文档内容
第3讲 数列的递推关系（新高考专用）
目录
【真题自测】.................................................................................................................................2
【考点突破】.................................................................................................................................3
【考点一】构造辅助数列................................................................................................................3
【考点二】利用a 与S 的关系........................................................................................................4
n n
【专题精练】.................................................................................................................................5
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学科网（北京）股份有限公司考情分析：
数列的递推关系是高考重点考查内容，作为两类特殊数列——等差数列、等比数列，可直接根据它们的通
项公式求解，但也有一些数列
真题自测
一、单选题
1．（2023·北京·高考真题）已知数列 满足 ，则（ ）
A．当 时， 为递减数列，且存在常数 ，使得 恒成立
B．当 时， 为递增数列，且存在常数 ，使得 恒成立
C．当 时， 为递减数列，且存在常数 ，使得 恒成立
D．当 时， 为递增数列，且存在常数 ，使得 恒成立
2．（2022·浙江·高考真题）已知数列 满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·浙江·高考真题）已知数列 满足 .记数列 的前n项和为 ，则
（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
4．（2022·北京·高考真题）已知数列 各项均为正数，其前n项和 满足 ．给出下
列四个结论：
① 的第2项小于3； ② 为等比数列；
③ 为递减数列； ④ 中存在小于 的项．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题
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学科网（北京）股份有限公司5．（2022·全国·高考真题）记 为数列 的前n项和．已知 ．
(1)证明： 是等差数列；
(2)若 成等比数列，求 的最小值．
6．（2022·全国·高考真题）记 为数列 的前n项和，已知 是公差为 的等差数列．
(1)求 的通项公式；
(2)证明： ．
考点突破
【考点一】构造辅助数列
一、单选题
1．（2024·山东潍坊·一模）已知数列{a }满足 ， ．若数列 是公比为2的等比数列，则
n
（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）若数列 满足 ， ，则满足不等
式 的最大正整数 为（ ）
A．28 B．29 C．30 D．31
二、多选题
3．（2024·湖南长沙·一模）小郡玩一种跳棋游戏，一个箱子中装有大小质地均相同的且标有 的10个
小球，每次随机抽取一个小球并放回，规定：若每次抽取号码小于或等于5的小球，则前进1步，若每次
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学科网（北京）股份有限公司抽取号码大于5的小球，则前进2步.每次抽取小球互不影响，记小郡一共前进 步的概率为 ，则下列说
法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．小华一共前进3步的概率最大
4．（2023·辽宁朝阳·一模）已知数列 满足 ，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A．数列 为递减数列 B．
C． D．
三、填空题
5．（23-24高二上·广东河源·期末）已知正项数列 满足 ，则 .
6．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且 .若 ，
则 的最小值为 .
规律方法：
(1)形如a －a ＝f(n)的数列，利用累加法，即利用公式 a ＝(a －a )＋(a －a )＋…＋(a －a)＋
n＋1 n n n n－1 n－1 n－2 2 1
a(n≥2)，即可求数列{a}的通项公式．
1 n
(2)形如＝f(n)的数列，常令n分别为1,2,3，…，n－1，代入＝f(n)，再把所得的(n－1)个等式相乘，利用a
n
＝a···…·(n≥2)即可求数列{a}的通项公式．
1 n
(3)形如a ＝(p，q≠0)的数列，取倒数可得＝＋，即－＝，构造等差数列求通项公式．
n＋1
(4)若数列{a}满足a ＝pa＋q(p≠0,1，q≠0)，构造a ＋λ＝p(a＋λ)．
n n＋1 n n＋1 n
(5)若数列{a}满足a ＝pa＋f(n)(p≠0,1)，构造a ＋g(n＋1)＝p[a＋g(n)]．
n n＋1 n n＋1 n
【考点二】利用an与Sn的关系
一、单选题
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学科网（北京）股份有限公司1．（2024·山西晋中·模拟预测）已知正项数列 的前 项和为 ，若 ，且
恒成立，则实数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
2．（2024·江苏·一模）已知正项数列 满足 ，若 ，则
（ ）
A． B．1 C． D．2
二、多选题
3．（2024·贵州贵阳·二模）设首项为1的数列 前 项和为 ，已知 ，则下列结论正确
的是（ ）
A．数列 为等比数列 B．数列 的前 项和
C．数列 的通项公式为 D．数列 为等比数列
4．（2024·全国·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 是等差数列
B．若 ，则 是等比数列
C．若 ，则数列 为递增数列
D．若数列 为等差数列， ，则 最小
三、填空题
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学科网（北京）股份有限公司5．（23-24高三上·广东东莞·期中）已知数列 的前 项和， ，则 .
6．（23-24高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）已知数列{a }满足 ，设数列
n
{a }的前 项和为 ，则 =
n
规律方法：
在处理S，a 的式子时，一般情况下，如果要证明f(a)为等差(等比)数列，就消去S，如果要证明f(S)为等
n n n n n
差(等比)数列，就消去a；但有些题目要求求{a}的通项公式，表面上看应该消去S，但这会导致解题陷入
n n n
死胡同，这时需要反其道而行之，先消去a，求出S，然后利用a＝S－S (n≥2)求出a(n≥2)．
n n n n n－1 n
专题精练
一、单选题
1．画 条直线，将圆的内部区域最多分割成（ ）
A． 部分 B． 部分
C． 部分 D． 部分
2．已知数列 满足 ，其中 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．已知数列 的前 项和为 ，若 ，则数列 的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
4．数列 满足 ， （ ）， ，若数列 是递减数列，则实数
的取值范围是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
5．已知数列 满足， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．已知数列 的前 项和为 ，若 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
7．设数列{a }的前 项和为 ，若 ，且 ，则（ ）
n
A． B． C． D．
8．数列 的前 项和为 ，则 可以是（ ）
A．18 B．12 C．9 D．6
二、多选题
9．数列 满足 ，且对任意的 都有 ，则（ ）
A． B．数列 的前 项和为
C．数列 的前 项和为 D．数列 的第 项为
10．已知数列 满足 ， ， ，则下列结论错误的是（ ）
A． B．存在 ，使得
C． D．
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学科网（北京）股份有限公司11．设无穷数列{a }的前 项和为 ，且 ，若存在 ，使 成立，则
n
（ ）
A．
B．
C．不等式 的解集为
D．对任意给定的实数 ，总存在 ，当 时，
三、填空题
12．记数列 的前 项和为 ，若 ，则 .
13．已知数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 .
14．设数列 的前 项和为 ， ， ， ，则 .
四、解答题
15．已知数列 满足 ， （ ）．
(1)求数列 的通项公式；
(2)记数列 的前 项和为 ，证明： ．
16．已知等差数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)数列 满足 ，令 ，求证： ．
17．已知数列 的前n项和为 ，在数列 中， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)设 ， 为数列 的前n项和，求 的最值．
18．记 为数列 的前 项和，若 ， .
(1)求 ；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
19．网球运动是一项激烈且耗时的运动，对于力量的消耗是很大的，这就需要网球运动员提高自己的耐力．
耐力训练分为无氧和有氧两种训练方式．某网球俱乐部的运动员在某赛事前展开了一轮为期90天的封闭集
训，在封闭集训期间每名运动员每天选择一种方式进行耐力训练．由训练计划知，在封闭集训期间，若运
动员第 天进行有氧训练，则第 天进行有氧训练的概率为 ，第 天进行无氧训练的
概率为 ；若运动员第 天进行无氧训练，则第 天进行有氧训练的概率为 ，第 天进行无氧训练
的概率为 ．若运动员封闭集训的第1天进行有氧训练与无氧训练的概率相等．
(1)封闭集训期间，记3名运动员中第2天进行有氧训练的人数为 ，求 的分布列与数学期望；
(2)封闭集训期间，记某运动员第 天进行有氧训练的概率为 ，求 ．
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