文档内容
微专题：平面向量数量积的基本概念及运算
【考点梳理】
1. 向量的数量积
(1)向量数量积的定义
①向量的夹角：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作OA＝a，OB＝b(如图所示)，则∠AOB＝
θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.
②向量的平行与垂直：当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向；如果a与b的夹角是，我们说a与b
垂直，记作a⊥b.
③向量的数量积：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量 | a | | b |cos θ 叫做向量a与b的数量积
(或内积)，记作a·b，即 a · b ＝ | a | | b |cos _θ.
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
(2)向量的投影
①定义：如图，设a，b是两个非零向量，AB＝a，CD＝b，作如下的变换：过AB的起点A和终点B，分别作
CD所在直线的垂线，垂足分别为A ，B ，得到A1B1，则称上述变换为向量a向向量b投影，A1B1叫做向量a在向
1 1
量b上的投影向量.
②计算：设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量是 | a |cos θ e .
(3)向量数量积的性质
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
①a·e＝e·a＝ | a |cos _θ.
②a⊥b⇔ a · b ＝ 0 .
③当a与b同向时，a·b＝ | a | | b |；当a与b反向时，a·b＝ － | a || b |. 特别地，a·a＝ | a | 2 或|a|＝.
④|a·b|≤ | a | | b |.
(4)向量数量积运算的运算律
对于向量a，b，c和实数λ，有
①a·b＝ b · a ；
②(λa)·b＝λ(a·b)＝ a ·( λ b ) ；
③(a＋b)·c＝ a · c ＋ b · c .
(5)数量积的坐标表示
设a＝(x，y)，b＝(x，y)，则
1 1 2 2
①a·b＝xx ＋ yy；a2＝ x ＋ y ； ＝ .
1 2 1 2
②a⊥b⇔xx ＋ yy ＝ 0.
1 2 1 2
③≤.
④设θ是a与b的夹角，则
cosθ＝＝.
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【题型归纳】
题型一：平面向量数量积的定义及辨析
1．关于平面向量 ，下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B．
C．若 ，则 D．
2．已知 的面积为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．满足 的 ABC（ ）
△
A．一定为锐角三角形 B．一定为直角三角形
C．一定为钝角三角形 D．可能为锐角三角形或直角三角形或钝角三角形
题型二：平面向量数量积的运算
4．如图，正六边形 的边长为1，延长 ， 交于 ，则 （ ）
A． B． C．9 D．
5．如图，在平面四边形 中， ，且 ，则 等于（ ）
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
6．已知 是边长为2的等边三角形，点D为 边的中点，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【双基达标】
7．若 且 在 方向上的投影为2，则实数 （ ）
A． B． C． D．
8．在 中， 是三角形的外心，过点 作 于点 ， ，则 =（ ）
A．16 B．8 C．24 D．32
9．已知平面向量 ， 满足 ， ， 与 的夹角为60°，则 （ ）
A． B． C．5 D．3
10．若 ，点C在∠AOB外，且 ，设实数m，n满足 ，则
等于（ ）
A．﹣2 B．2 C． D．
11．在 ABC中，若其面积为S，且 =2 S，则角A的大小为（ ）
△
A．30° B．60° C．120° D．150°
12．在椭圆 上有两个动点 ， 为定点， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
13．若 与 是相反向量，且 =3，则 等于（ ）
A．9 B．0 C．-3 D．-9
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司14．设 是定直线 的法向量，定点 在直线 上，定点 在直线 外， 为一动点，若点 满足 ，
则动点 的轨迹为（ ）
A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
15．扇形 的半径为1，圆心角为 ， 是 上的动点，则 的最小值为（ ）
A． B．0 C． D．
16．在 中，已知 ， ，且满足 ， ，若线段 和线段 的交点为 ，则
（ ）.
A． B． C． D．
17．在 中，若 ，则 的形状一定是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
18．已知非零平面向量 ， ， ，下列结论中正确的是（ ）
（1）若 ，则 ；（2）若 ，则
（3）若 ，则 （4）若 ，则 或
A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（2）（3）（4）
19．已知在三角形 中， ， ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
20．已知向量 的夹角是 ， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
21．已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C． D．
22．在平行四边形 中， ，则 （ ）
A．-5 B．-4 C．-3 D．-2
23．在 中，角 所对的边分别为 ，且点 满足 ，若 ，则
的最大值为（ ）
A． B． C． D．
24．已知点P是 ABC所在平面内点，有下列四个等式：
△
甲： ； 乙： ；
丙： ； 丁： ．
如果只有一个等式不成立，则该等式为（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
25．在 中， ， ，点 是边 的中点，则 的值为（ ）
A． B．6 C． D．8
【高分突破】
一、单选题
26．在 中，若 ，则 －定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
27．若非零向量 满足 ，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
28．已知 ， 为单位向量， ，记 是与 方向相同的单位向量，则 在 方向上的投影向
量为（ ）
A． B． C． D．
29．如图，正六边形 的边长为2，动点 从顶点 出发，沿正六边形的边逆时针运动到顶点 ，若
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司的最大值和最小值分别是 ， ，则 （ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
二、多选题
30．“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条
相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.如图，已知圆O的半径为2，点P是圆O内的定点，且 ，弦
AC、BD均过点P，则下列说法正确的是（ ）
A． 为定值 B． 的取值范围是
C．当 时， 为定值 D． 的最大值为12
31．在平行四边形 中，若 ，则（ ）
A．
B．
C．
D．若
32．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是
重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知△ABC的外心为O，重
心为G，垂心为H，M为BC中点，且AB=4，AC=2，则下列各式正确的有（ ）
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B．
C． D．
33．对于任意的平面向量 下列说法错误的是（ ）
A．若 且 ，则
B．
C．若 ，且 ，则
D．
三、填空题
34．在正方形 中， ， 点在正方形区域内（含边界），且满足 ，则 的最大值为
________.
35．已知平面向量 ， 满足 ， ，则 的最小值是___________.
36．若两个向量 与 的夹角为 ，且 是单位向量，向量 ， ，则向量 与 的夹角为__________．
37．在 中，若 ， ，则 _____.
38．已知非零向量 ， ， ，则 的最大值为______．
39．若 ， 与 ､ 的夹角都是60°，且 ， ，则 ___________.
四、解答题
40．在如图所示的平面图形中，已知 ， ， ， ，求：
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(1)设 ，求 的值；
(2)若 ，且 ，求 的最小值及此时的夹角 .
41．在 中， ， ， ，点 ， 在 边上且 ， .
（1）若 ，求 的长；
（2）若 ，求 的值.
42．在 中，角A、B、C的对边分别为a、b、c且满足 .
(1)求角A；
(2)若 ， ，求 的周长.
43．已知 ， ， ．
(1)求 的值；
第 8 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(2)求 与 的夹角．
44．已知 ， .
(1)若 与 的夹角为 ，求 ；
(2)若 与 不共线，当 为何值时，向量 与 互相垂直？
第 9 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．B
【解析】
【分析】
利用向量垂直及数量积的定义可判断A，根据平面向量数乘的分配律即可判断B，利用数量积的定义可判断CD．
【详解】
对于A，若 和 ， 都垂直，显然 ， 至少在模的方面没有特定关系，所以命题不成立；
对于B，这是平面向量数乘的分配律，显然成立；
对于C，若 ，则 ， ，
而 与 不一定相等，所以命题不成立；
对于D， 与 分别是一个和 ， 共线的向量，显然命题 不一定成立．
故选：B．
2．C
【解析】
【分析】
由向量数量积的定义及三角形面积公式可得 ，结合三角形内角性质即可求 .
【详解】
由题设， ，又 ，
所以 ，即 ，而 ，故 .
故选：C
3．C
【解析】
【分析】
由向量数量积的定义及三角形内角的性质可得 ，即可判断三角形形状.
【详解】
由 ，而 ，
所以 且 ，故 .
所以 ABC一定为钝角三角形.
故选：C
△
4．D
【解析】
【分析】
由正六边形的性质易得， ， ，则在直角 中可求得 ，在 中，
利用余弦定理可求得 ，从而可求出 ，进而利用数量积的定义可求得结果
第 10 页【详解】
由正六边形的性质易得， ， ，所以 ，
所以 为直角三角形，且 ， ， ，
在 中， ，
所以 ， ，
所以 ．
故选：D．
5．A
【解析】
【分析】
由已知条件可求出 的值，从而可求出 ，进而利用数量积公式可求出
【详解】
在 中， ， ，
所以 ， ，
在 中， ， ，
所以 ， ，
因为 为锐角，所以 ，
所以 ，
所以
，
所以 ，
故选：A
6．B
【解析】
【分析】
利用数量积的定义直接求解.
【详解】
因为 是等边三角形，所以 .
所以 是边长为2的等边三角形，点D为 边的中点，所以 .
所以 .
第 11 页故选：B
7．D
【解析】
由向量投影定义及投影值，即可确定 的值.
【详解】
根据定义可知向量 在向量 方向上的投影为
，
解得 .
故选:D.
【点睛】
本题考查了平面向量投影定义及简单应用，属于基础题.
8．D
【解析】
【分析】
根据向量的线性运算及外心的性质，即可求出数量积的值.
【详解】
如图，
,
因为 ,
所以 ，
又因为 是三角形的外心，
所以 ,
所以 .
故选：D
【点睛】
关键点点睛：利用三角形外心的性质，可知 在向量 上的投影为 ，是解题的关键，属于中档题.
9．D
第 12 页【解析】
【分析】
根据数量积的定义即可求解.
【详解】
.
故选：D.
10．C
【解析】
【分析】
由 ，两边平方得， ，由 ，结合 两边同时平方得，
，从而可求 .
【详解】
∵ ，
∴ ①
∵ 且 ，两边同时平方得，
∴ ②
①②联立得： .
故选：C．
【点睛】
关键点点睛：根据已知条件构造关于m、n的齐次方程，进而求得两参数的比值.
11．A
【解析】
【分析】
由数量积的定义，结合条件即可求解.
【详解】
因为 ，而 ，所以 ，所以
，故 .
故选：A
12．C
【解析】
【分析】
第 13 页由题意得 ，然后转化为椭圆上的点P到点 的距离的问题处理，
根据二次函数的最值可得所求．
【详解】
解：由题意得 ．
设椭圆上一点 ，则 ，
，又 ，
当 时， 取得最小值 ．
故选：C．
13．D
【解析】
【分析】
直接根据向量的数量积公式求解即可.
【详解】
由已知得
故选：D
14．D
【解析】
【分析】
以 为原点，直线 为 轴，建立直角坐标系，设出点 的坐标及 ，根据题意列出 的方程，从而可判断出
动点 的轨迹为抛物线.
【详解】
以 为原点，直线 为 轴，建立直角坐标系，设 ， ，
则 ， ，
因为 ，所以 ，
整理，得 ，所以动点 的轨迹为抛物线.
故选：D.
15．C
【解析】
【分析】
由题设有 ， ， ， ，即可得 ，分析使
第 14 页的最小时 的位置关系，进而求 的最小值.
【详解】
由题设， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，要使 的最小，即 同向共线.
又 ，
∴ .
故选：C
16．B
【解析】
【分析】
待定系数法将 向量分解，由平面向量共线定理求出系数，然后代回原式计算
【详解】
设 ，
由 知 ，∴ ，∵ ， ， 三点共线，∴ ①，
由 知 ，∴ ，∵ ， ， 三点共线，∴ ②，
由①②得： . ，∴ ，
而 ，
∴
故选：B
17．B
【解析】
【分析】
先利用数量积运算化简得到 ，再利用余弦定理化简得解.
第 15 页【详解】
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以三角形是直角三角形.
故选：B
18．B
【解析】
根据向量的数量积运算，以及向量模的计算公式，逐项判断，即可得出结果.
【详解】
已知非零平面向量 ， ， ，
（1）若 ，则 ，所以 或 ，即（1）错；
（2）若 ，则 与 同向，所以 ，即（2）正确；
（3）若 ，则 ，所以 ，则 ；即（3）正确；
（4）若 ，则 ，所以 ，不能得出向量共线，故（4）错；
故选：B.
【点睛】
本题主要考查向量数量积的运算，考查向量有关的判定，属于基础题型.
19．A
【解析】
【分析】
根据三角形三边关系得到 的取值范围，再利用余弦定理表示出 ，最后根据平面向量数量积的定义计
算可得；
【详解】
解：因为 ， ，所以 ，即 ，解得 ，由余弦定理
，所以
，因为 ，所以 ，所以 ，即 ；
故选：A
20．A
【解析】
【分析】
先求出 ，再求出 ，即得解.
【详解】
第 16 页向量 的夹角是 ， ，∴ .
∴ ，
.
∴ .
故选：A.
【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积的计算，考查平面向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
21．A
【解析】
【分析】
首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到 在 方向上的投影的取值范围是 ，利用向量数
量积的定义式，求得结果.
【详解】
的模为2，根据正六边形的特征，
可以得到 在 方向上的投影的取值范围是 ，
结合向量数量积的定义式，
可知 等于 的模与 在 方向上的投影的乘积，
所以 的取值范围是 ，
故选：A.
【点睛】
该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简
单题目.
22．A
【解析】
【分析】
根据向量的加法和减法的几何意义，结合向量的数量积运算，即可得到答案；
【详解】
， ，
第 17 页， ，
，
，
故选：A
23．A
【解析】
【分析】
利用向量知识可得 ，两边平方可得 ，再利用不等式知识可求得结果.
【详解】
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，整理得 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，解得 .
所以 的最大值为
故选：A
【点睛】
关键点点睛：将向量条件 化为 ，利用向量数量积的运算律运算得到 是
解题关键.
24．B
【解析】
【分析】
先根据向量等式推导出甲中P为 ABC的重心，乙中 ABC为直角三角形，丙中P为 ABC的外心，丁中P为
ABC的垂心，故得到当 ABC为等边三角形时，三心重合，此时甲丙丁均成立，乙不成立，得到答案.
△ △ △
【详解】
△ △
甲： ，则 ，故P为 ABC的重心；
乙： ，则 △ ，故 ，即 ABC为直角三角形；
丙：点P到三角形三个顶点距离相等，故P为 ABC的外心； △
丁： ，则 △ ，同理可得： ，即P为 ABC的垂心，
第 18 页
△当 ABC为等边三角形时，三心重合，此时甲丙丁均成立，乙不成立，满足要求，当乙成立时，其他三个均不一
定成立.
△
故选：B．
25．A
【解析】
【分析】
将 作为基底表示出 ，然后求其数量积即可
【详解】
解：因为在 中，点 是边 的中点，
所以 ，
因为 ， ， ，
所以
故选：A
26．C
【解析】
【分析】
根据向量的数量积的运算公式，求得 ，得到 为钝角，即可求解.
【详解】
由向量的数量积的运算公式，可得 ，即 ，
因为 ，所以 为钝角，所以 －定是钝角三角形.
故选：C.
27．C
【解析】
【分析】
设 与 的夹角为 ，进而根据向量数量积的运算律和向量垂直时数量积为0得 ，进而得答案.
【详解】
解：根据题意，设 与 的夹角为 ，则 ，
若 ，则 ，
即 ，
又由 ，则 ，
故选：C．
28．C
【解析】
【分析】
第 19 页利用向量投影的定义求解.
【详解】
由题设可得 ，即 ，则 ，
设 与 的夹角为 ，则 .
又 ，故 ,
因为 是与 方向相同的单位向量，所以 在 方向上的投影向量为 .
故选: C
29．D
【解析】
【分析】
连接 ，根据正六边形的特征可得 ，从而可得 ，再根据当
在 上运动时， 与 均逐渐增大，当 从 移动到 时， 与 均逐渐减小，
即可求得 ， ，从而得出答案.
【详解】
解：连接 ，在正六边形 中， ，
∴ ，
∵正六边形 的边长为2，∴ ，
因为当 在 上运动时， 与 均逐渐增大，当 从 移动到 时， 与 均逐
渐减小，
所以当 在 上运动时， 取得最大值，为 ，
当 移动到点 时， 取得最小值，为0．
∴ ， ，∴ ．
故选：D.
【点睛】
30．AC
第 20 页【解析】
【分析】
根据题设中的圆幂定理可判断AC的正误，取 的中点为 ，连接 ，利用向量的线性运算可判断B的正误，
根据直径的大小可判断D的正误.
【详解】
如图，设直线 与圆 于 ， .
则 ,
故A正确.
取 的中点为 ，连接 ，则
，
而 ，故 的取值范围是 ，故B错误.
当 时，
，故C正确.
因为 ，故 ，故D错误.
故选：AC
31．ACD
【解析】
【分析】
利用向量的线性运算、向量数量积的运算性质结合条件逐项判断即得.
【详解】
∵在平行四边形 中， ，
∴ 分别为AB、AD的中点，
∴ ，故A正确；
第 21 页因为 ，故B错误；
因为 ，故C正确；
若 ，则 ，又 ，
∴ ，
∴
∴ ，故D正确.
故选：ACD.
32．BCD
【解析】
【分析】
利用三角形外心、重心、垂心的性质，结合平面向量的线性运算法则以及平面向量的数量积的定义及运算律逐项
分析即可求出结果.
【详解】
由G是三角形ABC的重心可得 ，所以
= ，故A项错误；
过三角形ABC的外心O分别作AB、AC的垂线，垂足为D、E，如图（1），易知D、E分别是AB、AC的中点，
则
，故B项正确；
因为G是三角形ABC的重心，所以有 ，故
，
由欧拉线定理可得 ，故C项正确；
第 22 页如图（2），由 可得 ，即 ，则有
，D项正确，
故选：BCD.
33．ACD
【解析】
【分析】
对于A，注意 ；对于B，根据平面向量数乘的分配律即可判断；对于C，若 和 ， 都垂直即可判断；对于
D，根据数量积定义即可判断．
【详解】
对于A， ，命题不成立；
对于B，这是平面向量数乘的分配律，显然成立；
对于C，若 和 ， 都垂直，显然 ， 至少在模的方面没有特定关系，所以命题不成立；对于D， 与
分别是一个和 ， 共线的向量，显然命题 不一定成立．
故选：ACD．
34．9
【解析】
【分析】
建立直角坐标系，由题意结合双曲线的定义可得 点的轨迹方程为 ，转化条件得
，由 求出最大值后即可得解.
【详解】
以 所在直线为 轴， 的中垂线为 轴，如图建立直角坐标系，
第 23 页则 ， ，
由 得 点的轨迹方程为 ，
所以 ，
设 ，则 ，
因为 ，所以 ，所以 的最大值为9.
故答案为：9.
【点睛】
本题考查了平面向量数量积的运算法则及向量模的坐标表示，考查了双曲线定义的应用，属于中档题.
35．3
【解析】
【分析】
由 得 ，结合模长求解过程，得到 ，根据二次函数的性质，结合基本
不等关系，求得最小值.
【详解】
，则 ，
，易知当 时， 最
小为 ，
此时 ， ， 同向.
故答案为：3
【点睛】
关键点点睛：由题干条件 ，求得 ，最后把模长表达出来后，利用基本不等关系求解，最后要
考虑等号成立条件，满足则可以取得最小值.
第 24 页36．
【解析】
【分析】
求出 及 ，然后由数量积定义可得夹角．
【详解】
由已知 ，
所以 ，
，
设 与 的夹角为 ，则 ， ，所以 ．
故答案为： ．
37．
【解析】
【分析】
由题知 是等腰直角三角形，故 ， ，再根据数量积定义计算即可.
【详解】
由 ， ，知 是等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ .
故答案为： .
38．13
【解析】
【分析】
根据向量数量积的运算性质，有 ，即可求 的最大值.
【详解】
∵ ，
∴当 时， 有最大值为169.
∴ 的最大值为13.
故答案为：13.
39．22
【解析】
【分析】
第 25 页利用数量积的定义及运算律可求 的值.
【详解】
，
故答案为：22.
40．(1)
(2) 的最小值为 ， 为 .
【解析】
【分析】
（1）由向量的减法公式 ，结合题意和平面向量共线定理，即可求得 ，进而求出结
果；
（2）记 ，因为 ，所以 ，设 ，根据平面向量加法
理和平面向量共线定可得 ，进而求得 ，化简整理可
得 ，再根据二次函数和余弦函数的性质，即可求出结果.
(1)
解：因为 ， ，
所以 ，所以 ，
即 .
(2)
解：记 ，
因为 ，所以 ，
设 ，则 ，
所以
当 时， 取最小值，即最小值为 ，
又 ，所以 ，所以 ，
第 26 页即 ，
所以 的最小值为 ，此时 为 .
41．（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）先设 ， ，根据题意，求出 ， ，再由向量模的计算公式，即可得出结果；
（2）先由题意，得到 ， ，再由向量数量积的运算法则，以及题中条件，得到
，即可求出结果.
【详解】
（1）设 ， ，
则 ， ，因此 ，
所以 ，
，
（2）因为 ，所以 ，
同理可得， ，
所以
，
∴ ，即 ，
同除以 可得， .
【点睛】
本题主要考查用向量的方法求线段长，考查由向量数量积求参数，熟记平面向量基本定理，以及向量数量积的运
算法则即可，属于常考题型.
42．(1) ；(2) .
【解析】
【分析】
（1）根据正弦定理将边化为角的表达式.结合正弦函数和角公式化简即可求得 ,即可得 .
（2）由余弦定理及平面向量数量积的乘积,即可得 .进而得三角形的周长.
【详解】
第 27 页（1）因为 ,
在 中,由正弦定理
所以 ,
即 ,
,
得 ,得 ,
,
；
（2）由余弦定理 ,代入可得 .
即 ,
即 ,可得 ,
所以 ,得 ,
所以 周长为 .
【点睛】
本题考查了正弦定理在边角转化解三角形中的应用,余弦定理解三角形的应用,平面向量数量积定义及运算,属于基础
题.
43．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据向量数量积运算法则得到 ，进而求出模长；（2）结合第一问，利用向量夹角坐标公式进行求解.
(1)
∵ ， ， ，
∴ ，解得: ..
故 ；
(2)
设 与 的夹角 ，则 ，
又∵ ，∴
第 28 页44．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）结合向量数量积运算与运算律计算求解即可；
（2）根据 解方程即可得答案.
(1)
解：
(2)
解：∵向量 与 互相垂直，
∴ ，整理得 ，又 ， ，
∴ ，解得 .
∴当 时，向量 与 互相垂直.
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