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第 2 讲 复数
本讲为高考命题热点，分值10分，题型以选择题为主，多出现于高考前六题选择题中，
平面向量主要考察线性运算，坐标运算与数量积运算，近几年多考察拓展类，例如平面向
量中的范围最值，平面向量与三角函数结合等内容；复数主要考察复数的概念，四则运算
与复数的模与几何意义，考察逻辑推理能力，运算求解能力.
考点一 复数的有关概念
(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做
复数z的虚部(i为虚数单位).
(2)分类：
项目 满足条件(a，b为实数)
a＋bi为实数⇔ b ＝ 0
复数的分类 a＋bi为虚数⇔ b ≠0
a＋bi为纯虚数⇔ a ＝ 0 且 b ≠0
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di a ＝ c 且 b ＝ d (a，b，c，d∈R).
(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔ a ＝ c ， b ＝－ d (a，b，c，d∈R).
⇔
(5)模：向量OZ的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝
(a，b∈R).
考点二 复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi 复平面内的点 Z ( a ， b ) (a，b∈R).
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量OZ.
考点三 复数的运算
(1)运算法则：设z ＝a＋bi，z ＝c＋di，a，b，c，d∈R.
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z ±z ＝(a＋bi)±(c＋di)＝ ( a ± c ) ＋ ( b ± d )i .
1 2
z ·z ＝(a＋bi)(c＋di)＝ ( ac － bd ) ＋ ( bc ＋ ad )i .
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＝＝＋i(c＋di≠0).(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.
如图所示给出的平行四边形 OZ ZZ 可以直观地反映出复数加减法的几何意义，
1 2
即OZ＝OZ1＋OZ2，Z1Z2＝OZ2－OZ1.
考点四 常用结论
1.i的乘方具有周期性
i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.
2.(1±i)2＝±2i，＝i；＝－i.
3.复数的模与共轭复数的关系
z·z＝|z|2＝|z|2.
4.两个注意点
(1)两个虚数不能比较大小；
(2)利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件.
高频考点一 复数的概念
【例1】(2021·西安调研)下面关于复数z＝－1＋i(其中i为虚数单位)的结论正确
的是( )
A.对应的点在第一象限 B.|z|<|z＋1|
C.z的虚部为i D.z＋z<0
【答案】D
【解析】∵z＝－1＋i，∴＝＝＝－－.
则对应的点在第三象限，故A错误；|z|＝，|z＋1|＝1，故B错误；z的虚部为
1，故C错误；z＋z＝－2<0，故D正确.
【方法技巧】
1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a，b分别是它的实部和虚部.若z为实数，则虚
部b＝0，与实部a无关；若z为虚数，则虚部b≠0，与实部a无关；若z为纯虚数，当且仅当a＝0且b≠0.
2.复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝.
3.复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数为z＝a－bi，则 z·z＝|z|2＝|z|2，即|z|＝|z|
＝，若z∈R，则z＝z.
利用上述结论，可快速、简洁地解决有关复数问题.
【变式训练】
1.(2019·全国Ⅰ卷)设z＝，则|z|＝( )
A.2 B. C. D.1
【答案】C
【解析】∵z＝＝＝，∴|z|＝＝.
高频考点二 复数的几何意义
【例2】 (2020·临沂质检)已知＝－1＋bi，其中a，b是实数，则复数a－bi在复
平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【答案】B
【解析】由＝－1＋bi，得a＝(－1＋bi)(1－i)＝(b－1)＋(b＋1)i，
∴即a＝－2，b＝－1，
∴复数a－bi＝－2＋i在复平面内对应点(－2，1)，位于第二象限.
【方法技巧】
1.复数z＝a＋bi(a，b∈R) Z(a，b) OZ＝(a，b).
2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此解题时可运用数形结
合的方法，可把复数、向量与解析几何联系在一起，使问题的解决更加直观.
【变式训练】
1.若复数z＝(2＋ai)(a－i)在复平面内对应的点在第三象限，其中 a∈R，i为虚
数单位，则实数a的取值范围为( )
A.(－，) B.(－，0)
C.(0，) D.[0，)
【答案】B【解析】z＝(2＋ai)(a－i)＝3a＋(a2－2)i在复平面内对应的点在第三象限，∴解
得－<a<0.
2.(2022·郑州模拟)已知复数z ＝在复平面内对应的点为A，复数z 在复平面内对
1 2
应的点为B，若向量AB与虚轴垂直，则z 的虚部为________.
2
【答案】－
【解析】z ＝＝＝－i，
1
所以A，设复数z 对应的点B(x ，y )，则AB＝，
2 0 0
又向量AB与虚轴垂直，∴y ＋＝0，故z 的虚部y ＝－.
0 2 0
高频考点三 复数的运算
【例3】 (1)(2020·全国Ⅰ卷)若z＝1＋i，则|z2－2z|＝( )
A.0 B.1 C. D.2
(2)在数学中，记表达式 ad－bc为由所确定的二阶行列式.若在复数域内，z ＝1
1
＋i，z ＝，z ＝z ，则当＝－i时，z 的虚部为________.
2 3 2 4
【答案】(1)D (2)－2
【解析】(1)法一 z2－2z＝(1＋i)2－2(1＋i)＝－2，|z2－2z|＝|－2|＝2.
法二 |z2－2z|＝|(1＋i)2－2(1＋i)|＝|(1＋i)(－1＋i)|＝|1＋i||－1＋i|＝2.故选D.
(2)依题意，＝z z －z z ，
1 4 2 3
因为z ＝z ，且z ＝＝＝，所以z ·z ＝|z |2＝，
3 2 2 2 3 2
因此有(1＋i)z －＝－i，即(1＋i)z ＝3－i，
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故z ＝＝＝1－2i.所以z 的虚部是－2.
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【方法技巧】
1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同
乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式.
2.记住以下结论，可提高运算速度：
(1)(1±i)2＝±2i；(2)＝i；(3)＝－i；(4)－b＋ai＝i(a＋bi)；(5)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2
＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N).
【变式训练】
1.(2022·南宁模拟)已知z＝(其中i为虚数单位)，则z的共轭复数z的虚部是( )
A.－1 B.－2
C.1 D.2【答案】A
【解析】∵z＝＝＝＝2＋i，
∴z＝2－i，∴z的虚部为－1.
2.＋＝________.
【答案】－1＋i
【解析】原式＝＋
＝i6＋＝－1＋i.
