文档内容
专题 12 解一元一次方程（一）---合并同类项与移项
（3 个知识点 5 种题型 1 个易错点 2 个中考考点）
【目录】
倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.解一元一次方程-----合并同类项（重点）
知识点2解一元一次方程------移项（重点）
知识点3.列方程解应用题（难点）
【方法二】 实例探索法
题型1.绝对值方程的求解
题型2.列一元一次方程求值
题型3.用方程的相关定义确定字母的值
题型4.利用方程解决实际问题
题型5.利用一元一次方程解数字规律问题
【方法三】差异对比法
易错点 移项不变号
【方法四】 仿真实战法
考法1.用移项法解一元一次方程
考法2.列一元一次方程解应用题
【方法五】 成果评定法
【学习目标】
1. 能用合并同类项与移项解一元一次方程。
2. 体会用一元一次方程解决具体问题的过程，逐步认识数学是解决实际问题的重要工具。
【知识导图】【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1.解一元一次方程-----合并同类项（重点）
列方程解应用题的步骤：
①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系
②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x）
③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系
④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程
⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值
⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称）
【例1】．（22·23下·唐山·开学考试）把方程 变形为 ，其依据是（ ）
A．分数的基本性质 B．等式的基本性质1 C．等式的基本性质 2 D．解方程中
的移项
【答案】C
【分析】根据等式的性质分析即可．
【详解】解：
两边都乘以3，得
∴把方程 变形为 ，其依据是等式的基本性质 2．
故选:C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，正确掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．
【变式1】．（23·24上·全国·课时练习）若 的3倍比 的2倍多15，则 的值为（ ）A．5 B．10 C．15 D．30
【答案】C
【分析】根据题意可得： ，再解方程即可.
【详解】解：根据题意可得： ，
解得 ；
故选：C.
【点睛】本题考查了列一元一次方程和解一元一次方程，正确列出方程是关键.
【变式2】．一个密封的瓶子里装着一些水（如图所示），已知瓶子的底面积为 ，请你根据图中标
明的数据，计算瓶子的容积是 ．
A．80 B．70 C．60 D．50
【解答】解：设体积为 ，则 ，
解得 ．
故选： ．
知识点2解一元一次方程------移项（重点）
【例2】．（23·24上·西城·期中）若关于 的方程 的解与方程 的解相同，则 的值是
．
【答案】
【分析】本题考查了方程的解以及解方程，先求出方程 的解，再代入方程 ，得到关于
的一元一次方程，求解即可．
【详解】解：解方程 ，得： ，
因为，方程 的解与方程 的解相同，
所以，将 代入方程 ，得： ，
解得： ，
故答案为： ．【变式】．（23·24上·怀化·期中）若 是关于x的一元一次方程，则方程的解是
．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程的定义，解一元一次方程，根据一元一次方程的定义，最高次为1次，
且一次项系数不为0，得出 ，解方程即可求解．
【详解】解：∵ 是关于x的一元一次方程，
∴ ，
解得： ，
∴原方程为 ，
解得： ，
故答案为： ．
知识点3.列方程解应用题（难点）
【例3】．（22·23下·海口·期中）若代数式 的值为 ，则x的值是（ ）
A． B． C．1 D．9
【答案】C
【分析】利用解方程集题即可．
【详解】解：由题可知 ，解得 ，
故选C．
【点睛】本题考查解方程，掌握移项的法则是解题的关键．
【变式1】．（23·24七年级上·重庆綦江·期中）关于x的方程 的解为 ，则m的值为（
）
A．2 B．6 C．－2 D．3
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，把方程的解代入原方程求解即可．
【详解】解：∵关于x的方程 的解为 ，
，
，
即 ，解得： ，
故选：A．
【变式2】．（23·24七年级上·陕西西安·阶段练习）超越梦想：阅读下面材料：点A、 在数轴上分别表示
有理数 、 ，A、 两点之间的距离表示为 ．当A、 两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，
如图1， ，当A、 两点都不在原点时，
点A、 在原点的右边，如图2， ；
点A、 在原点的左边，如图3， ；
点A、 在原点的两边，如图4， ．
综上，数轴上A、 两点的距离 ．
回答下列问题：
(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是______，数轴上表示 和 的两点之间的距离是______，数轴
上表示1和 的两点之间的距离是______．
(2)数轴上表示 和 的两点A和 之间的距离是______，如果 那么 为______．
(3)当代数式 取最小值时，相应 的取值范围是______，最小值为______．
【答案】(1)3，3，4
(2) ，1或
(3) ，3
【分析】（1）根据题目已知中的A、B两点间的距离表示为 即可解答；
（2）根据题目已知中的A、B两点间的距离表示为 ，解出即可；（3）求 的最小值，由线段的性质：两点之间，线段最短，可知当 时，
有最小值，再根据绝对值的性质即可求出最小值．
【详解】（1）解：数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，
数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是 ，
数轴上表示1和 的两点之间的距离是 ；
故答案为：3，3，4；
（2）解：数轴上表示x和 的两点A，B之间的距离是 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
；
故答案为： ，1或 ；
（3）解： 的最小值为3，此时x的取值是 ．
故答案为：3， ．
【点睛】本题考查了绝对值和数轴，借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题，反
之，有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题．
【方法二】实例探索法
题型1.绝对值方程的求解
1．（23·24七年级上·福建厦门·期中）（1）化简： ；
（2）解方程： ．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）本题考查了整式的加减，直接合并同类项，即可求解；（2）本题考查了解一元一次方程，根据解一元一次方程的步骤解方程，即可求解．
【详解】解：（1）
（2）
移项得，
合并同类项，得，
题型2.列一元一次方程求值
2．（23·24七年级上·天津滨海新·期中）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将方程合并同类项，将系数化为1进行计算即可求解；
（2）将方程合并同类项，将系数化为1进行计算即可求解．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求
出解．
题型3.用方程的相关定义确定字母的值
3．同学们，我们在本期教材中曾经学习过绝对值的概念：在数轴上，表示一个数 的点与原点的距离叫做
这个数的绝对值，记作 ．实际上，数轴上表示数 的点与原点的距离可记作 ；数轴上表示数 的点与表示数2的点的距离
可记作 ，也就是说，在数轴上，如果 点表示的数记为 点表示的数记为 ，则 两点间的距
离就可记作 ．
【学以致用】
（1）数轴上表示1和 的两点之间的距离是_______；
（2）数轴上表示 与 的两点 和 之间的距离为2，那么 为________．
【解决问题】
如图，已知 分别为数轴上的两点，点 表示的数是 ，点 表示的数是50．
（3）现有一只蚂蚁 从点 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左移动，同时另一只蚂蚁 恰好从
点 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右移动．
①求两只蚂蚁在数轴上相遇时所用的时间；
②求两只蚂蚁在数轴上距离10个单位长度时的时间．
【数学理解】
（4）数轴上两点 对应的数分别为 ，已知 ，点 从 出发向右以每秒3个单位
长度的速度运动．表达出 秒后 之间的距离___________（用含 的式子表示）．
【答案】（1） ；（2） 或 ；（3）① ；② 或 ；（4）
【分析】（1）直接利用 两点间的距离公式 进行计算即可得到答案；
（2）由数轴上表示 与 的两点间的距离为 ，列方程 再解方程可得答案；
（3）①由路程除以两只蚂蚁的速度和可得答案；②设 后两只蚂蚁在数轴上距离10个单位长度，再分别
表示 后 对应的数为 对应的数为 ，用含 的代数式表示 再列方程，解方程可得答
案；
（4）先求解 的值，再表示 后 对应的数为 ，再利用两点间的距离公式表示 之间的距离即可得到答案．
【详解】解：（1）数轴上表示1和 的两点之间的距离是
故答案为：
（2）由题意得：
或
或
故答案为： 或
（3）①由题意可得：
所以两只蚂蚁在数轴上相遇时所用的时间为：
②如图，设 后两只蚂蚁在数轴上距离10个单位长度，
由题意得： 后 对应的数为 对应的数为 ，
，
或 ，
或 ，
经检验： 或 符合题意，
所以当 或 两只蚂蚁在数轴上距离10个单位长度．
（4） ，
且 ，
如图， 秒后 对应的数为： ，故答案为：
【点睛】本题考查的是数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，绝对值方程的应用，非负数的性质，
一元一次方程的解法，整式的加减运算，掌握以上知识是解题的关键．
题型4.利用方程解决实际问题
4．（23·24六年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先将方程变形为 ，再在方程两边同时除以7，可得方程的解；
（2）先将方程变形为 ，再在方程两边同时除以10，可得方程的解；．
【详解】（1）
（2）【点睛】本题考查了解方程，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键．
题型5.利用一元一次方程解数字规律问题
5．（23·24七年级上·广东广州·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
(1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是________；数轴上表示 和2两点之间的距离是________；一般
地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离可以表示为 ，那么，数轴上表示数x与5两点之间的
距离可以表示为________，表示数y与 两点之间的距离可以表示为________．
(2)如果表示数a和 的两点之间的距离是3，那么 _______；若数轴上表示数a的点位于 与2之间，
求 的值；
(3)当 _______时， 的值最小，最小值是______．
【答案】(1)3，5， ，
(2)1或 ；6
(3)1，9
【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离公式直接解答；
（2）由题意得： ，即 ，求解即可得到 或 ；根据 ，
∴ ，化简绝对值即可；
（3）根据 数轴上表示数a与 两点之间的距离，表示数a与1两点之间的距离，表示
数a与4两点之间的距离，所有距离的和，分四种情况：①当 时，②当 时，③当 时，④当 时，分别求出式子的值，比较可得最小值．
【详解】（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是 ；
数轴上表示 和2两点之间的距离是 ；
数轴上表示数x与5两点之间的距离可以表示为 ，
表示数y与 两点之间的距离可以表示为 ，
故答案为：3，5， ， ；
（2）由题意得： ，即 ，
∴ 或 ，
解得 或 ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：1或 ；6；
（3） 数轴上表示数a与 两点之间的距离，表示数a与1两点之间的距离，表示数a
与4两点之间的距离，所有距离的和，
①当 时， ，
②当 时， ，
当 时，最小值为9，
③当 时， ，
④当 时， ，
∴当 时， 的值最小，最小值为9，
故答案为：1，9．【点睛】此题考查了数轴上两点之间的距离公式，化简绝对值，正确理解数轴上两点之间的距离公式是解
题的关键．
6．（23·24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）规定：若关于 的一元一次方程 的解为 ，则
称该方程为“和解方程”．例如：方程 的解为 ，而 ，则方程 为“和解方
程”．
请根据上述规定解答下列问题：
(1)已知关于 的一元一次方程 是“和解方程”，求 的值；
(2)已知关于 的一元一次方程 是“和解方程”，并且它的解是 ，求 的值．
【答案】(1)
(2) 的值是3， 的值是
【分析】（1）根据和解方程的定义，列出关于 的方程，进行求解即可；
（2）先把 代入方程，求出 的值，再根据和解方程定义，列出方程，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ 是“和解方程”，
∴ ，
解得： ；
（2） 的解为： ，
把 代入 ，
得
化简，得 ，
解得 ；
是“和解方程”，
把 代入，得： ，解得： ；
综上： 的值是3， 的值是 ．
【点睛】本题考查解一元一次方程．理解并掌握和解方程的定义，是解题的关键．
【方法三】差异对比法
易错点 移项不变号
1．（22·23七年级上·江西南昌·期末）已知 的取值与代数式 的对应值如表：
x … 0 1 2 3 …
ax+b … 9 7 5 3 1 …
根据表中信息，得出了如下结论：① ；②关于 方程 的解是 ；③| ；④
的值随着 值的增大而减小．其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
【答案】①②④
【分析】根据题意得：当 时， ，可得①正确；当 时， ，可得关于 的方程
的解是 ；故②正确；再由当 时， ，当 时， ，可得③错误；
然后求出 ，可得当 的值越大， 越小，即 也越小，可得④错误；即可求解．
【详解】解：根据题意得：当 时， ，故①正确；
当 时， ，
∴关于 的方程 的解是 ；故②正确；
当 时， ，
当 时， ，
∵ ，
∴ ，故③错误；
∵ ，当 时， ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∴当 的值越大， 越小，即 也越小，
∴ 的值随着 值的增大而减小，故④正确；
所以其中正确的是①②④．
故答案为：①②④
【点睛】本题主要考查了求代数式的值，解二元一次方程组，不等式的性质，理解表格的意义是解题的关
键．
2．（23·24上·武汉·阶段练习）已知关于 的绝对值方程 只有三个解，则 ．
【答案】
【分析】首先根据绝对值的意义得到 或 ，解方程得到 或 或
或 ，当 时，方程只有两个解，不符合题意，则 ，由方程只有三个解得到
，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵
∴ 或 ，
∴ 或 ，
∴ 或 或 或 ，
∴ 或 或 或 ，
当 时，则 ，即此时方程只有两个解，不符合题意；
∴ ，
∴ ，∵关于 的绝对值方程 只有三个解，
∴ ，
∴
故答案为： ．
【点睛】本题考查了解含有绝对值的一元一次方程，正确理解绝对值的意义是关键．
【方法四】 仿真实战法
考法1.用移项法解一元一次方程
3．如图，按下列程序进行计算，经过三次输入，最后输出的数是12，则最初输入的数是 .
【答案】
【分析】先根据所给的程序图列出一元一次方程，再根据等式的性质求出x的值即可．
【详解】由程序图可知：
4[4（4x﹣6）﹣6]﹣6＝12
移项、合并同类项得：64x＝138
化系数为1得：x ．
故答案为 ．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，根据题意列出方程式是解答此题的关键．
4．（22·23七年级上·福建泉州·期中）如图，是一个 的幻方，当空格中填上适当的数后，下列每行每
列以及每条对角线上的和都相等，则 .【答案】231
【分析】设出第一行和第二行的未知数，然后根据每行每列以及每条对角线上的和都相等，列出等式，再
根据等量代换的方法求解．
【详解】解：设第一行第一列的数为a，第一行第三列的数为b，第二行第一列的数为c，中间数为d，如
下：
根据每行、每列以及每条对角线的数字的和都相等可得：
①，
②，
①+②得：
，
去括号得：
，
即 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：231．
【点睛】本题考查了幻方，根据每行每列以及每条对角线上的和都相等列式是解题的关键．
考法2.列一元一次方程解应用题
5．割圆术是我国古代数学家刘微创造的一种求周长和面积的算法：随着圆内接正多边形边数的增加，它
的周长和面积越来越接近圆周长和圆面积，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周
合体而无所失矣”．这一思想在数学领域中有广泛的应用．例如：求 的值．则可以设 ，根据上述思想方法有 ，解方程
得 ；试用这个方法解决问题： （ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】由 可设 ，则 ，然后求
解即可．
【详解】解：∵ ，
∴设 ，
则 ，解得 ，
即 ，
故选：B．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，理解题干中的解题方法，利用类比方法列方程求解是解答的关键．
6．（23·24七年级上·广东广州·期中）如果4个不同的正整数 、 、 、 满足
，那么 等于（ ）
A．16 B．24 C．28 D．32
【答案】D
【分析】本题考查的是乘法运算的含义，一元一次方程的应用，根据四个不同的正整数之积等于9，结合
，再建立方程求解即可.
【详解】解：∵四个互不相同的正整数m，n，p，q，满足 ，
∴满足题意可能为： ， ， ， ，
解得： ， ， ， ，
则 ．故选：D．
7．（23·24七年级上·天津滨海新·期中）(1)计算
①
②
（2）解方程
① ；
② ．
【答案】（1）① ；②
（2）① ；②
【分析】（1）先去括号，再合并同类项即可；
（2）按移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可．
【详解】解：（1）①原式
；
②原式
．
（2）①移项，得
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ；
②移项，得
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ．
【点睛】本题整式的加减混合运算，解一元一次方程，熟练掌握整式的加减混合运算法则和解一元一次方
程的一般步骤是解题的关键．
【方法五】 成果评定法一、单选题
1．（23·24七年级上·河南驻马店·期末）小马虎在做作业，不小心将方程中的一个常数污染了，被污染的
方程是 ，怎么办呢？他想了想便翻看书后的答案，方程的解是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】设被污染的数字为 ．将 代入得： ，解方程，即可求解．
【详解】解：设被污染的数字为 ．
将 代入得： ．
解得： ．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解的定义，解一元一次方程，熟练掌握方程的解的定义是解题的关键．
2．（23·24八年级上·湖南长沙·开学考试）下列方程，与 的解相同的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】解一元一次方程，根据题意，即可求解．
【详解】解：
解得： ；
A. ，解得： ，故该选项不符合题意；
B. ，解得： ，故该选项不符合题意；
C. ，解得： ，故该选项不符合题意；
D. ，解得： ，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
3．（22·23七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）当 时 的值是3，则a的值为（ ）
A． B．5 C．1 D．
【答案】D
【分析】将 代入代数式，令值等于3，即可求解．
【详解】解：由题意可得： ，即解得
故选：D
【点睛】此题考查了一元一次方程的求解，解题的关键是根据题意，正确的得出关于 的一元一次方程．
4．（23·24上·南阳·阶段练习）方程 的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先去括号，然后移项，合并同类项即可．
【详解】解： ，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查整式的混合运算、解一元一次方程，关键在于正确的去括号，移项．
5．（2023七年级上·全国·专题练习）解关于 的一元一次方程 时，不论 为何值， 的解都
相同，则 的值为（ ）
A． B．0 C． D．2
【答案】A
【分析】根据已知可得 的系数为0，即 ，方程的解为： ，代入原方程可得 的值．
【详解】解： ，
不论 为何值， 的解都相同，
，
，
把 代入 中，得： ，
．
故选： ．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解的定义：能使一元一次方程左右两边成立的未知数的值是方程的解．
6．（23·24七年级上·福建福州·期中）若a与6互为相反数，则 的值为（ ）
A． B． C．5 D．6【答案】B
【分析】根据相反数的性质可得 ，即 ，再代入求值即可．
【详解】解：∵a与6互为相反数，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查相反数、解一元一次方程及代数值求值，根据相反数的性质得出 是解题的关键．
7．（23·24七年级上·辽宁大连·期中）下列方程的变形中，正确的是（ ）
A．由 ，得 B．由 ，得
C．由 ，得 D．由 ，得
【答案】D
【分析】本题考查了解一元一次方程，根据等式的性质即可求解．
【详解】解：A. 由 ，得 ，故该选项不正确，不符合题意；
B. 由 ，得 ，故该选项不正确，不符合题意；
C. 由 ，得 ，故该选项不正确，不符合题意；
D. 由 ，得 ，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
8．（22·23七年级下·河南南阳·期中）当 时，多项式 的值比 的值大3，那么a的值为
（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
【答案】C
【分析】先根据多项式 的值比 的值大3，列出方程 ，然后把 代入，
得到关于a的方程，再解方程即可求解．
【详解】解：由题意得 ，
把 代入，得 ，
解得： ，
故选：C．
【点睛】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键．9．（23·24七年级上·全国·课堂例题）如图，8块相同的小长方形地砖拼成了一个大长方形图案，求每块地
砖的宽．设每块地砖的宽为 ，则 的值为（ ）
A．30 B．20 C．15 D．40
【答案】C
【分析】根据长方形的性质得到 ，解方程即可．
【详解】解：由题意得到每块地砖的长为 ，
由长方形的性质得到 ，
解得 ．
故选C．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程求解过程中的移项与合
并同类项是解题的关键．
10．（23·24上·沙坪坝·阶段练习）数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化
的方法解决一些数学问题，比如 表示在数轴上数 ， 对应的点之间的距离．现定义一种“F运
算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和．例如：对 ，1，2进行“F运
算”，得 ．下列说法：
①对m， 进行“F运算”的结果是3，则m的值是2；
②若 ，对于2，x，y进行“F运算”的结果是8，则y的值是8；
③对a，a，b，c进行“F运算”，化简的结果可能存在6种不同的表达式．
其中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】①根据“F运算”的运算法则进行运算即可判定；
②根据“F运算”的运算法则进行运算，即可判定；
③首先根据“F运算”的运算法则进行运算，再分类讨论，化简绝对值符号，即可判定．【详解】解：①对m， 进行“F运算”得： ，
解得： 或 ，故①错误；
②∵对于2，x，y进行“F运算”的结果是8，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，故②错误；
③对a，a，b，c进行“绝对运算”得： ，
当 ， ， ， ；
当 ， ， ， ；
当 ， ， ， ；
当 ， ， ， ；
当 ， ， ， ；
当 ， ， ， ；
a，a，b，c的“F运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有6种，故③正确，
综上，只有1个正确的．
故选：B．
【点睛】本题考查了新定义运算，化简绝对值，整式的加减运算，熟练掌握绝对值运算，整式的运算是解
题的关键．
二、填空题
11．（23·24上·唐山·期中）嘉淇在解关于x的方程： 时，误将方程中的“ ”看成了“ ”，
求得方程的解为 ，则原方程的解为 ．
【答案】【分析】本题考查了解一元一次方程，合并同类项解一元一次方程即可．
【详解】解： ，
则 ，
解得： ，
故答案为： ．
12．（22·23七年级上·湖北武汉·期中）下列说法正确的是 （填写序号）
①若 ，则 ．②若 、 互为相反数，且 ，则 ③若 ，则关于 方程
的解为 ．④若三个有理数 、 、 满足 ，则
【答案】①②③
【分析】根据绝对值的意义解方程可判断①；根据相反数的定义得到 可判断②；根据方程的解的意
义可判断③；根据绝对值的意义可判断④，进而可得答案．
【详解】解：①当 时，方程可化为 ，解得 ；
当 时，方程可化为 ，解得 ，故舍去，
故若 ，则 ，①正确；
②若 、 互为相反数，且 ，则 ，
∴ ，故②正确；
③∵ ，
∴ ，
∵关于 的方程 ，
∴ ，
∴关于 的方程 的解为 ，
故③正确；
④若三个有理数 、 、 满足 ，则 、 、 中一定是两负一正，不妨设 ，
， ，
当 时， ， ，则 ；当 时， ， ，则 ，
综上， 或1，故④错误，
综上，说法正确的是①②③，
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查绝对值、相反数、方程的解、解一元一次方程、有理数的混合运算，理解绝对值的意义
是解答的关键．
13．（23·24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）数轴上有三个点A，B，C表示的数分别为 ，1，c，已知A，
B，C中，其中有一点恰好在另外两点的正中间，则c可能的值为 ．
【答案】 或4或
【分析】运用分类讨论的思想：当点A、B、C分别位于正中间时，两点间的距离相等，即可求解．
【详解】解：①当点A在正中间时，可得，
，
解得 ，
②当点B在正中间，可得，
，
解得 ，
③当点C在正中间，可得，
，
解得 ，
故答案为： 或4或 ．
【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，熟练掌握求数轴上两点间距离的方法是解题的关键．
14．（22·23七年级下·吉林长春·期中）如果 与 的值相同；那么 ．
【答案】
【分析】根据题意得到方程 ，解方程可得 的值．
【详解】解：由题意得：
，，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，解题的关键是根据题意列出方程及解方程．
15．（23·24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若 的相反数是2，则 ．
【答案】6
【分析】根据相反数的性质，求得x的值，代入计算即可．
【详解】∵ 的相反数是2，
∴ ,
解得 ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了相反数的性质，解方程，求代数式的值，熟练掌握相反数的性质是解题的关键．
16．（23·24七年级上·福建泉州·阶段练习）为了考察班级同学的某次考试情况，鹏辉老师分析了班级某个
小组的成绩，以平均分作为标准，超过记为正数，不足记为负数，制作了如下的成绩分析表格，但是老师
不小心把表格的数字弄脏了：
根据这个表格，被污染的格子中的数值之和＝ ．
【答案】13
【分析】根据题意可知被污染的格子中的数值之和与记录的数的和等于0，据此列方程解答即可．
【详解】解：设被污染的格子中的数值之和为x,根据题意得：
，
解得 ，
即被污染的格子中的数值之和为13．
故答案为：13．
【点睛】本题考查正数和负数，解题的关键是明确正数和负数在题目中表示的含义．
17．（22·23上·哈尔滨·期中）若 和 互为相反数，则 ．
【答案】1
【分析】根据互为相反数的两个数和为零求解．
【详解】由于互为相反数的两个数和为零，，
解得 ．
故答案为：1，
【点睛】本题主要考查相反数的定义和一元一次方程的应用，熟练掌握互为相反数的两个数和为零是解题
的关键．
18．幻方是一种将数字填在正方形格子中，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等的方法．幻方
历史悠久，是中国传统游戏如图是一个 的幻方的部分，则 ．
【答案】－3
【分析】根据每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等即可列方程计算求出a及b的值.
【详解】由题意得：
左上角的数=-8+a-6-（-5-6）=-3+a，
∴-3+a-9+b=-8+a-6，
∴b=-2，
∵-8+a-6=-8-5+b，
∴a=-1，
∴a+b=-3，
故答案为：-3.
【点睛】此题考查列方程解决实际问题，由题中的等量关系表示出左上角的数是解题的关键.
三、解答题
19．（2023七年级上·全国·专题练习）已知关于 的整式 ， （ 为常
数）．
(1)若整式 的取值与 无关，求 的值；
(2)若当 或1时， 与 所对应的值分别相等，试求 的值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用整式的加减法则进行运算，再结合条件求出 的值，再代入运算即可得到答案；
（2）把相应的值代入，得到关于 的二元一次方程组，解方程组即可得到答案．
【详解】（1）解： ，
，
∵其值与 无关，
，
解得： ，
；
（2）解：当 或1时，得： ，
解得： ．
【点睛】本题考查了整式的加减、解一元一次方程，熟练掌握运算法则与运算方法是解此题的关键．
20．（23·24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若 是关于 的方程 的解，求 的
值．
【答案】3
【分析】把解代入方程，求得a值，再计算代数式的值即可．
【详解】∵ 是关于 的方程 的解，
∴ ,
解得 ，
当 时，
．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解即使得方程左右两边相等的未知数的值，求代数式的值，熟练掌握
方程的解是解题的关键．
21．（23·24七年级上·江苏常州·阶段练习）阅读理解：把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如： ， ，我们称之为集合，其中的数称
其为集合的元素．如果一个集合满足：当有理数a是集合的元素时，有理数 也必是这个集合的元素，
这样的集合我们称为好的集合．例如集合 就是一个好的集合．
(1)分别说明集合 ， 是不是好的集合？
(2)所有好的集合中，元素个数最少的集合是______；
(3)如果一个好的集合有n个元素，那么这n个元素的和是______．
【答案】(1) 不是“好”的集合， 是“好”的集合；
(2)
(3)一个“好”的集合有 个元素，这 个元素的和是 ．
【分析】（1）用 减去集合中的每一个元素，根据所得结果是否也在该集合当中进行判断即可；
（2）元素个数最少的集合中只要有一个元素，故此 ，从而可求得问题的答案；
（3）读懂“好”的集合的意义，分情况讨论好集合中元素的和的情况．
【详解】（1）解： ，
∴ 不是“好”的集合，
， ， ， ，
∴ 是“好”的集合；
（2）解：由题意可得： ，
解得： ，
∴元素个数最少的“好”的集合是 ；
故答案为： ；
（3）解：当 为偶数时，这 个元素的和是 ，当 为奇数时， ，
∴一个“好”的集合有 个元素，这 个元素的和是 ．
【点睛】本题主要考查的是有理数的减法以及新定义的知识，理解好集合的概念是解题的关键．
22．（23·24七年级上·福建福州·期中）如下表所示，有按规律排列的A、B两组数：
列
1 2 3 4 5 6 …
数
A组 2023 2022 2021 2020 2019 2018 …
B组 3 6 9 12 15 18 …
(1)A组第10列数为________，B组第n列数为____________；
(2)若代数式 的值与列数n无关， 的值始终为定值，求k的值．
【答案】(1)2014，
(2)
【分析】（1）根据A组的数后一个数比前一个数小1，B组的数是列数的3倍求解即可；
（2）根据表格的数据得出A组第n列数为 ，从而可得 ，由
题意可得 ，即可求解．
【详解】（1）解：由题意可得，A组第10列数为2014，B组第n列数为 ，
故答案为：2014， ；
（2）解：由表格是数据可得，A组第n列数为 ，
由（1）可得，B组第n列数为 ，
∴ ，
∵若代数式 的值与列数n无关，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题数字规律型，观察数据总结得出A、B组规律是解题的关键．
23．如图，点 和点 在数轴上对应的数分别为 和 ，且 ．（1）求线段 的长；
（2）点 在数轴上所对应的数为 ，且 是方程 的解，点 在线段 上，并且
，请求出点 在数轴上所对应的数；
（3）在（2）的条件下，线段 和 分别以 个单位长度/秒和 个单位长度/秒的速度同时向右运动，
运动时间为 秒， 为线段 的中点， 为线段 的中点，若 ，求 的值．
【答案】(1) ；(2)点 在数轴上所对应的数为 ；(3)当t=3秒或 秒时线段 ．
【分析】（1）根据平方的非负性，绝对值的非负性求出a=-6，b=8，得到OA=6，OB=8，即可求出AB；
（2）解方程求出x=14，得到点 在数轴上所对应的数为 ，设点 在数轴上所对应的数为 ，根据
，列式求出y；
（3）根据中点得到运动前 两点在数轴上所对应的数分别为-4,11，运动 秒后 两点在数轴上所
对应的数分别为-4+6t,11+5t ，再分M、N相遇前，相遇后两种情况分别列方程求出t.
【详解】(1)解：∵ ，且 ，
∴ ，
∴a+6=0，b-8=0，
∴a=-6，b=8，
∴OA=6，OB=8，
∴AB=OA+OB=6+8=14，
(2)解方程 ，得
，
点 在数轴上所对应的数为 ，
设点 在数轴上所对应的数为
点 在线段 上，且 ，
，
，解这个方程，得 ，
点 在数轴上所对应的数为 ．
(3)解：由(2)得 四点在数轴上所对应的数分别为： ．
运动前 两点在数轴上所对应的数分别为-4,11，
则运动 秒后 两点在数轴上所对应的数分别为-4+6t,11+5t ,
①线段 没有追上线段 时有：(11+5t)-(-4+6t)=12
解得： ；
②线段 追上线段 后有：(-4+6t)-(11+5t)=12，
解得： ，
综合上述：当t=3秒或 秒时线段 ．
【点睛】此题考查线段的和差计算，平方及绝对值的非负性，数轴上两点之间的距离，数轴上动点问题，
利用一元一次方程解决图形问题，注意分类讨论的解题思想.
24．（22·23七年级上·广西桂林·期中）【阅读】
表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；
可以看作 ，表示3与 的差的绝对值也可理解为3与 两数在数轴上所对应的两点之间的
距离．
【探索】
（1）数轴上表示4和-2的两点之间的距离是____
（2）①若 ，则x=
②若使x所表示的点到表示3和-2的点的距离之和为5，所有符合条件的整数x的和为____
【折叠】
小明在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：
（3）折叠纸面，若1表示的点和-1表示的点重合，则3表示的点与____表示的点重合．
（4）折叠纸面，若3表示的点和-5表示的点重合，则
①10表示的点和____表示的点重合；
②这时如果A，B（A在B的左侧）两点之间的距离为2022且A，B两点经折叠后重合，则点A表示的数是___，点B表示的数是__；
③若点A表示的数为a，点B表示的数为b，且A，B两点经折叠后重合，试求a与b 之间的数量关系．
【答案】（1）6；（2）①-4或2②3；（3）-3；（4）①-12；②-1012；1010；③-2
【分析】（1）根据数轴上两点间距离的求法解题即可；
（2）①根据题意可得方程 或 ，求出 的值即可；
②根据绝对值的几何意义可知 时， ，求出符合条件的整数 即可；
（3）利用中点坐标公式求出折痕点，再求解即可；
（4）①利用中点坐标公式求出折痕点，再求解即可；
②设 点表示的数是 ，则 点表示的数是 ，根据中点坐标公式求出 ，即可求解；
③根据①②结合中点坐标公式可求 ．
【详解】（1）表示4和 两点之间的距离是 ，
故答案为：6；
（2）① ，
或 ，
解得 或 ，
故答案为：2或 ；
② 使 所表示的点到表示3和 的点的距离之和为5，
，
与 的距离是5，
，
是整数，
的值为 ， ，0，1，2，3，
所有符合条件的整数 的和为3，
故答案为：3；
（3） 表示的点和 表示的点重合，
折叠点对应的数是0，
表示的点与 表示的点重合，
故答案为： ；
（4）① 表示的点和 表示的点重合，折叠的点表示的数是 ，
，
表示的点和 表示的点重合，
故答案为： ；
②设 点表示的数是 ，则 点表示的数是 ，
，
解得 ，
点 表示的数 ，点 表示的数是1010，
故答案为： ，1010；
③ 点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，且 ， 两点经折叠后重合，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，折叠的性质，利用中点公
式解决折叠问题是解题的关键．
25．（23·24七年级上·福建宁德·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
数轴上表示5和2的两点之间的距离是 ；表示 和2两点之间的距离是
；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于 ．
(1)数轴上1和 的距离是 ；如果表示数a和 的两点之间的距离是3，那么 ．
(2)若数轴上表示数a的点位于 与2之间，则 ．
(3)当 时， 的值最小，最小值是 ．
(4)若式子 ，则 的最大值是 ．
【答案】(1)4， 或1
(2)6
(3)1，7
(4)5【分析】（1）两数之差的绝对值即为两点间距离，由此求解即可；
（2）根据a的取值范围判断 和 的正负，去绝对值，即可求解；
（3）将 看成表示数a的点到几个点的距离之和，结合数轴即可求解；
（4）同（3），先确定 和 的最小值，及取最小值时x和y的取值范围，结合已知
式子确定x的最大值，y的最小值，代入求解即可．
【详解】（1）解：数轴上1和 的距离是 ，
表示数a和 的两点之间的距离是3，则 ，
即 或 ，
解得 或 ，
故答案为：4， 或1；
（2）解： 表示数a的点位于 与2之间，
，
， ，
，
故答案为：6；
（3）解： ，
因此原式表示数a到 ，1，4三点的距离之和，
结合数轴可知，
当 时， ，
当 或 时， 的值均大于7，
因此 时， 取最小值，最小值为7，
又 当 时， ，
当 时， 的值最小，最小值是7；故答案为：1，7；
（4）解： ，表示数x到 ，2的距离之和，
，表示数y到 ，4的距离之和，
同（3）可知，当 时， 的值最小，最小值为 ，
当 时， 的值最小，最小值为 ，
，
， ，
当x取最大值2，y取最小值 时， 取最大值，最大值为 ．
故答案为：5
【点睛】本题考查数轴上两点间距离公式，绝对值的几何意义，整式的加减运算，理解数轴上两点间的距
离与绝对值间的关系，运用数形结合的方法是解题的关键．
