文档内容
第2讲 数列求和及其综合应用（新高考专用）
目录
【真题自测】.................................................................................................................................2
【考点突破】...............................................................................................................................14
【考点一】数列求和.....................................................................................................................14
【考点二】数列的综合问题...........................................................................................................22
【专题精练】...............................................................................................................................29
1 / 59
学科网（北京）股份有限公司考情分析：
1.数列求和重点考查分组转化、错位相减、裂项相消三种求和方法.
2.数列的综合问题，一般以等差数列、等比数列为背景，与函数、不等式相结合，考查最值、范围以及证
明不等式等.
3.主要以选择题、填空题及解答题的形式出现，难度中等．
真题自测
一、解答题
1．（2024·全国·高考真题）记 为数列{a }的前 项和，已知 ．
n
(1)求{a }的通项公式；
n
(2)设 ，求数列{b }的前 项和 ．
n
2．（2024·天津·高考真题）已知数列{a }是公比大于0的等比数列．其前 项和为 ．若 ．
n
(1)求数列{a }前 项和 ；
n
(2)设 ， ．
（ⅰ）当 时，求证： ；
（ⅱ）求 ．
3．（2024·广东江苏·高考真题）设m为正整数，数列 是公差不为0的等差数列，若从中删去
两项 和 后剩余的 项可被平均分为 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列
是 可分数列．
(1)写出所有的 ， ，使数列 是 可分数列；
(2)当 时，证明：数列 是 可分数列；
2 / 59
学科网（北京）股份有限公司(3)从 中任取两个数 和 ，记数列 是 可分数列的概率为 ，证明：
．
4．（2023·全国·高考真题）已知 为等差数列， ，记 ， 分别为数列 ，
的前n项和， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)证明：当 时， ．
5．（2023·全国·高考真题）设 为数列 的前n项和，已知 ．
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 ．
6．（2022·全国·高考真题）记 为数列 的前n项和，已知 是公差为 的等差数列．
(1)求 的通项公式；
(2)证明： ．
7．（2022·天津·高考真题）设 是等差数列， 是等比数列，且 ．
(1)求 与 的通项公式；
(2)设 的前n项和为 ，求证： ；
3 / 59
学科网（北京）股份有限公司(3)求 ．
8．（2022·北京·高考真题）已知 为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的 ，
在Q中存在 ，使得 ，则称Q为 连续可表数列．
(1)判断 是否为 连续可表数列？是否为 连续可表数列？说明理由；
(2)若 为 连续可表数列，求证：k的最小值为4；
(3)若 为 连续可表数列，且 ，求证： ．
参考答案：
1．(1)
(2)
【分析】（1）利用退位法可求{a }的通项公式．
n
（2）利用错位相减法可求 .
【详解】（1）当 时， ，解得 ．
当 时， ，所以 即 ，
而 ，故 ，故 ，
∴数列{a }是以4为首项， 为公比的等比数列，
n
所以 .
（2） ,
所以
4 / 59
学科网（北京）股份有限公司故
所以
，
.
2．(1)
(2)①证明见详解；②
【分析】（1）设等比数列 的公比为 ，根据题意结合等比数列通项公式求 ，再结合等比数列求
和公式分析求解；
（2）①根据题意分析可知 ， ，利用作差法分析证明；②根据题意结合等
差数列求和公式可得 ，再结合裂项相消法分析求解.
【详解】（1）设等比数列 的公比为 ，
因为 ，即 ，
可得 ，整理得 ，解得 或 （舍去），
所以 .
（2）（i）由（1）可知 ，且 ，
5 / 59
学科网（北京）股份有限公司当 时，则 ，即
可知 ，
，
可得 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 ；
（ii）由（1）可知： ，
若 ，则 ；
若 ，则 ，
当 时， ，可知 为等差数列，
可得 ，
所以 ，
且 ，符合上式，综上所述： .
【点睛】关键点点睛：1.分析可知当 时， ，可知 为等差数列；
2.根据等差数列求和分析可得 .
3．(1)
(2)证明见解析
6 / 59
学科网（北京）股份有限公司(3)证明见解析
【分析】（1）直接根据 可分数列的定义即可；
（2）根据 可分数列的定义即可验证结论；
（3）证明使得原数列是 可分数列的 至少有 个，再使用概率的定义.
【详解】（1）首先，我们设数列 的公差为 ，则 .
由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列，
故我们可以对该数列进行适当的变形 ，
得到新数列 ，然后对 进行相应的讨论即可.
换言之，我们可以不妨设 ，此后的讨论均建立在该假设下进行.
回到原题，第1小问相当于从 中取出两个数 和 ，使得剩下四个数是等差数列.
那么剩下四个数只可能是 ，或 ，或 .
所以所有可能的 就是 .
（2）由于从数列 中取出 和 后，剩余的 个数可以分为以下两个部分，共 组，使得每
组成等差数列：
① ，共 组；
② ，共 组.
（如果 ，则忽略②）
故数列 是 可分数列.
（3）定义集合 ，
7 / 59
学科网（北京）股份有限公司.
下面证明，对 ，如果下面两个命题同时成立，
则数列 一定是 可分数列：
命题1： 或 ；
命题2： .
我们分两种情况证明这个结论.
第一种情况：如果 ，且 .
此时设 ， ， .
则由 可知 ，即 ，故 .
此时，由于从数列 中取出 和 后，
剩余的 个数可以分为以下三个部分，共 组，使得每组成等差数列：
① ，共 组；
② ，共 组；
③ ，共 组.
（如果某一部分的组数为 ，则忽略之）
故此时数列 是 可分数列.
第二种情况：如果 ，且 .
此时设 ， ， .
则由 可知 ，即 ，故 .
由于 ，故 ，从而 ，这就意味着 .
8 / 59
学科网（北京）股份有限公司此时，由于从数列 中取出 和 后，剩余的 个数可以分为以下四个部分，
共 组，使得每组成等差数列：
① ，共 组；
② ， ，共 组；
③全体 ，其中 ，共 组；
④ ，共 组.
（如果某一部分的组数为 ，则忽略之）
这里对②和③进行一下解释：将③中的每一组作为一个横排，排成一个包含 个行， 个列的数表
以后， 个列分别是下面这些数：
， ， ，
.
可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并以后，将取遍 中除开五个集合
， ， ， ，
中的十个元素以外的所有数.
而这十个数中，除开已经去掉的 和 以外，剩余的八个数恰好就是②中出现的八个数.
这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列 是 可分数列.
至此，我们证明了：对 ，如果前述命题1和命题2同时成立，则数列 一定是
可分数列.
9 / 59
学科网（北京）股份有限公司然后我们来考虑这样的 的个数.
首先，由于 ， 和 各有 个元素，故满足命题1的 总共有 个；
而如果 ，假设 ，则可设 ， ，代入得 .
但这导致 ，矛盾，所以 .
设 ， ， ，则 ，即 .
所以可能的 恰好就是 ，对应的 分别是 ，总
共 个.
所以这 个满足命题1的 中，不满足命题2的恰好有 个.
这就得到同时满足命题1和命题2的 的个数为 .
当我们从 中一次任取两个数 和 时，总的选取方式的个数等于
.
而根据之前的结论，使得数列 是 可分数列的 至少有 个.
所以数列 是 可分数列的概率 一定满足
.
这就证明了结论.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对新定义数列的理解，只有理解了定义，方可使用定义验证或探究
结论.
4．(1) ；
(2)证明见解析.
10 / 59
学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）设等差数列 的公差为 ，用 表示 及 ，即可求解作答.
（2）方法1，利用（1）的结论求出 ， ，再分奇偶结合分组求和法求出 ，并与 作差比较作答；方
法2，利用（1）的结论求出 ， ，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出 ，并与 作差比较作答.
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，而 ，
则 ，
于是 ，解得 ， ，
所以数列 的通项公式是 .
（2）方法1：由（1）知， ， ，
当 为偶数时， ，
，
当 时， ，因此 ，
当 为奇数时， ，
当 时， ，因此 ，
所以当 时， .
方法2：由（1）知， ， ，
当 为偶数时， ，
11 / 59
学科网（北京）股份有限公司当 时， ，因此 ，
当 为奇数时，若 ，则
，显然 满足上式，因此当 为奇数时， ，
当 时， ，因此 ，
所以当 时， .
5．(1)
(2)
【分析】（1）根据 即可求出；
（2）根据错位相减法即可解出．
【详解】（1）因为 ，
当 时， ，即 ；
当 时， ，即 ，
当 时， ，所以 ，
化简得： ，当 时， ，即 ，
当 时都满足上式，所以 ．
（2）因为 ，所以 ，
12 / 59
学科网（北京）股份有限公司，
两式相减得，
，
，即 ， ．
6．(1)
(2)见解析
【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得 ，得到 ，利用和与项的
关系得到当 时， ,进而得： ，利用累乘法求得
，检验对于 也成立，得到 的通项公式 ；
（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到 ，进而证得.
【详解】（1）∵ ，∴ ,∴ ,
又∵ 是公差为 的等差数列，
∴ ,∴ ,
13 / 59
学科网（北京）股份有限公司∴当 时， ，
∴ ,
整理得： ,
即 ,
∴
，
显然对于 也成立，
∴ 的通项公式 ；
（2）
∴
7．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用等差等比数列的通项公式进行基本量运算即可得解；
（2）由等比数列的性质及通项与前n项和的关系结合分析法即可得证；
（3）先求得 ，进而由并项求和可得 ，再结合错
位相减法可得解.
14 / 59
学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）设{a }公差为d，{b }公比为 ，则 ，
n n
由 可得 （ 舍去），
所以 ；
（2）证明：因为 所以要证 ，
即证 ，即证 ，
即证 ，
而 显然成立，所以 ；
（3）因为
，
所以
，
设
所以 ，
则 ，
作差得
，
所以 ，
15 / 59
学科网（北京）股份有限公司所以 .
8．(1)是 连续可表数列；不是 连续可表数列．
(2)证明见解析．
(3)证明见解析．
【分析】（1）直接利用定义验证即可；
（2）先考虑 不符合，再列举一个 合题即可；
（3） 时，根据和的个数易得显然不行，再讨论 时，由 可知里面必然有负数，
再确定负数只能是 ，然后分类讨论验证不行即可．
【详解】（1） ， ， ， ， ，所以 是 连续可表数列；易知，不存
在 使得 ，所以 不是 连续可表数列．
（2）若 ,设为 ,则至多 ，6个数字，没有 个，矛盾；
当 时,数列 ，满足 ， ， ， ， ， ，
， ， ．
（3） ，若 最多有 种，若 ，最多有 种，所以最多有 种，
若 ，则 至多可表 个数，矛盾,
从而若 ,则 ， 至多可表 个数，
而 ，所以其中有负的，从而 可表1~20及那个负数（恰 21个），这表明
中仅一个负的，没有0，且这个负的在 中绝对值最小，同时 中没有两数相同,设那个负数为
，
则所有数之和 ， ，
16 / 59
学科网（北京）股份有限公司，再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足 个，
（仅一种方式），
与2相邻，
若 不在两端,则 形式，
若 ，则 （有2种结果相同，方式矛盾），
， 同理 ，故 在一端，不妨为 形式，
若 ,则 （有2种结果相同，矛盾）， 同理不行，
，则 （有2种结果相同，矛盾），从而 ，
由于 ,由表法唯一知3,4不相邻,、
故只能 ，①或 ，②
这2种情形，
对①： ，矛盾，
对②： ，也矛盾，综上 ，
当 时，数列 满足题意，
．
【点睛】关键点睛，先理解题意，是否为 可表数列核心就是是否存在连续的几项（可以是一项）之和
能表示从 到 中间的任意一个值．本题第二问 时，通过和值可能个数否定 ；第三问先通过和值
的可能个数否定 ，再验证 时，数列中的几项如果符合必然是 的一个排序，可验证
这组数不合题．
考点突破
【考点一】数列求和
核心梳理：
1．裂项相消法就是把数列的每一项分解，使得相加后项与项之间能够相互抵消，但在抵消的过程中，有
的是相邻项抵消，有的是间隔项抵消．常见的裂项方式有：＝；
＝.
2．错位相减法求和，主要用于求{ab}的前n项和，其中{a}，{b}分别为等差数列和等比数列．
n n n n
一、解答题
17 / 59
学科网（北京）股份有限公司1．（2024·天津·二模）已知 为等差数列， 是公比为2的等比数列． ，且
．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)若
①当 为奇数，求 ；
②求 ．
2．（2024·河北邯郸·二模）已知正项数列{a }的前 项和为 ， ，且 ．
n
(1)求{a }的通项公式；
n
(2)若 ，求数列{b }的前 项和 ．
n
3．（2024·重庆·一模）已知首项为正数的等差数列 的公差为2，前 项和为 ，满足 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前 项和 ．
4．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）在数列 中 ，且满足 （ 且 ）．
(1)证明：数列 为等比数列；
(2)求数列 的前 项和 ．
18 / 59
学科网（北京）股份有限公司5．（2024·浙江宁波·二模）已知等差数列 的公差为2，记数列 的前 项和为 且满足
.
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)求数列 的前 项和 .
6．（2024·全国·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围．
7．（2024·全国·模拟预测）已知 是各项均为正数的数列 的前 项和， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
8．（23-24高三上·安徽合肥·期末）同余定理是数论中的重要内容．同余的定义为：设a， ，
且 ．若 则称a与b关于模m同余，记作 （modm）（“|”为整除符号）．
(1)解同余方程 （mod3）；
(2)设（1）中方程的所有正根构成数列 ，其中 ．
①若 （ ），数列 的前n项和为 ，求 ；
②若 （ ），求数列 的前n项和 ．
参考答案：
19 / 59
学科网（北京）股份有限公司1．(1)
(2)① ；②
【分析】（1）利用等差等比数列的通项公式列方程求解；
（2）①利用条件直接求解；②求出当 为偶数时 ，然后利用倒序相加以及错位相减法求和即可.
【详解】（1）设数列 的公差为 的公比为 ，
由已知可得 ，得 ，
；
（2）① 为奇数， 为偶数．
；
②当 为偶数， 为奇数，
令 ，
，
即 ，
，
20 / 59
学科网（北京）股份有限公司所以
所以
所以
所以 .
2．(1)
(2)
【分析】（1）首先求出 ，可证明数列 为首项为 ，公差为 的等差数列，得到 ，利用
得到{a }的通项公式；
n
（2）由（1）知， ，化简可得 ，利用分组求和以及裂
项相消即可求出数列{b }的前 项和 .
n
【详解】（1）当 时，由 ，即 ，解得： ，
所以 ，则数列 为首项为 ，公差为 的等差数列；
21 / 59
学科网（北京）股份有限公司所以 ，则 ，
当 时， ，
当 时， 满足条件，
所以{a }的通项公式为
n
（2）由（1）知， ，
所以 ，
故 ，
即
3．(1)
(2)当 为偶数时， ，当 为奇数时， .
【分析】（1）根据等差数列前 和公式即可求出 ，则得到其通项公式；
（2）分 为奇数和偶数讨论并结合裂项求和即可.
【详解】（1）由题意得 是公差为2的等差数列，且 ，
即 ，又因为 ，所以 ，
所以数列 的通项公式 .
（2）由（1）知 ，
当 为偶数时， ，
22 / 59
学科网（北京）股份有限公司当 为奇数时， ，
经检验， 时，满足 ，
综上，当 为偶数时， ，
当 为奇数时， .
4．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）变形得到 ，得到结论；
（2）在（1）的基础上得到 ，进而利用分组求和可得.
【详解】（1） （ 且 ），
（ 且 ），
，
所以 是首项为2，公比为2的等比数列．
（2） 是首项为2，公比为2的等比数列，
，故 ，
.
5．(1)证明见解析；
(2) .
【分析】（1）根据通项与前 项和之间的关系，作差可得 ，即可利用等比数列的定义求解，
23 / 59
学科网（北京）股份有限公司（2）根据错位相减法求和以及分组求解，结合等差等比数列求和求解.
【详解】（1） 时， ，即 .
又 ，也符合 ，
所以 时， ，即 .
又 ，所以 ，
所以 ，所以数列 成等比数列.
（2）由（1）易得 .由 可得 ，所以 .
所以 ，
所以 .
令 ，
则 ，
所以 ，
所以 .
6．(1) ；
(2) ．
【分析】（1）当 时，求得 ，当 时，得到 ，两式相减化简得到
，结合叠加法，即可求得数列{a }的通项公式；
n
24 / 59
学科网（北京）股份有限公司（2）由（1）得到 ，求得 ，
解法1：根据题意，转化为 ，结合 ，结合基本不等式，即可求解；
解法2：根据题意，转化为 ，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】（1）解：当 时， ，解得 ，
当 时， ，
两式相减可得， ，
则 ，
叠加可得， ，则 ，
而 时也符合题意，
所以数列{a }的通项公式为 ．
n
（2）解：由（1）知 ，可得 ，
故 ；
解法1：由 ，可得 ，
即 ，即则 ，又由 ，
25 / 59
学科网（北京）股份有限公司当且仅当 时取等号，故实数 的取值范围为 ．
解法2：由 ，
可得 ，
当 ，即 时， ，
则 ，故实数 的取值范围为 ．
7．(1)
(2)
【分析】（1）先利用题给条件求得数列 是公比为3的等比数列，再求得其首项的值，进而求得数列
的通项公式；
（2）利用错位相减法即可求得数列 的前 项和 ．
【详解】（1） ， ．
， ， ，
数列 是公比为3的等比数列．
， ， ．
（2）由（1）知， ，
26 / 59
学科网（北京）股份有限公司，①
，②
① ②得
，
．
8．(1) 或 （ ）．
(2)①3036；②
【分析】（1）根据带除的定义求解， （mod3），即 能被3整除，从而得出 或 能
被3整除；
（2）①首先求出 （分奇偶项），确定出 ，用并项求和法求和；②求出 ，利用两角差的正切公式变
形通项，结合裂项相消法求和．
【详解】（1）由题意 （mod3），所以 或 （ ），即 或 （ ）．
（2）由（1）可得 为 ，所以 ．
①因为 （ ），所以 ．
．
② （ ）．
因为 ，
27 / 59
学科网（北京）股份有限公司所以
．
【点睛】关键点点睛：本题考查学生的阅读理解能力，创新意识，解题关键是正确理解新概念并能应用解
题，本题中同余问题，实质就是除以一个质数后的余数相等，问题转化后可结合数列的求和方法，两角差
的正切公式等等知识才能顺利求解．
规律方法：
(1)分组转化法求和的关键是将数列通项转化为若干个可求和的数列通项的和或差．
(2)裂项相消法的基本思路是将通项拆分，可以产生相互抵消的项．
(3)用错位相减法求和时，应注意：①等比数列的公比为负数的情形；②在写出“S”和“qS”的表达式时
n n
应特别注意将两式“错项对齐”，以便准确写出“S－qS”的表达式．
n n
【考点二】数列的综合问题
核心梳理：
数列与函数、不等式，以及数列新定义的综合问题，是高考命题的一个方向，考查逻辑推理、数学运算、
数学建模等核心素养．解决此类问题，一是把数列看成特殊的函数，利用函数的图象、性质求解；二是将
新数列问题转化为等差或等比数列，利用特殊数列的概念、公式、性质，结合不等式的相关知识求解．
一、解答题
1．（2024·辽宁辽阳·一模）已知数列 满足 .
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，证明： .
2．（2024·广东广州·二模）已知数列 中， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，记 为 的前 项和，证明： 时， .
3．（2024·浙江·模拟预测）已知实数 ，定义数列 如下：如果
28 / 59
学科网（北京）股份有限公司， ，则 ．
(1)求 和 （用 表示）；
(2)令 ，证明： ；
(3)若 ，证明：对于任意正整数 ，存在正整数 ，使得 ．
4．（2024·甘肃定西·一模）在 个数码 构成的一个排列 中，若一个较大的数
码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序（例如 ，则 与 构成逆序），这个排列的所有
逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为 ，例如， ，
(1)计算 ；
(2)设数列 满足 ，求 的通项公式；
(3)设排列 满足 ，求 ，
5．（2024·河南·三模）已知数列 的前 项和为 ，若存在常数 ，使得 对任意
都成立，则称数列 具有性质 ．
(1)若数列 为等差数列，且 ，求证：数列 具有性质 ；
(2)设数列 的各项均为正数，且 具有性质 ．
①若数列 是公比为 的等比数列，且 ，求 的值；
②求 的最小值．
6．（2024·广东深圳·二模）无穷数列 ， ，…， ，…的定义如下：如果n是偶数，就对n尽可能多次
29 / 59
学科网（北京）股份有限公司地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是 ﹔如果n是奇数，就对 尽可能多次地除以2，直到得
出一个奇数，这个奇数就是 ．
(1)写出这个数列的前7项；
(2)如果 且 ，求m，n的值；
(3)记 ， ，求一个正整数n，满足 ．
参考答案：
1．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据数列递推式，采用两式相减的方法，即可求得答案；
（2）由（1）的结果可得 的表达式，利用分组求和法，即可证明结论.
【详解】（1）由题意可知，当 时， ；
当 时，由 得， ，
两式作差可得， ，
也适合该式，故 ；
（2）证明：由题意知 ，
故
，
30 / 59
学科网（北京）股份有限公司由于 ，则 ，故 ，
即 .
2．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用递推关系，把 换成 ，得到两式相减，得到 ，再累乘后可得到通项；
（2）用错位相减法求出 ，再将证明不等式作差，之后利用导数的单调性证明即可.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
作差可得 ，变形为 ，即 ，即
，化简为 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，
所以数列{a }的通项公式为 .
n
（2）因为 ，
所以 ， ，
作差可得 ，
所以 ，
31 / 59
学科网（北京）股份有限公司，
设 ，则 在给定区间上递减，又
故 在 是减函数， ，
所以当 时， .
3．(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）观察题目条件等式中的系数可得答案；
（2） ，分别计算 和 可证明结论；
（3）先根据 无上界说明存在正整数 ，使得 ，分 是偶数和 是奇数分别说明.
【详解】（1）因为 ，所以 ；
因为 ，所以 ；
（2）由数列 定义得： ；所以 ．
而 ，
所以 ；
（3）当 ，由（2）可知， 无上界，故对任意 ，存在 ，使得 ．
设 是满足 的最小正整数．下面证明 ．
①若 是偶数，设 ，
则 ，于是 ．
32 / 59
学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以 ．
②若 是奇数，设 ，
则 ．
所以 ．
综上所述，对于任意正整数 ，存在正整数 ，使得 ．
4．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用逆序数的定义，依次分析排列 中的逆序个数， 从而得解；
（2）利用逆序数的定义得到 ，从而利用构造法推得 是等比数列，从而得解；
（3）利用逆序数的定义，结合等差数列的求和公式得到 ，再利用裂项相消法即可得解.
【详解】（1）在排列 中，与5构成逆序的有4个，与1构成逆序的有0个，
与2构成逆序的有0个，与4构成逆序的有1个，与3构成逆序的有0个，
所以 .
（2）由（1）中的方法，同理可得 ，
又 ，所以 ，
设 ，得 ，
所以 ，解得 ，则 ，
因为 ，
所以数列 是首项为1，公比为5的等比数列，
33 / 59
学科网（北京）股份有限公司所以 ，则 .
（3）因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
5．(1)证明见解析；
(2)① ；② 的最小值为4.
【分析】（1）根据给定条件，求出等差数列的公差，进而求出通项公式及前 项和，再利用定义判断即得.
（2）①根据给定条件，可得 ，再按 ， 探讨，当 时， ，又按
且 讨论得解；②由定义 ，消去 结合基本不等式得 ，
再迭代得 ，借助正项数列建立不等式求解即可.
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，由 ，得 ，
解得 ，则 ，
于是 ，即 ，
所以数列 具有性质 ．
（2）①由数列 具有性质 ，得 ，又等比数列 的公比为 ，
34 / 59
学科网（北京）股份有限公司若 ，则 ，解得 ，与 为任意正整数相矛盾；
当 时， ，而 ，整理得 ，
若 ，则 ，解得 ，与 为任意正整数相矛盾；
若 ，则 ，当 时， 恒成立，满足题意；
当 且 时， ，解得 ，与 为任意正整数相矛盾；
所以 .
②由 ，得 ，即 ，
因此 ，即 ，
则有 ，
由数列 各项均为正数，得 ，从而 ，即 ，
若 ，则 ，与 为任意正整数相矛盾，
因此当 时， 恒成立，符合题意，
所以 的最小值为4．
【点睛】易错点睛：等比数列 公比q不确定，其前n项和 直接用公式 处理问题，漏掉
对 的讨论.
6．(1) ， ， ， ， ， ， ；
(2) ；
35 / 59
学科网（北京）股份有限公司(3) （答案不唯一，满足 即可）
【分析】（1）根据数列{a }的定义，逐一求解；
n
（2）根据数列{a }的定义，分 和 分别求解；
n
（3）根据数列{a }的定义，写出 的值，即可求解.
n
【详解】（1）根据题意， ， ，
， ， ，
， ．
（2）由已知，m，n均为奇数，不妨设 ．
当 时，因为 ，所以 ，故 ；
当 时，因为 ，而n为奇数， ，所以 ．
又m为奇数， ，所以存在 ，使得 为奇数．
所以 ．
而 ，所以 ，即 ， ，无解．
所以 ．
（3）显然，n不能为偶数，否则 ，不满足 ．
所以，n为正奇数．
又 ，所以 ．
设 或 ， ．
当 时， ，不满足 ；
当 时， ，即 ．
36 / 59
学科网（北京）股份有限公司所以，取 ， 时，
即 ．
【点睛】关键点点睛：第（3）问中，发现当 时，满足 ，从而设 ， ，
验证满足条件.
规律方法：
数列的“新定义问题”，主要是指定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算等，关键是将新数列转
化为等差或等比数列，或者找到新数列的递推关系，主要考查的还是数列的基础知识．
专题精练
一、单选题
1．（23-24高二下·山西晋城·阶段练习）已知数列 满足， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二上·江苏·期末）设数列 的前 项和为 ， ， ， ，则
数列 的前 项和为 （ ）
37 / 59
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
3．（23-24高三下·江苏南京·开学考试）在数列 中，已知 ， ，则 的前11项的
和为（ ）
A．2045 B．2046 C．4093 D．4094
4．（2024·四川南充·模拟预测）如图所示的一系列正方形图案称为“谢尔宾斯基地毯”，在4个大正方形
中，着色的小正方形的个数依次构成一个数列{a }的前4项. 记 ，则下列结论正确的
n
为（ ）
A． B．
C． D． 与 的大小关系不能确定
5．（2024·全国·模拟预测）已知 是等比数列 的前n项和， ， ，若关于n的不等式
对任意的 恒成立，则实数t的最大值为（ ）
A．12 B．16 C．24 D．36
6．（2023·湖北武汉·三模）将 按照某种顺序排成一列得到数列 ，对任意 ，如果
，那么称数对 构成数列 的一个逆序对.若 ，则恰有2个逆序对的数列 的个数为
（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．（2024·江苏徐州·一模）已知数列 的前n项和为 ，且 ， ．若 ，则正整
38 / 59
学科网（北京）股份有限公司数k的最小值为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
8．（2024·云南·模拟预测）当前，全球新一轮科技革命和产业变革蓬勃发展，汽车与能源､交通､信息通信
等领域有关技术加速融合，电动化､网联化､智能化成为汽车产业的发展潮流和趋势.某车企为转型升级，从
2024年起大力发展新能源汽车，2024年全年预计生产新能源汽车10万辆，每辆车的利润为2万元.假设后
续的几年中，经过车企关键核心技术的不断突破和受众购买力的提升，每年新能源汽车的产量都比前一年
增加 （假设每年生产的新能源汽车都能销售出去），每辆车的利润都比前一年增加2000元，则至
2030年年底，该汽车集团销售新能源汽车的总利润约为（ ）参考数据： ，结果精确到0.1）
A．320.5亿元 B．353.8亿元 C．363.2亿元 D．283.8亿元
二、多选题
9．（2024·全国·模拟预测）对函数 给出如下新定义：若在区间 上 为定值（其中 表示
不超过 的最大整数，如 ），则称 为 的一个“整元”，将区间
上从左到右所有“整元”的和称为 在 上的“整积分”，下列说法正确的是（ ）
A． 在区间 上的“整积分”为
B． 在区间 上的“整积分”为4950
C． 在区间 上的“整积分”为
D． 在区间 上的“整积分”为
10．（2024·山东济宁·三模）已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，数列 的前 项和为
，且满足 ，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．数列 是等比数列
39 / 59
学科网（北京）股份有限公司C．数列 是等差数列 D．若 ，则
11．（23-24高三下·江西·开学考试）已知数列 的前 项和为 ，且 ，数列
与数列 的前 项和分别为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．（2024·全国·模拟预测）已知数列 满足 ， ， ，数列 ，满足
，则数列 的前2024项的和为 ．
13．（2024·浙江·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且 ，数列 的前 项和为 ，
且 ，则满足 的正整数 的最小值为 .
14．（2024·江苏南通·模拟预测）定义：[x]表示不大于 的最大整数， 表示不小于 的最小整数，如
， .设函数 在定义域 上的值域为 ，记 中元素的个数为 ，
则 ，
四、解答题
15．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知数列 的前n项和为 ，且满足 ．
(1)求数列 的通项公式；
40 / 59
学科网（北京）股份有限公司(2)已知 ，求数列 的前n项和为 ．
16．（2024·宁夏·一模）已知公差不为零的等差数列 的前n项和为 ， ，且 ， ， 成等比
数列．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，证明： ．
17．（2024·山东菏泽·一模）已知数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ， ，求证： ．
18．（23-24高三下·湖北武汉·阶段练习）已知常数 ，在成功的概率为 的伯努利试验中，记 为
首次成功时所需的试验次数， 的取值为所有正整数，此时称离散型随机变量 的概率分布为几何分布.
(1)对于正整数 ，求 ，并根据 ，求 ；
(2)对于几何分布的拓展问题，在成功的概率为 的伯努利试验中，记首次出现连续两次成功时所需的试验
次数的期望为 ，现提供一种求 的方式：先进行第一次试验，若第一次试验失败，因为出现试验失败
对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是 ，即总的试验次数为 ；若第一次试验成
功，则进行第二次试验，当第二次试验成功时，试验停止，此时试验次数为2，若第二次试验失败，相当
于重新试验，此时总的试验次数为 .
（i）求 ；
（ii）记首次出现连续 次成功时所需的试验次数的期望为 ，求 .
41 / 59
学科网（北京）股份有限公司19．（2023·北京东城·一模）已知数表 中的项 互不相同，且
满足下列条件：
① ；
② .
则称这样的数表 具有性质 .
(1)若数表 具有性质 ，且 ，写出所有满足条件的数表 ，并求出 的值；
(2)对于具有性质 的数表 ，当 取最大值时，求证：存在正整数 ，使得
；
(3)对于具有性质 的数表 ，当n为偶数时，求 的最大值.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D C C C B C B BCD BC
题号 11
答案 BCD
1．C
【分析】根据递推关系利用累乘法求出通项 ，利用错位相减法求出 的前100项和得解.
【详解】由 ，得 ，
所以 ， ， ， ， （ ， ），
累乘可得 ，又 ，得 .
设 ①，
则 ②，
42 / 59
学科网（北京）股份有限公司①-②得 ，
，
，
.
故选：C.
2．D
【分析】根据已知条件构造 为常数列，求出 ，再利用裂项相消法求和即可.
【详解】 ，且 ，
，即 ， ，
故数列 为常数列，且 ，
，则 ，
故数列 的前 项和 .
故选：D.
3．C
【分析】根据给定条件，求出 ，再利用并项求和法，即可计算得解.
【详解】由 ，得 ，而 ，解得 ，
所以{a }的前11项的和
n
43 / 59
学科网（北京）股份有限公司.
故选：C
4．C
【分析】根据图象的规律，归纳各项，通过放缩结合等比数列的求和公式即可求解.
【详解】由图分析可知 ， ，
，
，
依次类推， ，
所以
.
故选： .
5．C
【分析】由等比数列的前n项和公式列出关于 和公比q的方程，解出 ，q，即可写出 与 ，再将不
等式 化简，参变分离得 对任意的 恒成立，可构造函数，利用作差法判
断函数的最小值，求得t的最大值，也可利用基本不等式进行求解．
【详解】设等比数列{a }的公比为 ，则 ，
n
解得 ，∴ ．∴关于n的不等式 ，
即 ，即 对任意的 恒成立．
44 / 59
学科网（北京）股份有限公司解法一 设 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
当 时， ，
又 ，∴当 或 时， ，∴ ．
故选:C．
解法二 由 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
又 ，∴当 或 时， 取得最小值24，故 ．
故选:C．
6．B
【分析】根据逆序对的定义，分数列 的第一个数为 ，数列 的第二个数为 ，数列 的第三个
数为 ，数列 的第四个数为 ，四种情况讨论即可.
【详解】若 ，则 ，
由 构成的逆序对有 ，
若数列 的第一个数为 ，则至少有 个逆序对，
若数列 的第二个数为 ，
则恰有2个逆序对的数列 为 ，
若数列 的第三个数为 ，
则恰有2个逆序对的数列 为 或 ，
45 / 59
学科网（北京）股份有限公司若数列 的第四个数为 ，
则恰有2个逆序对的数列 为 ，
综上恰有2个逆序对的数列 的个数为 个.
故选：B.
7．C
【分析】根据给定的递推公式，构造等比数列求出 ，再求解不等式即得.
【详解】数列 中， ，当 时， ，则 ，
整理得 ，即 ，而 ，即 ，
因此数列 是以 为首项，公比为 的等比数列， ，
则 ，由 ，知 为奇数，此时 是递增的，
而 ， ，
所以正整数k的最小值为13.
故选：C
8．B
【分析】先求得每辆车的利润{a }和该汽车的销量{b }的表达式，故可得 ，
n n
再结合错位相减法可求得答案
【详解】设第 年每辆车的利润为 万元，则每辆车的利润{a }是以2为首项，0.2为公差的等差数列，
n
所以 ，设第 年新能源汽车的销量为 辆，
则该汽车的销量{b }是以100000为首项，1.2为公比的等比数列，所以 ，
n
设该车企销售新能源汽车的总利润为 ，
46 / 59
学科网（北京）股份有限公司①，
，②
①-②得：
，
所以 万元，即 亿元，
故选：B.
9．BCD
【分析】根据新定义对各选项逐项分析即可得解.
【详解】A选项， ，所以区间 上的“整积分”为 ，故 选项
错误；
B选项，当 时， ；当 时， ，以此类推，当 时，
，
所以区间 上的“整积分”为 ，故B选项正确；
C选项，当 时， ；
当 时， ；当 时， ，以此类推，
当 时， ，
故区间 上的“整积分”为
47 / 59
学科网（北京）股份有限公司，故C选项正确；
选项，当 时， ，“整元”为 ；
当 时， ，“整元”为 ；当 时， ，“整元”为
，以此类推，当 时， ，“整元”为 ．
设 在区间 上的“整积分”为 ，则 ①，
所以 ②，② ①得
，故D选项正
确，
故选：BCD．
10．BC
【分析】由数列 的前 项和为 求出 判断B；由递推公式探讨数列 的特性判断C；求出 判断
A；由 求出 ，再利用裂求和法求解即得.
【详解】由 ，得 ， ，
当 时， ， 满足上式，因此 ，
数列 是等比数列，B正确；
由 ，得 ， ，解得 ， ，A错误；
当 时， ，两式相减得 ，
于是 ，两式相加得 ，
48 / 59
学科网（北京）股份有限公司整理得 ，因此数列 是等差数列，C正确；
当 时，等差数列 的公差为1，通项 ， ，
所以 ，D错误.
故选：BC
11．BCD
【分析】由 ，化简得到 ，得出 是以 为首项，公比为 的等
比数列，求得 ，结合数列的性质，以及数列的求和方法，逐项判定，即可求解.
【详解】由 两边同时除以 ，
可得 ，所以 ， ，
故数列 是以 为首项，公比为 的等比数列，
所以 ，即 ，
对于A中，因为 ，可得 ，所以 ，
即 ，所以A错误；
对于B中，由 ，
所以 ，
所以B正确；
49 / 59
学科网（北京）股份有限公司对于C中，由 ，
可得
，所以C正确；
对于D中，由 ，
当 时， 显然成立；
当 时， ，
所以 ，所以D正确.
故选：BCD.
12．1
【分析】利用数列的递推公式求出数列的项，再利用特殊角的三角函数值及数列的周期性，结合数列的求
和公式即可求解.
【详解】因为 ， ，
所以
…，
所以数列{a }的各项依次为3，1， ， ， ，2，3，1， ， ， ，2，…，其周期为6．
n
，
，
，
50 / 59
学科网（北京）股份有限公司，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
…，
所以数列{b }是周期为12的周期数列，前12项依次为3，0，2，0， ，0， ，0， ，0，1，0，
n
其前项12的和为 ．
又 ，
所以数列{b }的前2024项的和为等于前8项的和 ．
n
故答案为： .
13．15
51 / 59
学科网（北京）股份有限公司【分析】利用裂项相消法求出 ，代入已知整理得 ，然后取对数，利用裂项相消法可得 ，解
不等式即可.
【详解】因为 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
整理得 ，
所以 ，
所以 ，
令 ，解得 .
所以正整数 的最小值为15.
故答案为：15
【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于通过分母有理化裂项求 ，取对数，利用对数运算裂项求 ，然
后可解.
14． 3
【分析】分别求出 ， ， 时， 的值域，可得 ， ， ，推得 ， ，利
用累加法求出 ，由数列的裂项相消求和，计算即可.
【详解】由函数 在定义域 上的值域为 ，记 中元素的个数为 ，
当 时， ，可得 ， ， ，即 ，
52 / 59
学科网（北京）股份有限公司当 时， ，可得 或 ， 或 ， 或1或2，即 ，
当 时， ，可得 或1或2， 或 或 ， 或1或2或4或5或6，即
，
当 时，函数 在定义域 上的值域为 ，记 中
元素的个数为 ，
当 时，函数 在定义域 上的值域为 ，
记 中元素的个数为 ，设 ，则 ， ，
所以 ，
则可得递推关系： ，
所以 ,
当 时， 成立，则 ，则 ，
所以 ，
故答案为：3；
【点睛】关键点点睛：本题考查数列的新定义题，解题关键是找到递推关系： ，
结合累加法求出数列通项，利用裂项相消求出前 项和.
15．(1)
(2)
53 / 59
学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）根据 得到 是以1为首项，2为公比的等比数列，得到数列 的通
项公式；
（2） ，结合等差数列和等比数列求和公式进行分组求和.
【详解】（1） ①，
当 时， ，解得 ，
当 时， ②，
式子①-②得 ，故 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以 ；
（2） ，
.
16．(1) ；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据等差数列及等比数列的定义与性质计算即可；
（2）利用裂项相消法求和即可证明不等式.
【详解】（1）设 的公差为 ，则根据题意有 ，
54 / 59
学科网（北京）股份有限公司解之得 ，所以 ，
即 的通项公式为 ；
（2）由上可知 ，
所以 ，
则 ，
易知 ,
.
17．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用 与 项的关系，结合等比数列的定义及通项公式即可求解；
（2）利用（1）的结论及对数的运算，利用裂项相消法求数列 的前 项和即可求解.
【详解】（1）由 ①，
当 时， 解得 ，
当 时， ②，
①-②，得 ，
数列 是以首项为 ，公比为 的等比数列，
．
55 / 59
学科网（北京）股份有限公司经验证 符合上式，所以 ．
（2）由（1）知 ，
， ．
则 ，
故
，
所以 ， ， ，
故 .
18．(1) ， ；
(2)（i） ；（ii）
【分析】（1）先求出 ，得到期望的表达式，结合错位相减法求和及极限可得答案；
（2）（i）根据 可能发生的三种情况即可求解. （ii）根据题意得到 ，利用递推关系可得
.
【详解】（1）由题可知 ，
记 ，
56 / 59
学科网（北京）股份有限公司则 ，
相减得：
；
由题意： .
（2）（i） .
解得： .
（ii）期待在 次试验后，首次出现连续 次成功，若下一次试验成功，则试验停止，此时试验次数
为 ；若下一次试验失败，相当于重新试验，后续期望仍是 ，此时总的试验次数为 .
即 .
整理得： ，即 ，
是公比为 的等比数列，
所以 .
由（1）知 ，
代入得： .
19．(1)答案见解析
(2)证明见解析
57 / 59
学科网（北京）股份有限公司(3)
【分析】（1）根据题意写出满足性质 的所有数表 ，再分别计算即可；
（2）根据题意，可知当 取最大值时，存在 ，使得 ，由数表 具有性质 可
得 为奇数，不妨设此时数表为 ，再利用反证法证明即可；
（3）结合性质 可得 ，
，两式相加可得得 ，结合 ，可得
，构造数表 ，结
合性质 进而可以求解.
【详解】（1）满足条件的数表 为 ，
所以 的值分别为5，5，6.
（2）若当 取最大值时，存在 ，使得 .
由数表 具有性质 可得 为奇数，
不妨设此时数表为 .
①若存在 （ 为偶数， ），使得 ，交换 和 的位置，所得到的新数表也具有性质 ，
调整后数表第一行和大于原数表第一行和，与题设矛盾，所以存在 ，使得 .
②若对任意的 （ 为偶数， ），都有 ，交换 和 的位置，所得到的新数表也具有性
质 ，此时转化为①的情况.
综上可知，存在正整数 ，使得 .
58 / 59
学科网（北京）股份有限公司（3）当n为偶数时，令 ， ，对任意具有性质 数表 ，
一方面， ，
因此 ．①
另一方面， ，
因此 .②
记 ．
由①+②得 .
又 ，可得 .
构造数表
可知数表 具有性质 ，且 .
综上可知，当n为偶数时， 的最大值为 .
【点睛】方法点睛：在证明抽象问题时，常常使用反证法：先设题设不成立，结合条件推出矛盾，即可说
明题目成立.
59 / 59
学科网（北京）股份有限公司
