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第 04 讲 空间向量在立体几何中的应用
本讲为高考命题热点，理科中考察空间向量，文科中不做涉及，通常在6分分值，难度不
大.
考点一 异面直线所成的角
设a，b分别是两异面直线l ，l 的方向向量，则
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a与b的夹角β l 与l 所成的角θ
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范围 (0，π)
求法 cos β＝ cos θ＝|cos β|＝
考点二 求直线与平面所成的角
设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，
则sin θ＝ |cos 〈 a ， n 〉 |＝.
考点三 求二面角
(1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角
的大小θ＝__ 〈 AB ， CD 〉 .
(2)如图②③，n ，n 分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二
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面角的大小θ满足|cos θ|＝ |cos 〈 n ， n 〉 |，二面角的平面角大小是向量 n 与n
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的夹角(或其补角).
考点四 常用结论
1.线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的
绝对值，即sin θ＝|cos〈a，n〉|，不要误记为cos θ＝|cos〈a，n〉|.
2.二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半
平面α，β的法向量n ，n 时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，来
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确定二面角与向量n ，n 的夹角是相等，还是互补.
1 2高频考点一 用向量求异面直线所成的角
【例1】1.如图，在直三棱柱ABC－A B C 中，AB＝AC＝AA ＝，BC＝2，点D
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为BC的中点，则异面直线AD与A C所成的角为( )
1
A. B.
C. D.
2.在四面体ABCD中，BD⊥AD，CD⊥AD，BD⊥BC，BD＝AD＝1，BC＝2，
则异面直线AB与CD所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
3.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A B C D 中，E是棱CC 的中点，AF
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＝λAD，若异面直线D E和A F所成角的余弦值为，则λ的值为________.
1 1
【方法技巧】
1.利用向量法求异面直线所成角的一般步骤是：(1)选好基底或建立空间直角坐
标系；(2)求出两直线的方向向量v ，v ；(3)代入公式|cos〈v ，v 〉|＝求解.
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2.两异面直线所成角的范围是θ∈，两向量的夹角α的范围是[0，π]，当异面直
线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的
方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角.
高频考点二 用空间向量求线面角
【例2】(2020·新高考山东卷)如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，PD⊥
底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.(1)证明：l⊥平面PDC；
(2)已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大
值.
【方法技巧】
向量法求直线与平面所成角主要方法是：
1.分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方
向向量的夹角(或其补角)；
2.通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角
或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角.
【跟踪训练】
1. (2022·全国百校联考)如图所示，在三棱锥 S－BCD 中，平面 SBD⊥平面
BCD，A是线段SD上的点，△SBD为等边三角形，∠BCD＝30°，CD＝2DB＝
4.
(1)若SA＝AD，求证：SD⊥CA；
(2)若直线BA与平面SCD所成角的正弦值为，求AD的长.
高频考点三 用向量求二面角
【例3】(2020·全国Ⅰ卷)如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为
底面直径，AE＝AD. ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO＝DO.
△(1)证明：PA⊥平面PBC；
(2)求二面角B－PC－E的余弦值.
【方法技巧】
1.用法向量求二面角：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后
通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断
所求角是锐二面角还是钝二面角.
2.找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以
垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.
【变式训练】
1.(2019·全国Ⅱ卷)如图，长方体ABCD－A B C D 的底面ABCD是正方形，点E
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在棱AA 上，BE⊥EC .
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(1)证明：BE⊥平面EB C ；
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(2)若AE＝A E，求二面角B－EC－C 的正弦值.
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高频考点四 与空间向量有关的探索性问题
【例3】 如图，在三棱锥 P－ABC中，底面是边长为4的正三角形，PA＝2，
PA⊥底面ABC，点E，F分别为AC，PC的中点.
(1)求证：平面BEF⊥平面PAC；
(2)在线段PB上是否存在点G，使得直线AG与平面PBC所成角的正弦值为？
若存在，确定点G的位置；若不存在，请说明理由.
【方法技巧】
1.对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有
规定范围内的解”等.
2.对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，
解出参数.
【变式训练】
1.如图，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，
P为侧棱SD上的点.
(1)求证：AC⊥SD；
(2)若SD⊥平面PAC，求二面角P－AC－D的大小；
(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求
SE∶EC的值；若不存在，试说明理由.
