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第 01 讲 平面向量
1．已知四边形 是矩形， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用平面向量数量积的运算律计算求值即可．
【详解】
故选：C
2．若平面向量 两两的夹角相等，且 ，则 （ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
【答案】A
【分析】根据题意, 由平面向量 两两的夹角相等可得夹角为 或 , 对夹角的取值
分类讨论即可求出 的值.
【详解】由平面向量 两两的夹角相等, 得夹角为 或 ,
当夹角为 时,
当夹角为 时,
故选：A
3．已知非零向量 、 满足 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知可得出 ，利用平面向量数量积的运算性质求出 的
值，结合平面向量夹角的取值范围可求得结果.
【详解】因为 ，则 ，
，可得 ，因为 ，因此， .故选：C.
4．在 中，点 在 边上， ．记 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据平面向量的加法法则和减法法则即可求解.
【详解】如图所示：
.故选：A
5．若非零向量 ， 满足 ， ，则向量 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由 ，得 ，化简结合已知条件和夹角公式可求出结果.
【详解】设向量 与 的夹角为 （ ），
因为 ，所以 ，
所以 ，得 ，
因为非零向量 ， 满足 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，故选：C
6．已知向量 且 ，则（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用向量相等列方程即可求解.
【详解】因为 ，
所以 ，解得 ．故选：D
7．已知向量 ， 满足 ， ，则 _____________.
【答案】
【分析】根据向量的运算公式及向量的数量积的运算公式，准确运算，即可求解.
【详解】由题意，向量 满足 且 ，
可得 ，解得 ，即 .
故答案为： .
8．已知平面向量 ， ， 满足 ，且 ，则 的值为________.
【答案】 ##
【分析】 可化为 ，两边平方结合数量积的性质可求 .
【详解】因为 ，所以 ，两边平方可得 ，
又 ，
所以 ，
故答案为：
9．已知向量 满足 , ， 与 的夹角为 ， ，则 _______．
【答案】2
【分析】由已知条件可得 的值，再由 可得 ，通过计算即可求
出 的值.
【详解】因为 ，所以 ，即 .
又 ， , 与 的夹角为 ，则 ，
所以 ．
故答案为：2.10．已知平面向量 ， ，且 .
(1)求向量 与 的夹角；
(2)当k为何值时，向量 与 垂直？
【解析】（1）因为 ，所以 ，
由 ，得 ，所以 ，
所以 ，又 ，所以 ，
即向量 与 的夹角为 .
（2）因为向量 与 垂直，则 ，
所以 ，
即 ，解得 .
故当 时，向量 与 垂直.
11．已知向量 满足 ．
(1)求 的值；
(2)求 的值．
【解析】（1）因为 ，
可得 ，解得 .
（2）因为 ，所以 .
1．已知向量 满足 ，则向量 与 夹角的最大值是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】根据题意化简得到 ，得到 ，结
合向量的夹角公式和基本不等式，即可求解.
【详解】由题意知 ，可得 ，
又由 ，可得 ，
则 ，
即 ，即 ，
所以 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以向量 与 夹角的最大值是 .故选：B.
2． 中，若 ，则 的值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】B
【分析】由已知条件利用两个向量的数量积的运算法则求得 ，再利用
余弦定可得 ，根据 ，利用正弦定理统一成边的形式化简可得
结果.
【详解】因为在 中，若 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以由余弦定理得 ，
化简得 ，所以
，
故选：B
3．在等腰梯形 中， ， 分别为 的中点， 为 的中点，则
等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平面向量的共线定理、平面向量的加法的几何意义，结合已知和等腰梯形的
性质进行求解即可.
【详解】因为在等腰梯形 中， ， 分别为 的中点， 为 的中
点，
所以可得： ．
故选：B.
4．在 中，已知 ，且 ，则 为（ ）
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．三边均不相等的三角形
【答案】A
【分析】由 推出 ，由 求得角 ，则答案可求．
【详解】解： ， 分别表示 ， 方向上的单位向量，在 的角平分线上，
， ，
又 ， ，
则 与 的夹角为 ，即 ，
可得 是等边三角形．故选：A.
5．已知向量 ，且 ，则 的值为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】A
【分析】根据 ，利用坐标运算求得x，进而得到 的坐标，再利用数量积的
坐标运算求解.
【详解】解：因为 ，
所以 ，
解得 ，
所以 ，
则 ，
所以 ，故选：A
6．设 ， ， 为平面内任意三点，则“ 与 的夹角为钝角”是“
”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】设 与 的夹角为 ， ，利用利用数量积的运算性质
及余弦定理，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
【详解】设 与 的夹角为 （ ）， ，
当 与 的夹角为钝角时，
因为，
，
所以 ，
当 时，
所以 ，
所以 ，
所以 ，所以 为钝角或 ，
所以“ 与 的夹角为钝角”是“ ”的充分不必要条件，故选：B
7．已知任意平面向量 ，把 绕其起点沿逆时针方向旋转 角得到向量
，叫做把点 绕点 沿逆时针方向旋转 角得到点 .已
知平面内点 ，点 ，把点 绕点 沿逆时针方向旋转 得到点 ，则向
量 在向量 上的投影向量为___________.（用坐标作答）
【答案】
【分析】设点 ，求出 ，再利用投影向量的公式求解.
【详解】解：设点 ，则 ，根据题意若将 逆时针旋转 ，即可
得 ，故 ，
整理得 ，
而由A、B两点坐标可知 ，
故： ，解得 ，
则点P的坐标为 ，所以 .
所以向量 在向量 上的投影向量为故答案为：
8．已知 是抛物线 上的点，F是抛物线C的焦点，若
，则 ______．
【答案】2023
【分析】设 ，由 求出
，再利用抛物线的定义求解.
【详解】解:设 ，
因为 是抛物线 上的点，F是抛物线C的焦点，所以 ，
因此 ，因为 ，
所以 ，即 ．
又由抛物线的定义，可得 ，
所以
．
故答案为：2023
9．已知 为 内一点，且满足 ，则 为 的________心．
【答案】重
【分析】如图，取 的中点 ，利用向量的加减法运算得到 与 共线，进一步得到
三点共线，且 ，结合重心的性质可判断 为 的重心．
【详解】
如图，取 的中点 由 ．得 ，又 ，故 ，则 与 共线，
又 ， 有公共点 ，
故 三点共线，且 ，
因此可得 为 的重心．
故答案为：重.
10．如图，在平行四边形 中， ， ，E为边 的中点， ，
若 ，则 ______.
【答案】 ##0.125
【分析】将 和 利用线性运算表示成 和 ，运用数量积运算即可得到答案
【详解】∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
，
∴ ，故答案为：
三、解答题
11．如图所示，在 中， 与 相交于点 .(1)用 和 分别表示 和 ；
(2)若 ，求实数 和 的值.
【解析】（1）由 ，可得 .
（2）设 ，将
代入 ，则有 ，
即 ， 解得 ，
故 ，即 .
12．已知 ， 是 的中点
(1)若 ，求向量 与向量 的夹角的余弦值；
(2)若 是线段 上的任意一点，且 ，求 的最小值．
【解析】（1）因为 ，所以 ，
以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立平面直角坐标系，如图所示．令 ，则 ，所以 ,
设向量 与向量 的夹角为 ，
所以 ；
（2）因为 ，所以 ，
设 ，所以，
当且仅当 时， 取得最小值 ．
1．（2022年全国新高考II卷数学试题）已知向量 ，若
，则 （ ）
A． B． C．5 D．6
【答案】C
【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得
【详解】解： , ,即 ,解得 ,
故选：C
2．（2022年全国高考乙卷数学（文）试题）已知向量 ，则
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D
【分析】先求得 ，然后求得 .
【详解】因为 ，所以 .
故选：D
3．（2022年北京市高考数学试题）在 中， ．P为 所
在平面内的动点，且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依题意建立平面直角坐标系，设 ，表示出 ， ，根据数量积的
坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；
【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则 ， ， ，
因为 ，所以 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，
设 ， ，
所以 ， ，
所以
，其中 ， ，
因为 ，所以 ，即 ；故选：D
4．（2022年全国高考乙卷数学（理）试题）已知向量 满足 ，
则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.
【详解】解：∵ ，
又∵
∴9 ，
∴ 故选：C.
5．（2022年全国新高考II卷数学试题）已知O为坐标原点，过抛物线
焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点 ，若 ，则
（ ）
A．直线 的斜率为 B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】由 及抛物线方程求得 ，再由斜率公式即可判断A选项；
表示出直线 的方程，联立抛物线求得 ，即可求出 判断B选项；由抛物
线的定义求出 即可判断C选项；由 ， 求得 ，
为钝角即可判断D选项.
【详解】
对于A，易得 ，由 可得点 在 的垂直平分线上，则 点横坐标为
，
代入抛物线可得 ，则 ，则直线 的斜率为 ，
A正确；
对于B，由斜率为 可得直线 的方程为 ，联立抛物线方程得
，
设 ，则 ，则 ，代入抛物线得 ，解得，则 ，
则 ，B错误；
对于C，由抛物线定义知： ，C正确；
对于D， ，则 为
钝角，
又 ，则
为钝角，
又 ，则 ，D正确.
故选：ACD.
6．（2022年高考天津卷（回忆版）数学真题）在 中， ，D是AC中点，
，试用 表示 为___________，若 ，则 的最大值为
____________
【答案】
【分析】法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出 ，以 为基底，表示出
，由 可得 ，再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出．
法二：以点 为原点建立平面直角坐标系，设 ，由 可
得点 的轨迹为以 为圆心，以 为半径的圆，方程为 ，即可根据
几何性质可知，当且仅当 与 相切时， 最大，即求出．
【详解】方法一：， ，
，当且仅当 时取等
号，而 ，所以 ．故答案为： ； ．
方法二：如图所示，建立坐标系：
， ，
，所以点 的轨迹是以 为圆心，
以 为半径的圆，当且仅当 与 相切时， 最大，此时
．故答案为： ； ．
7．（2021年天津高考数学试题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，
且交AB于点E． 且交AC于点F,则 的值为____________；
的最小值为____________．
【答案】 1
【分析】设 ，由 可求出；将 化为
关于 的关系式即可求出最值.【详解】设 ， ， 为边长为1的等边三角形， ，
，
， 为边长为 的等边三角形， ，
，
，
，
所以当 时， 的最小值为 .
故答案为：1； .
四、填空题
8．（2022年浙江省高考数学试题）设点P在单位圆的内接正八边形 的边 上，
则 的取值范围是_______．
【答案】
【分析】根据正八边形的结构特征，分别以圆心为原点， 所在直线为 轴， 所在
直线为 轴建立平面直角坐标系，即可求出各顶点的坐标，设 ，再根据平面向量模
的坐标计算公式即可得到 ，然后利用
即可解出．
【详解】以圆心为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，
如图所示：,
，设 ,于是 ，
因为 ，所以 ，故 的取值范围是
.故答案为： ．
