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专题05 平面向量与复数
能力提升检测卷
时间：60分钟 分值：100分
一、选择题（每小题只有一个正确选项，共60分）
1．已知复数 和 满足 ，且 ，则 的最小值是（ ）
A． B．2 C．3 D．1
【答案】D
【分析】设 ， ，复数 在复平面内对应的点为 ， ，
，复数 在复平面内对应的点为 ，依题意可得 、 的轨迹方程，最后
根据复数模的几何意义计算可得；
【详解】解：设 ， ，复数 在复平面内对应的点为 ，则
， ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，则 ，则 在 轴上运动，
设 ， ，复数 在复平面内对应的点为 ，
则 ，
所以 ，所以 ，
则 在以 为圆心， 为半径为圆上运动，
所以 ，
所以 ，则 表示圆上的点与 轴上的点的距离，
因为圆心 到 轴的距离 ，所以 ；
故选：D
2．已知正三角形ABC的边长为4，点P在边BC上，则 的最小值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】D
【分析】选基底，用基向量表示出所求，由二次函数知识可得.
【详解】记 ，
因为 ，
所以 .
故选：D3．已知向量 ， 满足 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】计算出 、 的值，利用平面向量数量积可计算出 的值.
【详解】 ， ， ， .
，
因此， .
故选：D.
4．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将 整理得 ，根据复数的除法运算，可求出z，即得答案.
【详解】根据 ，
可得 ，故选：D.
5．我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后
人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方
形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若 ， ， ，则 =（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据给定图形，利用平面向量的加法法则列式求解作答.
【详解】因“弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，且
， ， ，
则
，解得 ，所以 .
故选：B
6．已知向量 ， ， 满足 ， ， ，则 的最小值
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先求向量 的坐标，再利用坐标运算求模，转化为二次函数求最小值.
【详解】由条件可知 ，
则
，当 时， .故选：B
7．在 中，若点 满足 ，点 为 的中点，则 （ ）
A． B．
C． D．【答案】A
【解析】利用平面向量的线性运算和平面向量基本定理即可求解.
【详解】
.
故选：A
8．已知M，N为单位圆O∶ 上的两个动点，且满足 ，则
的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设MN中点为E，利用泛极化公式把 转化为
，再判断出E的轨迹为圆，可求出 的范围.
【详解】解析：设MN中点为E，则
，
因为 ，所以点E在以O为圆心， 为半径的圆上运动.
故 ；所以 .故选:A
9． 是坐标原点，已知 ， ， ．若点M为直线 上一动点，当
取得最小值时，此时 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】可设 ，可得 ，然后，根据向量数量积的坐标运算得到为二次函数，利用二次函数的性质可求出 ，进而得到 ，最后求得
【详解】由已知得 ，因为点M为直线 上一动点，所以，可设
，
得到 ，则 ， ，
则 ，当且仅当 时， 取
得最小值，此时，可得 ，所以， ，得到 .
故选：A
10．数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并给出以下公式 ，
（其中 是虚数单位， 是自然对数的底数， ），这个公式在复变论中有非常重要的
地位，被称为“数学中的天桥”，根据此公式，有下列四个结论，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知条件的公式及诱导公式，结合复数运算法则逐项计算后即可求解.
【详解】对于A， ，所以 ，故A不正确；
对于B， ， ，
所以 ，故B正确；
对于C， ， ，
所以 ，故C不正确；
对于D，
，故D不正确.
故选：B.
11．已知复数
①在复平面内 对应点的坐标为(1，－1)；
②复数的虚部为 ；
③复数的共轭复数为 ；
④ ；
⑤复数 是方程 在复数范围内的一个根.以上5个结论中正确的命题个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】利用复数除法运算求得 ，根据复数在复平面内对应的点的坐标判断①的正
误，根据复数的概念判断②的正误，根据复数的共轭复数可以判断③的正误，根据复数模
的概念判断④的正误，利用方程在复数范围内求解判断⑤的正误.
【详解】因为 ，
所以在复平面内 对应点的坐标为(1，－1)，所以①正确；
复数 的虚部为 ，所以②错误；
复数 的共轭复数为 ，所以③错误；
，所以④正确；
方程 在复数范围内的根为 ，
所以复数 是方程 在复数范围内的一个根，所以⑤正确；
所以正确的命题个数为3个，故选：C.
12．若复数 是虚数，则实数 取值的集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据复数是虚数的条件为虚部不为零，列式求得结果，选出答案.
【详解】由复数 是虚数，
所以 ，所以实数 取值的集合是 ，
故选：C.
二、填空题（共4小题，共20分）
13．在正方形 中， ， 点在正方形区域内（含边界），且满足 ，
则 的最大值为________.
【答案】9
【分析】建立直角坐标系，由题意结合双曲线的定义可得 点的轨迹方程为
，转化条件得 ，由 求出
最大值后即可得解.
【详解】以 所在直线为 轴， 的中垂线为 轴，如图建立直角坐标系，则 ， ，
由 得 点的轨迹方程为 ，
所以 ，
设 ，则 ，
因为 ，所以 ，所以 的最大值为9.
故答案为：9.
14．设两个向量 和 ＝ ，其中 为实数.若
，则 的取值范围是________.
【答案】
【分析】由 可得 ，且 ，整理得
，结合三角函数和二次函数性质求出 范围，
即可得 范围，同时将 代换成关于 表达式，即可求解.
【详解】∵2 ＝ ， ，
∴ ，且 ，
∴ ，即 ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴－2≤4m2－9m＋4≤2，解得 ≤m≤2，
∴ ，又∵λ＝2m－2，∴ ，∴ ，
∴ 的取值范围是 .故答案为： .
15．已知平面向量 ，其中 ， 的夹角是 ，则 ____________；
若 为任意实数，则 的最小值为____________．
【答案】
【解析】根据平面向量的数量积和模的运算公式，即可求得 的值，再由模的运算公
式，化简得到 ，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】由题意，平面向量 ，其中 ， 的夹角是 ，
可得 ，
则 ，所以 ，
又由 ，
所以当 时， 的最小值为 .
故答案为： ； .
16．已知复数 ，则 ____________， _____________
【答案】
【分析】利用复数的运算法则，复数相等求得 ，进而求得 ，利用复数的模长公式
求得 即可.
【详解】由复数 ，
得 ，即
，且复数相等可知 ，解得
所以 ，
故答案为： ，
三、解答题（共20分）
17．如图，在四边形 中， ， ， ， 为等边三角形， 是的中点.设 ， .
（1）用 ， 表示 ， ，
（2）求 与 夹角的余弦值.
18．已知向量 ， ， ．
（1）若点 ， ， 三点共线，求 的值；
（2）若 为直角三角形，且 为直角，求 的值．
