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专题5.21 平移与命题、定理、证明（直通中考）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023·湖南郴州·统考中考真题）下列图形中，能由图形 通过平移得到的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式 时，若
平移到 ， ， ，则 的平移距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．12
3．（2022·浙江湖州·统考中考真题）如图，将 ABC沿BC方向平移1cm得到对应的 A′B′C′．若
B′C=2cm，则BC′的长是（ ） △ △
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
4．（2023·四川南充·统考中考真题）如图，将 沿 向右平移得到 ，若 ， ，
则 的长是（ ）A．2 B． C．3 D．5
5．（2019·江苏常州·统考中考真题）判断命题“如果 ，那么 ”是假命题，只需举出一个
反例，反例中的n可以为（ ）
A． B． C．0 D．
6．（2022·江苏无锡·统考中考真题）下列命题中，是真命题的有（ ）
①对角线相等且互相平分的四边形是矩形 ②对角线互相垂直的四边形是菱形
③四边相等的四边形是正方形 ④四边相等的四边形是菱形
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
7．（2022·上海·统考中考真题）下列说法正确的是（ ）
A．命题一定有逆命题 B．所有的定理一定有逆定理
C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题
8．（2023·湖南怀化·统考中考真题）如图，平移直线 至 ，直线 ， 被直线 所截，
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·安徽·统考中考真题）设a，b，c为互不相等的实数，且 ，则下列结论正确的是
（ ）
A． B． C． D．
10．（2014·广西钦州·中考真题）如图，在6个边长为1的小正方形及其部分对角线构成的图形中，如
图从A点到B点只能沿图中的线段走，那么从A点到B点的最短距离的走法共有（ ）A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2013·广东佛山·中考真题）命题“对顶角相等”的条件是 ．
12．（2011·山东日照·中考真题）将“平行于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那
么……”的形式为 .
13．（2022·江苏无锡·统考中考真题）请写出命题“如果 ，那么 ”的逆命题： ．
14．（2020·山东淄博·统考中考真题）如图，将△ABC沿BC方向平移至△DEF处．若EC＝2BE＝2，则
CF的长为 ．
15．（2023·山东淄博·统考中考真题）在边长为1的正方形网格中，右边的“小鱼”图案是由左边的
图案经过一次平移得到的，则平移的距离是 ．
16．（2007·江苏扬州·中考真题）用等腰直角三角板画 ，并将三角板沿 方向平移到如
图所示的虚线处后绕点 逆时针方向旋转 ，则三角板的斜边与射线 的夹角 为 ．
17．（2011·湖南益阳·中考真题）如图，将 ABC 沿直线AB向右平移后到达 BDE的位置，若 CAB
＝50°， ABC＝100°，则 CBE的度数为 ．18．（2011·湖北鄂州·中考真题）如图：矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长
之和为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2005·江苏无锡·中考真题）已知图1和图2中的每个小正方形的边长都是1个单位.
（1）将图1中的格点△ABC，先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到△A B C ，请你在图1
1 1 1
中画出△A B C .
1 1 1
（2）在图2中画出一个与格点△DEF相似但相似比不等于1的格点三角形.20．（8分）（2018·江苏南京·校联考一模）如图，将△ABC沿BC方向平移到△DEF，DE交AC于点
G．若BC＝2，△GEC的面积是△ABC的面积的一半，求△ABC平移的距离．
21．（10分）（2023·广东佛山·校考一模）如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，
的顶点都在方格纸的格点上．
（1）将 平移后得到 ，图中标出了点 的对应点 ，请补全 ；
（2）连接 、 ，则这两条线段之间的关系是__________；
（3）点 为格点，且 （点 与点 不重合），满足这样条件的 点有__________个．
22．（10分）（2013·浙江绍兴·中考真题）如图，矩形ABCD中，AB=6，第1次平移将矩形ABCD沿AB
的方向向右平移5个单位，得到矩形A B C D ，第2次平移将矩形A B C D 沿A B 的方向向右平移5个单位，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
得到矩形A B C D …，第n次平移将矩形A B C D 沿A B 的方向平移5个单位，得到矩形
2 2 2 2 n﹣1 n﹣1 n﹣1 n﹣1 n﹣1 n﹣1A B C D （n＞2）．
n n n n
（1）求AB 和AB 的长．
1 2
（2）若AB 的长为56，求n．
n
23．（10分）（2011·江苏南京·中考真题）应用探究题 在图①中，已知长方形的长和宽分别为a，
b，将线段AA 向右平移1个单位长度到BB 的位置，得到封闭图形AABB（即阴影部分）．
1 2 1 2 1 2 2 1
在图②中，将折线AAA 向右平移1个单位长度到折线BBB 的位置，得到封闭图形AAABBB
1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 2 1
（即阴影部分）．
（1）在图③中，请你画一条类似的有两个折点的折线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封
闭图形，并用阴影表示；
（2）请你分别写出前三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：S，S，S；
1 2 3
（3）联想与探索：
如图④，在一块长方形草地上，草地的长和宽仍分别为a，b，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方
的水平宽度都是1个单位长度），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少，并说明你的猜想是正确的．
24．（12分）（2020下·浙江杭州·七年级统考期中）小明同学在完成七年级下册数学第1章的线上学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下．
（1）如图1，已知AB∥CD，则∠AEC=∠BAE+∠DCE成立吗？请说明理由．
（2）如图2，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC．BE、DE所在直线交于点E，若
∠FAD=50°，∠ABC=40°，求∠BED的度数．
（3）将图2中的线段BC沿DC所在的直线平移，使得点B在点A的右侧，若∠FAD=m°，
∠ABC=n°，其他条件不变，得到图3，请你求出∠BED的度数（用含m，n的式子表示）．
参考答案：
1．B
【分析】根据平移的定义：在平面内，把一个图形整体沿某一方向移动，这种图形的平行移动，叫做
平移变换，结合各选项所给的图形即可作出判断．
解：观察图形可知，B中图形能由图形 通过平移得到，A，C，D均不能由图形 通过平移得到；
故选B．
【点拨】本题考查平移．熟练掌握平移的性质，是解题的关键．
2．B
【分析】根据平移的方向可得， 平移到 ，则点 与点 重合，故 的平移距离为
的长．
解：用平移方法说明平行四边形的面积公式 时，将 平移到 ，
故平移后点 与点 重合，则 的平移距离为 ，
故选：B．
【点拨】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
3．C
【分析】据平移的性质可得BB′=CC′=1，列式计算即可得解．
解：∵△ABC沿BC方向平移1cm得到 A′B′C′，
∴BB′=CC′=1cm， △
∵B′C=2cm，∴BC′= BB′+ B′C+CC′=1+2+1=4（cm）．
故选：C．
【点拨】本题考查了平移的性质，熟记性质得到相等的线段是解题的关键．
4．A
【分析】利用平移的性质得到 ，即可得到 的长．
解：∵ 沿 方向平移至 处．
∴ ，
故选：A．
【点拨】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图
形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个
点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．
5．D
【分析】反例中的 满足 ，使 ，从而对各选项进行判断．
解：当 时，满足 ，但 ，
所以判断命题“如果 ，那么 ”是假命题，举出 ．
故选：D．
【点拨】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．
要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
6．B
【分析】直接利用平行四边形以及矩形、菱形、正方形的判定方法分别分析进而得出答案．
解：①对角线相等且互相平分的四边形是矩形，正确；
②对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故原命题错误；
③四边相等的四边形是菱形，故原命题错误；
④四边相等的四边形是菱形，正确．
故选：B．
【点拨】此题主要考查了命题与定理，正确把握特殊四边形的判定方法是解题关键．
7．A
【分析】根据命题的定义和定理及其逆定理之间的关系，分别举出反例，再进行判断，即可得出答案．
解：A、命题一定有逆命题，故此选项符合题意；
B、定理不一定有逆定理，如：全等三角形对应角相等没有逆定理，故此选项不符合题意；
C、真命题的逆命题不一定是真命题，如：对顶角相等的逆命题是：相等的两个角是对顶角，它是假命题而不是真命题，故此选项不符合题意；
D、假命题的逆命题定不一定是假命题，如：相等的两个角是对顶角的逆命题是：对顶角相等，它是
真命题，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点拨】本题考查了命题与定理，掌握好命题的真假及互逆命题的概念是解题的关键．把一个命题的
条件和结论互换就得到它的逆命题，所有的命题都有逆命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题．
8．B
【分析】根据平移可得 ，根据平行线的性质以及对顶角相等，即可求解．
解：如图所示，
∵平移直线 至
∴ ， ，
∴ ,
又∵ ，
∴ ，
故选：B．
【点拨】本题考查了平移的性质，平行线的性质，对顶角相等，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
9．D
【分析】举反例可判断A和B，将式子整理可判断C和D．
解：A．当 ， ， 时， ，故A错误；
B．当 ， ， 时， ，故B错误；
C． 整理可得 ，故C错误；
D． 整理可得 ，故D正确；
故选：D．
【点拨】本题考查等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键．10．C
解：如图，由题意和“两点之间线段最短”及“平行四边形的对边相等”可知，由A到B的最短距离
的走法有下面三种：
（1）由A→C→D→B；（2）由A→F→E→B；（3）由A→F→D→B.
故选C.
11．两个角是对顶角
【分析】根据命题由题设与结论组成可得到对顶角相等”的“条件”是若两个角是对顶角，结论是这
两个角相等．
解：“对顶角相等”的“条件”是两个角是对顶角.
故答案为两个角是对顶角.
【点拨】本题考查了写命题的题设和结论，熟练掌握条件和结论是解题的关键.
12．如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行
【分析】命题由题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，
“那么”后面接结论．
解：命题可以改写为：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行．
故答案为：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行
【点拨】任何一个命题都可以写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接
结论．在改写过程中，不能简单地把题设部分、结论部分分别塞在“如果”、“那么”后面，要适当增减
词语，保证句子通顺而不改变原意．
13．如果 ，那么
【分析】根据逆命题的概念解答即可．
解：命题“如果 ，那么 ”的逆命题是“如果 ，那么 ”，
故答案为：如果 ，那么 ．
【点拨】此题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而
第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题
的逆命题．14．1
【分析】利用平移的性质得到BE＝CF，再用EC＝2BE＝2得到BE的长，从而得到CF的长．
解：∵△ABC沿BC方向平移至△DEF处．
∴BE＝CF，
∵EC＝2BE＝2，
∴BE＝1，
∴CF＝1．
故答案为1．
【点拨】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图
形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个
点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．
15．6
【分析】确定一组对应点，从而确定平移距离．
解：如图，点 是一组对应点， ，所以平移距离为6；
故答案为：6
【点拨】本题考查图形平移；确定对应点从而确定平移距离是解题的关键．
16．
【分析】根据平移的性质，对应线段平行，再根据旋转角为22°进行计算．
解：如图，
根据题意，得∠AOB=45°，M处三角板的45°角是∠AOB的对应角，
根据三角形的外角的性质，可得
三角板的斜边与射线OA的夹角为22°．
故答案为22．
【点拨】平移的基本性质是：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行
且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．本题关键是利用了对应线段平行且对应角相等的性质．
17． /30度
解：∵将△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置，
∴AC∥BE，
∴∠CAB=∠EBD=50°，
∵∠ABC=100°，
∴∠CBE的度数为：180°-50°-100°=30°．
故答案为：30°．
18．28
解：由矩形性质可知∠B=90°，对角线AC=10，BC=8可运用勾股定理得AC=6；再利用平移的知识将每
个小矩形的边分别上、下、左、右平移即可发现5个小矩形的周长之和是矩形ABCD的周长=（6+8）
×2=28．
19．（1）
（2）答案不唯一.
解：（1）根据平移作图的规律作图即可；
（2）任意作一个位似图形即可，相似比可以是1：2等等20．
【分析】移动的距离可以视为FC或BE的长度，根据题意可知 ABC与阴影部分为相似三角形，且面
△
积比为2：1，所以BC：EC= ：1，推出EC= ，所以BE=2- .
解：由平移得：∠B＝∠DEF，
又∵点B、E、C、F在同一条直线上
∴AB∥DE，
∴△CGE∽ CAB．
△
∴ ．
∵BC＝2，
∴ ．
∴EC＝ ．
∴BE＝BC―EC＝2― ．
即平移的距离为2― ．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质、平移的性质，求证 ABC与阴影部分为相似三角形是
解答本题的关键. △
21．（1）见分析；（2） ， ；（3）4
【分析】（1）根据题意找到平移后点 的对应点 ，顺次连接即可求解；
（2）根据平移的性质即可求解；
（3）根据网格的特点，找到过A点与 平行的直线，根据平行线间的距离相等，可得等底同高的三
角形面积相等，据此即可求解．
（1）解：如图所示， 即为所求；
（2）解：根据平移的特点，可知 ， ，
；
故答案为： ， ；
（3）解：如图，符合题意的点 有 个
故答案为： ．
【点拨】本题考查了平移作图，平移的性质，三角形的面积公式，平行线间的距离，掌握平移的性质
是解题的关键．
22．（1）AB =11 AB =16；（2）n=10
1 2
解：（1）∵AB=6，第1次平移将矩形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位，得到矩形A B C D ，
1 1 1 1
第2次平移将矩形A B C D 沿A B 的方向向右平移5个单位，得到矩形A B C D …，
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2∴AA =5，A A =5，A B =A B ﹣A A =6﹣5=1，
1 1 2 2 1 1 1 1 2
∴AB =AA +A A +A B =5+5+1=11．
1 1 1 2 2 1
∴AB 的长为：5+5+6=16．
2
（2）∵AB =2×5+1=11，AB =3×5+1=16，……，∴AB =（n+1）×5+1．
1 2 n
∴由AB =（n+1）×5+1=56解得：n=10．
n
（1）根据平移的性质得出AA =5，A A =5，A B =A B ﹣A A =6﹣5=1，进而求出AB 和AB 的长．
1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 2
（2）根据（1）中所求得出数字变化规律，进而得出AB =（n+1）×5+1求出n即可．
n
23．（1）答案不唯一，如图①见分析；（2）b（a－1） b（a－1） b（a－1）；（3）猜想草地的
面积仍然是b（a－1）．理由见分析.
【分析】（1）根据题意，直接画图即可，注意答案不唯一，只要画一条有两个折点的折线，得到一
个封闭图形即可；
（2）结合图形，根据平移的性质可知，①②③中阴影部分的面积都可看作是以（a-1）为长，b为宽
的长方形的面积；
（3）将矩形中空白部分相对平移，正好组成一个新的矩形，这些矩形的宽（竖直方向的边长均为b）
不变，长都是减少了1个单位（水平方向的边长均为a-1），所以空白部分的面积是b（a-1）．
解：（1）答案不唯一，如图①.
图①
（2）b（a－1） b（a－1） b（a－1）
（3）猜想：依据前面的有关计算，可以猜想草地的面积仍然是b（a－1）．
方案：（Ⅰ）将“小路”沿着左右两个边界“剪去”；
（Ⅱ）将左侧的草地向右平移1个单位长度；
（Ⅲ）得到一个新长方形，如图②.
图②
理由：在新得到的长方形中，其纵向宽仍然是b，而水平方向的长变成了a－1，所以草地的面积是b
（a－1）．
【点拨】本题考查平移的性质．24．（1）成立，理由见分析；（2）45°；（3）∠BED的度数改变，∠BED=180°﹣ n°+ m°．
【分析】（1）根据平行线的性质即可得到结论；
（2）先过点E作EH∥AB，根据平行线的性质和角平分线的定义，即可得到结论；
（3）过E作EG∥AB，根据平行线的性质和角平分线的定义，即可得到结论．
解：（1）如图1中，作EF∥AB，则有EF∥CD，
∴∠1=∠BAE，∠2=∠DCE，
∴∠AEC=∠1+∠2=∠BAE+∠DCE．
（2）如图2，过点E作EH∥AB，
∵AB∥CD，∠FAD=50°，
∴∠FAD=∠ADC=50°．
∵DE平分∠ADC，∠ADC=50°，
∴∠EDC= ∠ADC=25°．
∵BE平分∠ABC，∠ABC=40°，
∴∠ABE= ∠ABC=20°．
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EH，
∴∠ABE=∠BEH=20°，∠CDE=∠DEH=25°，
∴∠BED=∠BEH+∠DEH=45°．（3）过点E作EG∥AB．
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=n°，∠ADC=∠FAD=m°，
∴∠ABE= ∠ABC= n°，∠CDE= ∠ADC= m°
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EG，
∴∠BEG=180°﹣∠ABE=180°﹣ n°，∠CDE=∠DEG= m°，
∴∠BED=∠BEG+∠DEG=180°﹣ n°+ m°．
故答案为：180°﹣ n°+ m°．
【点拨】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是
正确的作出辅助线．
