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第 02 讲 双曲线
本讲为高考命题热点，分值22-27分，题型多变，选择题，填空题，解答题都会出现，
选择填空题常考圆锥曲线椭圆双曲线的离心率，几何关系等问题，大题题型多变，但多以
最值，定值，范围，存在性问题，考察逻辑推理能力与运算求解能力.
考点一 双曲线的定义
1．平面内到两个定点F ，F 的 距离的差的绝对值等于常数 2 a (2a＜|FF|)的点P的轨
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❶
迹叫做双曲线❷.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
❶当|PF|－|PF|＝2a2a＜|FF|时，点P的轨迹为靠近F 的双曲线的一支.,当|PF|－|PF|
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＝－2a2a＜|FF|时，点P的轨迹为靠近F 的双曲线的一支.
1 2 1
❷若2a＝2c，则轨迹是以F ，F 为端点的两条射线；若2a＞2c，则轨迹不存在；若2a＝
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0，则轨迹是线段FF 的垂直平分线.
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考点二 双曲线的标准方程
(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
在双曲线的标准方程中，看x2项与y2项的系数的正负，若x2项的系数为正，则焦点在x轴
上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上，即“焦点位置看正负，焦点随着正的跑”.
考点三 双曲线的几何性质
标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0)
范围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R
对称性 对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点
焦点 F ( － c , 0) ，F ( c , 0) F (0 ，－ c ) ，F (0 ， c )
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顶点 A(－a,0)，A(a,0) A(0，－a)，A(0，a)
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线段AA，BB 分别是双曲线的实轴和虚轴；实轴长为 2 a ，
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轴
虚轴长为 2 b
焦距 |FF|＝2c
1 2
e是表示双曲线开
离心率 e ＝ ＝ ∈ (1 ，＋∞ )
口大小的一个量，e越大开口越大.
渐近线 y＝±x y＝±x
a，b，c的关系 a2＝ c 2 － b 2
[常用结论]
1．过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为，也叫通径．
2．与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)．
3．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
4．若P是双曲线右支上一点，F ，F 分别为双曲线的左、右焦点，则|PF| ＝a＋c，|
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PF| ＝c－a.
2min
高频考点一 双曲线的定义及其应用
【例1】(1)(2022·河南安阳三模)设双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F ，F ，过F 的
1 2 1
直线与双曲线C交于M，N两点，其中M在左支上，N在右支上．若∠FMN＝∠FNM，
2 2
则|MN|＝( )
A．8 B．4
C．8 D．4
(2)(2019·河北廊坊省级示范校三联)设F，F 分别为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦
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点，过F 的直线交双曲线 C的左支于A，B两点，且|AF|＝3，|BF|＝5，|AB|＝4，则
1 2 2
△BFF 的面积为________．
1 2
(3)已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的一动点，则|PF|＋|PA|的最
小值为________．
[答案] (1)C (2) (3)9
[解析] (1)由∠FMN＝∠FNM可知，|FM|＝|FN|，由双曲线定义可知，|MF |－|MF |＝4
2 2 2 2 2 1
，|NF |－|NF |＝4 ，两式相加得，|NF |－|MF |＝|MN|＝8 .
1 2 1 1
(2)∵|AF|＝3，|BF|＝5，
2 2
|AF|－|AF|＝2a，|BF|－|BF|＝2a，
2 1 2 1
∴|AF|＋|BF|－|AB|＝4a＝3＋5－4＝4，
2 2
∴a＝1，∴|BF|＝3，
1
又|AF|2＋|AB|2＝|BF|2，
2 2
∴∠FAB＝90°，∴sin B＝，
2
∴S BFF＝×5×3×sin B＝×5×3×＝.
1 2
(3)因△为F是双曲线－＝1的左焦点，所以F(－4,0)，设其右焦点为H(4,0)，则由双曲线的定义可得|PF|＋|PA|＝2a＋|PH|＋|PA|≥2a＋|AH|＝4＋＝4＋5＝9.
【方法技巧】
双曲线定义的应用策略
(1)根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线．
(2)利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题，如最值问题、距离问题．
(3)利用双曲线的定义解决问题时应注意三点：①距离之差的绝对值；②2a<|FF|；③
1 2
焦点所在坐标轴的位置．
【跟踪训练】
1．已知△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC内切圆的圆心在直线x＝2上，则顶点C的
轨迹方程是( )
A.－＝1(x＞2) B.－＝1(y＞2)
C.－＝1 D.－＝1
解析：选A 如图，△ABC与内切圆的切点分别为G，E，F.
|AG|＝|AE|＝7，|BF|＝|BG|＝3，|CE|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝7－3＝4.
根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支，
方程为－＝1(x>2)．
2．已知F ，F 为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点 P在C上，|PF|＝2|PF|，则
1 2 1 2
cos∠FPF＝________.
1 2
解析：由双曲线的定义有|PF|－|PF|＝2a＝2，
1 2
|PF|＝2|PF|，∴|PF|＝4，|PF|＝2，
1 2 1 2
则cos∠FPF＝
1 2
＝＝.
高频考点二 双曲线的几何性质
考向(一) 求双曲线的离心率(或范围)
[例2] (一题多解)(2019·全国卷Ⅰ) 已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为
F ，F ，过F 的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若F1A＝AB，F1B·F2B＝0，
1 2 1
则C的离心率为________．
[解析] 法一：双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，
∵F1B·F2B＝0，∴FB⊥FB，
1 2
∴点B在⊙O：x2＋y2＝c2上，如图所示，不妨设点B在第一象限，由
∵F1A＝AB，∴点A为线段FB的中点，
1
∴A，将其代入y＝－x得＝×.解得c＝2a，故e＝＝2.
法二：如图，由F1A＝AB知A为线段FB的中点，
1
∵O为线段FF 的中点，
1 2
∴OA∥FB，
2
∵F1B·F2B＝0，∴FB⊥FB，
1 2
∴OA⊥FA且∠FOA＝∠OFB，
1 1 2
∵∠BOF ＝∠AOF ，∴∠BOF ＝∠OFB，
2 1 2 2
又易知|OB|＝|OF|＝c，∴△OBF 为正三角形，
2 2
可知＝tan 60°＝，∴e＝＝ ＝2.
法三：如图，设∠AOy＝α，则∠BOy＝α，
∵F1A＝AB，∴A为线段FB的中点，
1
又∵O为线段FF 的中点，
1 2
∴OA∥BF，∴∠OBF ＝2α.
2 2
过B作BH⊥OF，垂足为H，
2
则BH∥y轴，则有∠OBH＝α，∴∠HBF ＝α，
2
易得△OBH≌△FBH，∴|OB|＝|BF|，
2 2
∵F2B·F1B＝0，∴BF⊥BF，又O为FF 的中点，
1 2 1 2
∴|OB|＝|OF|＝c，∴△OBF 为正三角形．
2 2
∴∠BOF ＝60°，则＝tan 60°＝，
2
∴e＝＝＝2.
考向(二) 求双曲线的渐近线方程
[例3] (2022·武汉调研)已知双曲线C：－＝1(m＞0，n＞0)的离心率与椭圆＋＝1的离心率
互为倒数，则双曲线C的渐近线方程为( )
A．4x±3y＝0
B．3x±4y＝0
C．4x±3y＝0或3x±4y＝0
D．4x±5y＝0或5x±4y＝0[答案] A
[解析] 由题意知，椭圆中a＝5，b＝4，∴椭圆的离心率e＝ ＝，∴双曲线的离心率为 ＝，
∴＝，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，即4x±3y＝0.故选A.
考向(三) 求双曲线的方程
[例4] (2020·广东湛江一模)设F为双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，过E的右顶点作
x轴的垂线与E的渐近线相交于A，B两点，O为坐标原点，四边形OAFB为菱形，圆x2＋
y2＝c2(c2＝a2＋b2)与E在第一象限的交点是P，且|PF|＝－1，则双曲线E的方程是( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－y2＝1 D．x2－＝1
[解析] 双曲线E：－＝1的渐近线方程为y＝±x，
∵四边形OAFB为菱形，
∴对角线互相垂直平分，∴c＝2a，∠AOF＝60°，∴＝.
则有解得P.∵|PF|＝－1，
∴2＋2＝(－1)2，解得a＝1，
则b＝，故双曲线E的方程为x2－＝1.故选D.
[规律探求]
考向(一)：求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本
量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝转化为关于e的方程(或不等式)，
通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围)；
看个 考向(二)：求渐近线时，利用c2＝a2＋b2转化为关于a，b的方程．双曲线渐近线的斜
性 率与离心率的关系：k＝±＝±＝± ＝±；
考向(三)：求双曲线的方程时，将已知条件中的双曲线的几何性质和几何关系转化为
关于a，b，c的关系式，结合c2＝a2＋b2，列出未知参数的方程，解方程后即可求出
双曲线方程.
找共
求解双曲线的几何性质问题，其通用的方法是利用方程思想解题，其思维流程是：
性[跟踪训练]
1．(2020·福建厦门一模)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F，点A，B是C的
一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB为直径的圆过F且交C的左支于M，N两点，
若|MN|＝2，△ABF的面积为8，则C的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±2x D．y＝±x
解析：选B 设双曲线的另一个焦点为F′，由双曲线的对称性，可得四边形AFBF′是矩形，
∴S ＝S ，即bc＝8，
ABF ABF′
由可 △ 得y＝ △±，
则|MN|＝＝2，即b2＝c，∴b＝2，c＝4，
∴a＝＝2 ，
∴C的渐近线方程为y＝±x，故选B.
2．(2019·天津高考)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线－＝1(a>0，b>0)
的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为( )
A. B.
C．2 D.
解析：选D 由已知易得，抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线l：x＝－1，所以|OF|＝1.
又双曲线的两条渐近线的方程为y＝±x，不妨设点A，B，所以|AB|＝＝4|OF|＝4，所以＝
2，即b＝2a，所以b2＝4a2.又双曲线方程中c2＝a2＋b2，所以c2＝5a2，所以e＝＝.故选D.
3．已知M(x ，y)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F ，F 是双曲线C的两个焦点．若
0 0 1 2
MF1·MF2<0，则y 的取值范围是________．
0
答案：
解析：由题意知a＝，b＝1，c＝，
设F(－，0)，F(，0)，
1 2
则MF1＝(－－x，－y)，MF2＝(－x，－y)．
0 0 0 0
∵MF1·MF2<0，
∴(－－x)(－x)＋y<0，
0 0
即x－3＋y<0.
∵点M(x，y)在双曲线C上，
0 0
∴－y＝1，即x＝2＋2y，∴2＋2y－3＋y<0，∴－
