专题08求数列的前n项和（原卷版）_2.2025数学总复习_赠品通用版（老高考）复习资料_二轮复习_高频考点解密2023年高考数学二轮复习讲义+分层训练（全国通用）

专题 08 求数列的前 n 项和 一、核心先导 二、考点再现 【考点1】公式法 n(a a ) n(n1) S  1 n  na  d n 2 1 2 1.等差数列前n项和 na (q 1)  1 S   a (1qn) n 1 (q 1)   1q 2.等比数列前n项和 公比含字母时一定要讨论 3.其他常用求和公式 → n ① ； ② ③ ； ④ 【考点2】裂项相消求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后 重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如： 1 1 1 1 1 1 1 a = = − a = = ( − ) n n(n+1) n n+1 n n(n+k) k n n+k （1） [一般 ]（2） (2n) 2 1 1 1 a = =1+ ( − ) n (2n−1)(2n+1) 2 2n−1 2n+1 （3） 1 1 1 1 a = = [ − ] n n(n−1)(n+2) 2 n(n+1) (n+1)(n+2) （4） 1 a = =√n+1−√n n √n+1+√n （5） 【考点3】错位相减求和 数列{a· b}的前n项和，其中{ a }、{ b }分别是等差数列和等比数列. 求和时一般在已知和式的 n n n n 两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比q；然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等 比数列求和，这种方法就是错位相减法。 三、考点解密 题型一:公式法 例1、（2022·新疆·三模（文））设 为数列 的前n项和，若 ，则 ________． 【变式训练1-1】、（2021·贵州毕节·模拟预测（理））等比数列 中， ， ， 成公差不为0的等差 数列， ，则数列 的前9项和 （ ） A． B．387 C． D．297例2．（2022·四川·宜宾市叙州区第二中学校模拟预测（理））已知正项数列 满足 ， . (1)计算 , ，猜想 的通项公式并加以证明； (2)若 ，求数列 的前 项和 . 【变式训练2-1】、（2022·浙江台州·模拟预测）已知公差为2的等差数列 中， ， ， 成等比数列. (1)求 ； (2)设 ，求数列 的前 项和 .题型二:裂项相消求和 例3、（福建省漳州市2022届高三毕业班第一次教学质量检测数学试题）已知正项等比数列 的前n项 和为 ， ， . (1)求 的通项公式； (2)若 ，求数列 的前n项和 . 【变式训练3-1】、（福建省漳州市2021-2022学年高二上学期期末质量检测数学试题）已知等差数列 的前 项和为 ， ，且 . (1)求数列 的通项公式； (2)证明：数列 的前 项和 .【变式训练3-2】、（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）已知 是公差为1的等差数列，且 成 等比数列． (1)求 的通项公式； (2)求数列 的前n项和 ．题型三:错位相减求和 例4、（2022·广东肇庆·二模）已知数列 满足 ， . (1)证明：数列 是等比数列； (2)求数列 的前n项和 . 【变式训练4-1】、（2022·山西晋中·高二期末）在① ，② 这两个条件中 任选一个，补充在下面的问题中，并作答.设数列 的前 项和为 ，且__________. (1)求数列 的通项公式； (2)若 ，求数列 的前 项和 .【变式训练4-2】、（2022·四川·宜宾市叙州区第二中学校模拟预测（文））已知数列 的前 项和 满 足 ． (1)求 ，并证明数列 为等比数列； (2)若 ，求数列 的前 项和 ．题型四:其他综合情况 例5、（1）、“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现．数列中的一系列数字常被人们称 之为神奇数．具体数列为1，1，2，3，5，8 ，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻 数字之和．已知数列 为“斐波那契”数列， 为数列 的前 项和，若 则 __________． (用M表示) （2）、数列 {a } 的首项为1，其余各项为1或2，且在第k 个1和第k1个1之间有2k1个2，即数列 n {a } 为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，记数列 {a } 的前n项和为 S ，则 S  n n n 2019 __________．（用数字作答） 【变式训练5-1】、（2017·上海中学模拟预测）如图，在杨辉三角中，斜线 上方，从1开始箭头所示的数 组成一个锯齿数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记其前 项和为 ，则 等于_______． 【变式训练5-2】、（2020·安徽·合肥市第六中学模拟预测（理））历史上数列的发展，折射出许多有价值 的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例， 引入“兔子数列”即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…、即 ， ， ．此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用，若此数列 被4整除后的余数构成一个新的数列 ，又记数列 满足 ， ， ， 则 的值为（ ） A．4 B．2 C．1 D．0 四、分层训练 A组 基础巩固 1．（2022·全国·模拟预测（文））在数列 中， ，则 （ ）A． B． C． D． 2．（2022·广东广州·一模）若数列 满足 ，则 的前2022项和为（ ） A． B． C． D． 3．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（理））已知数列 的前n项和 满足 ， 若数列 满足 ，则 （ ） A． B． C． D． 4．（2022·江西·临川一中模拟预测（文））已知数列 的通项公式为 为数列的前n 项和， （ ） A．1008 B．1009 C．1010 D．1011 5．（2022·陕西·模拟预测（理））已知数列 满足 ， ，且 ，则 （ ） A．6065 B．6064 C．4044 D．4043 6．（2022·河南·模拟预测（文））已知数列{an}的前n项和Sn满足 ，记数列 的前n项和为 Tn，n∈N*.则使得T 的值为（ ） 20 A． B． C． D． 7．（2022·云南·二模（文））设等差数列 的前n项和为 ．若 ， ，则数列 的前 项和是（ ） A． B． C． D． 8．（2022·河南·汝州市第一高级中学模拟预测（文））已知数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 9．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（文））已知首项为 的数列 ，对任意的 ，都有，则 （ ） A．0 B．-1011 C．1011 D．2022 10．（2022·福建漳州·二模）已知 是数列 的前n项和， ， ， ，记 且 ，则 （ ） A．171 B．278 C．351 D．395 11．（2022·陕西·西安中学模拟预测（理））已知数列 满足 ， ，则数列 的 前100项和 ______． 12．（2022·四川广安·模拟预测（理））数列 的通项公式为 ，若该数列的前 项之和 等于 ，则 _______. 13．（2022·广东·模拟预测）已知数列 是首项为1的等差数列，其前 项和为 ，且 ， 记 ，则数列 的前 项和 ______． 14．（2022·上海松江·二模）在等差数列 中，已知 ， ． (1)求数列 的通项公式； (2)若数列 是首项为1，公比为3的等比数列，求数列 的前 项和 ．15．（2022·辽宁·鞍山一中二模）在各项均为正数的等比数列 中， ， ， ， 成等差数 列．等差数列 满足 ， ． (1)求数列 ， 的通项公式； (2)求数列 的前n项和为 ． 16．（2022·全国·模拟预测（文））已知数列 满足： ，且对任意 ，都有 ． (1)若 ， ， ，成等比数列，求 的值； (2)设 ，求数列 的前n项和 ．17．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））已知数列 的前 项和为 ， 为等差数列 的前 项 和，且满足 ， . (1)求数列 ， 的通项公式； (2)求数列 的前 项和 . 18．（2023·江苏·南京市第一中学模拟预测）已知等差数列 的前 项和为 ， ， ．正项等 比数列 中， ， ． (1)求 与 的通项公式； (2)求数列 的前 项和 ．B组 能力提升 19．（2022·四川·仁寿一中二模（理））数列{ }中， ，前 和为 ，则 为 （ ） A． B． C． D． 20．（2022·四川·射洪中学模拟预测（文））数列 满足 ，则数列 的前n项 和为（ ） A． B． C． D． 21．（2022·天津实验中学模拟预测）等比数列 中， ， ，则数列 的前 2022项和为（ ） A． B． C． D． 22．（2021·全国·模拟预测）设数列{an}的前n项和为Sn，若 ，则S ＝（ ） 99 A．7 B．8 C．9 D．10 23．（2019·江西师大附中三模（文））数列 中的项按顺序可以排成如图的形式，第一行 项，排 ； 第二行 项，从左到右分别排 ， ；第三行 项，……依此类推，设数列 的前 项和为 ，则满足 的最小正整数 的值为（ ） A． B． C． D． 24．（2022·安徽省定远县第三中学模拟预测（理））记数列 的前 项和为 ，则 __________． 25．（2021·贵州六盘水·一模（理））“垛积术”在我国古代早期主要用于天文历法，后来用于求高阶等 差级数的和.元代数学家朱世杰在沈括（北宋时期数学家）、杨辉（南宋时期数学家）研究成果的基础上， 在《四元玉鉴》中利用了“三角垛”求一系列重要的高阶等差级数的和.例如，欲求数列 ， ， ，…， ， 的和，可设计一个正立的 行三角数阵，即正三角形 的区域中所有数的分布规律为：第1行为1个 ，第2行为2个 ，第3行为3个 ，…，第 行为 个1；再选一个数 列 （其前 项和已知），可设计一个倒立的 行三角数阵，即正三角形 的区域中所有数的分布规律 为：第1行为 个 ，第2行为 个 ，第3行为 个 ，…，第 行为1个1.这两个三角数阵 就组成一个 行 列的菱形数阵.若已知 ，则运用垛积术，求得数列 ， ， ，…， ， 的和为____________.C组 真题实战练 26．（2012·全国·高考真题（理））已知等差数列 的前 项和为 ,则数列 的前 100项和为 A． B． C． D． 27．（2007·福建·高考真题（理））数列 的前 项和为 ，若 ，则 等于 A．1 B． C． D． 28．（2020·江苏·高考真题）设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列 {an+bn}的前n项和 ，则d+q的值是_______． 29．（2015·江苏·高考真题）数列 满足 ，且 （ ），则数列 的前10 项和为_______． 30．（2007·江西·高考真题（理））数列 的前 项和为 ，则 ___________. 31．（2020·全国·高考真题（理））设 是公比不为1的等比数列， 为 ， 的等差中项． （1）求 的公比； （2）若 ，求数列 的前 项和．32．（2015·全国·高考真题（理）） 为数列{ }的前 项和.已知 ＞0， = . （Ⅰ）求{ }的通项公式； （Ⅱ）设 ,求数列{ }的前 项和. 33．（2020·全国·高考真题（理））设数列{an}满足a=3， ． 1 （1）计算a，a，猜想{an}的通项公式并加以证明； 2 3 （2）求数列{2nan}的前n项和Sn．34．（2021·全国·高考真题（文））设 是首项为1的等比数列，数列 满足 ．已知 ， ， 成等差数列． （1）求 和 的通项公式； （2）记 和 分别为 和 的前n项和．证明： ．