文档内容
2025 年九年级中考模拟卷 数学
注意事项：
1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个
选项，其中只有一个是正确的）
1. 下列各数中，为无理数的是（ ）
A. B. 0 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；
以及像0.1010010001…，等数．由此即可判定选择项．
【详解】解： ，0， 都是有理数，
是无理数，
故选：C．
2. 下列计算结果等于 的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法乘法、幂的乘方．据此分别对各选项进行计算求解，进
而可得答案．解题的关键在于掌握正确的运算法则．
【详解】解：A、 与 不是同类项，则 ，故该选项不符合题意；
B、 ，故该选项符合题意；C、 ，故该选项不符合题意；
D、 ，故该选项不符合题意；
故选：B．
3. 如图所示的组合几何体的三视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查几何体的三视图画法．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所
得到的图形；注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示．
【详解】解：三视图如图所示：
故选：A．
4. 安徽省财政厅提前下达2025年中央和省级衔接推进乡村振兴补助资金75.2亿元．其中数据“75.2亿”
用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数．科学记数法的表示形式为 的形式，其中
，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小
数点移动的位数相同．
【详解】解：数据“75.2亿”用科学记数法表示为 ．
故选：B．
5. 如图， ， ， ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握这些性质是解决本题的关键．首先根据
平行线的性质，可求得 ，再根据三角形外角的性质即可求得．
【详解】解： ， ，
，
， ，
，
故选：A．
6. 若关于x的分式方程 的解是负数，则a的取值范围是（ ）A. B. 且 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查分式方程的解．先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是负数”建立不
等式求a的取值范围即可．
【详解】
解：去分母得： ，
解得： ，
∵方程的解是负数，
且 ，
解得： ，
故选：C．
7. 如图，在正五边形 中， 为 的切线，点A为切点，连接 ， ，则 的度数为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了正多边形的内角和，切线的性质．首先利用多边形的内角和公式求得 度
数，再利用切线的性质的性质求得 度数，据此求解即可．
【详解】解：在正五边形 中， ，又∵ 为 的切线，点A为切点，
∴ ，
∴ ．
故选：A．
8. 如图，电路图上有1个电源，4个开关和1个完好的小灯泡，随机闭合2个开关，则小灯泡发光的概率
为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小灯泡发光的情况，再利用概
率公式即可求得答案．
【详解】解：将左边两个开关记作A、B，右边两个开关记作C、D，
画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有8种情况，
∴小灯泡发光的概率为 ，
故选D．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符
合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．9. 如图是直线 （ ， ， 是常数且 ， ， ），则二次函数
和反比例函数 在同一平面直角坐标系中的大致图象可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一次函数，二次函数，反比例函数的图象和性质，熟练掌握其图象和性质，根据图形
确定出 、 的正负情况是解题的关键．先根据一次函数图象确定出 ， ，即可确定双曲线
经过的象限，再根据抛物线对称轴位置进行判断，即可得解．
【详解】 直线 的函数图象经过二、三、四象限，
， ．
∴ ，
∴二次函数 的对称轴 ，在 轴的左侧， 图象在二，四象限，只
有A选项符合题意，
故选：A．
10. 如图，在腰长为6的等腰 中， ， ，点D是 内一点，连接
，且 ，E是 的中点，连接 ， ，则 的最小值为（ ）A. 3 B. 4 C. 6 D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短．
取 的中点 ，连接 、 ，求出 ，证明 ，得
出 ，即可得出 ，当点 、 、 在同一直线上时， 最小，为
的长，即可得解．
【详解】解：如图，取 的中点 ，连接 、 ，
则 ，
∵在等腰 中， ， ，
∴ ，
∵ ，E是 的中点，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴当点 、 、 在同一直线上时， 最小，为 的长，即 ，
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 计算： ________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了同分母分式的加减．根据同分母分式的加减法计算即可求解．
【详解】解：
，
故答案为： ．
12. 关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是__________．
【答案】 且
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的定义，正确掌握根的判别式公式，一元二次方程的定义
是解题的关键．根据方程有两个不相等的实数根，结合判别式公式，得到一个关于 的不等式，解之，根
据一元二次方程的定义，得到 ，解之，取两个解集的公共部分即可．
【详解】解：∵关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴
解得： ，
由一元二次方程定义得 ，
解得： ，综上可知： 且 ，
故答案为： 且 ．
13. 图1是我国明末《崇祯历书》之《割圆勾股八线表》中所绘的割圆八线图．根据割圆八线图绘制出图
2，在扇形 中， ， 和 都是 的切线，切点分别为点A，B， 交 于点
E， 交 于点D．若 ， ，则 的长为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据切线的性质，等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理可求出 ，再根据
直角三角形的边角关系以及特殊锐角三角函数值求出 ， 即可．
【详解】解： ，
，
，
，
∴ ，
是 的切线，点 是切点，
，即 ，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ， ，
，
在 中， ， ，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理以及解直角三角形，掌握切线的
性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理以及解直角三角是正确解答的关键．
14. 如图，在平面直角坐标系 中，A，B为抛物线 上的两个动点，且 ，连接 ，过
点O作 于点C．
（1）若点A的横坐标为 ，则点 B的坐标为___________；
（2）在直线 的运动过程中，点C到y轴的距离的最大值为__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】【分析】过 作 轴交于 ，过 作 轴交于 ，当 时，可求 ，由等腰三角
形的性质得 ， ，设 ，可求 ，即可求解；过 作 交 轴于
，由相似三角形的判定方法得 ，由相似三角形的性质得 ，设 ，
，可求 ，由相似三角形的判定方法得 ，同理可求
，可得 ，取 的中点 ，连接 ，点 的运动轨迹是以 为圆心， 的长为半径的
圆，当 轴时， 到 轴的距离最大，即可求解．
【详解】解：（1）如图，过 作 轴交于 ，过 作 轴交于 ，
当 时，
，
，
，
，
，
，
，
，
设 ，，
，
解得： ， （舍去），
，
（2）根据对称性，不妨设 ，不影响结果，
如图，过 作 交 轴于 ，交 于点G，
，
∴四边形 是矩形，
∵ 与y轴平行，
，
，
设 ， ， ，
， ， ， ， ，
， ，
，
解得： ，，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得： ，
，
，
取 的中点 ，连接 ，
，
点 的运动轨迹是以 为圆心， 的长为半径的圆，
当 轴时， 到 轴的距离最大，
此时最大距离为 ；故答案为： ， ．
【点睛】本题考查了二次函数与几何综合，相似三角形的判定及性质，圆的定义等；能熟练构建相似三角
形进行求解，并能找出动点的运动轨迹是解题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解不等式组： ．
【答案】 ．
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组．先求出不等式组中每个不等式的解集，再根据确定不等式组解
集的方法“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”得出答案．
【详解】解：解不等式 ，得 ，
解不等式 ，得 ，
原不等式组的解集是 ．
16. 2025年3月14日是第六个“国际数学日”，某校数学兴趣小组举行了一次数学知识竞赛，购买了一批
钢笔和自动铅笔作为奖品．已知每支钢笔的售价比自动铅笔贵 ，且购买10支自动铅笔和5支钢笔共
花费90元．求每支自动铅笔和钢笔的售价分别为多少元．
【答案】每支自动铅笔的售价为 元，则每支钢笔的售价为 元．
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设每支自动铅笔的售价为 元，则每支钢笔的售价为 元，
根据题意列一元一次方程，据此求解即可．
【详解】解：设每支自动铅笔的售价为 元，则每支钢笔的售价为 元，
根据题意得
，
解得 ，，
答：每支自动铅笔的售价为 元，则每支钢笔的售价为 元．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的 网格中，已知网格点O， 的顶点都在
网格点上，按要求解决下列问题：
（1）将 向右平移7个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到 ，画出 ；
（2）已知 与 关于点 O 中心对称，画出 ；
（3）连接 ，利用网格点和无刻度的直尺画出 的垂直平分线 ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平移变换及中心对称变换，正确得出对应点 的位置是解题的关键．
（1）直接利用平移的性质得出对应点的位置，进而得出答案；
（2）直接利用中心对称的性质得出对应点的位置，进而得出答案；
（3）利用正方形的性质找到格点 和 ，直线 即为所作．
【小问1详解】
解：如图， 即为所作；
【小问2详解】解：如图， 即为所作；
【小问3详解】
解：如图，直线 即为所作；
18. 【观察思考】
【规律发现】
用含 的代数式填空：
（1）第 个图案中， “△”有 个；
（2）第 个图案中， “◯”有 个；第 个图案中， “○”有 个；第 个图案中， “◯”有
个； ，第 个图案中， “○”有 个；
【规律应用】
（3）第 个图案中，若“△”和“○”的数量之和为 ，求 的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】【分析】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，熟练根据题意得出图形的规律是解题的关键．
（1）根据前几个图案的规律，即可求解；
（2）根据题意，结合图形规律，即可求解．
（3）根据题意，列出一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】解：（1）第 个图案中有 个“△”，
第 个图案中有 个“△”，
第 个图案中有 个“△”，
第 个图案中有 个“△”，
，
∴第 个图案中有 个“△”，
故答案为： ；
（2）第 个图案中， “○”有 个，
第 个图案中， “○”有 个，
第 个图案中， “○”有 个，
，
第 个图案中， “○”有 ，
故答案为： ；
（3）由（1）（2）得：第 个图案中，“△”和“○” 的数量之和为： ，
则 ，
即 ，
解得： 或 （舍去，不符合题意），
故 ．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，在海平面上，C和D是相距 海里的两处灯塔，灯塔C位于灯塔D 西北方向．某一时刻，一艘渔船位于点A处，测得点A位于灯塔C 的北偏西 方向，该渔船沿着正东方向行驶一段时间到达
点B处，此时渔船位于灯塔D的北偏东 方向，灯塔C的东北方向，求该渔船行驶的距离（线段 的
长）．（结果保留整数，参考数据： ）
【答案】该渔船行驶的距离（线段 的长）为 海里．
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，如图，过 作 于 ，过 作 于
，由题意可得： ， ， ， ，
，可得 ， ， ，再依次解直角三角形
即可．
【详解】解：如图，过 作 于 ，过 作 于 ，
∴ ，
由题意可得： ， ， ， ，
，
∴ ， ， ，
在 中， ， ，∴ ，
在 中， ，
在 中， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ；
∴该渔船行驶的距离（线段 的长）为 海里．
20. 在 中， 是直径， 是 的切线，C是切点，E，F分别是 和 上的点，且
于点D，连接 ．
（1）如图1，当点 D与点O重合时，若 ，求证： 是等边三角形；
（2）如图2，连接 ， 与 交于点G．若 ， ， ，求 的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可得 ，即 ，因为 ，所以 ，所以
， 因 为 ， ， 所 以
，即 ，进一步可得结论．（2）过点 作 于点 ，故 ，因为 ， ，所以
， 即 ， 可 得 四 边 形 是 矩 形 ， 所 以
，即 ．
【小问1详解】
解： 是 的切线，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形．
【小问2详解】
解：如图 ，过点 作 于点 ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质、圆周角定理、矩形的性质和判定等知识；掌握切线的判定与性质、
圆周角定理、矩形的性质和判定是解决本题的关键．
六、（本题满分12分）
21. 为营造健康向上的校园足球文化氛围，丰富学生课余体育文化生活、激发学生对足球的兴趣，增强学
生体质，某校举行足球运动员选拔赛，报名参加选拔赛的学生需要参加 米折返跑、传准、运射、比
赛四项指标的考核，每项满分为100分，确定各项得分后再按照下面表格的比例计算出每人的总成绩．
类别 专项素质 专项技术 实战能力
米
考核指标 传准 运射 比赛
折返跑
比例
全校共有300名学生参加这次选拔赛．校学生会从中随机抽取 名学生的最终比赛成绩进行了分析，把总
成绩（满分100分，所有成绩均不低于60分）分成四个等级（D： ；C： ；B：
；A： ），并根据分析结果绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： ______， ______；
（2）请补全频数分布直方图；（3）参赛同学小祺四项考核指标 米折返跑、传准、运射、比赛成绩分别为90分，85分，95分，80
分，请你计算出他的总成绩；
（4）该校计划从报名的300名同学中按比赛成绩从高到低选拔48名足球运动员，请你通过计算估计小祺
能否入选．
【答案】（1）150；36
（2）见解析 （3）小祺同学的总成绩是86分；
（4）小祺同学不能入选．
【解析】
【分析】本题考查了频数分布直方图、扇形统计图、用样本评估总体：
（1）根据B等级的人数和占比，可求得样本容量，再根据C等级的人数即可求得 的值；
（2）求得A等级的人数，可补全频数分布直方图；
（3）利用加权平均数的计算方法即可求解；
（3）利用样本估计总体即可求解．
【小问1详解】
解： （人），
，
∴ ，
故答案为：150；36；
【小问2详解】
解：A等级的人数有 （人），
补全频数分布直方图如图所示；
【小问3详解】
解：小祺同学的总成绩是 （分）；
【小问4详解】解：在 分的人数有： （人），
答：小祺同学86分的总成绩不能入选．
七、（本题满分12分）
22. 将矩形 绕点C按顺时针方向旋转，得到矩形 ．
（1）如图1，若 点E落在 上，求 的度数；
（2）连接 ， ，过点E作 交 于点M．
如图2，证明： ；
如图3，若射线 分别交 ， 于点P，N，请探究线段 ， ， 之间的数量关系，并说
明理由．
【答案】（1）
（2）①证明见解析；② ，证明见解析
【解析】
【分析】（1）如图，过 作 于 ，证明四边形 为矩形，求解 ，证明
，即可解答．
（2）①连接BE，证明 ，得到 ，即可证得．②连接 ，证明， ，即可解答．
【小问1详解】
解：如图，过 作 于 ，四边形 为矩形，
∴ ，
∴四边形 为矩形，
∴ ，
矩形 绕点A顺时针旋转得到矩形 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
，
，
，
矩形 ，
，
．
【小问2详解】
证明：如图，连接 ，由矩形与旋转可得： ， ， ，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
，
；
②关系式为 ，证明如下：
如图，连接 ，在 ≌ 中，
，
，
，
， ，
，
，
在 和 中，
， ，
∴ ，
，
，
【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定
与性质，旋转的性质，相似三角形的性质与判定，掌握这些性质定理是解题的关键．
八、（本题满分14分）23. 如图1，抛物线 与x轴交于点A 和点B，点D是抛物线的顶点，
是抛物线的对称轴且交x轴于点C ．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P 是抛物线上一点，且位于点 A和点D之间（不含点A，D）．
如图2，连接 ， ， ，求四边形 的面积的最大值；
如图3，连接 交 于点Q，连接 交 于点E，求 的值．
【答案】（1）
（2）① ；②
【解析】
【分析】（1）根据题意得到 ，解方程组即可得到答案；
（2）①求出点B的坐标是 ，则 ，过点P作 轴，交线段 于点Q，求出
点的 D的坐标是 ，得到 ，可得 ，求出直线 的解析式为 ，设
点P的坐标为 ，则点Q的坐标为 ，则 ，得到 ，得
到四边形 面积 ，由 ，即可得答案；②设点P的坐标为 ，求出直线 的解析式为 ，求出
，则 ，求出直线 的解析式为 ，则点E的坐
标是 ，求出 ，即可求出定值．
【小问1详解】
解：把点 代入 得到 ，①
∵ 是抛物线的对称轴且交x轴于点 ．
∴ ，②
联立①②得，
解得
∴抛物线的解析式为：
【小问2详解】
解：①∵ ，
当 时， ，
当 时， ，解得 ， ，
∴点B的坐标是 ，
∴ ，
连接 ，过点P作 轴，交线段 于点Q，∵
∴顶点D 的坐标是 ，
∴
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
则 ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
设点P的坐标为 ，则点Q的坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 面积 ，
∵点P是抛物线上一点且位于点A和点D之间．
∴ ，∴当 时， 有最大值，最大值为9；
②设点P的坐标为 ，如图，
设直线 的解析式为 ，
则 ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
∴
∴ ，
设 的解析式为 ，
则 ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
当 时， ，
∴点E的坐标是 ，∴ ，
∴ ．
【点睛】此题考查了二次函数综合题，二次函数与面积，二次函数与线段和，还考查了一次函数的图象和
性质、待定系数法求函数解析式，难度较大，数形结合是解题的关键．
