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专题22.3 实际问题与二次函数（七大题型）
【题型1：图形问题】.............................................................................................................1
【题型2：图形运动问题】.....................................................................................................9
【 题 型 3 ： 拱 桥 问
题】..............................................................................................................13
【 题 型 4 ： 销 售 问
题】...............................................................................................................20
【 题 型 5 ： 投 球 问
题】.....................................................................................................26
【 题 型 6 ： 喷 水 问
题】....................................................................................................37
【 题 型 7 ： 其 他 问
题】......................................................................................................42
【题型1：图形问题】
1．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，某校用60m长的隔离网沿着院墙围成一个矩形
形状的劳动实践基地ABCD，中间有隔离网EF，已知EF⊥AD，可利用的院墙长为
35m．当基地长度BC为多少时，该劳动实践基地的面积最大？请求出其最大值（不考
虑隔离网的宽度）．
【答案】当基地长度BC为30m时，该劳动实践基地的面积最大，最大值为300m2
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的图象与性质，二次函数的最值问题，读懂题意找准等量关系，正确列出一元二次方程，熟练掌握二次函数的性质是
解题的关键．
设劳动实践基地的面积为Sm2，BC=xm，可得S关于x的函数关系式，配方得到顶点
式即可得到最值解题即可．
60−x ( x)
【详解】解：设劳动实践基地的面积为Sm2，BC=xm，则AB= = 20− m，
3 3
∴S=x ( 20− x) =− 1 (x2−60x)=− 1 (x−30) 2+300．
3 3 3
1
∵− <0,00,900−3x>0，
∴027m（不合题意，舍去），
当x=10时，BC=48−3x=18m<27m．答：菜地的面积能达到180m2时AB的长为10m．
（2）设菜地的面积为y m2，依题意，得：
y=x(48−3x)=−3x2+48x=−3(x−8) 2+192，
∴当x=8时，y有最大值为192．
即菜地的最大面积是192m2．
∴192×4=768（千克），
答：该片菜地最多可收获768千克的菜．
4．（2025·江苏泰州·二模）如图，学校有一面长8米的墙，生物兴趣小组打算用总长16米
的篱笆在墙前面的空地上围成两个矩形分别饲养小兔和小鸡，矩形一边靠墙．
(1)要使小兔和小鸡活动区域总面积为21平方米，垂直于墙的边AB长为多少？
(2)若小鸡活动区域为正方形，设计方案使得小兔活动区域面积最大．
【答案】(1)3米
(2)见解析
【分析】本题主要考查一元二次方程和二次函数在几何图形面积问题中的应用．解题
关键在于根据几何图形的边长关系设未知数，利用面积公式建立方程或函数表达式，
同时要注意结合实际条件（如墙长对边长的限制）来确定未知数的取值范围，进而求
解问题．
（1）本题通过设未知数来建立方程求解．设AB=xm，由于篱笆总长为16m，且AB
边有3段（两个矩形），所以平行于墙的边BE长为(16−3x)m．根据矩形面积公式长
宽S=长×宽，总面积为21平方米，得到方程x(16−3x)=21．求解方程得到两个根
7 8
x =3，x = ．又因为墙长8米，即BE=16−3x≤8，解这个不等式得到x≥ ，所
1 2 3 3
7
以舍去x = ，确定x=3．
2 3
（2）同样先设AB=xm，因为小鸡活动区域为正方形，所以BC=(16−4x)m ，根据矩形面积公式得到小兔活动区域面积矩形S =x(16−4x)=−4(x2−4x) ，这
矩 形ABCD
是一个二次函数．对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当a<0时，图象开口向下，
b
在对称轴处取得最大值．这里a=−4<0，对称轴为x=− =2 ，且由墙长限制
2a
8 8 8
BE=16−3x≤8，即x≥ ，在x≥ 这个范围内，S随x的增大而减小，所以当x=
3 3 3
8 16
时，S取得最大值 ，进而得出AB= 米，BC= 米时，小兔活动区域面积最大．
3 3
【详解】（1）解：设AB=xm，根据题意得，
x(16−3x)=21
7
解得，x =3，x =
1 2 3
8
∵BE=16−3x≤8，x≥ ，
3
∴x=3
答：垂直于墙的边AB长为3米．
（2）解：设AB=xm，则BC=(16−4x)m，根据题意得，
S =x(16−4x)=−4(x2−4x)，
矩形ABCD
当x≥2时，S随x的增大而减小
8
∵BE=16−3x≤8，x≥ ，
3
8
∴当x= 时，S最大
3
8 16
答：当AB= 米，BC= 米时，小兔活动区域面积最大．
3 3
5．（2025·山东青岛·一模）小明爸爸打算用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮（图①）
制作一个无盖的长方体容器（图②），需要将四角各裁掉一个正方形（厚度不计）．(1)请你在图①中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并计算长方体
底面面积为12dm2时，裁掉的正方形边长是多少分米？
(2)若所制作的长方体底面的长不超过底面宽的5倍，并将容器外表面进行防锈处理，
侧面每平方分米的费用为0.25元，底面每平方分米的费用为1元，则裁掉的正方形边
长是多少分米时，总费用最低，最低为多少元？
【答案】(1)裁掉的正方形的边长为2dm；
(2)裁掉的正方形边长为2.5dm时，总费用最低，最低费用为12.5元．
【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，找出题目中的等量关系，表示
成二次函数的形式是解题的关键．
（1）由题意可画出图形，设裁掉的正方形的边长为xdm，则题意可列出方程，可求得
答案；
（2）由条件可求得x的取值范围，用x表示出总费用，利用二次函数的性质可求得其
最小值，可求得答案．
【详解】（1）解：如图所示：
设裁掉的正方形的边长为xdm，由题意可得：
(10−2x)(6−2x)=12，
解得：x=2或x=6（舍去）．
答：裁掉的正方形的边长为2dm；
（2）解：设总费用为y元，
则y=(10−2x)(6−2x)+0.25×[2x(10−2x)+2x(6−2x))
=2x2−24x+60
=2(x−6) 2−12．
又∵10−2x≤5(6−2x)，
∴x≤2.5．
∵a=2>0，
∴当x<6时，y随x的增大而减小，
∴当x=2.5时，y取得最小值，最小值为12.5．答：裁掉的正方形边长为2.5dm时，总费用最低，最低费用为12.5元．
6．（2025·湖北·一模）工人师傅要将如图所示的矩形ABCD分割成甲、乙、丙3块，用来
填充不同材质的产品．已知AB=2BC=40m，点E,F分别在AD和CD上，AE≥DE，
且DF=2DE．设AE=xm．
(1)设甲、乙两块材料的面积之和为S，求S与x之间的函数解析式；
(2)当AE取何值时，甲，乙两块材料的面积之和为325m2
?
(3)丙部分面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)S=x2−20x+400
(2)当AE=15m时，甲，乙两块材料的面积之和为325m2
(3)存在，丙部分面积的最大值为500m2
【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握二次函数解析式的计算，最值的计算方
法是关键．
1
（1）根据题意DE=20−x，DF=2DE=2(20−x)，则S = AB·AE，
甲 2
1
S = DE·DF，由此即可求解；
乙 2
（2）由（1）知，S=x2−2x+400，将S=325代入即可求解；
（3）根据题意S =20×40−(S +S )，根据最值的计算，当x=10时，S 取得最
丙 甲 乙 丙
大值，最大值为500，由此即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，AB=2BC=40m，
∴AD=BC=20m，
∵AE=x，
∴DE=20−x，
∴DF=2DE=2(20−x)，
1 1
∴S = AB·AE= ×40x=20x，
甲 2 21 1
S = DE·DF= (20−x)×2(20−x)=x2−40x+400，
乙 2 2
∴S与x之间的函数解析式为S=S +S =x2−20x+400；
甲 乙
（2）解：由（1）知，S=x2−2x+400，
∵将S=325代入，得325=x2−20x+400，
解得x =5,x =15，
1 2
∵AE≥DE，
∴x≥20−x，
∴x≥10，
∴x=15，
∴当AE=15m时，甲，乙两块材料的面积之和为325m2；
（3）解：存在，理由如下：
∵AE≥DE，
∴x≥20−x，
∴x≥10，
又∵AE0，BP=12−2t>0，
∴02.65，
∴点(−1.2,2.8)和点(1.2,2.8)都在抛物线内．
∴这辆汽车能够通过大门．
2．（2025·河南周口·一模）开封是我国西瓜三大主产区之一，西瓜种植历史悠久，始于五
代，广种于宋，已有1000多年栽培历史，南宋诗人范成大曾在他的《西瓜园》一诗中
云：“碧蔓凌霜卧软沙，年来处处食西瓜”．图1是某瓜农种植的吊篮西瓜．为了提
供更好的生长环境，促进西瓜生长、丰产，该瓜农搭建了西瓜大棚，其横截面可模拟
为抛物线．如图2是大棚的横截面，大棚在地面上的宽度AB是8m，最高点C距地面
AB的距离为2m．以水平地面AB为x轴，AB的中点O为原点建立平面直角坐标系．(1)求此抛物线的解析式；
(2)根据图2，若一位身高1.75m的瓜农想要在大棚内站直行走，请通过计算说明该瓜
农站直行走的横向距离是否超过3m．
1
【答案】(1)y=− x2+2
8
(2)不超过3m
【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函
数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先分析题干的条件，得抛物线的顶点C的坐标为(0,2)，且过点B(4，0)，故设
抛物线的解析式为y=ax2+2．然后运用待定系数法进行求解，即可作答．
1
（2）理解题意，则把y=1.75代入y=− x2+2，得出x =❑√2，x =−❑√2，再求出
8 1 2
❑√2−(−❑√2)=2❑√2(m)，即可作答．
【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点C的坐标为(0,2)，且过点B(4，0)，
∴设抛物线的解析式为y=ax2+2．
将B(4，0)代入解析式，得0=16a+2．
1
解得a=− ，
8
1
∴抛物线的解析式为y=− x2+2；
8
（2）解：该瓜农站直行走的横向距离不超过3m，理由如下：
令y=1.75，
1
即1.75=− x2+2，
8
解得x =❑√2，x =−❑√2，
1 2
∴瓜农站直行走的横向距离是❑√2−(−❑√2)=2❑√2(m)．
∵2❑√2<3，
∴瓜农站直行走的横向距离不超过3m．
3．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，有一座拱桥洞呈抛物线形状，这个桥洞的
最大高度为16m，跨度为40m，现把它的示意图放在如图的平面直角坐标系中．(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)夏天雨水增多，水位暴涨，当桥洞的最高点到水面的距离小于4m时，船只过桥洞
会发生危险，需要发出警报，求此时水面的宽度．
1
【答案】(1)y=− (x−20) 2+16；
25
(2)此时水面的宽度为20m．
【分析】本题主要考查二次函数的应用．
（1）利用顶点式y=a(x−ℎ) 2+k计算即可．
（2）根据题意将y=4代入求得x=20±10❑√3，进一步计算即可求解．
【详解】（1）解：由图可知顶点为：(20,16)，且经过原点，
设函数关系式为：y=a(x−20) 2+16，
代入原点得：0=a(0−20) 2+16，
1
解得：a=− ；
25
1
∴该抛物线的函数表达式为：y=− (x−20) 2+16；
25
1
（2）解：将y=16−4=12代入得12=− (x−20) 2+16，
25
解得x=30，x=10，
∴30−10=20
答：此时水面的宽度为20m．
4．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方
形的长为16m，宽为6m，，抛物线的最高点E离路面AB的距离为8m．(1)按如图所示的直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式；
(2)一大型货运汽车装载某大型设备后高为7m，宽为4m．若该隧道内设单向两车行车
道，那么这辆货车能否安全通过？请说明理由．
1
【答案】(1)y=− x2+8
32
(2)这辆货车能安全通过，理由见解析
【分析】本题考查了利用待定系数法确定二次函数解析式和二次函数在实际生活中的
应用，掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
（1）用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）把x=±4代入求出函数值和车的高度作比较即可解题．
【详解】（1）解：由题意得：设该抛物线的表达式为y=ax2+8，又知抛物线过点
C(8,6)，
所以6=64a+8，
1
解得a=− ，
32
1
∴y=− x2+8；
32
（2）根据题意，把x=±4代入解析式，得y=7.5m．
∵7.5m>7m，
∴这辆货车能安全通过．
5．（24-25九年级上·天津·阶段练习）如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛
物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面的最大距离是5m．(1)若以拱顶点N为原点建立平面直角坐标系（如右图），则A点坐标是______，B点
坐标是______；
(2)根据（1）所建立的平面直角坐标系，求出抛物线的解析式；
(3)因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度．
【答案】(1)(−5，−5)；(5，−5)
1
(2)y=− x2
5
16
(3) m
5
【分析】本题主要考查二次函数的应用，根据抛物线在坐标系中的位置及点的坐标特
点，合理设抛物线解析式是解题的关键．
（1）根据题中信息和抛物线特征即可得；
（2）设抛物线解析式为y=ax2，将A(−5，−5)代入y=ax2即可求解；
6
（3）求出当x= =3时，y的值，再减去原位置−5即可得．
2
【详解】（1）解：如图，设AB与y轴交于点D，
∵水面的宽度为10m，
∴AB=10，
∴AD=BD=5，
∵桥洞与水面的最大距离是5m，
∴OD=5，
∴点A坐标为(−5，−5)，点B坐标为(5，−5)，
故答案为：(−5，−5)；(5，−5)；
（2）解：设抛物线解析式为y=ax2，
将A(−5，−5)代入y=ax2，
得：−5=a(−5) 2，1
解得：a=− ，
5
1
∴抛物线解析式为y=− x2 ；
5
6 1 9
（3）解：由题意，当x= =3时，y=− x2=− ，
2 5 5
9 16
则水面上涨的高度为：− −(−5)= ，
5 5
16
即水面上涨的高度为 m．
5
6．（2024·贵州·模拟预测）“4.20芦山地震”发生后，各地积极展开抗震救援工作，一支
救援车队经过如图1所示的一座拱桥，拱桥的轮廓是抛物线型，拱高6m，跨度20m，
相邻两支柱间的距离均为5m，将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2所示），拱
桥的拱顶在y轴上．
(1)求拱桥所在抛物线的解析式；
(2)求支柱MN的长度；
(3)拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2米的隔离带），其中的一条行车道
能否并排行驶宽2m、高2.4m的三辆汽车（隔离带与内侧汽车的间隔、汽车间的间隔、
外侧汽车与拱桥的间隔均为0.5m）？请说说你的理由．
3
【答案】(1)y=− x2+6；
50
(2)支柱MN的长度是5.5米；
(3)不能并排行驶这样的三辆汽车，见解析
【分析】本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题是解题根本，求
出二次函数关系式是关键．
（1）根据题目可知A．B，C的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解；
（2）设N点的坐标为(5,y )可求出支柱MN的长度；
N
（3）设DE是隔离带的宽，EG是三辆车的宽度和，作GH垂直AB交抛物线于H，求出GH则可求解．
【详解】（1）解：根据题目条件，A、B、C的坐标分别是(−10,0)、(10,0)、(0,6)．
将B、C的坐标代入y=ax2+c，得
{ 6=c )
0=100a+c
3
解得a=− ，c=6．
50
3
所以抛物线的表达式是y=− x2+6；
50
3
（2）解：可设N(5,y )，于是yN=− ×52+6=4.5．
N 50
从而支柱MN的长度是10−4.5=5.5米；
（3）解：设DE是隔离带的宽，EG是三辆车最内侧与最外侧的宽度和，则G点坐标
是(9,0)，
3
过G点作GH垂直AB交抛物线于H，则y =− ×92+6=1.14<2.4，
H 50
根据抛物线的特点，可知一条行车道不能并排行驶这样的三辆汽车．
【题型4：销售问题】
1．（24-25九年级上·江西赣州·期末）禧爱花店以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，
为了确定售价，调查了附近A,B,C,D,E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销
售量情况，并记录如下：
售价x（元/盒） 18 20 22 26 30
日销售量y（盒） 54 50 46 38 30
(1)分析表格中数据的变化规律，可知日销售量y是售价x的一次函数，求日销售量y与
售价x之间的关系式；
(2)根据以上信息，禧爱花店将售价定为多少时，每天能够获得最大利润，最大利润是
多少？【答案】(1)y=−2x+90
(2)售价定为30元时，每天能够获得最大利润，最大利润为450元
【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求函数关系式及二次函数求最值
的方法是解题的关键．
（1）根据变量变化规律判断函数类型，并利用待定系数法求其函数关系式即可；
（2）根据“每天的利润=（售价−进价）×日销售量”将每天的利润表示出来，并确定
当x为何值时每天的利润取最大值即可．
【详解】（1）解：由题意可设y=kx+b，
{20k+b=50)
把(20,50)，(30,30)代入得： ，
30k+b=30
{k=−2)
解得： ，
b=90
∴y=−2x+90；
（2）设每天获得的利润为w元，
由题意得w=(x−15)(−2x+90)=−2x2+120x−1350=−2(x−30) 2+450，
∵−2<0，∴当x=30时，w取最大值450，
∴售价定为30元时，每天能够获得最大利润，最大利润为450元．
2．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）某服装店销售一款卫衣，这款卫衣的每件进价为80
元，现在的每件售价为100元，每星期可卖出40件．经市场调查发现如下信息：
信息一：这款卫衣的每件售价每降1元，每星期可多卖出10件；
信息二：由于货源紧缺，这款卫衣每星期最多能卖100件．
设这款卫衣的每件售价降了x元，每星期的销量为y件．
(1)写出y与x的函数表达式；
(2)当x等于多少时，该服装店每星期销售这款卫衣获得的利润最大，最大利润是多少
元？
【答案】(1)y=10x+40
(2)当x=6时，该服装店每星期销售这款卫衣获得的利润最大，最大利润是1400元
【分析】本题考查了一次函数和二次函数在销售问题中的应用，找到数量关系是解答
关键．
（1）根据销售量=原价的销售量+降价后的销售量来求解；
（2）设该服装店每星期销售这款卫衣获得的利润为w元，根据销售利润=销售数量×单件销售利润来求解．
【详解】（1）解：y与x的函数表达式为y=10x+40；
（2）解：设该服装店每星期销售这款卫衣获得的利润为w元．
w=(100−x−80)(10x+40)
=−10x2+160x+800
=−10(x−8) 2+1440，
∵每星期最多能卖100件，
∴10x+40≤100
∴x≤6，
∵−10<0，二次函数图象开口向下，
∴当x<8时，w随x的增大而增大．
∴当x=6时，w有最大值，最大值为1400，
答：当x=6时，该服装店每星期销售这款卫衣获得的利润最大，最大利润是1400元．
3．（24-25九年级上·山东烟台·期末）某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场
试销发现：销售单价x（元／件），与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系．
(1)求出y与x之间的函数关系式；
(2)市场物价监管部门规定，销售该种商品获利不得超过50%，求每天的利润W与销售
单价x之间的函数关系式；并求售价定为多少，来保证每天获得的利润最大？最大利
润是多少？
【答案】(1)y=−x+180
(2)售价定为140元／件时，每天最大利润1600元
【分析】本题考查一次函数和二次函数的实际应用：
（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，利用待定系数法可求出其解析式；
（2）根据利润=（售价－单价）×销售量，由题意可求出x的取值范围，再根据二次函
数的性质，即可得出答案．【详解】（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，
{130k+b=50)
由函数图象得，
150k+b=30
解得：k=−1，b=180
故y与x的函数关系式为y=−x+180；
（2）100(1+50%)=150，所以x≤150
∵ y=−x+180，
∴W =(x−100)y=(x−100)(−x+180)
=−x2+280x−18000=−(x−140) 2+1600
∵a=−1<0，140<150
∴当x=140时，W =1600，
最大
∴售价定为140元／件时，每天最大利润W =1600元．
4．（24-25九年级上·广东东莞·期中）中秋节前夕，某蛋糕店购进一种品牌月饼，每盒进价
是 60 元，蛋糕店规定每盒售价不得少于 70 元，根据以往销售经验发现：当售价定
为每盒 70 元时，每天可卖出 500 盒， 每盒售价每提高 1 元时，每天要少卖出 20
盒，请解答下列问题：
(1)设每天的销售利润为 y 元，每盒售价提高 x 元（x 为整数），求出 y 与 x 之间
的函数解 析式，当每盒售价定为多少元时，每天销售的总利润最大? 最大利润是多少?
(2)为稳定物价，有关管理部门限定：这种月饼的每盒售价不得高出 78 元，如果蛋糕
店 想要每天获得 6000 元的利润，那么蛋糕店每天销售月饼多少盒?
【答案】(1)y=−20x2+300x+5000，每盒售价 定为77或78元 时 ，每天销售的
利润最大 ，最大利润是 6120元
(2)蛋糕店每天销售月饼 400 盒
【分析】本题考查了二次函数的销售盈利问题，一元二次方程的应用，正确掌握相关
性质内容是解题的关键．
（1）依题意列式y=(70+x−60)(500−20x)=−20(x−7．5) 2+6125，结合二次函
数的图象性质得当x=7或8时，y 最大，最大值为6120，即每盒售价定为77或78元
时 ，每天销售的利润最大，最大利润是6120元，进行作答．
（2）当y=6000时，则−20x2+300x+5000=6000，解得x =5，x =10，因为每
1 2
盒售价不得高出78元，则70+x≤78， 解出x的范围，即可作答．【详解】（1）解：∵当售价定为每盒 70 元时，每天可卖出 500 盒， 每盒售价每提
高 1 元时，每天要少卖出 20 盒，
∴y=(70+x−60)(500−20x)=−20x2+300x+5000=−20(x−7．5) 2+6125，
∵−20<0，且x为整数，
∴当x=7或8时，y 最大，最大值为6120，
∵70+7=77（元）或70+8=78（元）．
∴ 每盒售价定为77或78元时 ，每天销售的利润最大，最大利润是6120元；
（2）解：当y=6000时，则−20x2+300x+5000=6000，
解得x =5，x =10，
1 2
∵每盒售价不得高出78元，
∴70+x≤78，
∴x≤8，
∴x=5，
∴500−20×5=400（盒），
∴蛋糕店每天销售月饼 400 盒．
5．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期末）近年来，用“短视频＋直播”推广家乡农副产品的
方式日益引发关注，成为推动农业和乡村发展的新引擎：资料显示，2022年有近100
万网友分享了助农短视频，到2024年分享助农短视频的人数已经达到121万．
(1)求短视频分享人数的年平均增长率；
(2)某短视频平台的“新农人”通过平台销售家乡特产“薄皮核桃”，据了解，每斤核
桃进价是8元，每斤核桃的利润中需拿出2元做为平台管理费，若销量y（斤）与每斤
售价x（元）满足函数关系y=−50x+1000，设直播收益为w（元），当每斤售价定
为多少元时，每天的直播收益最大？最大收益为多少元？（直播收益＝销售利润－平
台管理费）
【答案】(1)10%
(2)当售价为15元时，每天的收益最大；最大收益为1250元
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，理解题意，正确列出函数关系式是解题的关键．
（1）设年增长率为x，根据题意列出方程，解方程即可；
（2）根据题意列出函数关系式，根据二次函数的性质求出二次函数的最值即可．
【详解】（1）解：设短视频分享人数的年平均增长率为x，
根据题意得：100(1+x) 2=121，
解得，x =0.1=10%，x =−2.1（不合题意，舍去）．
1 2
答：短视频分享人数的年平均增长率为10%．
（2）解：根据题意可得w=(x−8−2)(−50x+1000)
=−50x2+1500x−10000=−50(x−15) 2+1250
∵a=−50<0，
∴抛物线开口向下，有最高点，w有最大值，
即当x=15时，w =1250．
最大值
答：当售价为15元时，每天的收益最大；最大收益为1250元
6．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）某宾馆有20个房间供游客居住，当每个房间的
定价为每天200元时，房间会全部住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会
有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出40元的各种费用．
(1)若每个房间的定价为每天210元时，则会住满______个房间，宾馆的总利润是
______元．
(2)房价定为多少时，宾馆利润取得最大值？
【答案】(1)19，3040
(2)房价定为220元时，宾馆利润取得最大值．
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用；
（1）根据题意列式计算即可得到答案；
1
（2）设每个房间定价增加x元，根据题意，得出利润的关系式− (x−20) 2+3240，
10
再根据二次函数的性质，即可得到答案．
210−200
【详解】（1）解：依题意得：20− =19；
10( 210−200) 元，
(200−40) 20− =3040
10
即会住满19个房间，宾馆的总利润是3040元；
故答案为：19，3040．
（2）解：设每个房间定价增加x元，
依题意得：所获利润=(200+x−40) ( 20− x ) =− 1 (x−20) 2+3240，
10 10
∴当x=220元时，利润最大，
∴200+20=220元，
即房价定为220元时，宾馆利润取得最大值．
【题型5：投球问题】
1．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图 ，赵州桥的桥拱可近似看成是一条不完整的
①
1
抛物线，建立如图 所示的平面直角坐标系，其函数表达式为y=− x2 ．当水面离
25
②
桥拱拱顶的高度DO为4m时，水面的宽度AB为（ ）
A．4m B．8m C．25m D．20m
【答案】D
【分析】本题考查二次函数实际应用，已知函数值求自变量值等．根据题意可得点B得
1
纵坐标为−4，将其代入y=− x2 中即可求出DB的长，继而得到本题答案．
25
【详解】解： 水面离桥拱拱顶的高度DO为4m时，
点B得纵坐标∵为−4，
∴ 函数表达式为y=− 1 x2 ，
25
∵1
将点B得纵坐标为−4代入y=− x2 中得：x=±10，
25
∴
DB=10m，
∴AB=20m，
∴故选：D．
2．（2025·天津红桥·一模）如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，
小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与
飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：ℎ =−5t2+20t(0≤t≤4)．有下列结论：
①小球飞行中的高度可以是21m；
②小球飞行1s时的高度小于飞行2.5s时的高度；
③当1.5≤t≤3时，小球的飞行高度不低于15m．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的应用．化为顶点式，利用二次函数的性质可判断①错误，
分别求出t=1和t=2.5时，h的值即可判断②正确，分别求出t=1.5和t=3时，h的值即
可判断③正确，由此即可得．
【详解】解：ℎ =−5t2+20t=−5(t−2) 2+20，
则小球飞行的最大高度为20m，结论①错误；
当t=1时，ℎ =−5+20=15，
当t=2.5时，ℎ =−5×(2.5−2) 2+20=18.75，
15<18.75，
小球飞行1s时的高度小于飞行2.5s时的高度，结论②正确；
当t=1.5时，ℎ =−5×(1.5−2) 2+20=18.75，
当t=3时，ℎ =−5(3−2) 2+20=15，当1.5≤t≤3时，小球的飞行高度不低于15m，结论③正确．
综上，正确结论的个数是2个，
故选：C
3．（2025九年级下·全国·专题练习）如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将
传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的
内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的
水平宽度（即CD的长）为 米．
【答案】40
【分析】
本题考查了二次函数在实际问题中的应用．以底部所在的直线为 轴，以线段CD的垂
直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，用待定系数法求得内侧抛物线的解析
式，则可知点C、D的横坐标，从而可得CD的长．
【详解】
解：以底部所在的直线为 轴，以线段CD的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直
角坐标系：
∴A(−40,0) B(40,0) E(0,200)
， ， ，
设抛物线的解析式为y=a(x+40)(x−40)，将E(0,200)代入，得：200=a(0+40)(0−40)，
1
解得：a=− ，
8
1
抛物线的解析式为y=− x2+200，
8
1
将y=150代入得：− x2+200=150，
8
解得：x=±20，
∴C(−20,150)，D(20,150)，
∴CD=40米，
故答案为：40．
4．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，一位篮球运动员投篮时，球从点A出手后沿抛
物线行进，篮球出手后距离地面的高度y（单位：m）与篮球距离出手点的水平距离x
1( 3) 2 7
（单位：m）之间的函数关系式是y=− x− + ．篮球出手点距离地面的高度为
5 2 2
m．
61
【答案】
20
1( 3) 2 7
【分析】本题考查了二次函数的应用．将x=0代入y=− x− + 计算即可．
5 2 2
1 (3) 2 7 61
【详解】解：当x=0时，y=− × + = ，
5 2 2 20
61
∴篮球出手点距离地面的高度为
20
61
故答案为： ．
20
5．（24-25九年级上·天津静海·期中）从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是
ℎ
=30t−5t2．那么小球到达最大高
度的时间是 s
【答案】3
【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意是关键；把二次函数解析式配方即可求
得小球到达最高点时的时间．
【详解】解：ℎ =30t−5t2=−5(t−3) 2+45，
∵二次项系数为负，
∴当t=3时，小球运动到最高点．
故答案为：3．
6．（2025·湖北·三模）为迎接学校运动会，综合实践小组的同学研究了每位同学掷实心球
的训练情况，下面是对小宇同学某次掷球的研究．根据实心球运动的路线，发现其行
进路线是抛物线的一部分．如图，以过点O水平方向的直线为x轴，过点O竖直方向
的直线为y轴，建立平面直角坐标系．实心球运动的高度y(m)与水平距离x(m)的部分
数据如表：
x/m 1 2 4 6 7 …
2.25 8 3 8 2.25 …
y/m
3 3
(1)求实心球运动的高度y(m)与水平距离x(m)的函数表达式；（不要求写自变量的取值
范围）
(2)求实心球出手时（即与y轴交点）的高度；
(3)当实心球落地点到原点的距离超过11m时，得分为满分．请通过计算说明小宇此次
掷球是否得到满分．
1
【答案】(1)y=− (x−4) 2+3；
125
(2) 米；
3
(3)小宇此次掷球不能得满分．
【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握待定系数法，函数值、自变量的值的计
算是关键．
（1）根据表格得到顶点为(4,3)，设函数表达式为y=a(x−4) 2+3，运用待定系数法
即可求解；
（2）令x=0，根据函数解析式求函数值即可；
1
（3）令y=− (x−4) 2+3=0，求自变量的取值即可．
12
【详解】（1）解：由题意，根据表格数据，可得二次函数的对称轴是直线
2+6
x= =4，
2
∴顶点为(4,3)，
∴设函数表达式为y=a(x−4) 2+3，
又∵抛物线过(1,2.25)，
∴2.25=a(1−4) 2+3．
1
∴a=− ，
12
1
∴实心球运动的高度y(m)与水平距离x(m)的函数表达式为y=− (x−4) 2+3．
12
（2）解：由题意，结合（1），令x=0，
1 5
∴y=− (0−4) 2+3= ，
12 3
( 5)
∴实心球出手时的坐标为 0, ，
3
5
∴出手时的高度为 米．
3
1
（3）解：由题意，令y=− (x−4) 2+3=0，
12
∴x=10或x=−2（不合题意，舍去），∴实心球从起点到落地点的水平距离为10m<11m，
∴小宇此次掷球不能得满分．
7．（2025·陕西西安·模拟预测）某校羽毛球队为了提高运动员成绩，训练中心配备了一架
如图1所示的高度可调的羽毛球发球机器人．如图2，发球机器人固定站在地面的点O
处，其弹射出口记为点A，所发出的羽毛球的运动路径呈抛物线状．设飞行过程中羽
毛球与发球机器人之间的水平距离为x（单位：米），羽毛球到地面的高度为y（单位：
米），已知当点A的高度为1.25米时，羽毛球的最高点离地面的距离为2.25米，羽毛
球在最高点处离发球机器人的水平距离为2米（发球机器人的半径忽略不计）．
(1)求y与x的函数解析式．
(2)调整弹射出口A的高度可以改变球的落地点．为了训练运动员的后场能力，需要使
羽毛球的落地点到点O的水平距离增加1米．若此过程中抛物线的形状和对称轴位置
都不变，则发球机器人的弹射出口高度OA应调整为多少米？
【答案】(1)y=−0.25(x−2) 2+2.25
(2)3米
【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，由实际问题建立起二次函数的模型并将
二次函数的问题转化为一元二次方程求解是解题的关键．
（1）由题可知，抛物线的顶点为(2,2.25)，且抛物线与y轴交点为(0,1.25)，可设抛物
线的解析式为：y=a(x−2) 2+2.25， 将点(0,1.25)代入，即可求解；
（2）令抛物线解析式的y=0，即可求出原先羽毛球的落地点B到发球机O点的水平距
离，根据题意可设抛物线的解析式为：y=−0.25(x−2) 2+k，根据题意可知该抛物线
过点(6,0)，进而求出抛物线解析式，将x=0代入解析式计算，即可求解．
【详解】（1）解：由题可知，抛物线的顶点为(2,2.25)，且抛物线与y轴交点为
(0,1.25)，可设抛物线的解析式为：y=a(x−2) 2+2.25，
将点(0,1.25)代入，
得：1.25=4a+2.25，
解得：a=−0.25，
∴y关于x的函数表解析式为：y=−0.25(x−2) 2+2.25；
（2）解：当y=0时，0=−0.25(x−2) 2+2.25，
解得：x =5，x =−1（舍去），
1 2
∵抛物线的形状和对称轴位置都不变，
∴可设抛物线的解析式为：y=−0.25(x−2) 2+k，
∵要使发射出的羽毛球落地点到O点的水平距离增加1米，
∴当y=0时，x=5+1=6，
∴ 0=−0.25×(6−2) 2+k，
解得：k=4，
∴ y=−0.25(x−2) 2+4，
当x=0时，y=−0.25×(0−2) 2+4=3，
∴发球机的弹射口高度OA应调整为3米．
8．（2025·陕西西安·一模）跳台滑雪是冬奥会的比赛项目之一．如图，某运动员通过助滑
道后在点A处起跳，经空中飞行后落在着陆坡BC上的点M处，他在空中飞行的路线
可以看作抛物线的一部分．线段OB表示水平地面，以O为坐标原点，以OB所在直线
为x轴，以OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．从起跳到着陆的过程中，运动
员到地面OB的竖直距离y（单位：m）与他在水平方向上移动的距离x（单位：m）近
1
似满足函数关系y=− x2+bx+c．已知OA=70m，直线BC的表达式为
16
3
y=− x+60，且点M(40,30)．
41
(1)求满足的函数关系式y=− x2+bx+c；
16
(2)该运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡BC竖直方向上的距离达到最大时，求
此时他的水平距离．
1 3
【答案】(1)y=− x2+ x+70
16 2
(2)18m
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，二次函数图象
的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）根据函数图象的性质，利用顶点式解析式来确定最值即可．
【详解】（1）解：将A(0,70)、M(40,30)代入，得：
{ c=70 )
，
−100+40b+c=30
{ b= 3 )
解得： 2 ，
c=70
1 3
所以y=− x2+ x+70；
16 2
（2）解：他与着陆坡BC竖直方向上的距离为：
1 3 3
− x2+ x+70−(− x+60)
16 2 4
1 9
=− x2+ x+10
16 4
1 121
=− (x−18) 2+ ，
16 4
1
∵− <0，
16121
∴x=18时，他与着陆坡BC竖直方向上的距离取得最大值，最大值为 ；
4
所以，当他与着陆坡BC竖直方向上的距离达到最大时，此时他的水平距离为18m．
9．（2025·陕西宝鸡·一模）某科技创新兴趣小组制作了一种投石器，如图1，为检验投石
器的性能，进行如下操作：如图2，将投石竿点M端拉至水平地面M′处，放手后投石
竿绕支点A旋转，从点M处把石头甩出，石头的运动轨迹是抛物线的一部分，以水平
地面为x轴，竖直方向OM为y轴建立平面直角坐标系，如图3．已知OM=0.4米，抛
( 13)
物线顶点P的坐标为 1, ．
20
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)为了检验投石器的性能，在点O的正前方2米∼2.5米处设置了一个长为0.5米，内
壁DE高为0.6米，外壁HF高为0.8米的目标箱（其中DE,HF垂直x轴）．兴趣小组
为了把石头投入目标箱，可以垫高投石器或在x轴正方向移动投石器（假设每次都以
相同的角度和力度投石），当垫高投石器时，设垫高的高度为ℎ米，求ℎ的取值范围
（取值范围不取端点）．
1 13
【答案】(1)y=− (x−1) 2+
4 20
1 57
(2) < ℎ <
5 80
【分析】本题考查二次函数的应用，二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析
式，正确进行计算是解题关键．
13
（1）根据题意设抛物线的解析式为y=a(x−1) 2+ ，代入数据求解即可；
20
（2）设垫高后的抛物线解析式为 1( 3) 2 17 ，分别把 和把
y=− x− + + ℎ (2,0.6)
4 2 16(2.5,0.8)代入式子，进行求解即可；
( 13)
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为 1, ，
20
13
∴设抛物线的解析式为y=a(x−1) 2+ ，
20
∵OM=0.4米，
13
把点M(0,0.4)代入可得0.4=a+ ，
20
1
解得：a=− ，
4
1 13
所以抛物线的解析式为y=− (x−1) 2+ ；
4 20
1 13
（2）解：设垫高后的抛物线为y=− (x−1) 2+ + ℎ，
4 20
∵在点O的正前方2米∼2.5米处设置了一个长为0.5米，内壁DE高为0.6米，外壁
HF高为0.8米的目标箱，
1 13 1 13
∴把(2,0.6)代入y=− (x−1) 2+ + ℎ，可得0.6=− ×(2−1) 2+ + ℎ
4 20 4 20
1
解得ℎ = ，
5
1 13 1 13
把(2.5,0.8)代入y=− (x−1) 2+ + ℎ，可得0.8=− ×(2.5−1) 2+ + ℎ，
4 20 4 20
57
解得ℎ = ，
80
1 57
∴ < ℎ < ，
5 80
10．（2025·广东深圳·二模）背景：2026年开始，深圳市体育中考将把球类运动作为必选
项目．在某次校园“篮球比赛”活动中，小李同学展示了精彩的投篮技巧．假设小李
投篮时篮球的运动路线是抛物线，如图1．已知以下信息：
（1）球员小李罚球线处投篮．罚球线到篮筐中心的水平距离为4.5米；
（2）篮筐的高度为3.05米；
（3）小李投篮时，篮球运动路线的最高点在离他的水平距离3米处，高度为3.5米．(1)求小李投篮时，篮球出手时的高度OA；
(2)在刚才的投篮过程中，如图2，有一个防守队员小姜在小李正前方1米处，想跳起
来去阻挡篮球入筐．已知小姜手臂向上伸展的时候，指尖距离脚底的最大高度为1.9
米；小姜竖直弹跳的最大高度为60cm，请问小姜是否能完成本次防守，说明理由．
【答案】(1)OA=1.7米
(2)无法完成，见解析
【分析】本题主要考查实际问题与二次函数；
（1）设y=a(x−3) 2+3.5，将点(4.5,3.05)代入，当x=0时，求出y的值即可求出；
（2）令x=1，求出y=2.7，根据2.7−1.9=0.8，0.6米<0.8米，得出结论即可．
【详解】（1）解：以点O为原点建立平面直角坐标系，
设y=a(x−3) 2+3.5，
将点(4.5,3.05)代入，
解得a=−0.2
∴y=−0.2(x−3) 2+3.5
当x=0时，得y=1.7
∴OA=1.7米
（2）解：令x=1，y=−0.2(1−3) 2+3.5=2.7
2.7−1.9=0.8（米）
∵0.6米<0.8米，
∴小姜同学无法完成此次防守．
【题型6：喷水问题】1．（2025·甘肃·中考真题）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置
OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所
示的直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是
7
y=−x2+2x+ (x>0)，则水流喷出的最大高度是（ ）
4
A．3m B．2.75m C．2m D．1.75m
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，把函数解析式化为顶点式，由函数性质求最
大值．解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，难度中等．
7 7 11
【详解】解：y=−x2+2x+ =−(x−1) 2+1+ =−(x−1) 2+ ，
4 4 4
∵−1<0，
11
∴当x=1时，y取最大值，最大值为 ，即2.75米，
4
故选：B．
2．（23-24九年级上·吉林·期中）圆形喷水池中心O处有一雕塑OA，从A点向四周喷水，
喷出的水柱为抛物线，且形状相同． 如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立平面
11
直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C、D为水柱的落水点．已知雕塑OA高 米，
6
与OA水平距离5米处为水柱最高点，落水点C、D之间的距离为22米，求喷出水柱的
最大高度是多少米？
【答案】6米【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意，掌握待定系数法是解题的关键．根
( 11)
据题意得水柱形成抛物线的对称轴为直线x=5，A 0, ，D(11,0)，用待定系数法
6
求出函数的解析式，即可得到喷出水柱的最大高度．
( 11)
【详解】解：由题知，水柱形成抛物线的对称轴为直线x=5，A 0, ，D(11,0)，
6
( 11) { 25a+k= 11 )
设抛物线解析式为y＝a(x−5) 2+k，把A 0, ，D(11,0)代入，得 6 ，
6
36a+k=0
{ a=− 1 )
解得 6 ，
k=6
1
∴水柱形成抛物线的解析式为y＝− (x−5) 2+6，
6
∴抛物线顶点坐标为(5,6)，
∴喷出水柱的最大高度是6米．
3．（22-23九年级上·江苏南通·阶段练习）如图①，一个可调节高度的喷灌架喷射出的水流
可以近似地看成抛物线．图②是喷射出的水流在平面直角坐标系中的示意图，其中喷
灌架置于点O处，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）设置的是1米，当喷
射出的水流距离喷水头水平距离为8米时，达到最大高度5米．(1)求水流运行轨迹的函数解析式；
(2)若在距喷灌架12米处有一棵3.5米高的果树，问：水流是否会碰到这棵果树？请通
过计算说明．
1
【答案】(1)y=− (x−8) 2+5
16
(2)水流不会碰到这棵果树，理由见解析
1
【分析】（1）根据题意设y=a(x−8) 2+5，将点(0，1)代入可得a=− ，即可求解；
16
（2）根据题意，当x=12时，y=4>3.5，可得结论．
【详解】（1）解：由题可知：抛物线的顶点为(8，5)，
设水流形成的抛物线为y=a(x−8) 2+5，
1
将点(0，1)代入可得a=− ，
16
1
∴抛物线为： y=− (x−8) 2+5．
16
（2）不能，理由如下：
当x=12时，y=4>3.5，
∴水流不会碰到这棵果树．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意求得函数解析式是解题的关键．
4．（19-20九年级上·山东青岛·期末）如图，一个圆形喷水池的中央垂直于水面安装了一个
柱形喷水装置OA，O恰好在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在
各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的平面上，按如图所示建立直
角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式可以用
(1 5) ( 7)
y=−x2+bx+c表示，且抛物线经过点B , ，C 2, ．请根据以上信息，解答
2 2 4
下列问题：(1)求抛物线的函数关系式，并确定喷水装置OA的高度；
(2)喷出的水流距水面的最大高度是多少米？
(3)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？
7
【答案】(1)喷水装置OA的高度为 米；
4
11
(2)喷出的水流距水面的最大高度是 米；
4
❑√11
(3)水池的半径至少要1+ 米，才能使喷出的水流不至于落在池外
2
【分析】（1）将点B、C坐标代入y＝﹣x2+bx+c列方程组求出b、c的值即可得解析式，
令x＝0可得y的值，即喷水装置OA的高度；
（2）将抛物线解析式配方成顶点式即可得其最大值，即水流距水面的最大高度；
（3）令y＝0可得对应x的值．
1 5 7
【详解】（1）解：根据题意，将点B（ ， ），C（2， ）代入y＝﹣x2+bx+c，
2 2 4
{ −( 1 ) 2 + 1 b+c= 5 )
2 2 2
得： ，
7
−22+2b+c=
4
{b=2
)
解得： 7 ，
c=
4
7
∴y与x的函数关系式为：y＝﹣x2+2x+ ，
4
7
当x＝0时，y＝ ，
4
7
∴喷水装置OA的高度为 米；
47 11
（2）解∵y＝﹣x2+2x+ ＝﹣（x﹣1）2+ ，
4 4
11
∴当x＝1时，y取得最大值 ，
4
11
故喷出的水流距水面的最大高度是 米；
4
7
（3）解：当y＝0时，﹣x2+2x+ ＝0，
4
❑√11 ❑√11
解得：x＝1﹣ ，x＝1+ ，
1 2 2 2
❑√11
∵x＝1﹣ ＜0，不合题意，舍去，
1 2
❑√11
∴x＝1+ ，
2 2
❑√11
答：水池的半径至少要1+ 米，才能使喷出的水流不至于落在池外．
2
【点睛】本题是二次函数的实际应用，掌握抛物线顶点、与x轴交点、y轴交点的实际
意义是解题的关键．
5．（19-20九年级上·福建宁德·期末）某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面
安装一个柱子OA，点O恰好在水面中心，安装在柱子顶端A处的圆形喷头向外喷水，
水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任意平面上，水流喷
出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系如图所示，建立平面直角坐标系，右边抛
物线的关系式为y=−x2+2x+3.请完成下列问题：
（1）将y=−x2+2x+3化为y=a(x−ℎ) 2+k的形式，并写出喷出的水流距水平面的
最大高度是多少米；
（2）写出左边那条抛物线的表达式；
（3）不计其他因素，若要使喷出的水流落在池内，水池的直径至少要多少米？
【答案】（1）喷出的水流距水平面的最大高度是4米.（2）y=−(x+1) 2+4.（3）水池的直径至少要6米.
【分析】（1）利用配方法将一般式转化为顶点式，即可求出喷出的水流距水平面的最
大高度；
（2）根据两抛物线的关于y轴对称，即可求出左边抛物线的二次项系数和顶点坐标，
从而求出左边抛物线的解析式；
（3）先求出右边抛物线与x轴的交点的横坐标，利用对称性即可求出水池的直径的最
小值.
【详解】解：（1）∵y=−x2+2x+3=−(x−1) 2+4，
∴抛物线的顶点式为y=−(x−1) 2+4.
∴喷出的水流距水平面的最大高度是4米.
（2）∵两抛物线的关于y轴对称
∴左边抛物线的a=-1，顶点坐标为（-1,4）
左边抛物线的表达式为y=−(x+1) 2+4.
（3）将y=0代入y=−x2+2x+3，则
得−x2+2x+3=0，
解得x =3，x =1（求抛物线与x轴的右交点，故不合题意，舍去）.
1 2
∵3×2=6（米）
∴水池的直径至少要6米.
【点睛】此题考查的是二次函数的应用，掌握将二次函数的一般式转化为顶点式、利
用顶点式求二次函数的解析式和求抛物线与x轴的交点坐标是解决此题的关键.
【题型7：其他问题】
1．（24-25九年级上·重庆永川·期中）飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行时间t
（单位：s）的函数解析式是s=60t−1.5t2．飞机着陆后停下来滑行的距离是（ ）
A．200 B．400 C．600 D．800
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，飞机滑行距离的函数为二次函数，其最大值
对应飞机停下来的总滑行距离．通过将二次函数配方成顶点式，可求出最大值．
【详解】解： s=−1.5t2+60t=−1.5(t2−40t)t2−40t=(t−20) 2−400
∵
代入得：
s=−1.5[(t−20) 2−400)=−1.5(t−20) 2+600
二次项系数−1.5<0，抛物线开口向下，
∵顶点(20,600)为最大值点，
∴当t=20秒时，滑行距离最大，即飞机停下来的总距离为600米．
故选：C
2．（2025·天津南开·三模）飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：
3
s）的函数解析式是s=− t2+60t．有下列结论：
2
①飞机着陆后滑行10s时，滑行的距离为450m；
②飞机着陆后滑行20s才能停下来；
③飞机着陆后滑行600m才能停下来．
其中，正确的结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的应用；求出当t=10时的函数值即可判断①；求出函数
值的最大值及此时的时间，可判断②与③，从而可确定答案．
3
【详解】解：当t=10时，s=− ×102+60×10=450(m)，故①正确；
2
3 3
s=− t2+60t=− (t−20) 2+600，
2 2
当t=20时，飞机着陆后滑行20s才能停下来，此时滑行了600m，故②③正确；
综上，三个全部正确；
故选：D．
3．（2025·河南开封·二模）某校兴趣小组在广场进行无人机飞行表演，一架无人机的飞行
线路是一条抛物线，其飞行高度y（m）与水平距离x（m）满足二次函数关系
1
y=− x2+4x+2．
4(1)用配方法求出抛物线的顶点坐标，并说明其顶点坐标的实际意义．
(2)若距飞行起始点正前方10m处有一个16m高的大型广告牌，请通过计算判断该无人
机在飞行过程中，是否存在与广告牌发生碰撞的风险．
【答案】(1)顶点坐标为(8,18)，表示当飞行的水平距离为8m时，飞行达到最大高度为
18m
(2)无人机不存在与广告牌发生碰撞的风险
【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键；
（1）先根据题意将解析式配方，进而结合题意说出顶点坐标的实际意义，即可求解；
（2）将x=10代入解析式，求得函数值与16，比较大小，即可求解．
1
【详解】（1）解：y=− (x2−16x+64−64)+2
4
1
=− [(x−8) 2−64)+2
4
1
=− (x−8) 2+18；
4
顶点坐标为(8,18)，表示当飞行的水平距离为8m时，飞行达到最大高度为18m．
1
（2）当x=10m时，y=− ×(10−8) 2+18=17>16，
4
答：无人机不存在与广告牌发生碰撞的风险．
4．（2025·河南洛阳·三模）“动若脱兔”是一个汉语成语，这个成语的含义是：在行动时
变得敏捷迅速，就像脱逃的兔子一样．野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线
的一部分．(1)野兔一次跳跃的最远水平距离为2.8米，最大竖直高度为0.98米，以其起跳点为原
点，建立平面直角坐标系，求满足条件的抛物线的解析式；（无需写出取值范围）
(2)若距野兔起跳点2米处有一个高度为0.9米的树桩，通过计算说明野兔是否能成功越
过木桩；若不能，野兔至少需要再向前走多远开始起跳才可成功越过木桩？
【答案】(1)y=−0.5x2+1.4x
(2)野兔不能成功越过木桩，野兔至少需要再向前走0.2m开始起跳才可成功越过木桩
【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解题关键．
（1）先求出抛物线的顶点坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）求出x=2时，y的值，再根据0.9比较大小，得到野兔不能成功越过木桩，然后
设起跳点向前移动d米，新抛物线为：y=−0.5(x−d) 2+1.4(x−d)，要求当x=2时
y≥0.9，即可求解；
(2.8 )
【详解】（1）解：由题意可知，该抛物线的顶点坐标为 ,0.98 ，即为(1.4,0.98)，
2
∴可设该抛物线的解析式为y=a(x−1.4) 2+0.98，
把(0,0)代入y=a(x−1.4) 2+0.98得：0=a(0−1.4) 2+0.98，
1
解得：a=− ，
2
1
∴抛物线的解析式为y=− (x−1.4) 2+0.98=−0.5x2+1.4x．
2
（2）解：当x=2时，y=−0.5×22+1.4×2=0.8，
∵0.8<0.9，
∴野兔不能成功越过木桩，设起跳点向前移动d米，新抛物线为：y=−0.5(x−d) 2+1.4(x−d)，
要求当x=2时y≥0.9，即0.9≤−0.5(2−d) 2+1.4(2−d)
化简得：d2−1.2d+0.2≤0，
解得：0.2≤d≤1，
∴由题意得：野兔至少需要再向前走0.2m开始起跳才可成功越过木桩；
5．（2025·山东威海·一模）如图，某汽车停车棚的棚顶的横截面可以看作抛物线的一部分．
棚顶的竖直高度y（m）与距离停车棚支柱OA的水平距离x（m）近似满足函数
y=−0.02x2+px+q．立柱OA的长为1.6m，棚顶的外端B的竖直高度为2.68m，到
立柱OA的水平距离为6m．一厢式货车的截面看作矩形CDEF，长CD为4m，高DE
为1.8m，试判断货车能否完全停在车棚内．
【答案】货车能完全停在车棚内，见解析
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题意求出当x=6−4=2时，y的
值，若此时y的值大于1.8，则货车能完全停到车棚内，反之，不能，据此求解即可．
【详解】以OA所在直线为y轴，OD所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则
A(0,1.6)，B(6,2.68)，
{ q=1.6 )
∴
2.68=−0.02×36+6p+q
{p=0.3)
解得
q=1.6
∴抛物线的表达式为y=−0.02x2+0.3x+1.6
当x=6−4=2时，y=2.12
2.12>1.8
∴货车能完全停在车棚内．
6．（23-24九年级上·陕西延安·期中）如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成．矩形的长
OA是10m，宽OB是5m．按照图中所示建立平面直角坐标系，抛物线可以用
1
y=− x2+bx+c表示．
10(1)求抛物线的函数解析式；
(2)在抛物线形拱壁上需要安装照明灯，即在M、N的位置安装照明灯，如果灯M、N
离地面的高度均为6m，求灯的水平距离MN．（结果保留根号）
1
【答案】(1)抛物线的函数解析式为y=− x2+x+5
10
(2)灯的水平距离MN是2❑√15m
【分析】本题考查了二次函数的应用；
（1）根据题得出B(0,5)，C(10,5)，待定系数法求解析式即可求解；
1
（2）依题意，当y=6时，− x2+x+5=6，解方程即可求解．
10
【详解】（1）解：（1）∵矩形的长OA是10m，宽OB是5m，
∴B(0,5)，C(10,5)，
1
代入y=− x2+bx+c，
10
得：¿，
{b=1)
解得： ，
c=5
1
∴抛物线的函数解析式为y=− x2+x+5．
10
1
（2）依题意，当y=6时，− x2+x+5=6，
10
解得：x =5+❑√15，x =5−❑√15，
1 2
∴x −x =2❑√15，
1 2
∴灯的水平距离MN是2❑√15m．
7．（23-24九年级上·吉林长春·期中）吉林省鼓励和扶持农民搭建酒室大樱促进农业发展，
如图是小明家菜地上搭建的蔬菜温室大棚．其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固
定在离地面高0.5米的墙体A处，另一端固定在墙体B处，当蔬菜大棚与墙体OA的水平距离为3米时，达到最大高度2米． 以点O为原点，OA所在的直线为y轴，建立平
面直角坐标系．
(1)求抛物线的表达式：
(2)身高1.8米的小明站在距离墙体OA水平距离为2米的点M处，请通过计算说明他是
否会碰到头？
1
【答案】(1)y=− (x−3) 2+2
6
(2)不会碰到头，见解析
【分析】本题考查了二次函数的应用；
（1）待定系数法求解析式即可求解；
11
（2）当x=2时，求得y= >1.8，即可求解．
6
【详解】（1）解：设y=a(x−3) 2+2，
∵过点(0,0.5)，
1
∴9a+2= ，
2
1
∴a=− ，
6
1
∴y=− (x−3) 2+2；
6
1 11
（2）当x=2时，y=− ×(2−3) 2+2= >1.8，
6 6
∴不会碰到头．
答：不会碰到头．1．（24-25九年级上·广东惠州·期中）飞机着陆后滑行的距离S（单位：米）与滑行的
时间t（单位：秒）之间的函数关系式是S=60t−1.2t2，那么飞机着陆后滑行
秒停下．
【答案】25
【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．对函
数关系式配方得到S=−1.2(t−25) 2+750，再求出S有最大值时对应t的值即可解答．
【详解】解：S=60t−1.2t2=−1.2(t−25) 2+750，
当t=25时，S有最大值，即飞机着陆后滑行的距离最大，
∴当t=25时，飞机着陆后才能停下．
故答案为：25．
2．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期中）东东的爸爸是蔬菜种植能手，他计划在今年建设连
栋大棚种植蔬菜，大棚顶端部分可近似看作抛物线，如图，建立平面直角坐标系，已
知大棚棚顶最高点E到地面的距离为3米，支撑杆AB=CD=2米，棚宽BD=12米．
(1)求抛物线AEC的函数表达式；
(2)为了加固棚顶，现需在AC上方至顶端部分加装2根关于y轴对称的立柱，若两根立
柱间的距离为6米，则需要的立柱总长度是多少米？
1
【答案】(1)y=− x2+3
36
3
(2)
2
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法，是解题的关键．
（1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可；1 11
（2）把当x=3代入y=− ×32+3= ，求出y的值即可．
36 4
【详解】（1）解：由题意知，抛物线的顶点E(0,3)，
∵ AB=CD=2米，棚宽BD=12米，则OB=OD=6米，
∴可设抛物线的解析式为y=ax2+3，且抛物线过点C(6,2)，
∴ 2=36a+3，
1
解得：a=− ，
36
1
∴ y=− x2+3．
36
（2）解：∵两根立柱间的距离为6米，且关于y轴对称，
∴立柱到y轴的距离为3米，
1 11
当x=3时，y=− ×32+3= ，
36 4
11 3
∴单根立柱的长度为 −2= （米），
4 4
3 3
∴需要的立柱总长度为 ×2= （米）．
4 2
3．（2025·陕西咸阳·模拟预测）某公园为吸引游客，沿着公园内一条河边的绿道OA打造
喷水景观，为保持河边绿道OA地面干燥，水柱从绿道一旁地面呈抛物线状喷出，经
过绿道上方流入河流AC中．如图是其截面图，喷水口为O，绿道路面宽度OA=5.5m，
当水柱离喷水口的水平距离为3m时，水柱到达最高处，最高点到绿道地面OA的距离
是4m．以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，经过点O且垂直于OA的直线为y轴建
立平面直角坐标系．
(1)求水柱所在抛物线的函数表达式；
(2)出于安全和美观考虑，要在绿道上的B处竖直向上安装一排高度为2m的护栏花墙，
若AB=0.5m，判断水柱是否会打湿护栏花墙，并说明理由．4 4 8
【答案】(1)y=− (x−3) 2+4（或y=− x2+ x）
9 9 3
(2)水柱不会打湿护栏花墙，理由见解析
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意，求出函数解析式是解题的
关键．
（1）根据题意设出顶点式，再代入O(0, 0)即可求解；
（2）点B的坐标为(5,0)，代入函数解析式计算出函数值与2m的护栏花墙比较即可．
【详解】（1）解：由题意可知水柱所在抛物线的顶点坐标为(3,4)．
设水柱所在抛物线的函数表达式为y=a(x−3) 2+4（a为常数，a≠0），
将O(0, 0)代入，得9a+4=0，
4
解得a=− ，
9
4 4 8
∴水柱所在抛物线的函数表达式为y=− (x−3) 2+4（或y=− x2+ x）．
9 9 3
（2）解：水柱不会打湿护栏花墙．．
理由：∵OA=5.5m，AB=0.5m，
∴OB=OA−AB=5m，
则点B的坐标为(5,0)．
4 20
当x=5时，y=− ×(5−3) 2+4= ．
9 9
20
∵ >2，
9
∴水柱不会打湿护栏花墙．
