文档内容
微专题：复数的概念
【考点梳理】
复数的概念
概念 定义
把形如 a ＋ b i (a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位. 复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi，其中a与b
复数
分别叫做复数z的实部与虚部
复数集 全体复数所构成的集合，即C＝ { a ＋ b i | a ， b ∈ R }
复数
a＋bi＝c＋di⇔ a ＝ c ， b ＝ d ，其中a，b，c，d∈R
相等
复数z＝a＋bi(a，b∈R)的分类：
复数
复数
分类
共轭 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于0的两个
复数 共轭复数也叫做共轭虚数. 复数z的共轭复数用z表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么z＝ a － b i
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴. 显然，实轴上的点都表示实
复平面
数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数
复数z＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)对应的向量为OZ，则向量OZ的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记
复数
作 | z |或 | a ＋ b i |. 即|z|＝|a＋bi|＝，其中 a，b∈R. 复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模就是复数z＝a＋bi在复平面内对应
的模
的点Z(a，b)到坐标原点的距离
2、复数问题标准化、实数化是解决复数问题最基本的思想方法. 复数概念中应注意的几点：①对于复数 m＋ni，
如果m，n∈C(或没有明确界定m，n∈R)，则不可想当然地判定m，n∈R；②易误认为y轴上的点与纯虚数一一对
应(注意原点除外)；③对于a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件，只注意了a＝0而漏掉了b≠0.
【题型归纳】
题型一：求复数的实部与虚部
1．复数 的虚部为（ ）
A．1 B．－1 C．i D．－i
2．已知复数 满足 ，其中 为虚数单位，则 的共轭复数 的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．复数 （ 是虚数单位）的虚部是（ ）
A．1 B． C．2 D．
题型二：根据相等条件求参数
4．已知 , 为虚数单位，若 ，则 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．-2
5．已知 ，若 ，则实数 （ ）
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．2 B．－2 C．1 D．－1
6．已知复数 ， ， ，则 （ ）
A．3 B．1 C． D．
题型三：复数的分类
7．若复数 为纯虚数，则实数 （ ）
A． B． C．7 D．5
8．设i为虚数单位，若复数 是实数，则实数a的值为（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
9．已知 ，则“ 为纯虚数”是“ ”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【双基达标】
10．已知下列三个命题：①若复数z，z 的模相等，则z，z 是共轭复数；②z，z 都是复数，若z+z 是虚数，则
1 2 1 2 1 2 1 2
z 不是z 的共轭复数；③复数z是实数的充要条件是z .则其中正确命题的个数为
1 2
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
11．已知复数 为纯虚数，则 （ ）
A．2 B．4 C．-16 D．-4
12．若复数 满足 ，则（ ）
A．
B． 是纯虚数
C．复数 在复平面内对应的点在第二象限
D．若复数 在复平面内对应的点在角 的终边上，则
13．数系的扩张过程以自然数为基础，德国数学家克罗内克(Kronecker，1823﹣1891)说“上帝创造了整数，其它一
切都是人造的”设为虚数单位，复数 满足 ，则 的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司14．已知复数 （ 为虚数单位），设 是 的共轭复数，则 的虚部是（ ）
A． B． C． D．
15．设 ，其中 为虚数单位， 是实数，则 （ ）
A．1 B． C． D．2
16．设 ，其中 为实数，则（ ）
A． B． C． D．
17．复数 的虚部是（ ）
A． B． C． D．
18．若复数 为纯虚数，则 的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
19．已知复数 ，若 是纯虚数，则实数 （ ）
A． B． C． D．
20．若复数 满足 ，则复数 的实部为（ ）
A． B． C． D．
21．复数 的虚部是（ ）
A． B． C． D．
22．复数 的虚部为（ ）
A．-2 B．2 C．-2i D．2i
23．设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
24．已知 ， ，若 （i为虚数单位），则 的取值范围是（ ）
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． 或 B． 或 C． D．
25．设 ，则“ ”是“复数 为纯虚数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
26．若 是关于 的实系数方程 的一个复数根，则（ ）
A． B．
C． D．
27．已知复数 ，则 的虚部为（ ）
A． B． C． D．
28．已知复数 是纯虚数，则实数x的值为（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
29．已知复数 满足 ，其中 为虚数单位，则 的共轭复数 的虚部为（ ）
A． B． C． D．
30．已知 ， 为虚数单位，复数 ，若 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【高分突破】
一、单选题
31． （ ）
A．1 B．−1
C．i D．−i
32．已知 ，且 ，其中a，b为实数，则（ ）
A． B． C． D．
33． 是虚数单位，复数 为纯虚数，则实数 为（ ）
A． B．2 C． D．
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司34．已知复数z满足z 4且z |z| 0，则z2019的值为
A．﹣1 B．﹣2 2019 C．1 D．2 2019
二、多选题
35．已知复数 ， 为 的共轭复数，则下列结论正确的是（ ）
A． 的虚部为
B．
C． 为纯虚数
D． 在复平面上对应的点在第四象限
36．已知复数 满足 为虚数单位 ，复数 的共轭复数为 ，则（ ）
A． B．
C．复数 的实部为 D．复数 对应复平面上的点在第二象限
37．下面是关于复数 的四个命题，其中的真命题为（ ）
A． B．
C． 的共轭复数为 D． 的虚部为
38．若实数 ， 满足 ，则（ ）
A． 的共轭复数为 B．
C． 的值可能为 D．
三、填空题
39．设复数 满足 ，且 是纯虚数，试写出一个满足条件的复数： ___________.
40．若复数 ，则实数 的值为________.
41．已知a为实数，若复数 为纯虚数，则 ________．
42． 是虚数单位，复数 _________．
43．已知1＋2i是方程x2－mx＋2n＝0(m，n∈R)的一个根，则m＋n＝____.
44．设z＝x＋2i，z＝3－yi(x，y∈R)，且z＋z＝5－6i，则z－z＝__________
1 2 1 2 1 2
四、解答题
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司45．复数 ．
（1）实数m取什么数时，z是实数；
（2）实数m取什么数时，z是纯虚数；
（3）实数m取什么数时，z对应的点在直线 上．
46．已知 ， ，方程 的一个根为 ，复数 ，满足 .
（1）求复数 ；
（2）若 ，求复数 .
47．已知复数 （ ）．
（1）若复数z为纯虚数，求实数a的值；
（2）若复数z在复平面内对应的点在第二象限，求实数a的取值范围．
48．已知复数 ， 是实数.
(1)求复数z；
(2)若复数 在复平面内所表示的点在第二象限，求实数m的取值范围.
49．已知复数z＝4－m2＋（m－2）i，z＝λ＋2sin θ＋（cos θ－2）i（其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R）.
1 2
(1)若z 为纯虚数，求实数m的值；
1
(2)若z＝z，求实数λ的取值范围.
1 2
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
根据复数的运算即可化简复数，然后根据虚部的概念即可求解.
【详解】
，∴虚部为－1．
故选：B
2．D
【解析】
【分析】
先利用复数的除法求出复数 ，利用共轭复数的概念可得出复数 ，由此可得出复数 的虚部.
【详解】
因为 ，
所以
所以 ，
，
因此，复数 的虚部为 .
故选：D.
3．A
【解析】
【分析】
利用复数的除法法则及复数的概念即可求解.
【详解】
由题意可知， ，
所以复数 的虚部为 .
故选：A.
4．B
【解析】
【分析】
根据虚数单位性质结合复数相等的概念，可得a,b的值，即得答案.
【详解】
由虚数单位 的性质可知 =1，
第 7 页故由 可得： ，
故 ，
故选：B
5．D
【解析】
【分析】
化简后，由复数相等的条件可求出 的值，从而可求出 的值
【详解】
由题得 ，所以 ，
所以 ， ，所以 .
故选：D
6．C
【解析】
【分析】
利用复数相等的充要条件，求出 、 ，进而求出 .
【详解】
， ，
， .
故选：C.
7．A
【解析】
【分析】
根据已知条件，结合纯虚数的概念和复数代数形式的乘法运算，即可求解．
【详解】
解： ，
又 复数 为纯虚数，
，解得 ．
故选：A．
8．C
【解析】
【分析】
由复数乘法法则化复数为代数形式，再由复数的分类求解．
【详解】
，它是实数，
则 ， ．
故选：C．
第 8 页9．A
【解析】
【分析】
根据纯虚数的定义判断充分性，再举反例判断必要性即可
【详解】
由题意， 为纯虚数则设 ，则 ；
当 时，可取 ，则 为纯虚数不成立.故“ 为纯虚数”是“ ”的充分非必要条件
故选：A
10．C
【解析】
运用复数的模、共轭复数、虚数等知识对命题进行判断.
【详解】
对于①中复数 和 的模相等,例如 , ,则 和 是共轭复数是错误的;对于② 和 都是复数,若
是虚数,则其实部互为相反数,则 不是 的共轭复数,所以②是正确的;
对于③复数 是实数,令 ,则 所以 ,反之当 时,亦有复数 是实数,故复数 是实数的充要条件是
是正确的.综上正确命题的个数是 个.
故选
【点睛】
本题考查了复数的基本概念,判断命题是否正确需要熟练掌握基础知识,并能运用举例的方法进行判断,本题较为基础.
11．B
【解析】
【分析】
分子分母同乘 ，化简整理，可得 ，根据z为纯虚数，实部为零，即可得答案.
【详解】
因为 为纯虚数，
所以 ， ，解得 .
故选：B.
12．D
【解析】
【分析】
利用复数的除法求复数 及对应点坐标，并确定所在的象限，结合各选项描述判断正误.
【详解】
由题设， 且对应点在第一象限，A、C错误；
不是纯虚数，B错误；
第 9 页由 在复平面内对应的点为 ，所以 ，D正确.
故选：D
13．C
【解析】
【分析】
利用虚数单位的幂的运算规律化简即得 ,然后利用共轭复数的概念判定.
【详解】
解： ,
故选：C.
14．B
【解析】
【分析】
先求出共轭复数，从而可求出其虚部
【详解】
由 ，得 ，
所以 的虚部是 ，
故选：B
15．B
【解析】
【分析】
先利用复数相等求得x，y，再利用复数的模公式求解.
【详解】
因为 ，
所以 ，解得 ，
所以 .
故选：B.
16．A
【解析】
【分析】
根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出．
【详解】
因为 R， ，所以 ，解得： ．
故选：A.
17．D
【解析】
【分析】
第 10 页利用复数的除法运算求出z即可.
【详解】
因为 ，
所以复数 的虚部为 .
故选：D.
【点晴】
本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题.
18．A
【解析】
【分析】
由复数的类型有 且 ，求参数m，进而写出 的共轭复数.
【详解】
由题意知： 且 ，
∴ ，即 ，故 的共轭复数是 .
故选：A.
19．D
【解析】
【分析】
根据共轭复数的定义及复数的乘法运算结合纯虚数的定义即可得出答案.
【详解】
解： 是纯虚数，
则 ，解得 .
故选：D.
20．D
【解析】
【分析】
利用复数的四则运算以及共轭复数的概念，根据对应相等即可求解.
【详解】
设 ( )，则 ，
化简得 ，
根据对应相等得： ，
解得 ， ，
故选：D.
21．A
第 11 页【解析】
【分析】
先根据模的定义计算，并化简得到 ，再根据虚部的定义作出判定.
【详解】
∵ ，
∴ 的虚部为 ，
故选：A.
22．B
【解析】
【分析】
由复数的运算得出虚部.
【详解】
，即该复数的虚部为 .
故选：B
23．C
【解析】
【分析】
设 ，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于 、 的等式，解出这两个未知数的值，即可得出
复数 .
【详解】
设 ，则 ，则 ，
所以， ，解得 ，因此， .
故选：C.
24．A
【解析】
【分析】
由题意，可判断 为实数，列出等量关系和不等关系求解即可
【详解】
由题意，
故 为实数
或
第 12 页故选：A
25．C
【解析】
【分析】
求出 为纯虚数时 的值，与 比较，判断出结果
【详解】
，复数 为纯虚数，则 ，解得： ，所以则“ ”
是“复数 为纯虚数”的充要条件
故选：C
26．D
【解析】
【分析】
把 代入方程，整理后由复数相等的定义列方程组求解.
【详解】
由题意1 i是关于 的实系数方程
∴ ，即
∴ ，解得 .
故选：D．
27．A
【解析】
根据复数的除法运算法则，先化简 ，得出其共轭复数，进而可求出结果.
【详解】
因为 ，
所以 ，
因此 的虚部为 .
故选：A.
28．A
【解析】
【分析】
利用复数的概念直接求解.
【详解】
是纯虚数，
，解得： .
第 13 页故选：A.
29．D
【解析】
先利用复数的除法求出复数 ，利用共轭复数的概念可得出复数 ，由此可得出复数 的虚部.
【详解】
，在等式 两边同时除以 得 ， ，
因此，复数 的虚部为 .
故选：D.
【点睛】
本题考查复数虚部的求解，涉及复数的除法以及共轭复数的概念，考查计算能力，属于基础题.
30．B
【解析】
首先利用复数的运算法则将复数 化为 的形式，然后根据 建立一个不等式进行求解.
【详解】
.
由 ，得 ，整理得 解得 ，所以实数 的取值范围为
.
故选：B
【点睛】
本题考查复数的运算，考查复数模的运算．掌握除法法则与模的定义是解题基础．
31．D
【解析】
【分析】
根据复数除法法则进行计算.
【详解】
故选：D
【点睛】
本题考查复数除法，考查基本分析求解能力，属基础题.
32．A
【解析】
【分析】
先算出 ,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可
第 14 页【详解】
由 ,得 ,即
故选:
33．B
【解析】
【分析】
先利用复数的乘法化简，再利用纯虚数的定义列出等式，即得解
【详解】
由题意，
若 为纯虚数，则
故选：B
34．D
【解析】
首先设复数z=a+bi（a，b∈R），根据z 4和z |z| 0得出方程组，求解可得：
z ，通过计算可得： ，代入即可得解.
【详解】
设z=a+bi（a，b∈R），
由z 4且z |z|=0，得
，解得a=﹣1，b .
∴z ，
而 1，
.
∴ .
故选：D.
【点睛】
本题考查了复数的计算，考查了共轭复数，要求较高的计算能力，属于较难题.
35．BCD
【解析】
第 15 页先根据复数的乘法运算计算出 ，然后进行逐项判断即可.
【详解】
因为 ，则 的虚部为3，
， 为纯虚数， 对应的点 在第四象限，
故选：BCD．
36．BD
【解析】
【分析】
因为复数 满足 ，利用复数的除法运算化简为 ，再逐项验证判断.
【详解】
因为复数 满足 ，
所以
所以 ，故A错误；
，故B正确；
复数 的实部为 ，故C错误；
复数 对应复平面上的点 在第二象限，故D正确.
故选：BD
【点睛】
本题主要考查复数的概念，代数运算以及几何意义，还考查分析运算求解的能力，属于基础题.
37．BD
【解析】
【分析】
化简复数 ，结合复数的基本概念、复数的模，以及共轭复数概念，逐项判定，即可求解.
【详解】
由题意，复数 ，则 ，
其中复数 的虚部为 .
故选：BD.
38．BCD
【解析】
【分析】
由复数相等的定义求出 的关系，并求得 的可能值，然后判断各选项.
【详解】
第 16 页因为 .
所以 ， ，
即 ， ，则 .解得 或 ，
故A错误，B，C，D均正确.
故选：BCD.
39．
【解析】
【分析】
设出复数 的代数形式，由 求出 的实部，然后由 是纯虚数列式即可计算作答.
【详解】
设 ，由 ，可得 ，解得 ，
又 是纯虚数，设 且 ，则 ，则 ，解得 ，
所以 或 .
故答案为：
40．3
【解析】
【分析】
由题意知 为实数，实部大于或等于 ，虚部等于 ，即可求解.
【详解】
因为复数不能比较大小，所以 为实数，
可得 解得
所以实数 的值为 ，
故答案为：
41．
【解析】
【分析】
根据纯虚数的定义列出方程，解得，即可得出答案.
【详解】
解：若复数 是纯虚数，
第 17 页则 ，解得 .
故答案为： .
42．
【解析】
【分析】
将分子分母同乘以分母的共轭复数，然后利用运算化简可得结果.
【详解】
.
故答案为： .
【点睛】
本题考查复数的四则运算，属于基础题.
43．
【解析】
【分析】
将 代入方程，根据复数的乘法运算法则，得到 ，再由复数相等的充要条件得到
方程组，解得即可；
【详解】
解：将 代入方程x2－mx＋2n＝0，有(1＋2i)2－m(1＋2i)＋2n＝0，即 ，即
，由复数相等的充要条件，得 解得
故 .
故答案为：
44．－1＋10i
【解析】
【分析】
先利用复数加法运算计算z＋z，根据题意利用复数相等的定义列方程即得参数 ，再写出z，z，计算z－z 即
1 2 1 2 1 2
可.
【详解】
∵z＋z＝5－6i，∴(x＋2i)＋(3－yi)＝5－6i，即 ，
1 2
∴ 即 ，
∴z＝2＋2i，z＝3－8i，
1 2
∴z－z＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.
1 2
第 18 页故答案为：－1＋10i.
45．（1） 或 ；（2） ；（3） 或
【解析】
【分析】
复数 ．
（1）由 ，解得 即可得出．
（2）由 ，解得 即可得出．
（3）由 ．解出即可得出．
【详解】
解：复数 ．
（1）由 ，解得 或 ．
或 时，复数 为实数．
（2）由 ，解得 ．
时，复数 为纯虚数．
（3）由 ．
化为： ，
解得 或 ．
或 ， 对应点在直线 上．
【点睛】
本题考查了复数的运算法则及其有关概念，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
46．（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）将 代入方程 ，化简后利用复数相等的知识列方程组，由此求得 ，从而求得 .
（2）设 ，利用 、 来求得 ，进而求得 .
【详解】
（1）依题意，得 ，
即 ，
由复数相等的定义及a， ，得 ，
第 19 页解得 .
故复数 .
（2）设 （ ， ），由 ，得 ，
，
又 ，得 ，即 ，
所以 ，
解得 ，
所以 .
47．（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】
（1）由实部为0且虚部不为0列式求解 的值；
（2）由实部小于0且虚部大于0联立不等式组求解．
【详解】
解：（1）由题意， 解得 ．
（2）∵复数z在复平面内对应的点在第二象限，
∴ ，
解得： ．∴实效a的取值范围是 ．
【点睛】
本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查一元二次不等式的解法，属于基础题．
48．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）先将 代入 化简，再由其虚部为零可求出 的值，从而可求出复数 ，
（2）先对 化简，再由题意可得 从而可求得结果
(1)
第 20 页因为 ，
所以 ，
因为 是实数，所以 ，解得 .
故 .
(2)
因为 ，
所以 .
因为复数 所表示的点在第二象限，
所以
解得 ，即实数m的取值范围是 .
49．(1)-2；
(2)[2，6]
【解析】
【分析】
（1）z 为纯虚数，则其实部为0，虚部不为0，解得参数值；
1
（2）由z＝z，实部、虚部分别相等，求得 关于 的函数表达式，根据 的范围求得参数取值范围.
1 2
(1)
由z 为纯虚数，
1
则 解得m＝－2.
(2)
由z＝z，得
1 2
∴λ＝4－cos2θ－2sin θ＝sin2θ－2sin θ＋3 .
∵－1≤sin θ≤1，
∴当sin θ＝1时，λ ＝2，
min
当sin θ＝－1时，λ ＝6，
max
∴实数λ的取值范围是[2，6].
第 21 页第 22 页
