文档内容
第 2 讲 三角恒等变换与解三角形
目录
第一部分：知识强化
第二部分：重难点题型突破
突破一：三角函数式求值
突破二：已知三角函数值求角问题
突破三：三角函数式化简
突破四：和（差）角公式逆应用
突破五：拼凑角
突破六：利用正、余弦定理解三角形
角度1：三角形个数问题
角度2：利用正弦定理解三角形
角度3：利用余弦定理解三角形
角度4：正余弦定理综合应用
突破七：判断三角形的形状
突破八：三角形面积相关问题
第三部分：冲刺重难点特训
第一部分：知识强化
1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）
（2）
（3）
2、二倍角公式
①
② ； ；
③
3、降幂公式
①②
4、辅助角公式
(其中 )
5、正弦定理
6、余弦定理
；
7余弦定理的推论
；
；
8、三角形常用面积公式
① ；
② ；
③ （其中， 是三角形 的各边长， 是三角形 的内切圆半径）；
④ (其中， 是三角形 的各边长， 是三角形 的外接圆半径).
第二部分：重难点题型突破
突破一：三角函数式求值
1．（2022·河南省淮阳中学模拟预测（理））若 为第二象限角，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 为第二象限角， ， ，
由 得： ， ， ，
，
.
故选：D.
2．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（理））已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】 ， ，
则
,
故选： ．
3．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）求值 _________．
【答案】 ##【详解】 ，
故答案为： .
4．（2022·河南焦作·一模（理））计算： ___________.
【答案】 ##
【详解】
.
故答案为：
突破二：已知三角函数值求角问题
1．（2022·海南华侨中学模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D． 或
【答案】A
【详解】依题意 ， 均为锐角，
由 得 ，
由 得 ，
所以 ，
而 ，所以 .
故选：A.2．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ，且 ， ，则 的值
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】 ， ， ， ，
，
又 ， .
故选：B.
3．（2022·陕西·蒲城县蒲城中学高三阶段练习（文））已知 ， ，且 ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为 ， ，且 ， ，
所以 ， ，所以 ，
因为 ， ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 ，
故选：C
4．（2022·全国·高一课时练习）已知 ， 均为锐角，且 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【详解】∵ ， 均为锐角，且 ， ，
∴ ， ，
∴
.
又∵ ， 均为锐角
∴ .
∴ .
故选：B.
5．（2022·福建泉州·模拟预测）已知 ，且 ，则α=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为
所以 ，
整理得： ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
解得：
故选：B
突破三：三角函数式化简
1．（2022·广东汕头·高三期中） 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】故选：A
2．（2022·山东·乳山市银滩高级中学高三阶段练习）已知函数 （ 且 ）的图像过定
点P，且角 的始边与x轴的正半轴重合，终边过点P，则 等于
___________.
【答案】
【详解】由题设知： 过定点 ，故 ，
所以
.
故答案为：
3．（2022·全国·高三专题练习）化简： ＝________.
【答案】 ##
【详解】原式=
故答案为：4．（2022·全国·高三专题练习）化简： 值是________．
【答案】
【详解】解：
，
故答案为：
5．（2022·山西忻州·高三阶段练习）（1）已知 ，求
；
（2）已知 ， ，且 ， ，求 的值．
【答案】（1） ；（2）
【详解】（1）因为 ， ，
所以 ，
即
所以
（2）因为 ， ，且 ， ，
所以 ， ，
所以 ，
因为 ， ，所以 ，
所以
突破四：和（差）角公式逆应用1．（2022·江苏·高三专题练习） （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】根据三角函数的诱导公式和两角和的正弦公式，化简可得：
.
故选：B.
2．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC中，tanA＋tanB＋ ＝ tanA·tanB，则C的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由已知可得tanA＋tanB＝ (tanA·tanB－1)，
∴ tan(A＋B)＝ ＝－ .
又0＜A＋B＜π，
∴ A＋B＝ ，∴ C＝ .
故选：C
3．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知 ，则 的可能
值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【详解】依题意，原等式变为： ，即 ，
显然 是第三象限角或第四象限角， ，即 或 ，
于是得，当 时， ，
当 时， ，
所以 的可能值为 或 .
故选：BD4．（2022·江苏·海安市立发中学高三期中）在 中，若 ，则
_________.
【答案】
【详解】因为 ，
所以， ，
由题意可得 ，
若 ，则 ，不妨设 为锐角，则 ，
则 ，不合乎题意，
所以， ，故 ，因此， .
故答案为： .
5．（2022·陕西·模拟预测（理））已知 ， ， ，则
__________
【答案】
【详解】 ， ， ；
，
两式作和得： ，
.
故答案为： .
突破五：拼凑角
1．（2022·湖北黄冈·高三阶段练习）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D【详解】解：因为 ，所以 ，又 ，
所以 ，
所以
故选：D
2．（2022·天津·高三期中）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 ，
故选：D
3．（2022·湖南·宁乡一中高三期中）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】 ，
，
..
故选：A
4．（2022·山西忻州·高三阶段练习）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】 , ,
.
故选：C
5．（2022·山东烟台·高三期中）已知 ，则 ______．
【答案】
【详解】由诱导公式可知， ，
因为 ，
所以 .
故答案为： .
突破六：利用正、余弦定理解三角形
角度1：三角形个数问题
1．（2022·陕西·西安市鄠邑区第二中学高二阶段练习）在 中， ， ， ，此三角
形解的情况为（ ）
A．一个解 B．二个解 C．无解 D．无法确定
【答案】B
【详解】由正弦定理，可得 ，则 ，因为 ，则 ，所以 有两个解，
故选：B.
2．（2022·陕西咸阳·高二期中（理））在 中，若 ， ， ，则此三角形解的情况为
（ ）
A．无解 B．两解
C．一解 D．解的个数不能确定
【答案】C
【详解】由正弦定理，得 ，
得 ，
因为 ，则 ，故 为锐角，故满足条件的 只有一个.
故选：C.
3．（2022·吉林·延边第一中学高一期中）在 中，已知 ，则满足条件的三角形
（ ）
A．有2个 B．有1个 C．不存在 D．无法确定
【答案】A
【详解】由正弦定理可得 ，又
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ,又
所以 或
∴满足条件的三角形有2个．
故选：A.
4．（2022·全国·高三专题练习）在 中，已知 ，则此三角形（ ）
A．有一解 B．有两解 C．无解 D．无法判断有几解
【答案】A
【详解】在 中， ，由正弦定理得 ，
而 ，有 ，即A为锐角，所以此三角形有一解．
故选：A5．（2022·陕西·武功县普集高级中学高二阶段练习）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已
知 ，则此三角形（ ）
A．无解 B．一解 C．两解 D．解的个数不确定
【答案】C
【详解】由正弦定理 ，得 ，解得 .
因为 ，所以 .
又因为 ，所以 或 ，
故此三角形有两解，
故选：C.
角度2：利用正弦定理解三角形
1．（2022·四川·成都市第二十中学校高三期中） 中， 已知 、 、 分别是角 、 、
的对边， 且 ， 、 、 成等差数列， 则角 （ ）
A． B． C． 或 . D． 或
【答案】D
【详解】由 ， 利用正弦定理得: ，
即 ， ，
， ， .
或 .
或 .
又 、 、 成等差数列， 则 ，
由 ，得 .
当 时， ；
当 时， .
或故选：D.
2．（2022·河南·汝阳县一高高三阶段练习（理））已知 ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
若 ，则A＝（ ） △
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
或 （舍）
故选：C.
3．（2022·宁夏·银川一中高三阶段练习（文）） 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足
， ， ，则 __________．
【答案】
【详解】解：在 中，
由正弦定理得
，
，
．
故答案为： ．
4．（2022·全国·高三专题练习）在 中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，则 _______．
【答案】
【详解】由正弦定理， ①，
又 ，
代入式①得： ，
∴ ，∵ ，∴ ， ，
故 ，又 ，∴ ．
故答案为：
5．（2022·江苏·常熟中学高三阶段练习）已知在 中， ， ， ，则
_________ ．
【答案】14
【详解】∵在 中， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
故答案为：14
角度3：利用余弦定理解三角形
1．（2022·河南·高三阶段练习（文））在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ，且
，则B＝______．
【答案】
【详解】由余弦定理可得 ，化简得 ，
则 ，
又 ，所以 ，
故答案为： ．2．（2022·黑龙江·哈尔滨市剑桥第三高级中学有限公司高三阶段练习）在 中，角 的对边分别
为 ，若 ，且 ，则 的面积的最大值为___________.
【答案】
【详解】由余弦定理可知： ，
而 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，当 时等号成立
设 的面积为 ，
所以有 ，
故答案为：
3．（2022·黑龙江·密山市第四中学高三阶段练习）设 的内角 的对边分别为 ，
，则 __．
【答案】8
【详解】解：在 中，因为 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，
所以 .
故答案为：8．
4．（2022·全国·高三专题练习）在 中，已知 ，则 的面积S为
___________．
【答案】
【详解】因为 ，所以由 得 ，解得 ，
故 ，
又因为 ，所以 ，故 ，所以
故答案为： .
5．（2022·全国·高三专题练习）已知三角形的三边分别是 ， ， ，则该三角形的内切圆的半径是
________.
【答案】
【详解】解：设 中 、 、 ，
由余弦定理可得 ，即 ，
所以 ，则 ，
所以 ，
设 的内切圆的半径为 ，则 ，即 ，
解得 ；
故答案为：
6．（2022·全国·高三专题练习）在 ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c（acos B－
bcosA）＝16，a－b＝2，∠C＝ ，则c的值等于___．
【答案】
【详解】解：由余弦定理，得 ，
∴ ，
又 ，则 ，
则a＝5，b＝3，又 ，
所以 ，
∴ ．
故答案为：
角度4：正余弦定理综合应用
1．（2022·河南·驻马店市第二高级中学高三阶段练习（理））在 中，内角 ， ， 所对的边分别
为 ．已知 ．则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B【详解】，因为 ，得
又因为
得
整理得
由正弦定理可得
得
得 ，因为
所以
所以
故选:B
2．（2022·河南驻马店·高三阶段练习（理））钝角 的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知
， ，且 ，则 的周长为（ ）
A．9 B． C．6 D．
【答案】A
【详解】解：因为 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ， 为锐角，
所以， ，
因为由余弦定理得 ，解得 或 ，
因为当 时， ，此时 一定不是钝角，故舍去.
所以
所以 的周长为 ．
故选：A
3．（2022·山东省实验中学高三阶段练习）在 中，角 所对的边为 ，若
，且 的面积 ，则 的取值范围是______．【答案】
【详解】已知 的面积 ，
则 ，即 ，
即 ，则 ，
由 可得： ，
由余弦定理可得： ，
即 ，由正弦定理可得： ，则 ,
由正弦定理可得： ，
则 ，又 ，则
,则 ，
则 .
故答案为： .
4．（2022·江西赣州·高三期中（理）） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
，c是a，b的等比中项，且 的面积为 ，则 _________．
【答案】
【详解】
由正弦定理得， ，
即 ，
又 ，所以 ，得 ，
由 ，得 ，得 .
又c是a，b的等比中项，所以 .
由余弦定理 得 .
∴ ，即 ，
则 ，即 .故答案为：
5．（2022·江西·高三阶段练习（文））已知 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
，角 的平分线 交 于点M，若 ，则 ______．
【答案】
【详解】
因为 ，
所以由正弦定理得 ，即 ，
故 ，
因为 ，则 ，所以 ，所以 ，
因为 平分 ，所以 ，
在 中， ，即 ，
在 中， ，即 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，故 ，
在 中， ，所以 ，
即 ，解得 ， ，
由 得 ，
即 ，所以 .故答案为：
6．（2022·重庆南开中学高三阶段练习）在 中， 为 上一点， ， ，则
______；若 ，则 ______．
【答案】 ## ##
【详解】如下图所示：
在 中，由余弦定理可得 ，
在 中，由余弦定理可得 ，
消元可得 ，所以， ；
在 中，由正弦定理可得 ，①
在 中，由正弦定理可得 ，②
② ①可得 ， ，
， ，由余弦定理可得 .
故答案为： ； .
突破七：判断三角形的形状
1．（2022·山西忻州·高三阶段练习）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， ，
则 为（ ）
A．钝角三角形 B．正三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【详解】由 结合正弦定理可得 ，
即 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，故 为直角三角形，
故选：C
2．（2022·江西·崇仁县第二中学高三阶段练习（文））在 中，已知 ，那么
一定是（ ）
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形
【答案】B
【详解】因为 ， ，
所以 ，
所以由正余弦定理得 ，化简得 ，
所以 ，
所以 为等腰三角形.
故选：B.
3．（2022·四川·模拟预测（文））在 中，角 的对边分别为 ，已知三个向量
， 共线，则 的形状为（ ）
A．等边三角形 B．钝角三角形
C．有一个角是 的直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【详解】 向量 ， 共线， ，
由正弦定理得： ，
，则 ，
， ， ，即 ．
同理可得 ．
形状为等边三角形．
故选：A．
4．（2022·全国·高三专题练习）在 中，若 ， ，则 一定是（ ）A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．无法确定
【答案】A
【详解】解：由 ，根据余弦定理，故 ，所以 ，所以
， ，所以 ，
所以 ，因为 ，所以
，即 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，从而 .所以三角形为等边三角形，
故选:
5．（2022·全国·高三专题练习）在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 ，
，则 是（ ）
A．钝角三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【详解】在 中，由正弦定理得 ，而 ，
∴ ，即 ，
又∵ 、 为 的内角，∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴由余弦定理得： ，∴ ，
∴ 为等边三角形.
故选：B.
突破八：三角形面积相关问题
1．（2022·贵州·模拟预测（文））在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， 是边 上一点， 平分 ，且 ，若 ，则 的最小值是（ ）
A． B．6 C． D．4
【答案】C
【详解】解：∵ ，
由正弦定理得 ，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，即 ，∴ .
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ .
∵ ，∴ ，
∴ ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以最小值为 .
故选：C.
2．（2022·河南·高三阶段练习（理））在 中，已知 ，AC＝4，则 的面积为
（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【详解】依题意，
∴由正弦定理得
∴ ．
故选：C．
3．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知 的内角 所对的边分别为 ，记 的面积为.若 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由 ，得 ，
由余弦定理得
即 ，（其中 ）
因为 ，所以当 时， ，所以
所以
故选:C.
4．（2022·天津二十中高三阶段练习）已知 是 内的一点， 且
，则 的最小值是（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
【答案】A
【详解】由 得
取 边中点为 ,则 ,
因此可知： 在过 且与 平行的中位线上，
由 得 ,由于 为三角形的内角，因此 ,
所以 ,所以 ,
因此 ,
设 ，
故 ，当且仅当 时，即 时，等号成立，
故最小值为8，
故选：A
5．（2022·安徽·砀山中学高三阶段练习）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
， ，若点M满足 ，且 ，则 的面积
为_________________．
【答案】 ##
【详解】∵ ，∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ．
在 中， ，
在 中， ，
联立两式，整理得 ①；在 中，
由余弦定理得， ②，
解得 ， ，∴ ，
∵ ，∴ ．
6．（2022·江苏常州·高三期中）在 中， ， ， 边上的中线长为
，则 的面积为______．
【答案】
【详解】解：因为 ，由正弦定理可得 ，
又 ，所以 ，设 中点为 ， ，
所以
所以 ，解得 ，
所以 ，所以 ．
故答案为： .
7．（2022·四川省成都市新都一中高三阶段练习（文））在 中， ，点D在线段AC上，且
， ，则 面积的最大值为_________．
【答案】
【详解】设 ，则 ，
在 中，由余弦定理，得
，
在 中，由余弦定理，得
，
由于 ，得 ，
即 ，整理，得 ，
在 中，由余弦定理，得
，即 ，代入 式化简整理，
得 ，
由 ，解得 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 面积的最大值为 .
故答案为： .
8．（2022·全国·高三专题练习）在 中，内角 的对边分别为 ，且 ， ，
，则 的面积为_______．
【答案】
【详解】解：解法1： ，又 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，又 ，∴ ，
∵ ，
∴ ， ．
解法2：由射影定理， ，又由题意， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
又 ，
∴ ， ．
故答案为：
第三部分：冲刺重难点特训
一、单选题
1．（2022·安徽·砀山中学高三阶段练习）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
2．（2022·江苏南通·高三期中）已知 ， ，则 等于( )
A． B． C． D．
【答案】C【详解】
．
故选：C．
3．（2022·河南·汝阳县一高高三阶段练习（理））若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】 ，故 ， .
故选：B
4．（2022·湖北·宜都二中高三期中） 等于（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【详解】 .
故选：C.
5．（2022·广东肇庆·高三阶段练习） 的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【详解】
.
故选：A.
6．（2022·广东肇庆·高三阶段练习）《周髀算经》是我国最早的数学典籍，书中记载：我国早在商代时期，数学家商高就发现了勾股定理，亦称商高定理三国时期数学家赵爽创制了如图1的“勾股圆方图”
（以弦为边长得到的正方形 是由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成），用数形
结合法给出了勾股定理的详细证明.现将“勾股圆方图”中的四条股延长相同的长度得到图2.在图2中，若
， ，G，F两点间的距离为 ，则“勾股圆方图”中小正方形的面积为（ ）
A．9 B．4 C．3 D．8
【答案】B
【详解】由条件可得 .
在 中，由余弦定理得 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴“勾股圆方图”中小正方形的边长为 ，
∴面积为4.
故选：B
7．（2022·宁夏·银川一中高三阶段练习（理））已知 ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
ABC是锐角三角形，且满足 ，△若 ABC的面积 ，则 的取值
△范围是（ ） △
A． B．
C． D．
【答案】A【详解】因为 ，即 ，由余弦定理可得 ，
即 ，又 ，故可得 ，由正弦定理可得：
，则 ，
，又 均为锐角，故可得 ，即 ；
由 可得 ，又 ，故可得 ；
由 ，可得 ；
又
，
又 ， ，解得 或 （舍去负值）,
则 ，即 的取值范围是 .
故选：A.
8．（2022·江西省丰城中学高三期中（文））已知 是 内部的一点， ， ， 所对的边分别
为 ， ， ，若 ，则 与 的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由正弦定理 ,又 ， ， ，所以得 ,
因为 ,所以 .
设 可得 则 是 的重心，
，利用 , ,所以
,所以 ,同理可得 , .所以与 的面积之比为 即为 .
故选：A.
二、多选题
9．（2022·重庆·高三阶段练习）在 中， ， ， 为内角 ， ， 的对边， ，记 的
面积为 ，则（ ）
A． 一定是锐角三角形 B．
C．角 最大为 D．
【答案】BCD
【详解】A选项，取 ，但△ABC显然为直角三角形，故A错误；
B选项，由 ，以A，C为焦点、2b为长轴长的椭圆上运动，
结合椭圆的几何性质知，当B为短轴端点时△ABC面积最大，
且为 ，故B正确；
C选项， ，
当且仅当 时取等号，故 ，故C正确；
D选项， ，
，
，
显然 ，故 ，即 ，即 ，故D正确.
故选：BCD.
10．（2022·河北·高三阶段练习）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．3
【答案】AD
【详解】因为 ，又 ，
，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
解得 或3，
故选：AD.
三、填空题
11．（2022·江西赣州·高三阶段练习（文））若 是第二象限角，且
，则 等于___________.
【答案】5
【详解】 ，
由于 是第二象限角，所以 ，
所以 .
故答案为：
12．（2022·全国·高三阶段练习（理））锐角 中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，有
，且 ，则 的取值范围为________________．
【答案】【详解】因为 ，所以由余弦定理得 ．
因为 为锐角三角形，所以 ．所以 ，即 ．
因为 为锐角三角形，所以 解得 ．
由正弦定理 ，得
．
所以 ．
因为 ，所以 ，所以 ．
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，即
．在 中，由两边之和大于第三边，得 ．
综上所述： ．
故答案为：
13．（2022·天津·高三期中）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ， ，
成等差数列，若 ，则b边的最小值为______.
【答案】2
【详解】由题意得， ，
又 ，所以 ，则 ，
因为 ，所以 ，当且仅当
时，等号成立，所以 的最小值为2.
故答案为：2.
14．（2022·河南安阳·高三阶段练习（文））在 中，角 所对的边分别为 ，若，且 ，则 __________．
【答案】
【详解】 中， ， ，
，
由正弦定理有 ， ，
由 ，得 ，
有 ，即 ，
，得 ，
由 ，可得 ，
即 ，代入 ，
得 ，∴ ，
由余弦定理，
，得 ，
故答案为：
