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第 2 讲 不等式的性质及其解法
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
1.两个实数比较大小的方法
(1)作差法
(2)证明不等式还常用综合法、反证法和分析法.
2.不等式的性质
(1)不等式的性质
①可加性：a>b a＋c>b＋c；
②可乘性：a>b，c>0 ac>bc；
⇔
a>b，c<0 acb，b>c a > c ；
⇒
④对称性：a>b bc a>c－b；
②同向不等式相加：a>b，c>d a ＋ c > b ＋ d ；
⇔
③同向不等式相乘：a>b>0，c>d>0 ac > bd ；
⇒
④可乘方性：a>b>0 a n > b n (n∈N，n>1)；
⇒
⑤可开方性：a>b>0 >.
⇒
3.绝对值不等式的解法
⇒
(1)含绝对值的不等式|x|a的解集
不等式 a>0 a＝0 a<0
|x|a (－∞，－a)∪(a，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) R
(2)|ax＋b|≤c (c>0)和|ax＋b|≥c (c>0)型不等式的解法
①|ax＋b|≤c － c ≤ a x ＋ b ≤ c；
②|ax＋b|≥c ax ＋ b ≥ c 或 ax ＋ b ≤ － c .
⇔
(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法
⇔
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
③通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想.
4.三个“二次”间的关系判别式
Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
Δ＝b2－4ac
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a＞0)的图像
一元二次方程
有两相异实根x ， 有两相等实根
1
ax2＋bx＋c＝0 没有实数根
x (x ＜x ) x ＝x ＝－
2 1 2 1 2
(a＞0)的根
ax2＋bx＋c＞0
R
(a＞0)的解集
ax2＋bx＋c＜0
{ x | x ＜ x ＜ x } ∅ ∅
1 2
(a＞0)的解集
5.一般地，如果x ＜x ，则不等式(x－x )(x－x )＜0的解集是 ( x ， x )，不等式(x－x )·(x－x )＞0
1 2 1 2 1 2 1 2
的解集是 ( － ∞ ， x ) ∪ ( x ，＋ ∞ ).
1 2
6.分式不等式及其解法
(1)>0(<0) f ( x )· g ( x )>0(<0) .
(2)≥0(≤0) f ( x )· g ( x ) ≥ 0( ≤ 0) 且 g ( x ) ≠ 0 .
⇔
⇔
二、考点和典型例题
1、不等式的性质
【典例1-1】（2022·安徽·芜湖一中高三阶段练习（文））已知 ，且 ，则以下
不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
， ， ，故A，B正确；
，即 ，故C正确；
对 两边同除 得 ，故D错误.
故选：D.【典例1-2】（2022·安徽黄山·二模（文））设实数 、 满足 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
对于A：当 ， 时不成立，故A错误；
对于B：当 ， ，所以 ， ，即 ，故C错误；
对于C：当 时不成立，故C错误；
对于D：因为 ，所以 ，又 ，
所以 （等号成立的条件是 ），故D正确.
故选：D.
【典例1-3】（2022·重庆八中模拟预测）（多选）已知 ， ，且 ，则下列不等关系成
立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【详解】
对于A，由 ， ，当且仅当 时等号成立，
， ， ，
当且仅当 时等号成立，故A正确；
对于B，由 ，得 ，
由基本不等式得 ，当且仅当a=b=1时成立；
故B正确；
对于C，若 满足 ， ，故C错误；
对于D，∵ ，∴ ，由B的结论得 ，，
，故D正确；
故选：ABD.
【典例1-4】（2022·广东汕头·二模）（多选）已知a，b，c满足c0 B．c（b-a）<0 C． D．
【答案】BCD
【详解】
解：因为a，b，c满足c0时，不等式的解集为 或 ；
当a=0时，不等式的解集为 且 ；
当a<0时，不等式的解集为 或 .【典例2-3】（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ， ，求证：
(1) ；
(2) .
【解析】
(1)
由题意，因为 ，且 ，
所以 ，当且仅当 时，取“=”，
所以 ，所以 ．
(2)
由 ，
所以
，
，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ．
【典例2-4】（2022·安徽·芜湖一中三模（文））已知函数 ．
(1)求函数 的值域；
(2)已知 ， ，且 ，不等式 恒成立，求实数x的取值范围．
【答案】(1) (2)
【解析】
(1)解：当 时， ；
当 时， ；
当 时， ，所以 ，
综上函数 的值域为
(2)
因为 ， ，当且仅当 ，即
时等号成立，要使不等式 恒成立，只需 ，即 恒成立，由
（1）知当 时， 不合题意；当 时，
恒成立；当 时，
，解得 ，综上 ，所以x的取值范围为 .
【典例2-5】（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（文））已知a，b，c为正数.
(1)求 的最小值；
(2)求证： .
【解析】
(1)
因为 ，当且仅当“ ”时等号成立，
所以当 时， 的最小值为 .
(2)因为 ，同理 ， ，
所以三式相加得 ，
所以 ，当且仅当“ ”时等号成立
3、不等式的综合应用
【典例3-1】（2021·宁夏·青铜峡市宁朔中学高三阶段练习（文））若函数 对任意 有
恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
由题意，函数 对任意 有
（1）当 时， 成立；
（2）当 时，函数为二次函数，若满足对任意 有 ，则
综上：
故选：A
【典例3-2】（2022·全国·高三专题练习）若关于 的不等式 的解集中恰有 个正整数，
则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【详解】
因为不等式 的解集中恰有 个正整数，
即不等式 的解集中恰有 个正整数，
所以 ，所以不等式的解集为
所以这三个正整数为 ，所以 ，即
故选：D
【典例3-3】（2022·浙江·高三专题练习）若不等式 对任意实数x恒成立，则实数m的取
值范围为_______.
【答案】
【解析】
【详解】
当m=0时不等式为 ,显然对于任意实数x恒成立；
当m≠0时，不等式 对任意实数x恒成立等价于 ,
解得 ,
所以m的取值范围是 ,
故答案为： .
【典例3-4】（2021·福建省南平市高级中学高三阶段练习）命题“ ， ”为假命题，
则实数 的取值范围是___________.
【答案】
【详解】
若原命题为假命题，则其否定“ ， ”为真命题，这等价于 ，解得 ,
故答案为： .
【典例3-5】（2021·黑龙江·嫩江市高级中学高三阶段练习（理））已知函数 ，
（1）若 恒成立，求 的范围．
（2）求 的最小值 ．
【答案】（1） ；（2） ．
【详解】
解：（1） ， ， ， ，
，当且仅当 时成立，∴ ，
．
（2）当 即 时， ；
当 即 时， ，
综上， ．
