＝﹣1或k＝3．
【点睛】
本题主要考查了根的判别式的知识，熟知一元二次方程的根的判别式是解答此题的关键，此题难度不大．
