文档内容
2025 年安徽省初中学业水平模拟考试
数学试题（一）
注意事项：
1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共6页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. -8的倒数是（ ）
A. -8 B. 8 C. - D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据倒数的定义，互为倒数的两数乘积为1，-8×(- )=1，即可解答．
【详解】解：根据倒数的定义得：-8×(- )=1，
因此-8的倒数是- ．
故选：C．
【点睛】此题主要考查倒数的概念及性质，属于基础题，注意掌握倒数的定义：若两个数的乘积是1，我
们就称这两个数互为倒数．
2. 据统计，2024年我国对共建“一带一路”国家合计进出口 万亿元，其中 万亿用科学记数法
表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ＜ ，
为整数．确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相
同．
【详解】解： 万亿用科学记数法表示为
故选：B．
3. 斗拱是中国古代建筑特有的一种部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图，它的主视图为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题关键． 主视图：从正面看到的物体的
形状图；左视图：从左面看到的物体的形状图；俯视图：从上面看到的物体的形状图．
根据三视图的定义求解即可．
【详解】解：A、是构件的主视图，符合题意；
B、不是构件的视图，不符合题意；
C、不是构件的视图，不符合题意；
D、是构件的左视图，不符合题意；
故选：A．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了合并同类项，二次根式的性质，同底数幂的除法，积的乘方，掌握以上的运算法则是
关键．根据合并同类项的法则，二次根式的性质，同底数幂的除法，积的乘方；分别进行各项的判断即可．【详解】解：A. 和 不是同类项，不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
5. 如图，五边形 是 的内接正五边形， 是 的直径，连接 ，交 于点P，则
的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查正多边形与圆，圆周角定理，垂径定理等知识，根据正五边形的性质结合圆周角定理和
垂径定理得 ， ，进而可得答案．
【详解】解：∵ 是 的直径，五边形 是 的内接正五边形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．6. 已知反比例函数 与一次函数 的图象交于点 ，则 的解集为
（ ）
A. B. 或
C. 或 D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了反比例数与一次函数交点问题，先求得 ，进而根据函数图象，即可求解．
【详解】解：∵反比例函数 与一次函数 的图象交于点 ，
∴ ，
解得： ，
故点 ，代入一次函数 ，解得： ，一次函数 ，
函数图象如图，
∴ 的解集为 ，
故选：A．
7. 如图， 中， ， ，点 是 边上一点，点 是 边上一点， ，
过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，则 （ ）A. B. 3 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查全等三角形 的判定和性质、矩形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质等知
识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于
中考常考题型．
如图，过 A 点作 于 H，过 E 点作 于 I，则 ， ，得出
， ，勾股定理算出 ，证明 ，得出 ，证明四
边形 是矩形，得出 ，即可求解．
【详解】解：如图，过A点作 于H，过E点作 于I，
则 ， ，
∵ ， ．
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ．
∴四边形 是矩形．
∴ ，
∴ ，
故选：B．
8. 已知实数a，b，c满足， ， ，则下列结论不正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，代数式求值，等式的性质，根据题意逐项分析判定，即可求解．
【详解】解：A. 若 ，则 ，故A正确，不合题意；
B. 若 ， 则 ，
∵
∴ ，即 ，故B正确，不合题意；
C.∵ ，
∴
若 ，则
∴ ，故C正确，不合题意
D.根据C可得， 若 ，则
∴∵
∴
∴ ，即 所以D选项不正确，符合题意．
故选：D．
9. 如图， 中， ，过点 作 ，垂足为 ， 平分 ，分别交
， 于点 ， ．若 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角形的面积等知识，熟练掌
握相似三角形的判定与性质以及角平分线的性质是解答的关键．设 ， ，利用勾股定理求
得 ， ，再证明 得到 ，再利用角平分
线的性质和三角形的面积得到 即可求解．
【详解】解：∵ ，
设 ， ，∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴点F到 、 的距离相等，又点A到 、 的距离相等，
∴ ，即 ，
故选：D．
10. 已知抛物线 与 轴两个交点间的距离为4，将此抛物线向右平移5个单位长度，再向上
平移3个单位长度，得到一条新抛物线，则新抛物线与 轴两个交点间的距离是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了抛物线与 x轴的交点、二次函数图象与几何变换等知识点，把求二次函数
（a，b，c是常数， ）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程成为解
题的关键．
设抛物线 与x轴两个交点的坐标为 ，则抛物线 向右平移5
个单位长度后所得抛物线与x轴两个交点的坐标为 ，利用交点式写出此时抛物线的解析
式为 ，接着把抛物线解析式为 向上平移3个单位长度所得新抛物线解析式为 ，然后解方程 得到新抛
物线与x轴的交点坐标，从而得到新抛物线与x轴两个交点间的距离．
【详解】解：设抛物线 与x轴两个交点的坐标为 ，
把抛物线 向右平移5个单位长度后所得抛物线与x轴两个交点的坐标为 ，
此时抛物线解析式为 ，
把抛物线解析式为 向上平移3个单位长度所得新抛物线解析式为
，
整理得 ，
当 时， ，
，解得： ，
∴新抛物线与x轴的交点坐标为 ，
∴新抛物线与x轴两个交点间的距离 ．
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 因式分解： _______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查因式分解−−运用公式法，熟练掌握平方差公式是解题的关键．用平方差公式因式分解即
可．
【详解】解： ，
故答案为： ．12. 定义：对于实数 ， 表示不大于 的最大整数，例如： ， ， ，那么
_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了无理数的大小估算，先估算出 的范围，再直接根据题意利用新定义即可解答．
【详解】解：∵
∴
故答案为： ．
13. 糯米同学要购买两张高铁车票，系统将从如图所示的5个座位中随机选择两个，则“购买的车票座位
恰好一个靠近窗户，一个靠近过道”的概率是_______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了树状图法求概率．画树状图展示所有20种等可能结果数，再找出恰好选到一个靠近窗
户，一个靠近过道的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：画树状图如下：
共20种等可能的结果数，其中购买的车票座位恰好一个靠近窗户，一个靠近过道有 种，∴“购买的车票座位恰好一个靠近窗户，一个靠近过道”的概率是 ．
故答案 为： ．
14. 如图，在边长为 的正方形 中， 是 边上一动点（不与 ， 两点重合），将 沿直
线 翻折，点 落在点 处；在 上取一点 ，使得将 沿直线 翻折后，点 落在直线
上的点 处，直线 交 于点 ，连接 ， ．
（1） 的周长为_______；
（2）当 在 边上运动时， 的面积的最小值为_______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查相似形综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的性质、勾股定
理等知识，解题的关键是构建二次函数解决最值问题，添加常用辅助线．
（1）利用翻折的性质和正方形的性质证明 ，得出 ，进而即可得出
的周长；
（ 2 ） 证 明 ， 进 而 证 明 ， 设 ， 则 ， 得 出
，作 于G，所以 最小时 的面积最小，构建二次函数，求得的最小值，进而根据三角形的面积公式进行计算．
【详解】解：（1）∵将 沿直线 翻折，点B落在点E处，
∴ ， ， ，且四边形 是正方形，
∴ ， ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的周长为： ；
故答案为： ．
（2）∵ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ．
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，过点 作 于G，
∴ 最小时 的面积最小，
∵ ，
∴ 时， 最小值 ，
∴ 的面积的最小值为
故答案为： ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解方程： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．根据解分式方程的步骤求解即可．
【详解】解： ，
去分母得： ，
解得： ，
当 时， ，
∴ 是原方程的解．16. 如图，在平面直角坐标系中， ， ， ．
（1）请画出 关于y轴对称的 ；
（2）请直接写出 的面积为______；
（3）请仅用无刻度的直尺画出 的平分线 ，保留作图痕迹．
【答案】（1）见解析 （2）5
（3）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，网格三角形面积的求法等知识点，熟知关于y轴对称
的点横坐标互为相反数，纵坐标相同是解题的关键．
（1）先找出关于y轴对称的点，再再顺次连接即可；
（2）运用分割法求解即可；
（3）根据等腰三角形的性质作图即可
【小问1详解】
为
解：如图， 即 所作，【小问2详解】
解：由图可知，
故答案为：5；
【小问3详解】
解：如图所示， 即为所求．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 算盘起源于中国，以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把算珠分为上，下两
部分，上半部分每算珠代表5，下半部分每算珠代表1．任意选定某档为个位，从该档开始从右至左依次代
表十进位的个，十，百，千，万，……，不拨出算珠的空档表示0．某同学在百位拨了一颗上珠和三颗下
珠，在构成的三位数中，百位数字等于十位数字与个位数字的和的2倍，十位数字减2等于个位数字，请
求出这个三位数．【答案】
【解析】
【分析】题考查二元一次方程组的实际应用，根据题意得出百位数 ，设个位数字为 ，十位数字为 ，
由题意列出方程组，解方程组，即可求解．
【详解】解：依题意，百位数为 ，设个位数字为 ，十位数字为 ，由题意，得：
，
解得： ，
∴这个三位数为 ．
18. 观察以下等式：
第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
第4个等式： ；
第5个等式：
…．
按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：_______；
（2）写出你猜想的第n个等式：_______（用含n的等式表示），并证明．
【答案】（1）
（2） ，证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了数字的规律变化，分式的加减运算；通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，
并应用规律解决问题是解题的关键．
（1）依次观察每个等式，可以发现规律：等式左边为从3开始的连续的奇数减去一个分子为序号、分母比
分子大1的数，等号的右边为1加上分子为等式左边的奇数乘以序号的数；按照此规律即可求解；
（2）把上面发现的规律用字母 表示出来，并运用分式的加减运算法则计算等式左右两边，进而得到左
右相等便可．
【小问1详解】
解：第6个等式： ，
故答案为： ．
【小问2详解】
解：猜想第n个等式：
证明：∵左边右边
右边，
∴ ．
故答案为： ．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 公元前2世纪，中国古代人民巧妙利用平面镜组合发射光线的原理发明了最初形态的潜望镜，西汉初
年成书的《淮南万毕术》中有这样的记载：“取大镜高悬，恳水盆于其下，则见四邻矣”．如图1所示，
其设计方法主要利用了光的反射原理．若在图2中， 呈水平状态，入射角 ，
，（入射角等于反射角， ， 为法线），当 米时，求点 到 的距离
（精确到 米）．（参考数据： ， ， ）
【答案】点 到 的距离约为 米
【解析】
【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，解直角三角形的应用，掌握三角函数的计算方法，直角三
角形的性质是解题的关键．如图所示，过点 作 于点 ，先得出 ，则 是等腰直角三角形，设 ，
然后解 ，即可求解．
【详解】解：如图所示，
∵入射角 ，入射角等于反射角，
∴ ，则 ，
∵ ， 为法线，即 ，
∴ ，
在 中， ，
如图所示，过点 作 于点 ，
∴ 是等腰直角三角形，即 ，
设 ，则 ， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴点 到 的距离约为 米．
20. 如图， 是 的直径，点C在 上， 的平分线与 相交于点D，与 过点B的切
线相交于点E．（1）判断 的形状，并证明你的结论；
（2）若 ，求 的长．
【答案】（1） 是等腰三角形，证明见解析
（2） 的长为
【解析】
【分析】（1）由 是 的直径，得 ，则 ，由切线的性质
得 ，则 ，由 ，得 ，所以
，则 ，所以 是等腰三角形；
（2）设 交 于点F，连接 ，则 ，由
，得 ， ，由
，求得 , ，则 ，所以
．
【小问1详解】
解： 是等腰三角形，
证明：∵ 是 的直径，
∴ ，∴ ，
∵ 与 相切于点B，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 的平分线与 相交于点D，与 交于点E，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形．
【小问2详解】
设 交 于点F，连接 ，则 ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ 的长为 ．
【点睛】此题重点考查切线的性质、直角所对的圆周角是直角、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、解
直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
六、（本题满分12分）
21. 为了培养青少年养成运动的良好习惯，同时也为体育中考做好准备，某中学对九年级的学生进行了一
次体育模拟测试，获得了他们的成绩（百分制），并对成绩进行了整理、分析．下面是给出的部分信息：
①随机抽取男同学和女同学各 名；
②男同学成绩的频数分布直方图如图所示（数据分为 组： ， ， ，
）；
③男同学成绩在 这一组的具体分数是： ， ， ， ， ， ， ；女同学成绩在
这一组的具体分数是： ， ， ， ， ， ；
④对男同学和女同学的成绩初步统计后的结果如下表：
性 平 均 中 位 众
别 数 数 数
女 82.1 88 89
男 83.5 84
根据以上信息，回答下列问题：（1）表中 的值是_____；
（2）下列描述中正确的有_____；
①因为抽取的 名女同学的成绩的平均数是 分，所以至少有 名女同学成绩在 分以下．
②抽取的 名男同学中，成绩为 分的一定少于 人．
③在抽取的同学中，女同学超过 分的人数比男同学多．
（3）成绩不低于 分的学生成绩记为优秀，假设该校九年级有女学生 人，男学生 人，且所有学
生都参加了模拟测试，估计该校九年级成绩记为优秀的学生的人数．
【答案】（1） ；
（2） （3）该校九年级约有 人的成绩记为优秀．
③
【解析】
【分析】本题考查频数分布直方图，平均数，中位数众数的意义和用样本估计总体，准确理解这些概念是
解题的关键．
（1）结合题意，根据中位数的意义解答即可；
（2）根据中位数的意义，比较女同学和男同学的中位数即可得出答案；
（3）利用样本估计总体即可得到答案．
【小问1详解】
解：男同学一共有 名同学，在 和 共有 人，
中位数是成绩数据由小到大排列后第 ， 个数据在 这一组的第 ， 个数，分别为 、
故中位数 ，
故答案为： ；
【小问2详解】
解：虽然抽取的 名女同学的成绩的平均数是 分，但是不一定有 名女同学成绩在 分以下，故
①错误；
抽取的 名男同学中，成绩为 分的可能为 人，故②错误；由女生中位数为 及女同学成绩在 这一组的具体分数是： ， ， ， ， ， 可知，
女生超过 分的人数有 人，
由男生处于 的有 人，在 的有 人多于 分，可知男生超过 分的人数有 人，
∴女生女生超过 分的人数多于男生，故③正确；
故答案为：③；
【小问3详解】
解：女同学的中位数为 分，而女同学成绩在 这一组的具体分数是： ， ， ， ， ，
；
∵中位数是成绩数据由小到大排列后第 ， 个数据，
∴第 个数据是 ，
∴女同学的成绩不低于 分的人数有 人，
男同学的成绩不低于 分的人数有 人，
∴ （人），
估计该校九年级约有 人的成绩记为优秀．
七、（本题满分12分）
22. 如图，在菱形 中，点 分别在边 上， ．
（1）求证： ；（2） 为 中点， 交 于点 ， ，垂足为 ．
①求证： ；
②用等式表示线段 ， 与 之间的数量关系，并给予证明．
【答案】（1）证明见解析
（2）①证明见解析；② ，证明见解析
【解析】
【分析】（1）先根据菱形的性质可得 ， ，再证出 是等边三角形，根据等边三
角形的性质可得 ，然后证出 ，根据全等三角形的性质即可得证；
（2）①连接 ，先证出 是等边三角形，根据等边三角形的性质可得 ，再证出
，根据相似三角形的性质可得 ，然后根据相似三角形的判定即可得证；
②延长 ，交 于点 ，先证出 ，再证出 ，根据相似三
角形的性质可得 ，从而可得 ，然后在 中，解直角三角形可得
，最后根据 和等量代换即可得．
【小问1详解】
证明：∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
【小问2详解】
证明：①如图，连接 ，
由（1）已证： ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，∵ 为 中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ．
② ，证明如下：
如图，延长 ，交 于点 ，
∵四边形 是菱形， ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
由上已证： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
由上已证： ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形全等的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角
三角形的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，综合性强，较难的是题（2）②，通过
作辅助线，构造直角三角形和相似三角形是解题关键．
八、（本题满分14分）
23. 在平面直角坐标系中，抛物线 经过点 ．点 ， 在此抛物线上，已知 ，
两点的横坐标分别为 ．
（1）当点Q与此抛物线的顶点重合时，求m的值；
（2）设此抛物线在点 与点 之间部分（包括点 和点 ）的最高点与最低点的纵坐标的差为 ，在点
与点 之间部分（包括点 和点 ）的最高点与最低点的纵坐标的差为 ．
（ⅰ）当 时，若 ，求 的值；
（ⅱ）当 时，设 ，求 的取值范围．
【答案】（1）
（2）（ⅰ） ；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）将解析式化为顶点式，根据点Q与此抛物线的顶点重合时， ，即可求解；
（2）（ⅰ）根据题意画出图形，求得 ，根据 ，解方程，即可求解．（ⅱ）根据题意画出图形，求得 ，根据 进而根据二次函数的性质求得最值，即可求解．
【小问1详解】
解：∵
顶点的横坐标为 ，
当点Q与此抛物线的顶点重合时，
解得： ；
【小问2详解】
解：∵抛物线 经过点
∴ ，
∴地物线解析式为 ，对称轴为直线 ，
（ⅰ）当 时，点 在 的右侧且在直线 上方，如图
∵
∴
解得： 或 （负值舍去）（ⅱ）当 时，则 ，
在对称轴两侧或其中一点在对称轴上时，如图，
则 ，
，
∵ ，
∴ 时， 随 的增大而减小，
∴ ．
