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热点 4-2 平面向量的数量积及应用
平面向量属于高考的必考内容，主要以客观题的形式出现，也与三角函数、解析几何结合出现在综合
性大题中，难度中等。本部分考题综合性较强，强调模、数量积、坐标运算等向量固有的知识，对向量几
何模的研究比较透彻。考生在复习过程中，要重点理解向量数量积的含义，掌握数量积的坐标表示，能灵
活运用定义法、坐标法、基底法解决常见的数量积问题。
【题型1 平面向量的数量积运算】
满分技巧
求向量数量积的3种常规方法
1、定义法求平面向量的数量积： ，其中 是两个向量 ， 的夹角；适用于已知或可
求两个向量的模和夹角。
2、基底法求平面向量的数量积：选取合适的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量积的两个向量
分别用这组基底表示出来，进而根据数量积的运算律和定义求解；适用于直接利用定义求数量积不可行
时，可将已知模和夹角的两个不共线的向量作为基底，采用“基底法”求解。
3、坐标法求平面向量的数量积： ， ，则
适用于：①已知或可求两个向量的坐标；②已知条件中有（或隐含）正交基底，优先考虑建立平面直角
坐标系，使用坐标法求数量积，例如已知图形为矩形、正方形、直角梯形、等边三角形、等腰三角形或
直角三角形时。
【例1】（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）已知向量 ， ，若 ，则 （
）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【解析】由 ，所以 ，则 .故选：C
【变式1-1】（2024·河北邢台·高三统考期末）已知向量 ， 满足 ， ，则 （
）A． B．2 C． D．4
【答案】A
【解析】因为 ， ，所以 .故选：A.
【变式1-2】（2024·北京东城·高三统考期末）已知非零向量 ， ，满足 ，且 ，对任意实
数 ， ，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】 非零向量 ， ，满足 ，且 ，
对于A， 不恒为 ，故A错误；
对于B， ，故B正确；
对于C， 不恒为 ，故C错误；
对于D， 不恒为 ，故D错误.
故选：B.
【变式1-3】（2024·山东济南·高三统考期末）平行四边形ABCD中， ， ， ，若
， ，则 （ ）
A．4 B．6 C．18 D．22
【答案】C
【解析】由题意可知，以 为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示
因为 ，
所以 .
设 ，则 ，
由 ，得 ，
即 ，解得 ，所以 .设 ，则 ，
由 ，得 ，
即 ，解得 ，所以 .
所以 ，
.故选：C.
【变式1-4】（2024·陕西西安·高三西安中学校考期末）在边长为2的正三角形 中，D是 的中
点， ， 交 于F.则 .
【答案】
【解析】如图：过 作 交 于点 ．
由 ， 是 的中点得： ， ,所以 ，
故 ，即 ．
所以 ．
所以 ． ．
由已知得 ．
所以
．
【题型2 平面向量的投影向量】
满分技巧
解决向量投影问题应注意以下3点
1、向量 在 方向上的投影向量为 （其中 为与 同向的单位向量），它是一个向量且与
共线，其方向由 与 的夹角 的余弦决定；
2、向量 在 方向上的投影向量为 ；
3、注意： 在 方向上的投影向量与 在 方向上的投影向量不同，即 在 方向上的投影向量可以表
示为【例2】（2024·浙江宁波·高三余姚中学校联考期末）若向量 满足 ，且
，则 在 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ，则 ，
由 在 上的投影向量 .故选：D
【变式2-1】（2022·河南·高三校联考期末）已知平面向量 满足 ， ， ，则
在 方向上的投影为（ ）
A．5 B． C．10 D．
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，
所以 ， ，
则 在 方向上的投影为 .故选：A
【变式2-2】（2024·河北·高三校联考期末）已知 为不共线的平面向量， ，若 ，
则
在 方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 可得 ，
又 ，如图所示，由平行四边形法则可得四边形 为菱形，
故 互相垂直平分，所以 在 方向上的投影向量为 ，故选：D．【变式2-3】（2024·云南昭通·统考模拟预测）已知非零向量 与 满足 ，且
，则向量 在向量 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 和 分别表示向量 和向量 方向上的单位向量，
由 ，可得 的角平分线与 垂直，
所以 为等腰三角形，且 ，
又 ，得 ，所以 ，
又 ，所以 ,
所以 为等边三角形，
所以向量 在向量 上的投影向量为 ，故选：B.
【变式2-4】（2024·江苏南京·高三金陵中学假期作业）在等边 中，已知点 ， 满足
， ， 与 交于点 ，则 在 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图， ，
，
则 ，得 ， ，即 ,
则 在 上的投影向量为 ，，
所以 在 上的投影向量为 .故选：C
【题型3 平面向量的模长问题】
满分技巧
求向量的模或其范围的方法
1、定义法： ， ；
2、坐标法：设 ，则 ；
3、几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用解三角形的相关知识求
解。
【注意】（1）形如 的向量的模，可通过平方转化为数量的运算；
（2）用定义法或坐标法求模的范围时，一般把它表示成某个变量的函数，再利用函数的有关知识求解；
用几何法求模的范围时，注意数形结合思想，常用三角不等式进行最值求解。
【例3】（2024·全国·高三校联考竞赛）平面向量 ，则 （ ）
A．3 B．5 C．7 D．11
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，
所以 .故选：B
【变式3-1】（2024·山西临汾·统考一模）已知向量 ， ，若向量 在向量 上的投
影向量 ，则 （ ）
A． B． C．3 D．7
【答案】B
【解析】由已知可得， 在 上的投影向量为 ，
又 在 上的投影向量 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 .故选：B.【变式3-2】（2024·湖南长沙·统考一模）在平面四边形 中， ， 分别为 ， 的中点.若
， ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】连接 ， ，如图，可知 .
由 ，即 ，可得 .
从而， ，
所以 .故选：B.
【变式3-3】（2024·湖北·校联考模拟预测）已知向量 ， 满足 ， ，且 ， 的夹角为 ，则
的最小值是 .
【答案】
【解析】由题意可知： ，
因为 ，
当且仅当 时，等号成立，所以 的最小值是 .
【变式3-4】（2024·全国·高三专题练习）已知 ， ， ，则 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，设 ， ， ，点 在圆 上，
点 在圆 上，则 ， ，
由 可得： ，
作矩形 , 则 .下证： .
设 交于点 ，连接 ,因 则 ，
同理可得： ，两式左右分别相加得：
，
.
即 ，故 .
又 ，因 ，
即 ，故有 ．故选:C．
【题型4 平面向量的夹角问题】
满分技巧
求两个非零向量夹角的步骤
第一步：由坐标运算或定义计算出这两个向量的数量积；
第二步：分别求出这两个向量的模；
第三步：根据公式 求解出这两个向量夹角的余弦值；
第四步：根据两个向量夹角的范围是 及其夹角的余弦值，求出这两个向量的夹角。
【例4】（2024·重庆·高三重庆一中校考开学考试）已知向量 与 是非零向量，且满足 在 上的投
影向量为 ， ，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设 与 的夹角为 ，
在 上的投影向量为
所以 ，
所以 ，
所以 为钝角，且 .故选：A【变式4-1】（2024·云南大理·统考模拟预测）已知向量 均为单位向量，且 ，则 与
的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，且 ，则 ，
两边平方可得 ，即 ，
所以 ， ，所有 与 的夹角为 .故选：C
【变式4-2】（2024·全国·模拟预测）已知两个单位向量 满足 ，则向量 的夹角
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 ，平方可得 ，又
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以向量 的夹角为 ．故选：A.
【变式4-3】（2023·全国·模拟预测）已知 内的一点M满足 ，则向量 与
向量 的夹角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】D
【解析】因为 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以向量 与向量 的夹角为90°．故选：D.
【变式4-4】（2024·全国·高三专题练习）已知向量 ，且 和 的夹角为 ，若 与
的夹角为钝角，则 的取值范围为 ．【答案】
【解析】因为 与 的夹角为钝角，
故 且 与 不共线反向，
由 可得 ，
即 即 ，故 或 ，
若 与 共线，则存在实数 ，使得 ，
而 不共线，故 即 或 ，
当 时， 与 共线同向；
当 时， 与 共线反向；
故 的取值范围为 或 或 .
【题型5 平面向量的垂直问题】
满分技巧
两平面向量垂直的充要条件既可以判定两向量垂直，也可以由垂直求参数，高考试题中一般是考查已知
两向量垂直求参数。
（1）如果已知向量的坐标，根据两平面向量垂直的充要条件 ，列出相应的关系式，进
而求解参数；
（2）如果未知向量的坐标，则可通过向量加法(减法)的三角形法则转化为已知模和夹角的向量的数量，
根据两平面向量垂直的充要条件 ，列出相应的关系式，进而求解参数。
【注意】如已知图形为矩形、正方形、直角梯形、等边三角形、等腰三角形或直角三角形时，则可建立
平面直角坐标系求出未知向量的坐标，从而把问题转化为已知向量的坐标求参数的问题，注意方程思想
和等价转化思想的运用.
【例5】（2024·江西·高三校联考期末）已知向量 ， ，若 ，则 （
）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，所以 .故选：C.【变式5-1】（2022·全国·高三专题练习）若 为非零向量，满足 ，且 ，则
（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【解析】 ， ，
即 ，
又 ,
为非零向量， ,
又 ，所以 ，故选：B
【变式5-2】（2024·浙江·校联考一模）已知平面向量 满足： 与 的夹角为 ，若
，则 （ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】D
【解析】由题意，得 ，
由 ，得 ，即 ，
∴ ，解得 .故选：D
【变式5-3】（2024·安徽·高三校联考阶段练习）已知非零向量 ， 满足 ，设甲： ，乙：
，则（ ）
A．甲是乙的充要条件 B．甲是乙的充分条件但不是必要条件
C．甲是乙的必要条件但不是充分条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】A
【解析】乙: 等价于 ，即 ，
因为 ，所以 ，所以乙等价于 ，即 ，
所以甲、乙互为充要条件.故选：A【变式5-4】（2024·湖南常德·高三统考期末）已知向量 ， ，若 ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】已知向量 ， ，
若 ，则 ，即 ，
则 的值为 ．故选：D．
【题型6 数量积的综合应用】
满分技巧
综合问题的求解方法：
（1）坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应
的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决；
（2）基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来
进行求解。
【例6】（2024·北京西城·高三北京师大附中校考开学考试）如图，圆 为 的外接圆， ，
为边 的中点，则 （ ）
A．10 B．13 C．18 D．26
【答案】B
【解析】 是 边的中点，可得 ，
是 的外接圆的圆心，
，
同理可得 ，
．故选：B．
【变式6-1】（2023·上海普陀·高三曹杨二中校考期末）在 中， ，则
下列说法一定正确的是（ ）A．若 ，则 是锐角三角形 B．若 ，则 是钝角三角形
C．若 ，则 是锐角三角形 D．若 ，则 是钝角三角形
【答案】D
【解析】因为 ，
即 ,
又 时，三角形一定不是直角三角形，
则有 ， ，
若 ，则 ， 为锐角，但是不能判断 的大小，故A,B错误；
当 时，则 ， 中必有一个钝角，
故此时 是钝角三角形，C错误，D正确，故选：D.
【变式6-2】（2024·全国·校联考一模）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺
术之一．在2022年虎年新春来临之际，许多地区人们为了达到装点环境、渲染气氛，寄托辞旧迎新、接
福纳祥的愿望，设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如左图）．已知
正方形 的边长为 ，中心为 ，四个半圆的圆心均在正方形 各边的中点（如右图）．若点
在四个半圆的圆弧上运动，则 的取值范围是 .
【答案】
【解析】以 原点， 为 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示.
因为正方形 的边长为 ，所以 ，
则 、 ，则 ，
设 的中点为 ，则 ， ，
所以， ，
因为 是半圆 上的动点，设点 ，则 ，其中 ，则 ，
所以， ，
由对称性可知，当点 在第三象限的半圆弧上运动时（包含点 、 ），
，
当点 在第一象限的半圆弧上运动时（包含点 、 ）， 的中点为 ，半圆的半径为
，
可设点 ，其中 ，则 ，
，则 ，
同理可知，当点 在第四象限内的半圆弧上运动时（包含点 、 ），
.
综上可知， 的取值范围是 .
【变式6-3】（2024·天津河西·高三统考期末）在 中， ， ， ，
， ，且 ，则 ； 的值为 .
【答案】 ；
【解析】因为 ， ， ，
所以 ,
又 ，在 中， ， ，
所以 ，
,
即 ，解得 或 （舍去），故 的值为： .
又 , ,
，
故 的值为： .【变式6-4】（2023·全国·模拟预测）已知 中， ，且 为 的外心．若
在 上的投影向量为 ，且 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，
则 ，所以 ，即B，O，C三点共
线．
因为 为 的外心，即有 ，
所以 为直角三角形，因此 ， 为斜边 的中点．
因为 ，所以 为锐角．
如图，过点 作 ，垂足为 ．
因为 在 上的投影向量为 ，所以 ，
所以 在 上的投影向量为 ．
又因为 ，所以 ．
因为 ，所以 ，
故 的取值范围为 ．故选：A．
（建议用时：60分钟）
1．（2024·宁夏石嘴山·高三平罗中学校考期末）已知向量 ， 满足 ， ，且 ，则
（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【解析】 得 ，即
所以 ，所以 .故选：C
2．（2024·浙江嘉兴·高三统考期末）已知单位向量 ， 的夹角为 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知： ， ， ，
所以 .故选：B.
3．（2024·山东青岛·高三统考期末）在四边形 中，四个顶点A，B，C，D的坐标分别是 ，
， ， ，E，F分别为 的中点，则 （ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】A
【解析】由题意， 则 ， ， .故选：A
4．（2024·黑龙江·高三大庆实验中学校联考阶段练习）已知 、 为单位向量，且 ，则 、
的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 、 的夹角为 ，则 ，由已知可得 ， ，
所以， ，即 ，
即 ，
即 ，解得 ，故 ，故选：B.
5．（2024·福建厦门·统考一模）已知 ， 为单位向量，若 ，则 与 的夹角为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意 ，则 与 的夹角为 .故选：B
6．（2024·北京丰台·高三统考期末）已知 是两个不共线的单位向量，向量 （ ）．“
，且 ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当 ，且 时，
，充分性满足；
当 时， ，当 ， 时，
是可以大于零的，即当 时，可能有 ， ，必要性不满足，
故“ ，且 ”是“ ”的充分而不必要条件.故选：A.
7．（2024·湖南邵阳·统考一模）已知向量 .若 与 的夹角的余弦值为 ，则实数
的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意： ， ， ，
所以 .故选：D
8．（2024·广东深圳·高三统考期末）已知 为单位向量，且 ，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得 ，
将 两边平方可得 ；
可得 ，可得 ；
设 与 的夹角为 ，则 ，所以 .故选：C
9．（2024·全国·武钢三中校联考模拟预测）已知 ， ，若 ，则 在 上
的
投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
.故选：D.
10．（2024·湖北武汉·武汉市第六中学校联考二模）在平面直角坐标系中 为原点， ， ，则
向量 在向量 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题设 ，向量 在向量 上的投影向量为 .故选：B
11．（2024·河北·高三雄县第一高级中学校联考期末）已知向量 ，
则向量 在向量 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，又 ，
所以 在向量 上的投影向量为 .故选：A.
12．（2024·河北·高三校联考期末）若 ， ，则 的最大值为（ ）
A．3 B．5 C． D．
【答案】A
【解析】（法一）设 与 夹角为 ．因为 ，
得 ，
当 时， 最大值9， 的最大值3，故选：A．
（法二）因为 ，如图设 ， ，
由 知点B在以A为圆心1为半径的圆上，
当点B与O、A在一条直线，位于图中 位置时， 的最大值3.故选：A.
13．（2024·辽宁辽阳·高三统考期末）在 中， ，D为AB的中点， ，P为CD
上一点，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为D为AB的中点，则 ，
可得 ，即 ，解得 ，
又因为P为CD上一点，设 ，则 ，
可得 ，解得 ，即 ，
则 ，
可得 ，即 .故选：D.
14．（2024·江苏·高三统考期末）平面向量 ， ， 满足 ， ，则
的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ，
则 ，
而 ，
因为 ，所以 .故选：B.
15．（2024·天津河北·高三统考期末）如图，在平行四边形 中， 与 交于点 ， 是线段
的
中点， 的延长线与 交于点 .若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】平行四边形 ， ， ， ， ，
可得 ， 是线段 的中点，
可得 ，
；
，
则
．故选：C16．（2022·河南·高三校联考专题练习）已知平面向量 ， ，若 ， ，
（其中 表示向量 ， 的夹角），则 .
【答案】8
【解析】依题意， ，解得 ，
则 .
17．（2022·河南·高三专题练习）已知平面向量 ， 满足 ， ，若 ，则向量 ， 的
夹角的余弦值为 ．
【答案】
【解析】依题意， 两边平方得 ，而 ， ，
因此 ，解得 ，
所以向量 ， 的夹角的余弦值为 .
18．（2024·黑龙江鸡西·高三校考期末）如下图，在平行四边形 中， ，点
在 上，且 ，则 = ．
【答案】18
【解析】因为平行四边形 中， ，
所以 ， ，
， ，
故
.
19．（2023·全国·模拟预测）已知圆 上有两个动点 ，满足 ，点 是圆
上的动点，则 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题意可知：圆 的圆心 ，半径 ；
圆 的圆心 ，半径 ；
连接 ，取 的中点 ，连接 ，由 得 ，
因为 ，
注意到 与 为相反向量，
因此 ．
又因为 ， ，即 ，
可得 ，所以 ．
20．（2023·天津·高三天津市第七中学校考阶段练习）如图，在菱形 中 ， ，
E、F
分别为 、 上的点． ， ，点M在线段 上，且满足
， ；若点N为线段 上一动点，则 的取值范围为 ．
【答案】 ； , ．
【解析】由 可得
，
所以 ,
设 ， , ， ，
所以 ，
，
所以，
因为 , ，所以 , .
