文档内容
2025 年安徽省芜湖市部分学校中考三模数学试题（5 月）
注意事项：
1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每题4分，满分40分）每小题都给出（A、B、C、D）四个
选项，其中只有一个是满足题目要求的．
1. －8的绝对值是【 】
A. 8 B. C. － D. －8
【答案】A
【解析】
【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义，
【详解】解：在数轴上，点－8到原点的距离是8，
所以－8的绝对值是8，
故选A．
2. 据统计，2024年前三季度我国货物贸易进出口总值突破32万亿，其中32万亿元用科学记数法表示为（
）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【点睛】本题考查了科学记数法表示绝对值大于 的数，理解表示方法 “一般形式为 ，其中
，n为整数，且n比原来的整数位数少1．”是解题的关键．
【详解】解：由题意得
32万亿 ，
故选：D．
3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ）A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体，根据几何体的三视图的特点进行判断即可．
【详解】解：由三视图可知几何体是： ．
故选：A．
4. 的计算结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了幂的乘方及同底数幂的除法运算，先进行幂的乘法运算，再进行单项式除以单项式运
算，即可求解；能熟练利用幂的乘方及同底数幂的除法法则进行求解是解题的关键．
【详解】解：原式
，
故选：D．
5. 如图，D，E两点分别在 的两边 ， 上，连接 ，已知 ，则 （
）A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查邻补角性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
先根据邻补角性质求得 ，再根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：C．
6. 已知实数a，b，c满足 ，则下列结论正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算与等式性质，解题关键是通过对已知等式进行运算求出 、 、 的值．
本题可根据已知条件求出 、 、 的值，再逐一分析选项．
【详解】∵ ， ，
∴ ，
，
．
把 代入 ，
解得 ．∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
A．因为 ，所以 ，该选项错误，不符合题意；
B．由前面计算可知 ， ，所以 ，该选项正确，符合题意；
C．因为 ，所以 ，该选项错误，不符合题意；
D．因为 ，所以 ，该选项错误，不符合题意；
故选：B．
7. 如图， 的斜边 切 于点C， 交 于点D， 交 于点E， 的延长线与
的延长线交于点 ．已知 ，则劣弧 的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查直角三角形的性质和切线的性质，由 是直角三角形，得 ，得
出 ， 由 是 的 切 线 ， 得 出 ， 由 即 可 得 出， 由 得 ， 故 可 得 出 ， 得 出
，故可得出 ，根据弧长计算公式可得结论．
【详解】解：∵ 是直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的切线，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴劣弧 的长为 ．
故选：A．
8. 已知一次函数 与反比例函数 的图象交于 两点，当一次函数的值小
于反比例函数的值时， 的取值范围是（ ）A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数的解析式，函数的图
象等知识点的应用，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力．把A的坐标代入反比例函数，求出反比
例函数的解析式，把B的坐标代入反比例函数的解析式求出B的坐标，根据A、B的横坐标结合图象即可
得出答案．
【详解】解：把 代入 得： ，
即反比例函数的解析式是 ，
把 代入 得： ，解得： ，
即B的坐标是 ，
所以当一次函数的值大小于反比例函数的值时，自变量x的取值范围是 或 ，
故选：C．
的
9. 在凸五边形 中，点 在 边上，点 在 延长线上， 与 平行且相等，不能
推出 与 一定平行的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，根据题意画出示意图，由各选项条件判定四边形
是否是平行四边形，即可解答．
【详解】解：如图，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，即 ，
A、∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，故选项A不符合题意；
B、∵ ，如图：
四边形 可能是等腰梯形，∴不能推出 与 一定平行，故选项B符合题意；
C、∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，故选项C不符合题意；
D、∵ ，
∴ ，
同理C选项，得 ，
∴ ，故选项D不符合题意；
故选：B．
10. 如图，在 中， ，以 为边作正方形 ，连接 ，设
，四边形 的面积为 ，则 关于 的函数图象为（ ）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了动点问题与二次函数的综合、全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用．如图，连
接 ，作 ，与 的延长线交于点 ，作 于点 ，证明 ，
得 ， 再 根 据 可 得 且
，观察图象可知选选项D．
【详解】解：如图，连接 ，作 ，与 的延长线交于点 ，作 于点 ，
又 ，
∴四边形BCFG为矩形．
，
∴ ，
．
在
和 中，，
∴ ，
，
∴ ，
设 ，则 ．
∴
，
．
，
∴ 且 ，
观察图象可知D符合函数关系，
故选D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 若分式 有意义，则 的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是正确理解分式有意义的条件．
根据分母不为零即可求出答案．【详解】解：∵分式 有意义，
∴
∴ ．
故答案为： ．
12. 为了比较 与 的大小，我们可以构造如图所示的图形进行推算，其中 ， ，
点 在 上且 ， ．通过计算可得 ______ ．（填“>”“<”或“=”）
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，勾股定理的应用，以及三角形的三边的关系，解答此题的
关键是要明确：在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
首先根据 ， 在 上且 ，求出 的值，然后在 中，求出 的值，在
中，求出 的值，在根据三角形的三边的关系，判断出 与 的大小即可．
【详解】解： ， ，
在 中， ，
， ，
在 中， ，
， 在 上且 ，
，在 中， ，
．
故答案为： ．
13. 从“熔化”“燃烧”“遗传”“升华”4种现象中同时任选2种，都属于物理现象的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了用表格或树状图求概率，根据题意画出表格得出所有等情况数和都属于物理现象的情
况数，再根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：由题意得：从“熔化”“燃烧”“遗传”“升华”4种现象中，属于物理现象的有“熔化”
“升华”两种，列表格如下：
熔化 燃烧 遗传 升华
熔化 （熔化，燃烧） （熔化，遗传） （熔化，升华）
燃烧 （燃烧，熔化） （燃烧，遗传） （燃烧，升华）
遗传 （遗传，熔化） （遗传，燃烧） （遗传，升华）
升华 （升华，熔化） （升华，燃烧） （升华，遗传）
共12种等可能出现的情况，从“熔化”“燃烧”“遗传”“升华”4种现象中同时任选2种，其中都属于
物理现象的有2种，故都属于物理现象的概率是 ，
故答案为： ．
14. 如图， 的2个内角 与 的角平分线相交于点 ．
（1）设 ，则 ______．（用含 的式子表示）
（2）过 的直线分别交 ， 于D，E两点， ， 的面积分别记为 ， ．若， 的周长为8，则 的值为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】此题考查了角平分线的性质定理，和角平分线有关的三角形内角和问题，解题的关键是掌握以上
知识点．
（1）首先求出 ，然后由角平分线求出 ，
，进而求解即可；
（2）如图，连接 ，作 于点 于点 于点 ，首先根据角平分线的性质
定理得到 ，然后表示出 ，
，然后结合 求解即可．
【详解】（1）
与 的平分线相交于点
，；
故答案为： ．
（2）如图，连接 ，作 于点 于点 于点 ，
∵ 平分 ， ，
∴
同理可得
∴
．
的周长为．
故答案为： ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解不等式：
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查解一元一次不等式，根据去分母、移项、合并同类项、系数化为1，求出不等式的
解集即可．
【详解】解： ，
去分母，得 ，
移项、合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ．
16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段 的两个端点均为格点（网格线的
交点），过格点的直线 与线段 相交于格点O，且 ．
（1）画出线段 关于直线 对称的线段 （其中 为 的对应点）
（2）将线段 绕点 逆时针旋转 ，得到线段 ，画出线段 （其中 为 的对应点）．（3）在网格内找到两个格点 、 （ 、 均不与点 重合），使得 均在 的角平分线上，画
出线段 ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了轴对称作图、旋转作图，正方形的判定及性质；
（1）由轴对称的性质作出 、 关于直线 的对称点，即可求解；
（2）由旋转的性质作出 、 逆时针旋转 的对应点，即可求解；
（3）由正方形的判定方法作出 、 为边的正方形，由正方形的性质得 、 在对角线上，即可求解．
能熟练利用轴对称的性质及旋转的性质作图，并能根据正方形的判定及性质作图是解题的关键．
【小问1详解】
解：如图，
线段 即所求；
【小问2详解】
解：如图，线段 即所求；
【小问3详解】
解：如图，
线段 即所求．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 某品牌电动汽车的价格逐年下降，2024年下降的百分数是2023年的2倍，具体单价见下表所列．设
2023年降价的百分数为 ．
年份 单价／万元
2022
年
2023
年
2024
年
（1）用含 的代数式表示2023年该电动汽车的价格；
（2）求2024年该电动汽车降价的百分数．【答案】（1）2023年该电动汽车的价格为 万元
（2）2024年降价的百分数为
【解析】
【分析】本题考查了列代数式以及利用一元二次方程解决价格变化问题，解题关键是依据降价后的价格与
原价、降价百分数的关系列出方程并正确求解。
（1）根据降价后价格、原价和降价百分数的关系，用含 的式子表示2023年价格。
（2）先根据2023年降价百分数表示出2024年降价百分数，再依据2022到 2024年价格变化列出方程，求
解方程并根据实际情况舍去不合理的值，从而得到2024年降价百分数。
【小问1详解】
解：由题意得，2023年该电动汽车的价格为 万元；
【小问2详解】
年降价的百分数为 ，
∴2024年降价的百分数为
由题意得， ，
解得 或 （不合题意，舍去）．
即2024年降价的百分数为 ．
18. 数学兴趣小组开展探究活动，研究了 均为自然数，且 ）的问
题．研究过程如下：
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
…………
（1）按照以上规律，填空．①请你写出当 时， （ ） （ ） ；
②猜想 （ ）
（2）兴趣
…………
按照以上规律，请你猜想 ______ ______ ______ ，并证明．
【答案】（1）① ，43；②
（2） ， ， ，证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了数字变化的规律及整式的混合运算，能根据所给等式发现各部分的变化规律是解
题的关键．
（1）根据所给等式，观察各部分的变化，发现规律即可解决①②．
（2）根据所给等式，观察各部分的变化，发现规律，并进行证明即可．
【小问1详解】
解：①当 时， ；
②猜想： ．
故答案为：① ，43；② ；
【小问2详解】
解：猜想： ，证明：
，
所以左边 右边，猜想成立．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 某地下车库的入口如图所示，其中 两点之间的距离为
米， 米，请判断 米高的汽车能否通过该入口？并说明理由．（参考数据：
）
【答案】能，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了解直三角形的实际应用，解题关键是通过作垂直构造直角三角形求解．
先利用正切求得 ，再利用余弦求得 与 比较大小，然后作出判断即可．
【详解】解：能．
如图，延长 交 于点 ，过点 作 于点 ，在Rt 中， ，
在 中， ，
米高的汽车能通过该入口．
20. 如图， 内接于 于 ，交 于另一点E， 交 于 ，已知 ，
．
（1）求证： ．
（2）若 ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】【分析】本题考查圆内接三角形相关性质、全等三角形判定与性质以及勾股定理的应用，解题关键是通过
作辅助线，利用圆的性质找到角与边的关系，进而证明三角形全等和计算线段长度．
（1）连接 ，先由 推出 ，进而得到角相等关系，再结合已知 ，利用
判定定理证明 ，从而得出 ．
（2）延长 交 于 ，连接 、 ，通过角的等量代换得到 ，结合 得出
，再根据已知边长和直径所对圆周角是直角，利用勾股定理求出直径 ，进而得到 的长．
【小问1详解】
证明：如图，连接
， ，
，
，
， ，
，
在 和 中，
，
，
；【小问2详解】
解：如图，延长 交 于 ，分别连接 ，
， ， ，
，
，
，
，
， ，
，
是直径，
由勾股定理，得 ，
．
六、（本题满分12分）
21. 综合与实践
【项目背景】
为进一步减轻学生学业负担，提高教学效率，育新中学准备在新学期推出新举措．为此，育新中学需提前
了解学生的学业负担情况．九（1）班同学利用课余时间随机调查了部分九年级学生每天完成课外作业的
平均时间，将其作为样本进行统计，为学校制定新举措提供参考．
【数据收集与整理】
数据收集后，九（1）班同学将部分九年级学生每天完成课外作业的平均时间 （分钟）进行如下分组：
组别 A B C D
整理后并绘制成两幅统计图，部分信息如下：任务1 求图1中 的值．
任务2 求图2中“D”所对应的扇形圆心角的度数．
【数据分与运用】
任务3 已知A组中4个数据为27，28，30，30，B组的中位数为47分钟，求A、B两组中位数的平均
数．
任务4 我校今年只有600名九年级学生，根据样本数据，估计该校九年级学生中每天完成课外作业的
平均时间不超过90分钟的人数．
【答案】任务1：16；任务2： ；任务3：38分钟；任务4：360人
【解析】
【分析】任务1 根据B组的人数和所占的百分比求出总人数，再用总人数减去ABD组人数即可得出C组
人数（即 的值）
任务2 先求出用 乘以B组所占的百分比即可；
任务3 先求出A组中4个数据为27，28，30，30的中位数，进而可求A、B两组中位数的平均数
任务4 用全校总人数乘以ABC三组人数所占百分比即可．
本题主要考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息
是解决问题的关键．
【详解】解：任务1 被调查样本的学生人数 ，
C组人数： ．
任务2 “D”所对应的扇形圆心角的度数为： ．
任务3 组的最中间两个数为 ， ，故A组的中位数为 分钟，两组中位数的平均数为 （分钟）．
任务4 该校九年级学生中每天完成课外作业的平均时间不超过90分钟的人数为
（人）．
答：估计该校九年级学生中每天完成课外作业的平均时间不超过90分钟的人数为360人．
七、（本题满分12分）
22. 在平行四边形 中，E、F两点分别在 和 边上， ，连接 和 ，分别交
于G，H两点．
为
（1）如图1，若平行四边形 菱形．
①求证： ．
②若 ，求 的长．
（2）如图2，分别记 的面积为 ，求证： ．
【答案】（1）①见解析；② 的长为
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）①先根据平行线的性质得出 ，再利用菱形的性质得出
，然后可利用等边对等角，得出 ，再说明 ，从而可利用 证明
，再利用 证明 ，从而可利用全等三角形的性质得出结论成立；
②先证明四边形 为平行四边形，从而可得 ，列出比例式，得到关于 的方程求解，求出 的长；
（2）先利用由平行线截得的线段成比例，列出比例式 ， ，
，从而可利用比例的性质得出 ，结合 两点到 的距离相等，得出结论成立．
【小问1详解】
解：①证明：∵ ，
．
平行四边形 为菱形，
．
．
在 和 中，
．
．
在 和 中，
，
．
②如图，连接 ，， ，
四边形 为平行四边形．
∴ ，
．
设 ，则
，解得 或 （不合题意，舍去）．
即 的长为 ．
【小问2详解】
证明： ，
，
．
又 ，
．
．又 两点到 的距离相等，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质，菱形的性质，等边对等角，全等三角形的判定与性质，由平行线截得
的线段成比例等知识点，解题关键是熟悉上述知识，并能熟练运用求解．
八、（本题满分14分）
23. 在平面直角坐标系中， 为坐标原点，抛物线 为常数，且 与 轴交于点
．
（1）若 ，该抛物线与 轴交于点 ．
①求该抛物线与 轴的另一个交点 的横坐标．
②过线段 上一点 作 轴于E， 的延长线交抛物线于 ，若 ，求 的值．
（2）已知点 在该抛物线上，且直线 经过该抛物线的顶点，设 与 轴， 轴所围成的三角形面积
为 ，且 ，求 的最小值．
【答案】（1）①该抛物线与 轴的另一个交点 的横坐标为1；②1或
（2） 最小值为
【解析】
【分析】（1）①首先待定系数法求出该抛物线的表达式为 ，然后令 求解即可；
②首先求出点 的坐标为 ，求出直线 的表达式为 ，设 ，则
，根据 列方程求出 或 ，然后代入 求解即可；
（2）设直线 的表达式为 ，将抛物线顶点代入得到 ，求出直线AP的表达式为 ，然后令 ，求出 ，然后表示出 ，
然后结合 求解即可．
【小问1详解】
①
．
又 该抛物线与 轴交于点
，解得 ．
该抛物线的表达式为 ．
令 ，即 ，
解得 或 ．
该抛物线与 轴的另一个交点 的横坐标为1．
② 抛物线的表达式为
点 的坐标为 ，
∵
∴可得直线 的表达式为 ．
设 ，则
．
，
解得 或 ．当 时， ，
∴ ；
当 时， ，
∴ ；
的值为1或 ；
【小问2详解】
由题意，设直线 的表达式为 ，
该抛物线的顶点为 ．
直线 经过该抛物线的顶点，
，
解得 ．
直线AP的表达式为 ．
令 ，解得
．
．又 ，
∵ 的对称轴为直线 ，开口向上
当 时， 随 的增大而增大
当 时， 取得最大值3
∴此时 取最小值，最小值为 ．
【点睛】此题考查了一次函数和二次函数综合问题，二次函数和x轴交点问题，二次函数的图象和性质，
待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是掌握以上知识点．
