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第17讲 数列求和
【知识点总结】
求数列前 项和的常见方法如下：
（1）公式法：对于等差、等比数列，直接利用前 项和公式.
（2）错位相减法：数列的通项公式为 或 的形式，其中 为等差数列， 为等比数列.
（3）分组求和法：数列的通项公式为 的形式，其中 和 满足不同的求和公式.常见于
为等差数列， 为等比数列或者 与 分别是数列的奇数项和偶数项，并满足不同的规律.
（4）裂项相消法：将数列恒等变形为连续两项或相隔若干项之差的形式，进行消项.
（5）倒序相加：应用于等差数列或转化为等差数列的数列求和.
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练习）数列 的通项公式 ，它的前 项和 ，则
（ ）
A．9 B．10 C．99 D．100
【答案】C
【详解】
数列 的通项公式 ，则
．解得 ．
故选：C．
例2．（2022·全国·高三专题练习）在公差大于0的等差数列 中， ，且 ， ，
成等比数列，则数列 的前21项和为（ ）
A．12 B．21 C．11 D．31
【答案】B
【详解】
由题意，公差 大于0的等差数列 中， ，可得 ，即 ，
由 ， ， 成等比数列，可得 ，
即为 ，解得 或 （舍去），所以数列 的通项公式 ，
所以数列 的前21项和为：
.
故选：B.
例3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{a}满足：a =a-a （n≥2，n∈N*），a=1，a=2，S 为
n n+1 n n-1 1 2 n
数列{a}的前n项和，则S =（ ）
n 2021
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】C
【详解】
∵a =a-a ，a=1，a=2，∴a=1，a=-1，a=-2，a=-1，a=1，a=2，…，
n+1 n n-1 1 2 3 4 5 6 7 8
故数列{a}是周期为6的周期数列，且每连续6项的和为0，
n
故S =336×0+a +a +…+a =a+a+a+a+a=1+2+1+（-1）+（-2）=1.
2021 2017 2018 2021 1 2 3 4 5
故选：C.
例4．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列 的前 项和为 ，则
___________.
【答案】
【详解】
解：设公差为 ，因为 ，所以 ，解得 ，所以 ，所以
，所以 ，所以
故答案为：
例5．（2021·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和 ，函数 对一切实
数总有 ，数列 满足 分别求数列 、
的通项公式.
【详解】
当
当
时满足上式，故 ；
∵ =1∴
∵ ①
∴ ②
∴① ②，得
例6．（2022·全国·高三专题练习）已知 为等差数列， 为等比数列，且满足
．
（1）求 和 的通项公式；
（2）对任意的正整数n，设 ，求数列 的前n项和 ．
【详解】
（1）设等差数列 的公差为d，等比数列 的公比为q，
由 ，则1＋3d＝4d，可得d＝1，所以 ，
因为 ，所以 ，整理得 ，解得q＝2，所以 ；
（2） ，
，
两式相减，得所以 ．
例7．（2022·全国·高三专题练习）数列 的前 项和为 ， .
（1）求 ， ；
（2）设 ，数列 的前 项和为 .证明： .
【详解】
（1）
① ②得：
令 时，
满足上式
数列 是 为首项， 为公比的等比数列.
（2）证明：由①得：又 为递增数列
例8．（2021·福建·永安市第三中学高中校高三期中）已知数列 是前 项和为
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 ，求数列 的前 项和 ．
【详解】
（1）∵
当 时，
当 时， 满足上式，
所以数列 的通项公式为 .
（2）由（1）得， ，
则
.
【技能提升训练】
一、单选题1．（2021·全国·高三专题练习（文））已知函数 ，利用课本中推导等差数列的前
项和的公式的方法，可求得 （ ）.
A．25 B．26 C．13 D．
【答案】C【分析】
先根据已知条件求出 ，再利用倒序相加法求和即可.
【详解】
解： ，
，
即 ，
设 ，①
则 ，②
则①＋②得： ，
故 .
故选：C.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 满足 ，若数列 满足
，则数列 的前20项和为（ ）
A．100 B．105 C．110 D．115
【答案】D
【分析】
根据函数 满足 ，利用倒序相加法求出 ，再求前20项和.
【详解】
因为函数 满足 ，
①，
②，由① ②可得 ， ，
所以数列 是首项为1，公差为 的等差数列，其前20项和为 .
故选：D.【点睛】
本题主要考查函数的性质及倒序相加法求和，属于基础题.
3．（2020·全国·高三专题练习）已知函数 ，则
的值为
A．4033 B．-4033
C．8066 D．-8066
【答案】D
【详解】
试题分析： ，所以原式
.
考点：函数求值，倒序求和法.
【思路点晴】本题主要考查函数求值与倒序相加法.注意到原式中第一个自变量加上最后一个自变量的
值为 ，依此类推，第二个自变量加上倒数第二个自变量的值也是 ，故考虑 是不是定值.
通过算，可以得到 ，每两个数的和是 ，其中 ，所以原式
等价于 个 即 .
4．（2021·全国·高三专题练习（文））已知等比数列{a}的前n项和为S，若S=7，S=63，则数列
n n 3 6
{na}的前n项和为（ ）
n
A．-3+(n+1)×2n B．3+(n+1)×2n
C．1+(n+1)×2n D．1+(n-1)×2n
【答案】D
【分析】
利用已知条件列出方程组求解即可得 ，求出数列{a}的通项公式，再利用错位相减法求和即可.
n
【详解】
设等比数列{a}的公比为q，易知q≠1，
n所以由题设得 ，两式相除得1+q3=9，解得q=2，
进而可得a=1，
1
所以a=aqn-1=2n-1，
n 1
所以na=n×2n-1.
n
设数列{na}的前n项和为T，
n n
则T=1×20+2×21+3×22+…+n×2n-1，
n
2T=1×21+2×22+3×23+…+n×2n，
n
两式作差得-T=1+2+22+…+2n-1-n×2n= -n×2n=-1+(1-n)×2n，
n
故T=1+(n-1)×2n.
n
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了求等比数列的通项公式问题以及利用错位相减法求和的问题.属于较易题.
5．（2022·全国·高三专题练习）化简 的结果是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
用错位相减法求和．
【详解】
，（1）
，（2）
（2）－（1）得：
．
故选：D．
6．（2022·全国·高三专题练习）根据预测，某地第 个月共享单车的投放量和损失量分别为和 （单位：辆），其中 ， ，则该地第4个月底的共享单车的保有量为
（ ）A．421 B．451 C．439 D．935
【答案】D
【分析】
根据题意求出前四个月的共享单车投放量，减去前四个月的损失量，即为第四个月底的共享单车的保
有量.
【详解】
由题意可得该地第4个月底的共享单车的保有量为
故选：D.
二、填空题
7．（2022·上海·高三专题练习）已知数列 满足 ，则数列
的前n项和 为______．
【答案】
【分析】
由 与 两式相减，得出 ，
进而得出 的通项公式，再由裂项相消法求和即可.
【详解】
当 时，由 ，得 ，两式相减，得 ，又 ，适合，所以
所以所以 ．
故答案为：
8．（2022·江苏·高三专题练习）已知数列 的通项公式 ， ，其前 项和为 ，则
______．
【答案】1010
【分析】
计算前 项，结合周期得出 .
【详解】
，周期
故答案为：
【点睛】
关键点睛：解决本题的关键在于推理得出数列 是周期数列，再由周期性得出 .
9．（2022·上海·高三专题练习）设数列 有 ，则 _______.
【答案】
【分析】
根据对数性质化简计算即可.
【详解】所以
故答案为：
【点睛】本题考查利用对数性质进行化简，考查基本分析化简能力，属基础题.
三、解答题
10．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{a}的前n项和为S，a=5，nS -（n+1）S=n2+n.
n n 1 n+1 n
（1）求证：数列 为等差数列；
（2）令b=2na，求数列{b}的前n项和T.
n n n n
【答案】（1）证明见解析；（2）T=（2n+1）2n+1-2.
n
【分析】
（1）利用等差数列的定义证明即可.
（2）利用错位相减法即可求解.
【详解】
（1）证明：由nS -（n+1）S=n2+n得 ，又 =5，
n+1 n
所以数列 是首项为5，公差为1的等差数列.
（2）由（1）可知 =5+（n-1）=n+4，所以S=n2+4n.
n
当n≥2时，a=S-S =n2+4n-（n-1）2-4（n-1）=2n+3.
n n n-1
又a=5也符合上式，所以a=2n+3（n∈N*），
1 n
所以b=（2n+3）2n，
n
所以T=5×2+7×22+9×23+…+（2n+3）2n，①
n
2T=5×22+7×23+9×24+…+（2n+1）2n+（2n+3）·2n+1，②
n
所以②-①得
T=（2n+3）2n+1-10-（23+24+…+2n+1）
n
=（2n+3）2n+1-10-
=（2n+3）2n+1-10-（2n+2-8）
=（2n+1）2n+1-2.
11．（2022·河北·高三专题练习）己知数列 的前n项和为 ，且 ，_______.请在①；② ；成等比数列；③ ，这三个条件中任选一个补充在上而题干中，并解答下
面问题.（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前n项和 .
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）答案见解析；（2） .
【分析】
根据 与 的关系可得 为等差数列，
（1）选①，利用等差数列的通项公式基本量的计算即可求解；选②，利用等比中项以及等差数列的
通项公式即可求解；选③，利用等差数列的前 项和公式即可求解.
（2）利用错位相减法即可求解.
【详解】
因为 ，所以 ，即 ，
所以数列 是首项为 ，公差为1的等差数列，其公差 .
（1）选①.
由 ，得 ，即 ，
所以 ，解得 .
所以 ，
即数列 的通项公式为 .
选②.
由 ，成等比数列，得 ，
则 ，所以 ，
所以 .
选③.因为 ，
所以 ，所以 ，所以 .
（2）由题可知 ，所以 ，
所以 ，
两式相减，得
，
所以 .
12．（2022·全国·高三专题练习）有一正项等比数列{a}的公比为q，前n项和为S，满足aa=64，
n n 2 4
S=14.设b=log a（n∈N*）.
3 n 2 n
（1）求a，a 的值，并求出数列{a}的通项公式；
1 2 n
（2）判断数列{b}是否为等差数列，并说明理由；
n
（3）记 ，求数列{c}的前n项和T.
n n
【答案】（1）a=2，a=4，a=2×2n-1=2n（n∈N*）；（2）{b}是以1为首项，1为公差的等差数列，
1 2 n n
理由见解析；（3）T= .
n
【分析】
（1）利用等比中项以及等比数列的通项公式即可求解.
（2）利用等差数列的定义即可证明.
（3）利用裂项求和法即可求解.
【详解】
（1）由aa=64，得 =64.又∵a>0，∴a=8.
2 4 n 3
∵S=a+a+a，∴a+a+8=14，∴a+aq=6，
3 1 2 3 1 2 1 1
即a（1+q）=6，∴ （1+q）=6，即3q2-4q-4=0，
1解得q=2或q=- （舍去）.
∴a=2，a=4，a=2×2n-1=2n（n∈N*）.
1 2 n（2）数列{b}为等差数列.理由如下：
n
由（1）知a=2n，∴b=log a=log 2n=n，
n n 2 n 2
∴b =n+1，∴b -b=1.又b=1，
n+1 n+1 n 1
∴{b}是以1为首项，1为公差的等差数列.
n
（3）由（2）可知，b=n，∴c= ，
n n
∴T=c+c+c+…+c=
n 1 2 3 n
13．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）由 ，可得当 时，
，两式相减化简可得 ，再验证 是否满足，
（2）由（1）得 ，然后利用分组求和和裂项相消求和法求
【详解】
解：（1）数列 满足 ①
当 时， ，②
① ②，得： ，
故 ；当 时，解得 ，首项符合通项，
故 ．
（2）由（1）得：所以
．
14．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和为 ，且满足 .
（1）求证：数列 是等比数列；
（2）记 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【分析】
（1）先求出 ，然后当 时， 化简可得 ，两边加1可得
，从而可证得数列 是等比数列；
（2）由（1）得 ，则可得 ，然后利用裂项相消求和法
可求得
【详解】
（1）证明：由 ，
可得 ，解得 ，
时， ，
可得 ，
则 ，
所以数列 是首项和公比均为2的等比数列；（2）由（1）可得 ，
则 ，
所以
.
15．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和为 ，且满足 ．（1）求数列 的通项公式：
（2）设 ，数列 的前 项和为 ，求证： ．
【答案】（1） ；（2）证明见解析．
【分析】
（1）利用 ，求得数列 的通项公式.
（2）求得数列 的通项公式，进而利用裂项求和法求得 ，结合数列的单调性证得 .
【详解】
（1）解： ，令 ，解得 时， 两式相减，得
数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，所以 ；
（2）证明
单调递增，所以1 即
16．（2022·全国·高三专题练习）在① ；② ；③ 成等差数列这
三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.问题：数列{a}是各项均为正数的等比数列，前n项
n
和为S，a＝2，且___.
n 1
（1）求数列{a}的通项公式；
n
（2）若 （ ），求数列{b}的前n项和T.
n n
【答案】（1） ；（2） .【分析】
（1）若选①，由 ，有 ，两式相减，可得数列为等比数列，再由首项
可求通项；
若选②，由 ，得 ，再由首项可求通项；若选③，由 成等比数列，得 ，再由首项可求通项.
（2）先带入化简，再裂项求和即可.
【详解】
（1）若选①，由 ，有 ，两式相减并整理有 ，
可知数列 是首项为2，公比也为2的等比数列，所以 ；
若选②，因为数列 是等比数列，且首项为2，由 ，
有 ，即 ，得 ，
所以数列 是首项为2，公比也为2的等比数列，所以 ；
若选③，由 成等比数列，有 ，
即 ，因为有 ，所以有 ，
解得 ， （舍），
数列 是首项为2，公比也为2的等比数列，所以 .
（2）因为 ，
，
所以
.
17．（2022·全国·高三专题练习）设数列 的前 项和为 ，已知 且数列 是以 为公差的等差数列．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前 项和为 ，求证： ．
【答案】（1） ；（2）证明见解析．【分析】
（1）由题意可得 ，再利用 可求出数列 的通项公式；
（2）由（1）可得 ，化简后利用裂项相消法可求得 ，再利用放缩法可证得结论
【详解】
（1）∵ ，∴ ，
∴ ，即
当 时，
∴
当 时， ，符合上述通项，所以
（2）∵ ，
∴ ．
18．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列 的前 项和为 ， ， ．
（1）求数列 的通项公式：
（2）令 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）先由 ，结合题中条件，求出公比，进而可得通项公式；（2）根据裂项相消的方法得到 ，再由等比数列的求和公式，即可得出结果.
【详解】
（1）由 可得 ，则 ，
因为 为等比数列，所以其公比为 ；又 ，所以 ；
（2）由（1）可得 ；
，
所以 .
【点睛】
结论点睛：
裂项相消法求数列和的常见类型：
（1）等差型 ，其中 是公差为 的等差数列；
（2）无理型 ；
（3）指数型 ；
（4）对数型 .
19．（2022·全国·高三专题练习）设等比数列 的前n项和为 ，已知 ，且 成
等差数列．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 满足 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）设等比数列 的公比是q，由 ，可求得q值，根据等差中项的性质，求得 值，代入
公式，即可得答案.
（2）根据（1）可求得 ，由题意 ，利用裂项相消法求和，可得 表达式，
代入 ，即可得答案.
【详解】
（1）设等比数列 的公比是q，由 得 ，∴ ，解得 ．
∵ 成等差数列，∴ ，即 ，解得 ．
∴ ．
（2）∵数列 是以1为首项，以3为公比的等比数列，
∴ ．
∵ ，
∴
．
20．（2022·浙江·高三专题练习）已知数列 ， ，满足 ， ， ， ，
成等差数列．
（1）证明： 是等比数列；
（2）数列 满足 ，记数列 的前 项和为 ，求 ．
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【分析】
（1）由已知得 ，根据等差中项的性质有 ，由等比数列的定义即可证 是等比
数列；
（2）由（1）得 ，写出 通项，根据裂项相消法求 .
【详解】（1）证明：由数列 ， ，满足 ， ，
∴ ，由 ， ， 成等差数列，则有 ，整理得 （常数），
∴数列 ：以 为首项，公比为2的等比数列．
（2）由（1）知： ，∴ ，
∴ ．
21．（2022·全国·高三专题练习）在正项数列 中， ， ，且 .
（1）求 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 .
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）对已知等式进行化简，结合等差中项的定义、等差数列的通项公式进行求解即可；
（2）利用裂项相消法进行求解即可.
【详解】
解：（1）因为 ，所以 ，
即 .
因为 ， ，所以数列 是首项为1，公差为3的等差数列，
从而 .
因为 ，所以 ；
（2）因为 ，
所以 ，
故 .22．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列 的前n项和为 ，数列 为正项等比数列，其满
足 ， ， .
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）若_______，求数列 的前n项和 .在① ，② ，③ 这三个条件中任一个补充在第（2）问中；并对其求
解.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1） ， ；（2）见解析.
【分析】
（1）由题设条件可得公差和公比的方程组，解方程组后可得两个数列的通项.
（2）根据所选的数列分别选分组求和、错位相减法、裂项相消法可求 .
【详解】
（1）设等差数列的公差为 ，公比为 ，则 ，
解得 或 （舍），
故 ， .
（2）若选①， ，
故 ，
若选②，则 ，
故 ，
所以 ，
所以 即 .
若选③，则 ，故 .
【点睛】
数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项
是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项
相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.
23．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列 满足公差 ，前n项的和为 ， ， ，
， 成等比数列.（1）求 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前100项的和 .
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）根据题中条件，列出方程求解，得出首项和公差，即可求出通项公式；
（2）根据（1）的结果，得到 ，利用裂项相消法，即可求出结果.
【详解】
（1）由 及 ， ， 成等比数列得 ，
即 ，
解得 （ 舍去）， ，
所以 ；
（2） ，
所以
.
【点睛】
结论点睛：
裂项相消法求数列和的常见类型：（1）等差型 ，其中 是公差为 的等差数列；
（2）无理型 ；
（3）指数型 ；
（4）对数型 .
24．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， .（1）证明：数列 为等差数列；
（2）设 ，证明： .
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析
【分析】
（1）根据 1，结合等差数列的定义可证结论；
（2）由（1）知， ，根据 放大后裂项求和，可证不等式成立.
【详解】
（1）因为 ，
所以数列 是首项为1，公差为1的等差数列.
（2）由（1）知， ，
所以 ，当 时， ，
所以 .
【点睛】
本题考查了用定义证明等差数列，考查了利用放缩法证明数列不等式，考查了裂项求和法，属于基础
题.
25．（2021·全国·高三专题练习）设{a}是等差数列，(n∈N*)； 是等比数列，公比大于0，其前n
n
项和为S(n∈N*).已知 ， ，b=a+a，b=a+2a.
n 5 3 5 7 4 6
（1）求S 与a；
n n
（2）若 ，求数列 的前 项和 .【答案】（1） ， ；（2） .
【分析】
（1）首先根据已知条件得到 ，解得 ，从而得到 ，根据
，解方程组即可得到 .（2）首先根据 ，得到前 项和为 ，再分类讨论求数列 的前 项和 即
可.
【详解】
（1）设等比数列 的公比为 ，且 .
由 ， ，可得 ，
因为 ，可得 ，所以 .
所以 ，解得 ，
.
（2）因为 ，前 项和为 ，
当 时， ，所以 ，
当 时， ，
所以
.
所以 .
26．（2021·全国全国·模拟预测）已知数列 满足 ， ，且 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）记在区间 上， 的项数为 ，求数列 的前m项和.
【答案】（1） ， ；
（2）前m项和为 ， .
【分析】
（1）由题设可知 为等差数列，根据已知条件求基本量，进而写出通项公式.
（2）由（1）求出区间项数 ，再应用分组求和及等比数列前n项和公式求 的前m项和.（1）
由题意知： 为等差数列，设其公差为d，
由 ，得 ，又 ，
∴ ，则 .
（2）
由题及（1）得， ，
∴ .
27．（2021·海南二中高三阶段练习）递增等差数列 中， ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 前 项和 .
【答案】
（1） ；
（2） .
【分析】
（1）利用等差数列通项公式，结合数列 递增，可构造方程组求得 ，由此可得通项公式；
（2）由（1）可得 ，利用分组求和法，结合等差等比求和公式可得结果.
（1）
设等差数列 的公差为 ，
则 ，解得： 或 ，是递增的等差数列， ， ，
；
（2）
设 ，.
28．（2021·河南·高三阶段练习（文））已知 ， ， ， 中的 个数为等差数列 的前 项，且
不在数列 中， 在数列 中.
（1）求数列 的通项 ；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）由于 在数列 中，且 ，可知 是递增数列，由此可知等差数列 的前 项为 ，
， 或 ， ， ，再分这两种情况和 不在数列 中，即可求出结果；
（2）由（1），可知 ，然后再根据裂项相消和分组求和即可求
出结果.
（1）
解：由 ， ， ， 中的 个数为等差数列 的前 项，且 ，
可得 是递增数列，所以等差数列 的前 项为 ， ， 或 ， ， ，
若 ， ， 为数列 的前 项，则 ，
令 ，得 ，即 ，不满足题意，若 ， ， 为数列 的前 项，则 ，
令 ，得 ，所以 不在数列 中
又 ， 在数列 中，所以 .
（2）
解：因为 ，
所以，
所以 .
29．（2021·全国·高三专题练习）设数列 是公差大于零的等差数列，已知 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 满足 ，求 .
【答案】（1） ；（2）1010.
【分析】
（1）设等差数列 的公差为 ，由 ， ，即可求得答案；
（2）因为 ，求出当 为奇数时， ，当 为偶数时， ，可得 是以
2为周期的周期数列，即可求得答案.
【详解】
解：（1）设等差数列 的公差为 ，
，
又 ，
解得 或 ，
，
，
.（2）
当 为奇数时， ，
当 为偶数时， ，故 是以2为周期的周期数列，且 ，
.
30．（2021·全国·高三专题练习（文））已知数列 中， ， ．
（1）求 ；
（2）若 ，求数列 的前5项的和 .
【答案】(1) ;(2)77.
【分析】
（1） ，则数列 是首项为2，公比为2的等比数列，求解即可．
（2）利用分组求和，分为一个等差数列和一个等比数列，利用数列求和公式求解．
【详解】
（1） ，
则数列 是首项为2，公比为2的等比数列，
；
（2） ，
.
