文档内容
专题 6-2 数列大题综合 18 种题型
目录
讲高考................................................................................................................................................................................1
题型全归纳.......................................................................................................................................................................6
【题型一】恒成立求参................................................................................................................................................6
【题型二】数列“存在型”求参.............................................................................................................................8
【题型三】“存在型”证明题...............................................................................................................................10
【题型四】数列“存在型不定方程型.................................................................................................................11
【题型五】双数列相同项“存在型”.................................................................................................................13
【题型六】新数列与“子数列”型......................................................................................................................14
【题型七】“下标”数列型....................................................................................................................................15
【题型八】指数型常规裂项求和...........................................................................................................................16
【题型九】“指数等差型”裂项求和.................................................................................................................18
【题型十】“指数分子拆分型”裂项求和........................................................................................................19
【题型十一】“正负裂和”型裂项求和.............................................................................................................21
【题型十二】“分离常数型”裂项求和.............................................................................................................23
【题型十三】先放缩再裂项求和...........................................................................................................................24
【题型十四】前n项积型.........................................................................................................................................26
【题型十五】解数列不等式....................................................................................................................................27
【题型十六】证明数列不等式...............................................................................................................................28
【题型十七】求和：范围最值型...........................................................................................................................30
【题型十八】“隐和型”.........................................................................................................................................31
专题训练.........................................................................................................................................................................32
讲高考
1．（·湖南·高考真题）数列 满足
．
(1)求 ，并求数列 的通项公式；
(2)设 ，求使 的所有k
的值，并说明理由．
【答案】(1) (2)所有 的值为3，4，5
【分析】（1）由题意知 ，
，一般地，当 时， ．因
此 ．当 时， ，由此可知数列 的通项公式；
（2）由题设知， ，
， ，由此可知当 时，
，可得满足 的所有 的值．
【详解】（1）解：因为 ， ，
所以 ， ，一般地，当 时， ，
即 ．所以数列 是首项为0、公差为4的等差数列，
因此 ．
当 时， ，
所以数列 是首项为2、公比为2的等比数列，因此 ．
故数列 的通项公式为
（2）解：由（1）知，
， ， ．
于是 ， ， ， ， ， ．
下面证明：当 时， ．
事实上，当 时， ，
即 ．
又 ，所以当 时， ．
故满足 的所有 的值为3，4，5．
2．（2022·天津·统考高考真题）设 是等差数列， 是等比数列，且
．
(1)求 与 的通项公式；
(2)设 的前n项和为 ，求证： ；
(3)求 ．
【答案】(1) (2)证明见解析(3)
【分析】（1）利用等差等比数列的通项公式进行基本量运算即可得解；
（2）由等比数列的性质及通项与前n项和的关系结合分析法即可得证；
（3）先求得 ，进而由并项求和可得
，再结合错位相减法可得解.
【详解】（1）设 公差为d， 公比为 ，则 ，
由 可得 （ 舍去），
所以 ；
（2）证明：因为 所以要证 ，
即证 ，即证 ，
即证 ，而 显然成立，所以 ；
（3）因为
，
所以
，设 所以 ，
则 ，
作差得 ，
所以 ，所以 .
3．（2022·全国·统考高考真题）已知 为等差数列， 是公比为2的等比数列，且
．
(1)证明： ；
(2)求集合 中元素个数．
【答案】(1)证明见解析；(2) ．
【分析】（1）设数列 的公差为 ，根据题意列出方程组即可证出；
（2）根据题意化简可得 ，即可解出．
【详解】（1）设数列 的公差为 ，所以， ，即可解得，
，所以原命题得证．
（2）由（1）知， ，所以 ，即 ，
亦即 ，解得 ，所以满足等式的解 ，故集合
中的元素个数为 ．
4．（2022·全国·统考高考真题）记 为数列 的前n项和．已知 ．
(1)证明： 是等差数列；
(2)若 成等比数列，求 的最小值．
【答案】(1)证明见解析；(2) ．
【分析】（1）依题意可得 ，根据 ，作差即可得到
，从而得证；
（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出 ，即可得到 的通项公式与前 项和，再
根据二次函数的性质计算可得．
【详解】（1）因为 ，即 ①，
当 时， ②，① ②得， ，
即 ，
即 ，所以 ， 且 ，
所以 是以 为公差的等差数列．
（2）[方法一]：二次函数的性质
由（1）可得 ， ， ，
又 ， ， 成等比数列，所以 ，
即 ，解得 ，
所以 ，所以 ，
所以，当 或 时， ．
[方法二]：【最优解】邻项变号法
由（1）可得 ， ， ，
又 ， ， 成等比数列，所以 ，
即 ，解得 ，
所以 ，即有 .
则当 或 时， ．
【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出 的最小值，适用于可以求出 的表
达式；
法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．
5．（2021·全国·统考高考真题）记 为数列 的前n项和， 为数列 的前n项积，
已知 ．
（1）证明：数列 是等差数列;
（2）求 的通项公式．
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【分析】（1）由已知 得 ,且 ，取 ,得 ,由题意得
,消积得到项的递推关系 ,进而证明数列 是等差
数列;
（2）由（1）可得 的表达式,由此得到 的表达式,然后利用和与项的关系求得
.
【详解】（1）[方法一]：由已知 得 ,且 ， ,
取 ,由 得 ,
由于 为数列 的前n项积，
所以 ,
所以 ，
所以 ,
由于
所以 ，即 ,其中
所以数列 是以 为首项，以 为公差等差数列;
[方法二]【最优解】：
由已知条件知 ①
于是 ． ②
由①②得 ． ③
又 ， ④
由③④得 ．
令 ，由 ，得 ．
所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列．
[方法三]：
由 ，得 ，且 ， ， ．
又因为 ，所以 ，所以
．
在 中，当 时， ．
故数列 是以 为首项， 为公差的等差数列．
[方法四]：数学归纳法
由已知 ，得 ， ， ， ，猜想数列 是以 为首项，
为公差的等差数列，且 ．下面用数学归纳法证明．
当 时显然成立．
假设当 时成立，即 ．
那么当 时， ．
综上，猜想对任意的 都成立．
即数列 是以 为首项， 为公差的等差数列．
（2）
由（1）可得，数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列，
,
,
当n=1时， ,
当n≥2时, ,显然对于n=1不成立,
∴ .
【整体点评】（1）方法一从 得 ，然后利用 的定义，得到数列
的递推关系，进而替换相除消项得到相邻两项的关系，从而证得结论；
方法二先从 的定义，替换相除得到 ，再结合 得到 ，从而证
得结论，为最优解；
方法三由 ，得 ，由 的定义得 ，进而作差证得结
论；方法四利用归纳猜想得到数列 ，然后利用数学归纳法证得结论．
（2）由（1）的结论得到 ，求得 的表达式,然后利用和与项的关系求得 的
通项公式；
题型全归纳
【题型一】恒成立求参【讲题型】
例题1.已知正项数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求 的通项公式;
(2)数列 的前 项和为 ，且 对任意的 恒成立，求实数 的取
值范围.（参考数据: ）
【答案】(1) (2)
【分析】（1）利用 及等差数列的定义求解即可；
（2）利用裂项相消求得 ，代入得 对任意的 恒成立，只需 即可，
利用作商法求 的最大值.
【详解】（1）当 时， ，解得 ，
当 时，由 ，得 ①， ②，
由① ②得 ，化简得 ，
因为 ，所以 ，
所以 是以1为首项，2为公差的等差数列，
即 .
（2）由（1）得 ，
所以 ，
所以 ，带入 ，可得
对任意的 恒成立，
只需 即可，令 ，由 ，即 ，解得
，
所以 ， ，故当 时， 的最大值为 ，所以 .
【讲技巧】
一般情况下数列恒成立，通过分参等，转化为“数列型函数”，再借助函数单调性求最
值。求最值时候要注意“数列型函数”是离散型。
【练题型】
已知数列 中， .
(1)求证： 是等比数列，并求 的通项公式；(2)数列 满足 ，数列 的前 项和为 ，若不等式
成立的自然数 恰有4个，求正整数 的值.
【答案】(1)证明见解析， ；(2)4.
【分析】（1）构造 ，根据等比数列的定义及通项公式即可求解；
（2） ，利用错位相减法求出 ，故 成立的自然数 恰有4个，当
时，不等式显然成立，故当 时，不等式成立的自然数 恰有2个. 令 ，
根据其单调性即可求解.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
又 ，所以 是等比数列， ，所以 ；
（2） ，所以 ， ，
两式相减，得 ，所以 ，
因为 成立的自然数 恰有4个，即 成立的自然数 恰有
4个，
由于 为正整数，当 时，不等式显然成立，故当 时，不等式成立的自然数 恰
有2个，
即 成立的自然数 恰有2个，令 ，则
，所以 严格减，
所以 ，且 ，解得 ，故正整数 的值为4.
【题型二】数列“存在型”求参
【讲题型】
例题1.设正项数列 的前 项和为 ，首项为1，已知对任意整数 ，当 时，
（ 为正常数）恒成立．
(1)求证：数列 是等比数列；
(2)证明：数列 是递增数列；
(3)是否存在正常数 ，使得 为等差数列？若存在，求出常数 的值；若不存在，
说明理由．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)存在， .【分析】（1）由已知条件，可令 ，代入 ，即可得到所求出数列
通项公式，从而可证 是等比数列；
（2）讨论公比q是否为1，求得 ，以及 ，由单调性的定义即可得证；
（3）假设存在正常数c使得 为等差数列，结合对数的运算性质和等差数列的通
项公式，即可得到所求结论．
【详解】（1）因为对任意正整数 ，
当 时， 总成立，
所以 时，令 ，得 ，即 ，
当 时，也成立，所以 ，所以数列 是等比数列；
（2）当 时， ， 随着 的增大而增大；当 ， 时，
， ，
由 ，综上可得数列 是递增数列；
（3）假设存在正常数 使得 为等差数列．当 时， ，当 时，
，
由 为等差数列，得 ，此时
当 时， 为等差数列，
所以存在 使得 为等差数列．
【练题型】
已知 是数列 的前 项和，且 ，数列 是公差为 的等差数列．
(1)求数列 的通项公式
(2)记数列 的前 项和为 ，是否存在实数 使得数列 成等差数列，若存在，
求出实数 的值 若不存在，说明理由．
【答案】(1) ；(2)存在， .
【分析】（1）由等差数列通项公式得出 ，再由 与 的关系可得数列 的
通项公式.
（2）由（1）的结论结合错位相减求出 ，先得出 的前三项，由等差数列的性质
得出方程解出 ，再检验即可．
【详解】（1）因为 ，数列 是公差为 的等差数列，则 ，
因此 ，当 时， ，则有 ，
因此 ，即 ，数列 是常数列，有 ，
所以数列 的通项公式 ．
（2）由（1）知， ，
则 ，
于是得 ，
两式相减得： ，
因此 ，
有 ， ， ，若数列 成等差数列，则
，解得 ，
当 时， ，则 ，从而数列
成等差数列，
所以存在 ，使得数列 成等差数列．
【题型三】“存在型”证明题
【讲题型】
例题1.已知正项数列 ，其前n项和 ，满足 .
(1)求证：数列 是等差数列，并求出 的表达式；
(2)数列 中是否存在连续三项 ，使得 构成等差数列？请
说明理由.
【答案】(1)证明见解析， (2)不存在，理由见解析
【分析】（1）先令 求出 ，再由 ， ，得到 ，从而
数列 是以1为首项，1为公差的等差数列，求出 ，进而求出 的通项公式；
（2）假设存在，结合第一问中结论得出 ，两边平方后推出
，故假设不成立，不存在这样的连续三项.
【详解】（1） 中令 得： ，故正项数列 中， ，即
，
当 时， ，即 ，整理得 ，又 ，
因此，数列 是以1为首项，1为公差的等差数列，则 ，因为 是正项数列，
即 ，所以 .当 时， ，又 满足此式，即 ，都有
；
（2）不存在，理由如下：由（1）中 可得： ，
假设存在满足要求的连续三项 ，使得 构成等差数列，
则 ，即 ，
两边平方，得 ，即 ，
整理得： ，即 ，显然不成立，因此假设是错误的，
所以数列 中不存在使 构成等差数列的连续三项.
【讲技巧】
数列这类“存在某些项等”证明型题，对于运算，特别是含字母的运算要求较高。在二
轮复习训练时，要注意对计算方面的拆解分析
【练题型】
在数列 中，已知 ， ，且对于任意正整数n都有 .
(1)令 ，求数列 的通项公式；
(2)设m是一个正数，无论m为何值，是否都有一个正整数n使 成立.
【答案】(1) ；(2)存在，详见解析.
【分析】（1）由题可得 ，然后利用等比数列的定义及通项公式即
得；
（2）由题可知 ，可得 ，令 ，利用等比数列的通项公
式可得 ，即可得出 ，假设存在正整数 满足题意，由题可得 ，
即可求解．
【详解】（1）因为 ，所以 ，因为 ，
且 ，
所以 ，且 ，所以数列 是以 为首项，以3为公比的等比数列，
所以 ；
（2）由（1）可得 ，所以 ，令 ，则 ，
所以 ，且 ，所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数
列，所以 ，即 ，所以 ，无论 为何值，假设存在一个正整数 使 成立，
因为 ，
即 ，可得 ，取 ，
因此 是一个正数，无论 为何值，都有一个正整数 使 成立，取
的正整数即可．
【题型四】数列“存在型不定方程型
【讲题型】
例题1.设公比为正数的等比数列 的前 项和为 ，已知 ， ，数列
满足 .
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)是否存在 ，使得 是数列 中的项？若存在，求出 的值；若不
存在，请说明理由.
【答案】(1) ， .(2)存在， 或
【分析】（1）设 的公比为 ，利用等比数列的通项公式以及前n项和公式，列
方程组，求得公比和首项，即得 ；根据 即可求得 ；
（2）结合（1）可得 的表达式，进行变形化简为 ，由题意设
是数列 中的第 项，则 ，分类讨论t的取值，可求得答案.
【详解】（1）设 的公比为 ，又 , ，则 ，解得
或 （舍），
所以 ， ， ，
即数列 的通项公式为 ，数列 的通项公式为 .
（2） ，由于 ，令 ，
， ，所以 ，设 是数列 中的第 项，则
，
则 为小于等于 的整数，t为2的约数，所以 ，当 或 时，
，不合题意；
当 或 时， ，与题意相符.所以当 或 时，
即 或 时， 是数列 中的项.
【讲技巧】
涉及到“存在型不定方程”，可以从分类讨论方面入手，可以从奇偶数方面分析，可以
从约数整除方面讨论。
【练题型】
已知数列 满足 .
(1)证明： 是等比数列.
(2)判断 是否可能是数列 中的项.若是，求出 的最大值；若不是，请说
明理由.
【答案】(1)证明见解析(2)是，7
【分析】（1）由 ，得 ，两式相比可求得
，从而可求得 ，进而可证得结论；
（2）由（1）得 ，则 ，从而可得 ，再由 可求得 的
范围，进而可求得 的最大值.
【详解】（1）当 时， ， ， ，
两式相比得 . ， 是以2为2公比，1为首项的等比数列.
（2）由（1）得 .由 ，得 ， .
，解得 . ， 的最大值为7. 可能是数
列 中的项， 的最大值为7.
【题型五】双数列相同项“存在型”
【讲题型】
例题1.已知 是等差数列， 是公比不为1的等比数列， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若集合 ，且 ，求 中所有元素之和.【答案】(1) (2)242
【分析】（1）结合等差、等比数列的知识求得 的通项公式.
（2）根据已知条件列不等式，结合等比数列的前 项和公式求得正确答案.
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，
依题意 ，解得 ， .
所以 .
（2）设 ，即 ，即 ，
因为 ，所以 ，即 ，
由于 ，所以 ，解得 ， ，
所以 中所有元素之和为 .
【讲技巧】
双数列相同项，一般情况下，也是解“不定方程”
【练题型】
已知数列 的通项公式为 ，等比数列 满足 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ， 的前n项和分别为 ， ，求满足 （ ）的所有数对 ．
【答案】(1) (2)满足条件所有数对为
【分析】（1）根据 的通项公式求出 ，从而得到 ，求出公比，
得到通项公式；
（2）利用等差数列和等比数列前 项和公式列出方程， ，变形后得到
，根据 且 为整数，求出相应 的值，得到满足条件所有数对.
【详解】（1）由 ，所以 ，故 ，所以等比数列 的公比
为 ，
故 ，所以 ，即等比数列{ }的通项公式为 ；
（2）由已知得： ，由（1）可知 ，由
，所以 ，
即 ，故 ，因为m正整数， ，所以
，
，故满足条件所有数对为 ．
【题型六】新数列与“子数列”型
【讲题型】例题1.已知数列 ， 其前 项和分别为 ， 且分别满足 ，
.
(1)求数列 ， 的通项公式.
(2)将数列 ， 的各项按 ， ， ， … ， 顺序排列组成数列 ，求数列
的前 项和 .
【答案】(1) (2)当 时， ，
当 时，
【分析】（1）根据通项与和之间的关系求解；
（2）按照奇偶数对n分类讨论，再对 分组求和.
【详解】（1）由条件： 知： ，
，
当 时， 符合，所以 ；
， 是等比数列，
又 ；
（2）当 时，
，
当 时，
；当 时， ，
当 时， .
【练题型】
已知等差数列 和等比数列 满足 ， ．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)设数列 中不在数列 中的项按从小到大的顺序构成数列 ，记数列 的前n
项和为 ，求 ．
【答案】(1) ， ， (2)
【分析】（1）由题知 ，进而得等差数列 的公差为 ，进而根据等差数列通项
公式和指对互化即可得答案；
（2）由题知数列 的前50项是由数列 的前55项去掉数列 的前5项后构成的，
进而根据等差数列，等比数列的求和公式求解即可.【详解】（1）解：因为等差数列 和等比数列 满足 ， ，
所以 ，
所以等差数列 的公差为 ，所以， ，
所以， ， ，
（2）解：由（1） ，即 是数列 中的第 项．
设数列 的前n项和为 ，数列 的前n项和为 ，
因为
所以数列 的前50项是由数列 的前55项去掉数列 的前5项后构成的，
所以 ．
【题型七】“下标”数列型
【讲题型】
例题1.已知数列 ， ， 是数列 的前n项和，已知对于任意 ，都有
，数列 是等差数列， ，且 ， ， 成等比数列．
(1)求数列 和 的通项公式．
(2)记 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1) ； ；(2) .
【分析】（1）根据 与 的关系及等比数列的定义可得 ，再根据等比中项的性质及等
差数列的基本量的运算可得 ；
（2）由题可得 ，再分类讨论，分组求和即得.
【详解】（1）因为 ，当 时， ，解得 ，
当 时， ，所以 ，即 ，又 ，
所以 是以首项为3，公比为 的等比数列，所以 ；
因为 ， 成等比数列，设 的公差为 ，
所以 ，即 ，
解得 ，所以 ；
（2）由（1）知： ，
当 为偶数时， ，
当 为奇数时，，
所以 .
【练题型】
定义集合 ，数列 满足
(1)定义数列 ，证明： 为等比数列
(2)记数列 的前 项和为 ，求满足 的正整数
【答案】(1)证明见解析(2)5
【分析】（1）根据数列 的递推公式求出 ，再根据等比数列的定义可证结论正确；
（2）求出 ，再根据累加法求出 ，然后解方程
可得结果.
【详解】（1）依题意可得， ， ，
，
当 时，
，又 ， 都适合上式，所以 ，
因为 ，所以 为等比数列.
（2）依题意得 ， ， ,
所以 ，
又 ， ，
， ， ，所以
，
所以
，
由 ，得 ，得 ，
得 ，得 ，得 .
【题型八】指数型常规裂项求和
【讲题型】
例题1.设数列 的前 项和为 .
(1)求数列 的通项公式；(2)若数列 的前 项和 ，求 的值.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）当 时，构造 ，与条件中的式子，两式相减，得
，转化为构造等比数列求通项公式；
（2）由（1）可知 ，利用裂项相消求和法求解.
【详解】（1）因为 ，所以当 时， ，解得 ．
当 时， ，则 ，
整理得 ，即 ．所以数列 是首项为 ，公比为 的等
比数列，
所以 ．所以 .
（2）令 ，数列 的前 项和
， ，
则 ，则 ，则 . 的值为 .
【讲技巧】
纯指数型裂项，裂项公式思维供参考：
【练题型】
已知数列 满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，设 的前n项和为 ，若 对 恒成立，求实数m
的取值范围.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据类比作差即可求得通项公式；（2）根据裂项相消即可求解和不等式的
恒成立即可求解.
【详解】（1）因为 ，①
所以 ，②
②式两边同时乘以3得， ，③
①③两式得 ，所以， ，
又当 ， ，所以 ，所以， .
（2） ，所以
，
，
易知， 是关于 的增函数，所以 ，
因为 对 恒成立，所以 ，所以 ，
实数m的取值范围是 .
【题型九】“指数等差型”裂项求和
【讲题型】
例题1..等差数列 的前 项和为 ，数列 是等比数列，满足 ， ，
， .
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)令 ，设数列 的前 项和为 ，求 ；
(3)令 ，设数列 的前 项和为 ，求证： .
天津市宝坻区第四中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题
【答案】(1) ， (2) (3)证明见解析
【分析】（1）根据条件列关于公差与公比的方程组，解方程组可得 再根据等差数
列与等比数列通项公式得结果；
（2）根据错误相减法求数列 的前 项和为 ，注意作差时项符号的变化以及求和时项
数的确定；
（3）将 裂项得 ，然后求和即可.
【详解】（1）设数列 的公差为 ，数列 的公比为 ，则
由 得 ，解得 ，所以 ，
.
（2）由（1）可知 ，∴
①
②
①—②得：
，∴ .（3）
【讲技巧】
指数等差型裂项，裂项公式思维供参考
：
注意：一般情况下，分子的mn+t= 如果裂项系数不好找，可以待
,
定系数法
【练题型】
（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高二期末）已知 为等差数列， 为公比大于0
的等比数列，且 ， ， ， .(1)求 和 的通项公式；
(2)设 求数列 的前 项和 .
【答案】(1) (2)
【分析】（1）设 公差为 ， 公比为 ，再根据题意列式求解基本量即可；
（2）分 为奇数和偶数两组，再根据错位与裂项求和求解即可
(1)设 公差为 ， 公比为 ，由 可得 ，即 ，
因为 解得 .又 ，故 ，解得 .故
(2)因为 ，故 ，
设 中奇数项和为 ，偶数项和为 ，则
.
，则 ，则 ，
则 ，即 ，
解得 ，故
【题型十】“指数分子拆分型”裂项求和【讲题型】
例题1.已知数列 的前 项和为 ， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和为 ．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）利用 得到 从第二项起为等比数列，求出 ，利用 写出通
项公式即可，最后将通项公式写成分段形式；
（2）利用裂项相消法可求出 时的 ，然后综合 写出 .
【详解】（1） ①, 当 时， ②，①-②得 ，即
，
又 ，得 ， ，
又 不符合 ；
（2）当 时，
当 时， ，
当 时，
，
又当 时， ，符合
.
【讲技巧】
指数分子拆分型裂项，裂项公式思维供参考：
注意：公式仅供思维参考，这个结构，常数“1”那个位置，可以是任意某个常数，注意具体常数具体拆
分裂项。
【练题型】
已知数列 是公比 的等比数列，前三项和为13，且 ， ， 恰好分别是等差
数列 的第一项，第三项，第五项．
(1)求 和 的通项公式；(2)已知 ，数列 满足 ，求数列 的前2n项和 ；
(3)设 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1) （ ）； （ ）(2) （
）
(3) （ ）
【分析】（1）利用等比基本量法结合等差中项列式可求得 通项公式，再利用等差基本
量法求得 通项公式；
（2） ，令 ，得到 ，由裂项相消求得 ，
令 ，得 ，由错位相减求得 ，即可求解；
（3）代入 得 ，对指数型式子配凑进行裂项可得
，再由裂项相消即可求解.
（1）（1）解： 或 ，又 ，
则 ，∴ （ ）．设等差数列 的公差为 ，由题意得， ，
，即 ，所以 （ ）．
（2）（2）解： 时， ，∴
． 时，
∴
，①
，②由① ②可得，
∴ ∴ （ ）．
（3）（3）由（1）知 ，则∴
故 （ ）.
【题型十一】“正负裂和”型裂项求和
【讲题型】
例题1.记正项数列 的前n项积为 ，且 ．
(1)证明：数列 是等差数列；
(2)记 ，求数列 的前2n项和 ．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）由题意得 ，又 ，可得 与 的关系，结合等差数
列的定义即可证得结论；
（2）由（1）得 ，求出 ，利用裂项相消法求和即可得出答案．
【详解】（1）由题意得 ，又 ，
所以 ，即 ，所以 ．
当n＝1时， ，所以 ，解得 ＝3，故 是以3为首项，2为公差的等差数
列．
（2）由（1）可知， ，
所以 ，
所以
．
【讲技巧】
正负相间型裂和，裂项公式思维供参考：
【练题型】已知数列 的满足 ， .
(1)求 的通项公式；
(2)记 ，数列 的前 项和为 ，证明： .
【答案】(1) ；(2)证明见解析.
【分析】（1）令 ，可得 ，可知数列 为等差数列，即可得出；
（2）裂项可得 ，相加可得 .根据 的单调
性即可证明.
【详解】（1）解：令 ，则由已知可得 ，
所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
所以 .
（2）证明：由（1）可得， ，
则 ，
因为 单调递减， ，显然 ，
所以有 .
【题型十二】“分离常数型”裂项求和
【讲题型】
例题1.数列 是正项等比数列，已知 且 成等差数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1) (2)
【分析】（1）由等差中项的性质及等比数列通项公式求公比，进而写出 的通项公式；
（2）由（1）、题设可得 ，应用裂项相消法求 .
【详解】（1）由题设 ，令 公比为 ，则 ，
所以 ，即 ，则 ，故 .
（2）由（1）知： ，则 ，
所以 .
【讲技巧】
“分离常数型”裂项求和，裂项公式思维供参考：分子分母多为一元二次，分母可因式分解，分子可通过构造分母来分离常数
【练题型】
已知等差数列 的通项公式为 ，记数列 的前n项和为 ，
且数列 为等差数列．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 的前n项和为 ，求 的通项公式．
【答案】(1) ；(2) .
【分析】（1）根据数列通项及等差中项的性质即得；
（2）由题可得 ，然后利用裂项相消法即得.
【详解】（1）因为 ，数列 为等差数列，
所以 ， ， ，所以 ，又 ，
解得 ，所以 ；
（2）由（1）得 ，所以
，
所以
．
【题型十三】先放缩再裂项求和
【讲题型】
例题1.已知数列 的前 项和 ，且 ，正项等比数列 满足：
，
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ；
(3)证明： .
【答案】(1) ， (2) (3)证明见解析
【分析】（1）利用 求出 和 的通项公式；利用公式法求出 的通项
公式；
（2）由 对 分类讨论： 和 分别求和，即可
求出 ；
（3）利用裂项相消法求和，即可证明.
【详解】（1）当 时，由 ，得 ，即 ，
当 时， ，当 时， ，所以 .
设正项等比数列 的公比为 ，则 ，
所以 ，解得 或 （舍），所以 .
（2） 所以当 时，
当 时，
即
（3）当 时， ；当 时，
所以
.
【练题型】
．已知函数 ，
(1)讨论函数 的单调性;
(2)若 恒成立，
①求a的取值范围；
②设 ，证明：
【答案】(1)答案见解析(2)① ，②证明见解析
【分析】（1）求出 ，分类讨论a，并根据导函数的正负，求出单调区间；
（2）可将 恒成立，等价于 ，由（1）所得函数单调性可求最小值，即可
求出a的取值范围；构造函数 ，可证 ，裂项可得
，即可证明.
【详解】（1）解：函数 ，定义域为 ，
当 时， 恒成立，
在 上单调递减，
当 时，令 ，解得 ，当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减；
综上所述：当 时， 在 上单调递减，
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减.
（2）解：① 恒成立，等价于 ，
由（1）可知，当 时， 在 上单调递减，无最小值；
当 时， ，
则 ，解得 ，
所以a的取值范围为 ；
②构造函数 ， ，则 恒成立，
所以函数 在 单调递减，
而 ，则恒有 ，即 ，
所以
而 ，
，即
【题型十四】前n项积型
【讲题型】
例题1.在等比数列 中， ，前 项和为 是 和 的等差中项．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求 的最大值．
【答案】(1) (2)64
【分析】（1）利用基本量代换求出公比 ，即可求出 的通项公式；
（2）先求出 ，利用单调性求出 的最大值.【详解】（1）由题意得 ，即 .
设等比数列 的公比为 ，则有 ，解得 .
所以 ．
（2）因为 ，所以 .
因为 ，所以当 或4时， 取到最小值，
.
因为 为减函数，所以 的最大值为 ．
【讲技巧】
可以类比前n项和求通项过程来求数列前n项积：
1.n=1，得a
1
2.n 时， 所以
，
【练题型】
已知数列 满足 ,且 .
(1)求数列 的通项公式;
(2)数列 满足 , ,若 ,求k的值.
【答案】(1) (2)79
【分析】(1)根据递推关系式,向前推一项,相减即可得数列 为隔项是等差数列,分 为奇
数,和 为偶数两种情况,分别求出通项公式即可得出结果;
(2)根据(1)中的结果,得到 的通项公式,将 化简,利用换底公式解出
k的值即可.
【详解】（1）解:由题知 ①,因为 ,所以 ,解得 ,
当 时, ②,①-②可得: ,
所以当 为奇数时, , , ,
以上式子相加可得: ,化简可得 , 满足上式，
所以当 为偶数时, , , ,
以上式子相加可得: ,化简可得 , 满足上式，综上: ;
（2）由(1)知 ,故 ,因为 ,所以,
即
,
故 ,解得 .
【题型十五】解数列不等式
【讲题型】
例题1.已知数列 的首项 ，且满足 ．
(1)已知数列 是等比数列，求公比 ；
(2)若 ，求满足条件的最大整数 ．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）利用已知等式可得出 ，结合等比数列的定义可求得 的值；
（2）求出数列 的通项公式，可得出数列 的通项公式，利用分组求和法可求得
数列 的前 项和，再结合数列的单调性可求得满足不等式 的最大整数 的
值.
【详解】（1）解：由已知 ， ，
，
又因为 ，所以， ，公比 ．
（2）解：由（1）可得数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以， ，则 ，所以， ，
又因为 ，故数列 为单调递增数列，因为
，
所以，满足不等式 的最大整数 的值为 .【练题型】
已知等差数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，且 的前 项和为 ，求满足不等式 的 的值.
【答案】(1) (2)1，2
【分析】（1）根据已知条件求得等差数列 的首项和公差，从而求得 .
（2）利用错位相减求和法求得 ，由此化简不等式 ，结合差比较法求得正确
答案.
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，则 ,
解得 ，故 .
（2）依题意， ，故 ，则
，
两式相减可得：
，解得 .
故 可转化为 .令 ，
则 （ ），
故 ，即 单调递减.
注意到 ，所以满足条件的 的值为1，2.
【题型十六】证明数列不等式
【讲题型】
例题1.已知等差数列 满足 ， ， 的前n项和为 ．
(1)求 及 的通项公式；
(2)记 ，求证： ．
【答案】(1) ， (2)证明见解析
【分析】（1）利用等差数列的通项公式列方程组求出首相和公差，进而可得通项公式和前
项和；
（2）利用裂项相消法可求出 ，再根据 的范围可得 的范围，则可证明结论
【详解】（1）设等差数列的公差为 ，
则 ，解得 ， ，
；（2）由（1）得 ，
，即 .
【练题型】
已知数列 ， ， .
(1)求数列 通项公式；
(2)若数列 满足： .
（i）证明： ；
（ii）证明： .
【答案】(1) (2)（i）证明见解析（ii）证明见解析
【分析】（1）根据递推公式将等式两边分别取倒数即可证明 是等差数列，即可写出
数列 通项公式；（2）利用数列 与 的关系式，可写出 的表达式，利用等比数
列放缩即可证明（i）中的结论，再利用（i）得到的结论即可证明（ii）.
【详解】（1）由题意可知， ，将 两边同时取倒数可得，
，即 ，又 ，所以，数列 是以 为首项，
公差 的等差数列，
即 ，得 ，所以数列 通项公式为
（2）（i）由 可知， ，
所以
两式相减得
当 时， ，所以 ；
（ii）
所以【题型十七】求和：范围最值型
【讲题型】
例题1.已知各项均为正数的数列 的前 项和为 ， ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，且数列 的前 项和为 ，求 的取值范围.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）利用退一相减法可得数列 为等差数列，进而可得其通项公式；
（2）利用错位相减法可得 ，再根据 的单调性可得取值范围.
【详解】（1）由 ，得 ①，
所以当 时， ②.
由①减②，得 .
因为数列 为各项均为正数的数列，所以 ，
又由 ， ，得
所以 ，所以
故数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，所以 ；
（2）由（1），得 ，
所以数列 的前 项和 .
所以 ，
两式作差可得： ，
所以
由于 ， ，
则数列 在 上单调递增，于是 .
【练题型】
已知数列 的前n项和为 ，且满足 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2) ，数列 是否存在最大项，若存在，求出最大项.【答案】(1) (2)存在，
【分析】（1）根据题意，由 与 的关系即可得到 为等比数列，从而得到数列
的通项公式；
（2）根据题意，由（1）中的结论即可得到数列 的通项公式，结合条件列出不等式，
即可得到结果.
【详解】（1） ①，
当 时， ，
当 ， ，②
①-②得： ， 即 ， ，
由 知 即 ，
所以 是首项为1公比为2的等比数列，得 ，
所以数列 的通项公式为： .
（2） ，
， ，
令 得 或 ，即 ，
令 得 ，即 ，
当 时 ，
当 时 ，又 ，
所以数列 最大项为 .
【题型十八】“隐和型”
【讲题型】
例题1.已知等差数列{an}的首项a=1，公差d＞0，且其第二项、第五项、第十四项分别是
1
等比数列{bn}的第二、三、四项.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；
(2)设数列{cn}对任意自然数n均有 成立，求
的值.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据条件列方程求出d；
（2）根据条件，做差求出 的通项公式.
【详解】（1）由题意， ， ，
解得 ，
，
；
（2）由题意： …①， …②，②-①得 ，
；
综上， .
【练题型】
已知等比数列 的前 项和为 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)当 时， ，求数列 的通项公式．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据已知条件及数列前 项和的定义，结合等比数列的通项公式即可求解；
（2）根据（1）的结论及数列的递推公式即可求解.
【详解】（1）设数列 的公比为 ,则
，由 ，得 ，所以 ，
有 ，得 ，
所以数列 的通项公式为 ．
（2）由（1）知， ，
由 ，得
当 时 ，得 ．
当 时，
有 ，得 时，
取 时， ，此式也满足 ，
故数列 的通项公式为 ．
1．已知 为数列 的前 项积，且 .
(1)证明：数列 是等差数列；
(2)记 ，求数列 的前 项和 .【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）利用 将条件整理变形可得 ，即可证明数列 是等差数
列；
（2）将 变形为 ，然后直接求和消去中间多项可得答案.
【详解】（1） 为数列 的前 项积，
当 时， ，
，等式两边同时乘以 可得 ，
即 ，
又当 时， ，得 ，
所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列；
（2）由（1）得 ，
，
．
2．（2023秋·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）记 为数列 的前n项和，已知
.
(1)求 ；
(2)设 ，数列 的前n项和为 ，证明： .
【答案】(1) ；(2)证明见解析.
【分析】（1）由已知得 ，①
，② 两式相减即得解；
（2） ，再利用裂项相消法求和证明.
【详解】（1）解：由已知得 ，①
，②
②－①得 ，即 ，
特别地，① 中令 得 ，即 ，
所以 是首项为1，公比为2的等比数列.
所以 .（2）证明： ，
所以
.
3．（2021秋·安徽滁州·高二校考期末）已知数列 中， ， ，其前 项和 满
足 （ ， ）.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 （ 为非零整数， ），试确定 的值，使得对任意 ，
都有 成立.
【答案】(1) (2)
【分析】根据已知结合 与前 项和 的关系，利用相减法确定 的递推关系式，判断
为等差数列，即可求解数列 的通项公式；
根据数列的单调性列不等式求解即可.
【详解】（1）解：由已知 ，得
即 ，且 .
数列 是以 为首项，公差为1的等差数列.
.
（2）解： ，
，要使得对任意 ， 恒成立，
恒成立，
恒成立，
恒成立.
（i）当 为奇数时，即 恒成立，又 是递增数列
则当 时， 有最小值为1，
.
（ii）当 为偶数时，即 恒成立，又 是递减数列
则当 时， 有最大值 ，
.
即 ，又 为非零整数，则 .
综上所述，存在 ，使得对任意 ，都有 .
4．（河北省邯郸市2023届高三上学期期末数学试题）设 为数列 的前n项和，已知
， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，记数列 的前n项和为 ，证明： .
【答案】(1) ；(2)证明见解析.【分析】（1）根据给定的递推公式，结合“ ”可得 ，由此求出
数列通项作答.
（2）由（1）的结论，利用裂项相消法求和，再借助数列单调性推理作答.
【详解】（1） ， ， ，当 时， ，
两式相减得： ，
因此 ，即有 ，
而 ，即 ，又 ，解得 ，
于是数列 是首项为4，公差为3的等差数列， ，
所以数列 的通项公式为 .
（2）由（1）知， ， ，
因此， ，
因为 ，则有数列 是递增数列，即有 ，
所以 .
5（2022秋·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）已的数列 的首项 ，
， ．
(1)求证：数列 等比数列；
(2)记 ，若 ，求 的最大值．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）根据题意，由等比数列的定义即可证明；
（2）根据题意，由（1）中的结论即可得到数列 的通项公式，然后根据等比数列
的求和公式代入计算，结合函数的单调性即可得到结果.
【详解】（1）证明：因为数列 满足 ，即
整理得 ，又
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列.
（2）由（1）知数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，即
所以由 可得， ，即
因为函数 在 上单调递增，
且满足
故满足条件 的最大值为
