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第 1 讲 等差数列、等比数列
[考情分析] 1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现.2.等
差、等比数列求和及综合应用是高考考查的重点．
考点一 等差数列、等比数列的基本运算
核心提炼
等差数列、等比数列的基本公式(n∈N*)
(1)等差数列的通项公式：a＝a＋(n－1)d.
n 1
(2)等比数列的通项公式：a＝aqn－1.
n 1
(3)等差数列的求和公式：
S＝＝na＋d.
n 1
(4)等比数列的求和公式：
S＝
n
例1 (1)(2022·南通调研)设S 是公差不为0的等差数列{a}的前n项和，且S ＝4a ，则等于
n n 5 4
( )
A．10 B．14 C．15 D．18
答案 C
解析 设等差数列{a}的公差为d(d≠0)，
n
因为S＝4a，
5 4
所以5a＋d＝4(a＋3d)，
1 1
得a＝2d(d≠0)，
1
所以＝＝＝15.
(2)(2022·日照模拟)河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙
门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”
共7层，上层的数量是下层的2倍，总共有1 016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅
优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{a}，则log (a·a)的值为(
n 2 3 5
)
A．8 B．10 C．12 D．16答案 C
解析 ∵最下层的“浮雕像”的数量为a，
1
依题意有，公比q＝2，n＝7，
S＝＝1 016，
7
解得a＝8，
1
则a＝8×2n－1＝2n＋2(1≤n≤7，n∈N*)，
n
∴a＝25，a＝27，
3 5
从而a·a＝25×27＝212，
3 5
∴log (a·a)＝log 212＝12.
2 3 5 2
规律方法 等差数列、等比数列问题的求解策略
(1)抓住基本量，首项a、公差d或公比q.
1
(2)熟悉一些结构特征，如前n项和为S ＝an2＋bn(a，b是常数)的形式的数列为等差数列，
n
通项公式为a＝p·qn－1(p，q≠0)的形式的数列为等比数列．
n
(3)由于等比数列的通项公式、前n项和公式中变量n在指数位置，所以常用两式相除(即比
值的方式)进行相关计算．
跟踪演练1 (1)(2022·全国乙卷)已知等比数列{a}的前3项和为168，a－a＝42，则a 等于
n 2 5 6
( )
A．14 B．12 C．6 D．3
答案 D
解析 方法一 设等比数列{a}的首项为a，公比为q，
n 1
由题意可得
即
解得所以a＝aq5＝3.
6 1
方法二 设等比数列{a}的首项为a，公比为q，
n 1
由题意可得
即
解得所以a＝aq5＝3.
6 1
(2)(2022·广东联考)北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间的是圆形的天心石，围绕天
心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为a，a，a，…，a，设数列{a}
1 2 3 9 n
为等差数列，它的前n项和为S，且a＝18，a＋a＝90，则( )
n 2 4 6
A．a＝6 B．{a}的公差为7
1 nC．a＝3a D．S＝405
6 3 9
答案 D
解析 设等差数列{a}的公差为d.
n
由a＋a＝90，
4 6
得a＝45，又a＝18，
5 2
联立方程
解得故A，B错误；
因为a＝9＋5×9＝54，a＝9＋2×9＝27，
6 3
所以a＝2a，故C错误；
6 3
因为S＝＝9a＝405，故D正确．
9 5
考点二 等差数列、等比数列的性质
核心提炼
1．通项性质：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则对于等差数列，有a ＋a＝a＋
m n p
a＝2a，对于等比数列，有a a＝aa＝a.
q k m n p q
2．前n项和的性质：
(1)对于等差数列有S ，S －S ，S －S ，…成等差数列；对于等比数列有S ，S －S ，
m 2m m 3m 2m m 2m m
S －S ，…成等比数列(q＝－1且m为偶数时除外)．
3m 2m
(2)对于等差数列有S ＝(2n－1)a.
2n－1 n
例2 (1)(2022·南昌模拟)已知公差不为0的等差数列{a}满足a＋a＝a＋a，则( )
n
A．a＝0 B．a＝0
6 7
C．S ＝0 D．S ＝0
12 13
答案 C
解析 ∵a＋a＝a＋a，
∴a－a＋a－a＝0，
∴2d(a＋a)＋2d(a＋a)＝0，
7 5 8 6
又d≠0，a＋a＝a＋a，
8 5 6 7
∴2(a＋a)＝0，
7 6
∴S ＝＝＝0.
12
(2)(2022·武汉质检)已知等比数列{a}的各项均为正数，公比为q，a>1，a ＋a>aa ＋1>2，
n 1 6 7 6 7
记{a}的前n项积为T，则下列选项错误的是( )
n n
A．01
6
C．T >1 D．T >1
12 13
答案 D
解析 ∵等比数列{a}的各项均为正数，
na>1，a＋a>aa＋1>2，
1 6 7 6 7
∴(a－1)(a－1)<0，
6 7
∵a>1，若a<1，
1 6
则一定有a<1，不符合题意，
7
则a>1，a<1，
6 7
∴02，∴aa>1，
6 7 6 7
T ＝aaa…a ＝(aa)6>1，故C正确；
12 1 2 3 12 6 7
T ＝a<1，故D错误．
13
规律方法 等差数列、等比数列的性质问题的求解策略
(1)抓关系，抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手，选择恰当的
性质进行求解．
(2)用性质，数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用
函数的性质解题．
跟踪演练2 (1)若数列{a}为等比数列，且a＋a＝1，a＋a＝2，则a ＋a 等于( )
n 1 2 3 4 15 16
A．32 B．64 C．128 D．256
答案 C
解析 因为{a}是等比数列，a＋a＝1≠0，
n 1 2
所以数列{a ＋a }仍然是等比数列，
2n－1 2n
记b＝a ＋a ，设其公比为q，
n 2n－1 2n
由b＝1，b＝2得，q＝＝2，
1 2
所以a ＋a ＝b＝28－1＝128.
15 16 8
(2)(2022·济宁检测)已知等差数列{a}的前n项和为S ，且a>0，a ＋a >0，a·a<0，则下列
n n 1 4 11 7 8
结论正确的是________．(填序号)
①数列{a}是递增数列；
n
②S>S；
6 9
③当n＝7时，S 最大；
n
④当S>0时，n的最大值为14.
n
答案 ②③④
解析 ∵在等差数列{a}中，a>0，
n 1
a＋a ＝a＋a>0，a·a<0，
4 11 7 8 7 8
∴a>0，a<0，
7 8
∴公差d<0，数列{a}是递减数列，①错误；
n
∵S－S＝a＋a＋a＝3a<0，
9 6 7 8 9 8∴S>S，②正确；
6 9
∵a>0，a<0，数列{a}是递减数列，
7 8 n
∴当n＝7时，S 最大，③正确；
n
∵a＋a >0，a>0，a<0，
4 11 7 8
∴S ＝>0，
14
S ＝＝＝15a<0，
15 8
∴当S>0时，n的最大值为14，④正确．
n
考点三 等差数列、等比数列的判断
核心提炼
等差数列 等比数列
定义法 a －a＝d ＝q(q≠0)
n＋1 n
通项法 a＝a＋(n－1)d a＝aqn－1
n 1 n 1
2a＝a ＋a a＝a a
n n－1 n＋1 n－1 n＋1
中项法
(n≥2) (n≥2，a≠0)
n
S＝an2＋bn S＝kqn－k
n n
前n项和法
(a，b为常数) (k≠0，q≠0,1)
证明数列为等差(比)数列一般使用定义法．
例3 (2022·连云港模拟)若数列{a}满足：a＝1，a＝5，对于任意的n∈N*，都有a ＝
n 1 2 n＋2
6a －9a.
n＋1 n
(1)证明：数列{a －3a}是等比数列；
n＋1 n
(2)求数列{a}的通项公式．
n
(1)证明 由a ＝6a －9a，
n＋2 n＋1 n
得a －3a ＝3a －9a＝3(a －3a)，
n＋2 n＋1 n＋1 n n＋1 n
且a－3a＝5－3＝2，
2 1
所以数列{a －3a}为等比数列，首项为2，公比为3.
n＋1 n
(2)解 由(1)得a －3a＝2×3n－1，
n＋1 n
等式左右两边同时除以3n＋1，可得
－＝，即－＝，且＝，
所以数列为等差数列，首项为，公差为，
所以＝＋(n－1)×＝，
所以a＝×3n＝(2n＋1)×3n－2.
n
易错提醒 (1)a＝a a (n≥2，n∈N*)是{a}为等比数列的必要不充分条件，也就是判断一
n－1 n＋1 n
个数列是等比数列时，要注意各项不为0.(2){a}为等比数列，可推出a，a，a 成等比数列，但a，a，a 成等比数列并不能说明{a}
n 1 2 3 1 2 3 n
为等比数列．
(3)证明{a}不是等比数列可用特值法．
n
跟踪演练3 (2022·湖北七市(州)联考)已知数列{a}的前n项和为S ，且满足a ＝3S －
n n n n
2(n∈N*)．
(1)求数列{a}的通项公式；
n
(2)求证：对任意的m∈N*，S ，S ，S 成等差数列．
m m＋2 m＋1
(1)解 当n＝1时，a＝3S－2＝3a－2，
1 1 1
所以a＝1；
1
当n≥2时，因为a＝3S－2，
n n
所以a ＝3S －2，
n－1 n－1
所以a－a ＝3a，即a＝－a ，
n n－1 n n n－1
所以数列{a}是等比数列，
n
其通项公式为a＝n－1.
n
(2)证明 对任意的m∈N*，
2S ＝2×＝，
m＋2
S ＋S ＝＋
m m＋1
＝
＝，
所以2S ＝S ＋S ，
m＋2 m m＋1
即S ，S ，S 成等差数列．
m m＋2 m＋1
专题强化练
一、选择题
1．(2022·荆州联考)已知数列{a}是首项为a ，公差为d的等差数列，前n项和为S ，满足
n 1 n
2a＝a＋5，则S 等于( )
4 3 9
A．35 B．40 C．45 D．50
答案 C
解析 由题意2a＝a＋5，
4 3
得2(a＋3d)＝a＋2d＋5，
1 1
即a＋4d＝5，即a＝5，
1 5
所以S＝＝9a＝9×5＝45.
9 5
2．(2022·济宁模拟)在等比数列{a}中，a＋a＝1，a＋a＝－32，则等于( )
n 1 3 6 8A．－8 B．16 C．32 D．－32
答案 D
解析 设等比数列{a}的公比为q，
n
则a＋a＝(a＋a)q5＝1×q5＝－32，
6 8 1 3
所以q5＝－32，
故＝＝q5＝－32.
3．(2022·漳州质检)我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1,2，…，9填入
3×3的方格内，使三行、三列、对角线的三个数之和都等于15，如图所示．
一般地，将连续的正整数1,2,3，…，n2填入n×n个方格中，使得每行、每列、每条对角线
上的数的和相等，这个正方形叫做n阶幻方．记n阶幻方中数的和即方格内的所有数的和为
S，如图三阶幻方中数的和S＝45，那么S 等于( )
n 3 9
A．3 321 B．361
C．99 D．33
答案 A
解析 由题意知，S＝1＋2＋3＋…＋92＝＝3 321.
9
4．(2021·全国甲卷)等比数列{a}的公比为q，前n项和为S.设甲：q>0，乙：{S}是递增数
n n n
列，则( )
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
答案 B
解析 当a<0，q>1时，a ＝aqn－1<0，此时数列{S}单调递减，所以甲不是乙的充分条件．
1 n 1 n
当数列{S}单调递增时，有S －S ＝a ＝aqn>0，若a>0，则qn>0(n∈N*)，即q>0；若
n n＋1 n n＋1 1 1
a<0，则qn<0(n∈N*)，不存在．所以甲是乙的必要条件．
1
5．(2022·福州质检)已知等差数列{a}的前n项和为S，公差d≠0.若S≤S，则( )
n n n 6
A．a<0 B．a<0 C．a＝0 D．S ≤0
1 7 6 13
答案 D
解析 因为S≤S，所以S≤S 且S≤S，
n 6 5 6 7 6
即a＝S－S≥0，a＝S－S≤0，
6 6 5 7 7 6故B，C错误；
因为a≥0，即a ＋5d≥0，又因为d≠0，即a ，a 不同时为零，所以d＝a －a<0，所以
6 1 6 7 7 6
a>0，故A错误；
1
S ＝＝13a≤0，故D正确．
13 7
6．已知S 是数列{a}的前n项和，a＝1，a＝2，a＝3，记b＝a＋a ＋a 且b －b＝
n n 1 2 3 n n n＋1 n＋2 n＋1 n
2，则S 等于( )
31
A．171 B．278 C．351 D．395
答案 C
解析 由b －b＝2，
n＋1 n
得b －b＝a ＋a ＋a －(a＋a ＋a )
n＋1 n n＋1 n＋2 n＋3 n n＋1 n＋2
＝a －a＝2，
n＋3 n
所以a，a，a，…是首项为1，公差为2的等差数列，a，a，a，…是首项为2，公差为2
1 4 7 2 5 8
的等差数列，a，a，a，…是首项为3，公差为2的等差数列，
3 6 9
所以S ＝(a＋a＋…＋a )＋(a＋a＋…＋a )＋(a＋a＋…＋a )
31 1 4 31 2 5 29 3 6 30
＝1×11＋＋2×10＋＋3×10＋＝351.
7．(2022·保定模拟)已知数列{a}的前n项和为S，且满足a＝1，a＝2，a ＝4a－3a ，
n n 1 2 n＋1 n n－1
则下列说法不正确的是( )
A．数列{a －a}为等比数列
n＋1 n
B．数列{a －3a}为等差数列
n＋1 n
C．a＝
n
D．S＝＋
n
答案 D
解析 因为＝＝＝3，
所以数列{a －a}为公比为3的等比数列，故A正确；
n＋1 n
因为(a －3a)－(a－3a )＝a －4a＋3a ＝0，即a －3a＝a－3a ，
n＋1 n n n－1 n＋1 n n－1 n＋1 n n n－1
所以数列{a －3a}为常数列，即公差为0的等差数列，故B正确；
n＋1 n
由以上分析可得a －a＝1×3n－1，且a －3a＝－1，
n＋1 n n＋1 n
解得a＝，故C正确；
n
S＝a＋a＋…＋a
n 1 2 n
＝＋＋…＋
＝×(30＋31＋…＋3n－1)＋
＝×＋＝＋，故D不正确．
8．(2022·佛山模拟)公比为q的等比数列{a}满足：a ＝ln a >0，记T ＝aaa…a ，则当q
n 9 10 n 1 2 3 n
最小时，使T≥1成立的n的最小值是( )
nA．17 B．18 C．20 D. 21
答案 A
解析 已知{a}是等比数列，
n
∵a＝ln a >0，∴a>0，a >1，
9 10 9 10
又∵a＝ln a ＝ln(a·q)＝ln a＋ln q，
9 10 9 9
∴ln q＝a－ln a，
9 9
设函数f(x)＝x－ln x，f′(x)＝，
当x>1 时，f′(x)>0，
当0
