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易错点 07 数列求和、数列综合应用
高考数列求和部分重点考查裂项相消法和错位相减法，多为解答题第二问，难度为中
档.
易错点1：已知数列{a }的前n项和S 与通项a 的关系式，求a 时应注意分类讨论的应用，
n n n n
特别是在利用a ＝S －S 进行转化时，要注意分n＝1和n≥2两种情况进行讨论，学生
n n n－1
特别是容易忽视要检验n＝1是否也适合a .
n
易错点2已知数列{a }的前n项和S 与通项a 的关系式，求a 时应注意分类讨论的应用，
n n n n
特别是在利用a ＝S －S 进行转化时，要注意分n＝1和n≥2两种情况进行讨论，学生
n n n－1
特别是容易忽视要检验n＝1是否也适合a .
n
易错点3：用裂项相消法求和时,注意裂项后的系数以及搞清未消去的项
易错点4：利用错位相减法求解数列的前n项和时，应注意两边乘以公比后，对应项的幂
指数会发生变化，为避免出错，应将相同幂指数的项对齐，这样有一个式子前面空出一项
另外一个式子后面就会多了一项，两式相减，除第一项和最后一项外，剩下的 n－1项是
一个等比数列．
易错点5：含有字母的数列求和,常伴随着分类讨论.
易错点6：数列中的最值错误。
数列的通项公式、前n项和公式都是关于正整数的函数，要善于从函数的观点认识和
理解数列问题。但是考生很容易忽视n为正整数的特点，或即使考虑了n为正整数，但对
于n取何值时，能够取到最值求解出错。在关于正整数n的二次函数中其取最值的点要根
据正整数距离二次函数的对称轴远近而定。
题组一、利用常用求和公式求和
1.（2019全国3理14）记 S n为等差数列 {a n } 的前n项和，若 a 1 0 ， a 2 3a 1，
S
10
S
则 5 ．
2．（2019•新课标Ⅰ，理9）记 为等差数列 的前 项和．已知 ， ，则
A． B． C． D．
3.（2019全国1理14）记 为等比数列 的前 项和．若 ， ，则 ．
4．（2017新课标Ⅲ）等差数列 的首项为1，公差不为0．若 成等比数列，则
前6项的和为_____.
5.（2018全国卷Ⅲ）等比数列 a n 中， a 1 1，a 5 4a 3．记 S n为 a n 的前n项和．
若 S m 63 ，m ．
=________6．(2018全国卷Ⅰ)记 为数列 的前 项和，若 ，则 _____．
题组二、裂项法求和
7.（2017新课标Ⅱ）等差数列 的前项和为 ， ， ，
则 ．
8.（2015新课标Ⅰ）已知 ,设 ，数列 的前n项和 =______.
（2011新课标）已知 ,设
9.
数列 的前n项和 =___________.
{a } n S S 0 S 5
10.（2013新课标1）已知等差数列 n 的前 项和 n满足 3 ， 5 ．
1
{ }
{a } a a n
（1）求 n 的通项公式；（2）求数列 2n1 2n1 的前 项和．
题组三、错位相减法求和
11．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设 是首项为1的等比数列，数列
满足 ．已知 ， ， 成等差数列．
（1）求 和 的通项公式；
（2）记 和 分别为 和 的前n项和．证明： ．
12．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)设 是公比不为1的等比数列， 为 ， 的等
差中项．
(1)求 的公比；
(2)若 ，求数列 的前 项和．
13．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)设数列{a}满足a=3， ．
n 1
(1)计算a，a，猜想{a}的通项公式并加以证明；
2 3 n
(2)求数列{2na}的前n项和S．
n n
a>0,b>0, 1 + 1 =√ab a3 +b3 a , b
14.（2014新课标1）已知 是递增的等差数列，ab ， 是方程C
2a+3b=6
的根．(Ⅰ)求 的通项公式；（Ⅱ）求数列 的前P项和．
题组四、分组法求和
15.（2012新课标）数列 满足 ，则 的前 项和为 .
16．（2016年全国II） 为等差数列 的前n项和，且 ， ．记 ，
其中 表示不超过x的最大整数，如 ， ．
题组五、数列中的最值
17．（2018全国卷Ⅱ）记 为等差数列 的前 项和，已知 ， ．
(1)求 的通项公式；(2)求 ，并求 的最小值．
18．（2019•新课标Ⅰ，文18）记 为等差数列 的前 项和，已知 ．
（1）若 ，求 的通项公式；
S ≥a
（2）若 ，求使得 n n的 的取值范围．
19．（2018•新课标Ⅱ，理（文）17）记 为等差数列 的前 项和，已知 ，
．
（1）求 的通项公式；
（2）求 ，并求 的最小值．
{a } S S =0 S =25
20.（2013新课标2）等差数列 n 的前n项和为 n，已知 10 ， 15 ，
S
则n n的最小值为 。
1．已知数列 满足 ， ，记 的前n项和为 ，则满足
不等式 的最小整数n的值为（ ）
A．61 B．62 C．63 D．64
2．“斐波那契数列”又称“兔子”数列，是由意大利数学家里昂那多斐波那契发现的，该数列满足： ， ， （ ， ），若 ，则其前2022项
和为（ ）
A．G B． C．-G D．
3．已知数列 为 的前 项和，其中 ，则
（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
4．等比数列 ， ， ， 成公差不为0的等差数列， ，则数列 的前10
项和 （ ）
A． B． C． D．
5．已知数列 ，满足 ，则
等于（ ）
A． B． C． D．
6．已知数列 是首项与公差均为1的等差数列，则
（ ）
A． B． C． D．
7．已知数列 的首项为2，前n项和为 ， ， .若数列
的前n项和为 ，则满足 成立的n的最小值为______.
8．等差数列 中， ， ，若数列 的前n项和为 ，则
___________.
9．已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， .(1)求 的通项公式以及 ；
(2)若数列 ，求数列 的前 项和 .
10．已知数列 的前n项和为 ，且 ．
(1)证明： 是等比数列．
(2)设 ，求数列 的前n项和 .
