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第17讲 数列求和
【知识点总结】
求数列前 项和的常见方法如下：
（1）公式法：对于等差、等比数列，直接利用前 项和公式.
（2）错位相减法：数列的通项公式为 或 的形式，其中 为等差数列， 为等比数列.
（3）分组求和法：数列的通项公式为 的形式，其中 和 满足不同的求和公式.常见于
为等差数列， 为等比数列或者 与 分别是数列的奇数项和偶数项，并满足不同的规律.
（4）裂项相消法：将数列恒等变形为连续两项或相隔若干项之差的形式，进行消项.
（5）倒序相加：应用于等差数列或转化为等差数列的数列求和.
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练习）数列 的通项公式 ，它的前 项和 ，则
（ ）
A．9 B．10 C．99 D．100
例2．（2022·全国·高三专题练习）在公差大于0的等差数列 中， ，且 ， ，
成等比数列，则数列 的前21项和为（ ）
A．12 B．21 C．11 D．31
例3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{a}满足：a =a-a （n≥2，n∈N*），a=1，a=2，S 为
n n+1 n n-1 1 2 n
数列{a}的前n项和，则S =（ ）
n 2021
A．3 B．2 C．1 D．0
例4．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列 的前 项和为 ，则
___________.
例5．（2021·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和 ，函数 对一切实数 总有 ，数列 满足 分别求数列 、
的通项公式.
例6．（2022·全国·高三专题练习）已知 为等差数列， 为等比数列，且满足．
（1）求 和 的通项公式；
（2）对任意的正整数n，设 ，求数列 的前n项和 ．
例7．（2022·全国·高三专题练习）数列 的前 项和为 ， .
（1）求 ， ；
（2）设 ，数列 的前 项和为 .证明： .
例8．（2021·福建·永安市第三中学高中校高三期中）已知数列 是前 项和为
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 ，求数列 的前 项和 ．
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2021·全国·高三专题练习（文））已知函数 ，利用课本中推导等差数列的前
项和的公式的方法，可求得 （ ）.A．25 B．26 C．13 D．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 满足 ，若数列 满足，则数列 的前20项和为（ ）
A．100 B．105 C．110 D．115
3．（2020·全国·高三专题练习）已知函数 ，则
的值为
A．4033 B．-4033
C．8066 D．-8066
4．（2021·全国·高三专题练习（文））已知等比数列{a}的前n项和为S，若S=7，S=63，则数列
n n 3 6
{na}的前n项和为（ ）
n
A．-3+(n+1)×2n B．3+(n+1)×2n
C．1+(n+1)×2n D．1+(n-1)×2n
5．（2022·全国·高三专题练习）化简 的结果是
（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·全国·高三专题练习）根据预测，某地第 个月共享单车的投放量和损失量分别为
和 （单位：辆），其中 ， ，则该地第4个月底的共享单车的保有量为
（ ）
A．421 B．451 C．439 D．935
二、填空题
7．（2022·上海·高三专题练习）已知数列 满足 ，则数列的前n项和 为______．
8．（2022·江苏·高三专题练习）已知数列 的通项公式 ， ，其前 项和为 ，则
______．
9．（2022·上海·高三专题练习）设数列 有 ，则 _______.
三、解答题
10．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{a}的前n项和为S，a=5，nS -（n+1）S=n2+n.
n n 1 n+1 n（1）求证：数列 为等差数列；
（2）令b=2na，求数列{b}的前n项和T.
n n n n
11．（2022·河北·高三专题练习）己知数列 的前n项和为 ，且 ，_______.请在①
；② ；成等比数列；③ ，这三个条件中任选一个补充在上而题干中，并解答下
面问题.
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前n项和 .
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
12．（2022·全国·高三专题练习）有一正项等比数列{a}的公比为q，前n项和为S，满足aa=64，
n n 2 4
S=14.设b=log a（n∈N*）.
3 n 2 n
（1）求a，a 的值，并求出数列{a}的通项公式；
1 2 n
（2）判断数列{b}是否为等差数列，并说明理由；
n
（3）记 ，求数列{c}的前n项和T.
n n
13．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ．（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．14．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和为 ，且满足 .
（1）求证：数列 是等比数列；
（2）记 ，求数列 的前 项和 .
15．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和为 ，且满足 ．
（1）求数列 的通项公式：
（2）设 ，数列 的前 项和为 ，求证： ．
16．（2022·全国·高三专题练习）在① ；② ；③ 成等差数列这
三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.问题：数列{a}是各项均为正数的等比数列，前n项
n
和为S，a＝2，且___.
n 1
（1）求数列{a}的通项公式；
n
（2）若 （ ），求数列{b}的前n项和T.
n n
17．（2022·全国·高三专题练习）设数列 的前 项和为 ，已知 且数列 是以 为公差
的等差数列．（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前 项和为 ，求证： ．18．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列 的前 项和为 ， ， ．
（1）求数列 的通项公式：
（2）令 ，求数列 的前 项和 ．
19．（2022·全国·高三专题练习）设等比数列 的前n项和为 ，已知 ，且 成
等差数列．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 满足 ，求数列 的前n项和 ．
20．（2022·浙江·高三专题练习）已知数列 ， ，满足 ， ， ， ，
成等差数列．
（1）证明： 是等比数列；
（2）数列 满足 ，记数列 的前 项和为 ，求 ．
21．（2022·全国·高三专题练习）在正项数列 中， ， ，且 .
（1）求 的通项公式；（2）求数列 的前 项和 .22．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列 的前n项和为 ，数列 为正项等比数列，其满
足 ， ， .
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）若_______，求数列 的前n项和 .
在① ，② ，③ 这三个条件中任一个补充在第（2）问中；并对其求
解.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
23．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列 满足公差 ，前n项的和为 ， ， ，
， 成等比数列.
（1）求 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前100项的和 .
24．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， .（1）证明：数列 为等差数列；
（2）设 ，证明： .25．（2021·全国·高三专题练习）设{a}是等差数列，(n∈N*)； 是等比数列，公比大于0，其前n
n
项和为S(n∈N*).已知 ， ，b=a+a，b=a+2a.
n 5 3 5 7 4 6
（1）求S 与a；
n n
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
26．（2021·全国全国·模拟预测）已知数列 满足 ， ，且 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）记在区间 上， 的项数为 ，求数列 的前m项和.
27．（2021·海南二中高三阶段练习）递增等差数列 中， ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 前 项和 .
28．（2021·河南·高三阶段练习（文））已知 ， ， ， 中的 个数为等差数列 的前 项，且
不在数列 中， 在数列 中.（1）求数列 的通项 ；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .29．（2021·全国·高三专题练习）设数列 是公差大于零的等差数列，已知 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 满足 ，求 .
30．（2021·全国·高三专题练习（文））已知数列 中， ， ．
（1）求 ；
（2）若 ，求数列 的前5项的和 .
