文档内容
第 17 讲 指、对、幂的大小比较（微专题）
比较大小的基本思路：
1. 求同存异：如果两个指数(或对数)的底数相同，那么可通过幂(或真数)的大小与指数(或对数)函数的单调
性，判断出指数(或对数)的大小关系．要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况．
2. 利用特殊值作“中间量”：在指数、对数中通常可优先选择“－1,0，，1”对所比较的数进行划分，然
后再进行比较，有时可以简化比较的步骤(在兵法上可称为“分割包围，各个击破”)；也有一些题目需要
选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如 log23，可知1＝log22b>c B. a>c>b
C. c>a>b D. c>b>a
【答案】D
【解析】 由指数函数的性质可知，a＝∈(0,1)，b＝∈(0,1)，c＝ln3>1，且a＝＝，b＝＝，所以b>a，故
c>b>a.
(2) (2022·唐山期末)设a＝log 3，b＝log 4，c＝log 8，则( )
2 3 4
A. blog 16>0，所以<，即log 4log 8，所以cc>b.
4 4
变式1、 (2022·湛江二模)若a＝lg 0.2，b＝log 2，c＝log 4，则( )
3 6
A. c>b>a B. b>c>a
C. c>a>b D. a>b>c
【答案】A
【解析】 因为a＝lg 0.2＝lg＝lg2－1<0，c＝log 4＝log2>log 2＝b>0，所以c>b>a.
6 3
题型二、利用特殊值作“中间量”
例1、（2020年天津卷）设 ，则 的大小关系为（ ）
A. B. C . D.
【答案】D【解析】因为 ，
，
，
所以 .
故选：D.
变式1、（2022·江苏·南京市第五高级中学模拟预测）已知 ， ， ，则 ， ，
的大小关系为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
利用指数函数的性质及对数函数的性质即可得到.
【详解】
∵ ， ， ，
∴ ．
故选：C.
变式2、（2022·江苏海门·高三期末）已知 ，c＝sin1，则a，b，c的大小关系是（
）
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．a＜c＜b
【答案】D
【解析】
【分析】
由对数的运算法则求出a,然后根据指数函数与正弦函数的单调性分别对b,c进行放缩，最后求得答案.
【详解】由题意， ， ， ，则 .
故选：D.
变式3、（2022·江苏通州·高三期末）已知a＝log 0.02，b＝log 60，c＝ln6，则（ ）
0.2 6
A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b
【答案】A
【解析】
【分析】
根据对数函数的单调性判断．
【详解】
， ， ，
， ，
易知 ，所以 ，即 ，所以 ．
故选：A．
变式4、（2021·山东青岛市·高三二模）（多选题）下列不等式成立的是（ ）
1 2 1
A．log sin12sin1 B．
2
2
7 5 62 log 3log 5
C． D． 4 6
【答案】BCD
【解析】
sin10,1 log sin10 log sin12sin1
A. ， 2 ，2sin1 1， 2 ，故A不正确；
1 2 1 2 1
B. 0 1 , 1 , 2 ，故B正确；
2 1
2 2
C.要判断 7 5 62，即判定 72 6 5，即判定 72 6 5 ，
114 7 112 30 4 7 2 30 2830
即 ，即 ，即 成立，故C正确；3 5 3 5 5 5
log 31log log 51log log log log log
D. 4 4 4， 6 6 6， 4 4 4 6 ，且 4 6 6 6 ，
3 5
log log
4 4 6 6 ， log
4
3log
6
5 ，故D正确.
故选：BCD
题型三、利用函数的单调性比较大小
0ab1,0c1
例3、（2020·河北邯郸市·高三期末）（多选题）设 ，则（ ）
ln ca 1 ln cb 1 (c1)a (c1)b
A． B．
ab aa ba log alog b
C． D． c c
【答案】AB
【解析】
0ab1,0c1 y ax,y log x
因为 ，可得函数 c 均是减函数，
ab aa log a log b
可得 ， c c ，所以CD不正确；
y lnx y cx ca cb ca 1cb 1
又由函数 是增函数， 是减函数，可得 ，且 ，
ln ca 1 ln cb 1
所以 ，所以故A正确；
0c1 c11 y (c1)x (c1)a (c1)b
因为 ，可得 ，所以函数 是增函数，可得 ，所以B正确.
故选：AB.
变式1、（2022·山东枣庄·高三期末）已知 ，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由 ，得到 ，令 ，利用导数求得 在 上单调递增，得到 ，得出 ，进而得到 ，即可求解.
【详解】
因为 ，且 在 为单调递增函数，
所以 ，即 ，
令 ，可得 ，
当 时， 单调递减，所以 在 单调递增，且 ，
所以 在 上恒成立，所以 在 上单调递增，且 ，
所以 ，即 ，即 ，所以 ，
又因为 ，所以 .
故选：D.
变式2、（2022·江苏常州·高三期末）已知函数 图象关于点 对称，且当 时，
则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由 关于点 对称可知， 关于点 对称，则 为奇函数
令 ，则 为偶函数，
又 时， ，即则 在 上单调递增，
则有
即
就是 ，
故选：D
