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第 2 讲 数列求和及其综合应用
[考情分析] 1.数列求和重点考查分组转化、错位相减、裂项相消三种求和方法.2.数列的综
合问题，一般以等差数列、等比数列为背景，与函数、不等式相结合，考查最值、范围以及
证明不等式等.3.主要以选择题、填空题及解答题的形式出现，难度中等．
考点一 数列求和
核心提炼
1．裂项相消法就是把数列的每一项分解，使得相加后项与项之间能够相互抵消，但在抵消
的过程中，有的是相邻项抵消，有的是间隔项抵消．常见的裂项方式有：＝；
＝.
2．错位相减法求和，主要用于求{ab}的前n项和，其中{a}，{b}分别为等差数列和等比
n n n n
数列．
考向1 分组转化法
例1 (2022·德州联考)已知数列{2a}是公比为4的等比数列，且满足a ，a ，a 成等比数列，
n 2 4 7
S 为数列{b}的前n项和，且b 是1和S 的等差中项，若c＝求数列{c}的前2n－1项和．
n n n n n n
解 因为数列 是公比为4的等比数列，
所以 ＝4，
所以a －a＝2，
n＋1 n
所以数列{a}是公差为2的等差数列，
n
因为a，a，a 成等比数列，
2 4 7
所以a＝aa，
2 7
所以(a＋6)2＝(a＋2)(a＋12)，
1 1 1
解得a＝6，
1
所以a＝6＋2(n－1)＝2n＋4，
n
因为S 为数列{b}的前n项和，且b 是1和S 的等差中项，
n n n n
所以S＋1＝2b，
n n
当n≥2时，有S ＋1＝2b ，
n－1 n－1
两式相减得b＝2b－2b ，
n n n－1
即b＝2b ，
n n－1
当n＝1时，有S＋1＝b＋1＝2b，
1 1 1
所以b＝1，
1所以数列{b}是首项为1，公比为2的等比数列，
n
所以b＝2n－1，
n
因为c＝k∈N*.
n
所以数列{c}的前2n－1项和为
n
a＋b＋a＋b＋…＋a
1 2 3 4 2n－1
＝(a＋a＋…＋a )＋(b＋b＋…＋b )
1 3 2n－1 2 4 2n－2
＝6n＋×4＋
＝2n2＋4n＋(4n－1－1)．
考向2 裂项相消法
例2 (2022·新高考全国Ⅰ)记S 为数列{a}的前n项和，已知a＝1，是公差为的等差数列．
n n 1
(1)求{a}的通项公式；
n
(2)证明：＋＋…＋<2.
(1)解 方法一 因为a＝1，所以＝1，
1
又是公差为的等差数列，
所以＝1＋(n－1)×＝.
因为当n≥2时，a＝S－S ，
n n n－1
所以＝＝，
所以＝，
整理得＝，
所以··…··＝××…··＝，
所以S＝(n≥2)，
n
又S＝1也满足上式，
1
所以S＝(n∈N*)，
n
则S ＝(n≥2)，
n－1
所以a＝－
n
＝(n≥2)，
又a＝1也满足上式，
1
所以a＝(n∈N*)．
n
方法二 因为a＝1，所以＝1，
1
又是公差为的等差数列，
所以＝1＋(n－1)×＝，
所以S＝a.
n n
因为当n≥2时，
a＝S－S ＝a－a ，
n n n－1 n n－1所以a ＝a，
n－1 n
所以＝，
所以··…··＝×××…··＝，
所以a＝(n≥2)，
n
又a＝1也满足上式，
1
所以a＝(n∈N*)．
n
(2)证明 因为a＝，
n
所以＝＝2，
所以＋＋…＋＝2
＝2＝<＝2.
故＋＋…＋<2成立．
考向3 错位相减法
例3 (2022·上饶模拟)从①b－b＝18b，②S＝b－2，③log b －1＝log b 这三个条件中
5 4 2 5 4 3 n＋1 3 n
任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知数列{a}的前n项和为S ，数列{b}是正项等比数列，且2a ＝a ＋a (n≥2)，S ＝b
n n n n n＋1 n－1 3 3
＝9，b＝a ，________.
4 14
(1)求数列{a}和{b}的通项公式；
n n
(2)若c＝ab，求数列{c}的前n项和T.
n n n n n
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解 (1)选①.
设数列{b}的公比为q(q>0)，由b－b＝18b，得q3－q2＝18，
n 5 4 2
即(q－3)(q2＋2q＋6)＝0，解得q＝3.
由2a＝a ＋a (n≥2)知数列{a}为等差数列，
n n＋1 n－1 n
设等差数列{a}的公差为d，由S＝b＝9，b＝a ，
n 3 3 4 14
得3a＝3(a＋d)＝9，b＝bq2＝9,9q＝3＋12d，
2 1 3 1
所以a＝b＝1，d＝2，
1 1
故数列{a}和{b}的通项公式分别为a＝2n－1，b＝3n－1.
n n n n
选②.
由2a＝a ＋a (n≥2)知数列{a}为等差数列，
n n＋1 n－1 n
设数列{a}的公差为d，数列{b}的公比为q(q>0)，
n n
由S＝b＝9，b＝a ，S＝b－2，
3 3 4 14 5 4
得3a＝3(a＋d)＝9，b＝bq2＝9,9q＝3＋12d，
2 1 3 1
5a＋10d＝9q－2，所以a＝b＝1，d＝2，q＝3，
1 1 1
故数列{a}和{b}的通项公式分别为a＝2n－1，b＝3n－1.
n n n n选③.
设数列{b}的公比为q(q>0)，
n
由log b －1＝log b，得＝3，则q＝3.
3 n＋1 3 n
由2a＝a ＋a (n≥2)知数列{a}为等差数列，设等差数列{a}的公差为d，
n n＋1 n－1 n n
由S＝b＝9，b＝a ，得3a＝3(a＋d)＝9，
3 3 4 14 2 1
b＝bq2＝9,9q＝3＋12d，所以a＝b＝1，d＝2，
3 1 1 1
故数列{a}和{b}的通项公式分别为a＝2n－1，b＝3n－1.
n n n n
(2)由(1)知c＝ab＝(2n－1)×3n－1，
n n n
所以T＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n－3)×3n－2＋(2n－1)×3n－1，①
n
3T＝1×31＋3×32＋5×33＋…＋(2n－3)×3n－1＋(2n－1)×3n.②
n
①－②得－2T ＝1＋2×(31＋32＋33＋…＋3n－1)－(2n－1)×3n＝1＋2×－(2n－1)×3n＝－2－
n
(2n－2)×3n，
所以T＝1＋(n－1)×3n.
n
规律方法 (1)分组转化法求和的关键是将数列通项转化为若干个可求和的数列通项的和或差．
(2)裂项相消法的基本思路是将通项拆分，可以产生相互抵消的项．
(3)用错位相减法求和时，应注意：①等比数列的公比为负数的情形；②在写出“S”和
n
“qS”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便准确写出“S－qS”的表达式．
n n n
跟踪演练1 (1)(2022·湛江模拟)已知数列{a}是等比数列，且8a＝a，a＋a＝36.
n 3 6 2 5
①求数列{a}的通项公式；
n
②设b＝，求数列{b}的前n项和T，并证明：T<.
n n n n
解 ①设等比数列{a}的公比是q，首项是a.
n 1
由8a＝a，可得q＝2.
3 6
由a＋a＝36，可得aq(1＋q3)＝36，
2 5 1
所以a＝2，所以a＝2n.
1 n
②因为b＝
n
＝－，
所以T＝b＋b＋…＋b＝＋＋…＋
n 1 2 n
＝－＝－.
又>0，所以T<.
n
(2)(2022·南通调研)已知正项等比数列{a}的前n项和为S ，满足a ＝2，a －S ＝a －
n n 2 n＋3 n＋2 n＋1
S.
n
①求数列{a}的通项公式；
n
②记b＝，数列{b}的前n项和为T，求使不等式T<－成立的n的最小值．
n n n n
解 ①设等比数列的公比为q(q>0)，因为a＝2，
2
所以aq＝2⇒a＝，
1 1
由a －S ＝a －S
n＋3 n＋2 n＋1 n
⇒a －a ＝S －S
n＋3 n＋1 n＋2 n
⇒a －a ＝a ＋a
n＋3 n＋1 n＋2 n＋1
⇒a －a －2a ＝0
n＋3 n＋2 n＋1
⇒a (q2－q－2)＝0，
n＋1
因为a ≠0，所以q2－q－2＝0，
n＋1
因为q>0，所以解得q＝2，
即a＝＝1，
1
所以数列{a}的通项公式为
n
a＝1×2n－1＝2n－1.
n
②由①可知a＝2n－1，
n
所以b＝＝，
n
所以T＝1＋＋＋…＋，(*)
n
T＝＋＋＋…＋，(**)
n
由(*)－(**)得T＝1＋2×－
n
＝1＋2×－
＝3－，
所以T＝6－，
n
代入T<－中，
n
得6－<－
⇒2n>2⇒n>1，
因为n∈N*，所以n的最小值为2.
考点二 数列的综合问题
核心提炼
数列与函数、不等式的综合问题是高考命题的一个方向，此类问题突破的关键在于通过函数
关系寻找数列的递推关系，求出数列的通项或前n项和，再利用数列或数列对应的函数解决
最值、范围问题，通过放缩进行不等式的证明．
例4 (1)已知A(0,0)，B(5,0)，C(1,3)，连接△ABC的各边中点得到△ABC ，连接△ABC
1 1 1 1 1 1
的各边中点得到△ABC ，如此无限继续下去，得到一系列三角形：△ABC，△ABC ，
2 2 2 1 1 1
△ABC ，…，则这一系列三角形的面积之和无限趋近于常数( )
2 2 2
A. B．5 C．10 D．15
答案 C解析 因为S ＝×5×3＝，
△ABC
△ABC ∽△ABC，＝，
1 1 1
所以 ＝，
所以S ， ， ，…成等比数列，其首项为，公比为，
△ABC
所以这一系列三角形的面积之和为
S＝＝10，
n
无限趋近于10.
(2)在各项均为正数的数列{a}中，a ＝1，a－2a a －3a＝0，S 是数列{a}的前n项和，若
n 1 n＋1 n n n
对n∈N*，不等式a(λ－2S)≤27恒成立，则实数λ的取值范围为__________．
n n
答案 (－∞，17]
解析 ∵a－2a a－3a＝0，
n＋1 n
∴(a ＋a)(a －3a)＝0，
n＋1 n n＋1 n
∵a>0，∴a ＝3a，又a＝1，
n n＋1 n 1
∴数列{a}是首项为1，公比为3的等比数列，
n
∴a＝3n－1，
n
S＝＝－，
n
∴不等式a(λ－2S)≤27即λ≤2S＋＝3n＋－1对n∈N*恒成立，
n n n
∵3n＋≥2＝18，
当且仅当3n＝，
即n＝2时， ＝18，
min
∴λ≤17，
∴实数λ的取值范围为(－∞，17]．
易错提醒 求解数列与函数交汇问题要注意两点
(1)数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集(或它的有限子集)，在求数列最值或不等关
系时要特别注意．
(2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件．
跟踪演练2 (1)我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：
“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日
相逢”，翻译过来就是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对打洞穿墙，大、小鼠第一
天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则几天后两鼠相遇，这个问题体现了古代对
数列问题的研究，现将墙的厚度改为1 200尺，则需要几天时间才能打穿(结果取整数)( )
A．12 B．11 C．10 D．9
答案 B解析 设大鼠和小鼠每天穿墙尺寸分别构成数列{a}，{b}，由题意知，它们都是等比数列，
n n
且a＝b＝1，数列{a}的公比为q＝2，数列{b}的公比为q＝，
1 1 n 1 n 2
则(a＋a＋…＋a)＋(b＋b＋…＋b)＝＋＝2n＋1－，
1 2 n 1 2 n
当n＝10时，2n＋1－＝1 025－<1 200，
当n＝11时，2n＋1－＝2 049－>1 200，
因此需要11天才能打穿．
(2)(2022·潍坊检测)如图，在边长为a的等边△ABC中，圆D 与△ABC相切，圆D 与圆D
1 2 1
相切且与AB，AC相切，…，圆D 与圆D 相切且与AB，AC相切，依次得到圆D ，
n＋1 n 3
D，…，D.设圆D，D，…，D 的面积之和为X(n∈N*)，则X 等于( )
4 n 1 2 n n n
A.πa2n－1
B.πa2
C.πa2
D.πa2
答案 B
解析 等边三角形内心、重心、外心、垂心四心合一．所以圆D 的半径为×a＝a，
1
面积为·π，圆D 的半径为×a，
2
面积为··π，
圆D 的半径为2×a，
3
面积为2··π，
以此类推，圆D 的面积为n－1··π，
n
所以各圆的面积组成的数列是首项为·π，公比为的等比数列，
所以X＝＝·π·
n
＝πa2.
专题强化练
一、选择题
1．数列{a}满足2a ＝a＋a ，且a，a 是函数f(x)＝x2－8x＋3的两个零点，则a 的
n n＋1 n n＋2 4 4 040 2 022
值为( )
A．4 B．－4C．4 040 D．－4 040
答案 A
解析 因为a，a 是函数f(x)＝x2－8x＋3的两个零点，
4 4 040
即a，a 是方程x2－8x＋3＝0的两个根，
4 4 040
所以a＋a ＝8.
4 4 040
又2a ＝a＋a ，
n＋1 n n＋2
所以数列{a}是等差数列，
n
所以a＋a ＝2a ＝8，
4 4 040 2 022
所以a ＝4.
2 022
2．已知函数f(x)＝xa的图象过点(4,2)，令a ＝(n∈N*)，记数列{a}的前n项和为S ，则S
n n n 2 022
等于( )
A.＋1 B.－1
C.－1 D.＋1
答案 B
解析 函数f(x)＝xa的图象过点(4,2)，
则4a＝2，
解得a＝，得f(x)＝，
a＝＝
n
＝－，
则S ＝(－1)＋(－)＋…＋(－)＝－1＋.
2 022
3．(2022·衡水模拟)已知数列{a}的前n项和为S ，若a ＝－a ，且a ＝1，a ＝2，则S
n n n＋2 n 1 2 2 023
等于( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 由a ＝－a，
n＋2 n
得a ＝－a ＝a，
n＋4 n＋2 n
所以数列{a}是周期为4的数列，
n
所以由a＝1，a＝2得a＝－1，a＝－2，
1 2 3 4
所以a＋a＋a＋a＝0，
1 2 3 4
所以S ＝(a＋a＋a＋a)×505＋a＋a＋a＝2.
2 023 1 2 3 4 1 2 3
4．(2022·涪陵模拟)在数列{a}中，a＝(－1)n－1·(4n－3)，前n项和为S，则S －S 为( )
n n n 22 11
A．－85 B．85 C．－65 D．65
答案 C
解析 由题意得S ＝a＋a＋a＋…＋a ＋a ＝(4－3)－(8－3)＋(12－3)－…＋(84－3)－(88－3)＝－44，
22 1 2 3 21 22
S ＝a＋a＋a＋…＋a ＋a ＝(4－3)－(8－3)＋(12－3)－…－(40－3)＋(44－3)＝21，
11 1 2 3 10 11
∴S －S ＝－44－21＝－65.
22 11
5．已知F是椭圆＋＝1的右焦点，椭圆上至少有21个不同的点P(i＝1,2,3，…)，使得|
i
FP|，|FP|，|FP|，…组成公差为d(d>0)的等差数列，则公差d的最大值为( )
1 2 3
A. B. C. D.
答案 C
解析 由椭圆的方程和定义知a＝5，b＝4，c＝3，
又∵a－c≤|FP|≤a＋c，
i
∴2≤|FP|≤8，
i
令|FP|，|FP|，|FP|，…组成公差为d(d>0)等差数列{a}，
1 2 3 n
∴a＝|FP|≥2，
1 1
a≤|FP| ＝8，
n imax
∴d＝≤＝≤＝，
∴0成立的n的最大值为4
n
D．数列{b}的前n项和S<4
n n
答案 C
解析 由题可得a＝4，
1
a＝＝a，
2 1
a＝＝a，
3 2
…，
a＝＝a ，
n n－1
则＝，
所以数列{a}是以4为首项，为公比的等比数列，则a＝4×n－1，显然B正确；
n n
由题意可得，S ＝，
△AEH
即b＝，b＝，…，b＝，
1 2 n
于是b＝＝×n－1，为等比数列，
n
对于A，连续三个正方形的面积之和S＝a＋a＋a＝16＋10＋＝，A正确；
对于C，令b＝×n－1>，则n－1>，
n
而4－1＝<，C错误；
对于D，S＝×＝4×<4，
n
D正确．
二、填空题
9．在数列{a}中，a ＝3，对任意m，n∈N*，都有a ＝a ＋a ，若a ＋a ＋a ＋…＋a＝
n 1 m＋n m n 1 2 3 k
135，则k＝________.
答案 9
解析 令m＝1，由a ＝a ＋a 可得，
m＋n m n
a ＝a＋a，
n＋1 1 n
所以a －a＝3，
n＋1 n
所以{a}是首项为3，公差为3的等差数列，
n
a＝3＋3(n－1)＝3n，
n所以a＋a＋a＋…＋a
1 2 3 k
＝＝＝135，
整理可得k2＋k－90＝0，
解得k＝9或k＝－10(舍去)．
10．已知数列{a}满足a ＝n2＋λn，n∈N*，若数列{a}是单调递增数列，则λ的取值范围是
n n n
______．
答案 (－3，＋∞)
解析 ∵{a}是单调递增数列，
n
∴当n≥1时，a －a＝(n＋1)2＋λ(n＋1)－n2－λn＝2n＋1＋λ>0恒成立，
n＋1 n
即λ>－2n－1，∵n≥1，∴(－2n－1) ＝－3，
max
∴λ>－3.
11．已知函数f(n)＝且a＝f(n)＋f(n＋1)，则a＋a＋a＋…＋a＝________.
n 1 2 3 8
答案 8
解析 当n为奇数时，n＋1为偶数，
则a＝n2－(n＋1)2＝－2n－1，
n
所以a＋a＋a＋a＝－(3＋7＋11＋15)＝－36.
1 3 5 7
当n为偶数时，n＋1为奇数，
则a＝－n2＋(n＋1)2＝2n＋1，
n
则a＋a＋a＋a＝5＋9＋13＋17＝44，
2 4 6 8
所以a＋a＋a＋…＋a＝－36＋44＝8.
1 2 3 8
12．(2022·聊城质检)某数学兴趣小组模仿“杨辉三角”构造了类似的数阵，将一行数列中相
邻两项的乘积插入这两项之间，形成下一行数列，以此类推不断得到新的数列．如图，第一
行构造数列1,2；第二行得到数列1,2,2；第三行得到数列1,2,2,4,2，…，则第5行从左数起
第6个数的值为________．用A 表示第n行所有项的乘积，若数列{B}满足B ＝log A ，则
n n n 2 n
数列{B}的通项公式为________．
n
答案 8 B＝
n
解析 根据题意，第5行的数列依次为1,2,2,4,2,8,4,8,2,16,8,32,4,32,8,16,2，
从左数起第6个数的值为8.
A＝21，
1
A＝22＝ ，
2A＝25＝ ，
3
A＝214＝ ，
4
A＝241＝ ，
5
故有A＝ ，
n
则B＝log A＝ ＝.
n 2 n
三、解答题
13．(2022·烟台模拟)已知等差数列{a}的前n项和为S，a＝9，S＝15.
n n 4 3
(1)求{a}的通项公式；
n
(2)保持数列{a}中各项先后顺序不变，在a 与a (k＝1,2，…)之间插入2k个1，使它们和原
n k k＋1
数列的项构成一个新的数列{b}，记{b}的前n项和为T，求T 的值．
n n n 100
解 (1)设{a}的公差为d，
n
由已知a＋3d＝9,3a＋3d＝15.
1 1
解得a＝3，d＝2.
1
所以a＝2n＋1.
n
(2)因为在a 与a (k＝1,2，…)之间插入2k个1，
k k＋1
所以a 在{b}中对应的项数为
k n
n＝k＋21＋22＋23＋…＋2k－1
＝k＋＝2k＋k－2，
当k＝6时，2k＋k－2＝68，
当k＝7时，2k＋k－2＝133，
所以a＝b ，a＝b ，
6 68 7 133
且b ＝b ＝…＝b ＝1.
69 70 100
因此T ＝S＋(2×1＋22×1＋23×1＋…＋25×1)＋32×1
100 6
＝×(3＋13)＋＋32＝142.
14．(2022·长沙质检)已知{a}是公差不为0的等差数列，其前n项和为S ，a ＝2，且a ，
n n 1 2
a，a 成等比数列．
4 8
(1)求a 和S；
n n
(2)若b＝ ＋，数列{b}的前n项和为T，且T≥对任意的n∈N*恒成立，求实数m的
n n n n
取值范围．
解 (1)设数列{a}的公差为d，
n
由已知得a＝aa，
2 8
即(2＋3d)2＝(2＋d)(2＋7d)，整理得d2－2d＝0，
又d≠0，∴d＝2，
∴a＝2＋2(n－1)＝2n，
n
∴S＝＝n2＋n.
n
(2)由题意知，
b＝2n＋＝2n＋
n
＝2n＋－，
∴T＝(21＋22＋…＋2n)＋
n
＝＋1－＝2n＋1－1－，
∵T≥，
n
∴(n＋1)2n＋1－(n＋2)≥m，
令f(n)＝(n＋1)2n＋1－(n＋2)，
则f(n＋1)－f(n)＝(n＋3)2n＋1－1>0，
即f(n＋1)>f(n)对任意的n∈N*恒成立，
∴{f(n)}是单调递增数列，
∴[f(n)] ＝f(1)＝5，
min
∴m≤5，
∴实数m的取值范围是(－∞，5]．
