文档内容
专题 6-2 数列大题综合 18 种题型
目录
讲高考................................................................................................................................................................................1
题型全归纳.......................................................................................................................................................................2
【题型一】恒成立求参................................................................................................................................................2
【题型二】数列“存在型”求参.............................................................................................................................3
【题型三】“存在型”证明题..................................................................................................................................3
【题型四】数列“存在型不定方程型....................................................................................................................3
【题型五】双数列相同项“存在型”....................................................................................................................4
【题型六】新数列与“子数列”型........................................................................................................................4
【题型七】“下标”数列型......................................................................................................................................5
【题型八】指数型常规裂项求和.............................................................................................................................5
【题型九】“指数等差型”裂项求和....................................................................................................................5
【题型十】“指数分子拆分型”裂项求和...........................................................................................................6
【题型十一】“正负裂和”型裂项求和...............................................................................................................7
【题型十二】“分离常数型”裂项求和...............................................................................................................7
【题型十三】先放缩再裂项求和.............................................................................................................................8
【题型十四】前n项积型............................................................................................................................................8
【题型十五】解数列不等式......................................................................................................................................8
【题型十六】证明数列不等式..................................................................................................................................9
【题型十七】求和：范围最值型.............................................................................................................................9
【题型十八】“隐和型”.........................................................................................................................................10
专题训练.........................................................................................................................................................................10
讲高考
1．（·湖南·高考真题）数列 满足
．
(1)求 ，并求数列 的通项公式；
(2)设 ，求使 的所有k的
值，并说明理由．
2．（2022·天津·统考高考真题）设 是等差数列， 是等比数列，且
．
(1)求 与 的通项公式；
(2)设 的前n项和为 ，求证： ；
(3)求 ．
3．（2022·全国·统考高考真题）已知 为等差数列， 是公比为2的等比数列，且
．
(1)证明： ；
(2)求集合 中元素个数．4．（2022·全国·统考高考真题）记 为数列 的前n项和．已知 ．
(1)证明： 是等差数列；
(2)若 成等比数列，求 的最小值．
5．（2021·全国·统考高考真题）记 为数列 的前n项和， 为数列 的前n项积，
已知 ．
（1）证明：数列 是等差数列;
（2）求 的通项公式．
题型全归纳
【题型一】恒成立求参
【讲题型】
例题1.已知正项数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求 的通项公式;
(2)数列 的前 项和为 ，且 对任意的 恒成立，求实数 的取
值范围.（参考数据: ）
【讲技巧】
一般情况下数列恒成立，通过分参等，转化为“数列型函数”，再借助函数单调性求最
值。求最值时候要注意“数列型函数”是离散型。
【练题型】
已知数列 中， .
(1)求证： 是等比数列，并求 的通项公式；
(2)数列 满足 ，数列 的前 项和为 ，若不等式
成立的自然数 恰有4个，求正整数 的值.
【题型二】数列“存在型”求参
【讲题型】例题1.设正项数列 的前 项和为 ，首项为1，已知对任意整数 ，当 时，
（ 为正常数）恒成立．
(1)求证：数列 是等比数列；
(2)证明：数列 是递增数列；
(3)是否存在正常数 ，使得 为等差数列？若存在，求出常数 的值；若不存在，
说明理由．
【练题型】
已知 是数列 的前 项和，且 ，数列 是公差为 的等差数列．
(1)求数列 的通项公式
(2)记数列 的前 项和为 ，是否存在实数 使得数列 成等差数列，若存在，
求出实数 的值 若不存在，说明理由．
【题型三】“存在型”证明题
【讲题型】
例题1.已知正项数列 ，其前n项和 ，满足 .
(1)求证：数列 是等差数列，并求出 的表达式；
(2)数列 中是否存在连续三项 ，使得 构成等差数列？请
说明理由.
【讲技巧】
数列这类“存在某些项等”证明型题，对于运算，特别是含字母的运算要求较高。在二
轮复习训练时，要注意对计算方面的拆解分析
【练题型】
在数列 中，已知 ， ，且对于任意正整数n都有 .
(1)令 ，求数列 的通项公式；
(2)设m是一个正数，无论m为何值，是否都有一个正整数n使 成立.
【题型四】数列“存在型不定方程型
【讲题型】
例题1.设公比为正数的等比数列 的前 项和为 ，已知 ， ，数列
满足 .
(1)求数列 和 的通项公式；(2)是否存在 ，使得 是数列 中的项？若存在，求出 的值；若不
存在，请说明理由.
【讲技巧】
涉及到“存在型不定方程”，可以从分类讨论方面入手，可以从奇偶数方面分析，可以
从约数整除方面讨论。
【练题型】
已知数列 满足 .
(1)证明： 是等比数列.
(2)判断 是否可能是数列 中的项.若是，求出 的最大值；若不是，请说
明理由.
【题型五】双数列相同项“存在型”
【讲题型】
例题1.已知 是等差数列， 是公比不为1的等比数列， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若集合 ，且 ，求 中所有元素之和.
【讲技巧】
双数列相同项，一般情况下，也是解“不定方程”
【练题型】
已知数列 的通项公式为 ，等比数列 满足 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ， 的前n项和分别为 ， ，求满足 （ ）的所有数对 ．
【题型六】新数列与“子数列”型
【讲题型】
例题1.已知数列 ， 其前 项和分别为 ， 且分别满足 ，
.
(1)求数列 ， 的通项公式.
(2)将数列 ， 的各项按 ， ， ， … ， 顺序排列组成数列 ，求数列
的前 项和 .
【练题型】
已知等差数列 和等比数列 满足 ， ．(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)设数列 中不在数列 中的项按从小到大的顺序构成数列 ，记数列 的前n
项和为 ，求 ．
【题型七】“下标”数列型
【讲题型】
例题1.已知数列 ， ， 是数列 的前n项和，已知对于任意 ，都有
，数列 是等差数列， ，且 ， ， 成等比数列．
(1)求数列 和 的通项公式．
(2)记 ，求数列 的前n项和 ．
【练题型】
定义集合 ，数列 满足
(1)定义数列 ，证明： 为等比数列
(2)记数列 的前 项和为 ，求满足 的正整数
【题型八】指数型常规裂项求和
【讲题型】
例题1.设数列 的前 项和为 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 的前 项和 ，求 的值.
【讲技巧】
纯指数型裂项，裂项公式思维供参考：
【练题型】
已知数列 满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，设 的前n项和为 ，若 对 恒成立，求实数m
的取值范围.
【题型九】“指数等差型”裂项求和
【讲题型】
例题1..等差数列 的前 项和为 ，数列 是等比数列，满足 ， ，， .
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)令 ，设数列 的前 项和为 ，求 ；
(3)令 ，设数列 的前 项和为 ，求证： .
天津市宝坻区第四中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题
【讲技巧】
指数等差型裂项，裂项公式思维供参考
：
注意：一般情况下，分子的mn+t= 如果裂项系数不好找，可以待
,
定系数法
【练题型】
已知 为等差数列， 为公比大于0的等比数列，且 ， ， ，
.(1)求 和 的通项公式；
(2)设 求数列 的前 项和 .
【题型十】“指数分子拆分型”裂项求和
【讲题型】
例题1.已知数列 的前 项和为 ， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和为 ．
【讲技巧】
指数分子拆分型裂项，裂项公式思维供参考：
注意：公式仅供思维参考，这个结构，常数“1”那个位置，可以是任意某个常数，注意具体常数具体拆
分裂项。
【练题型】
已知数列 是公比 的等比数列，前三项和为13，且 ， ， 恰好分别是等差
数列 的第一项，第三项，第五项．
(1)求 和 的通项公式；(2)已知 ，数列 满足 ，求数列 的前2n项和 ；
(3)设 ，求数列 的前n项和 ．
【题型十一】“正负裂和”型裂项求和
【讲题型】
例题1.记正项数列 的前n项积为 ，且 ．
(1)证明：数列 是等差数列；
(2)记 ，求数列 的前2n项和 ．
【讲技巧】
正负相间型裂和，裂项公式思维供参考：
【练题型】
已知数列 的满足 ， .
(1)求 的通项公式；
(2)记 ，数列 的前 项和为 ，证明： .
【题型十二】“分离常数型”裂项求和
【讲题型】
例题1.数列 是正项等比数列，已知 且 成等差数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【讲技巧】
“分离常数型”裂项求和，裂项公式思维供参考：分子分母多为一元二次，分母可因式分
解，分子可通过构造分母来分离常数
【练题型】
已知等差数列 的通项公式为 ，记数列 的前n项和为 ，
且数列 为等差数列．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 的前n项和为 ，求 的通项公式．【题型十三】先放缩再裂项求和
【讲题型】
例题1.已知数列 的前 项和 ，且 ，正项等比数列 满足：
，
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ；
(3)证明： .
【练题型】
已知函数 ，
(1)讨论函数 的单调性;
(2)若 恒成立，
①求a的取值范围；
②设 ，证明：
【题型十四】前n项积型
【讲题型】
例题1.在等比数列 中， ，前 项和为 是 和 的等差中项．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求 的最大值．
【讲技巧】
可以类比前n项和求通项过程来求数列前n项积：
1.n=1，得a
1
2.n 时， 所以
，
【练题型】
已知数列 满足 ,且 .
(1)求数列 的通项公式;
(2)数列 满足 , ,若 ,求k的值.
【题型十五】解数列不等式【讲题型】
例题1.已知数列 的首项 ，且满足 ．
(1)已知数列 是等比数列，求公比 ；
(2)若 ，求满足条件的最大整数 ．
【练题型】
已知等差数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，且 的前 项和为 ，求满足不等式 的 的值.
【题型十六】证明数列不等式
【讲题型】
例题1.已知等差数列 满足 ， ， 的前n项和为 ．
(1)求 及 的通项公式；
(2)记 ，求证： ．
【练题型】
已知数列 ， ， .
(1)求数列 通项公式；
(2)若数列 满足： .
（i）证明： ；
（ii）证明： .
【题型十七】求和：范围最值型
【讲题型】
例题1.已知各项均为正数的数列 的前 项和为 ， ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，且数列 的前 项和为 ，求 的取值范围.
【练题型】
已知数列 的前n项和为 ，且满足 ， .(1)求数列 的通项公式；
(2) ，数列 是否存在最大项，若存在，求出最大项.
【题型十八】“隐和型”
【讲题型】
例题1.已知等差数列{an}的首项a=1，公差d＞0，且其第二项、第五项、第十四项分别是
1
等比数列{bn}的第二、三、四项.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；
(2)设数列{cn}对任意自然数n均有 成立，求
的值.
【练题型】
已知等比数列 的前 项和为 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)当 时， ，求数列 的通项公式．
1．已知 为数列 的前 项积，且 .
(1)证明：数列 是等差数列；
(2)记 ，求数列 的前 项和 .
2．记 为数列 的前n项和，已知 .
(1)求 ；
(2)设 ，数列 的前n项和为 ，证明： .
3．已知数列 中， ， ，其前 项和 满足 （ ，
）.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 （ 为非零整数， ），试确定 的值，使得对任意 ，
都有 成立.4．（河北省邯郸市2023届高三上学期期末数学试题）设 为数列 的前n项和，已知
， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，记数列 的前n项和为 ，证明： .
5（2022秋·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）已的数列 的首项 ，
， ．
(1)求证：数列 等比数列；
(2)记 ，若 ，求 的最大值．
