专题13数列的通项与数列的求和（讲）原卷版_02高考数学_新高考复习资料_2023年新高考资料_二轮复习_备战2023年高考数学二轮复习核心考点精讲精练（新教材·新高考）287235765

第一篇 热点、难点突破篇 专题13 数列的通项与数列的求和（讲） 真题体验 感悟高考 1．（2022·浙江·统考高考真题）已知数列 满足 ，则（ ） A． B． C． D． 2．（2022·全国·统考高考真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕 太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列 ： ， ， ，…，依此类推，其中 ．则（ ） A． B． C． D． 3．（2022·全国·统考高考真题）记 为数列 的前n项和，已知 是公差为 的等差数列． (1)求 的通项公式； (2)证明： ． 总结规律 预测考向 （一）规律与预测 1. 等差(等比)数列的定义、通项公式及求和公式是高考的基础考点与高频考点.以小题居多，属于容易题. 2. 数列求和方法中的公式法、错位相减法、裂项相消法及分组求和法是高考的高频考点，以小题或解答题形 式出现，难易程度有些起伏，从趋势看，与不等式等相结合，其难度有所增大，总体属于中档题.涉及数列的 通项、递推与不等式相结合的客观题有所增加. （二）本专题考向展示考点突破 典例分析 考向一 分组转化法求和 【核心知识】 1．等差数列的求和公式： ； 2．等比数列的求和公式： 【典例分析】 典例1.（2023秋·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第三高级中学校考阶段练习）已知各项均不相等的等差数列 的前4项和为10，且 是等比数列 的前3项． (1)求 ； (2)设 ，求 的前n项和 ． 典例2.（2022秋·北京·高三统考阶段练习）已知数列 满足 ， . (1)若 ， ， ①求 ， ， ； ②求数列 的通项公式； (2)若 ， ，求数列 的通项公式.典例3. （2022秋·辽宁丹东·高三校联考阶段练习）已知数列 的前n项和为 ，且满足 ， ， (1)求数列 的通项公式； (2)若数列 ，求数列 的前2n项和 ． 【规律方法】 分组转化法求和的常见类型 (1)若a＝b±c，且{b}，{c}为等差或等比数列，可采用分组转化法求{a}的前n项和． n n n n n n (2)通项公式为a＝的数列，其中数列{b}，{c}是等比数列或等差数列，可采用分组转化法求和． n n n 考向二 裂项相消法求和 【核心知识】 裂项相消法是指把数列和式中的各项分别裂开后，某些项可以相互抵消从而求和的方法，主要适用于或(其中 {a}为等差数列)等形式的数列求和． n 【典例分析】 典例4.（2023秋·湖北十堰·高三统考阶段练习）设等差数列 的前 项和为 ，且 ， . (1)求 的通项公式； (2)若 ，求数列 的前 项和 . 典例5. （2023秋·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知公差不为0的等差数列 的前 项和为 ， 、 、 成等差数列，且 、 、 成等比数列． (1)求 的通项公式； (2)若 ，数列 的前 项和为 ，证明： ．典例6. （2022秋·江西南昌·高三校联考阶段练习）已知数列 的各项均为正数， 是其前 项的和.若 ，且 （ ）. (1)求数列 的通项公式； (2)设 ，求数列 的前 项和 . 【总结提升】 利用裂项相消法求和的注意事项 1．抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项； 2．将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．如：若{a}是等 n 差数列，则＝，＝. 3.裂项相消法就是把数列的每一项分解，使得相加后项与项之间能够相互抵消，但在抵消的过程中，有的是依 次项抵消，有的是间隔项抵消．常见的裂项方式有： 1 11 1  1 1 1       nnk k n nk  k 1 nn1 n n1 （1） ，特别地当 时， ； 1 1  1  nk  n  n1 n nk  n k k 1 n1 n （2） ，特别地当 时， ； 2n2 1 1 1  a  1    n 2n12n1 22n1 2n1 （3） 1 1 1 1  a      n nn1n2 2  nn1 n1n2   （4） 1 1 1 1  (  ) (p  q) pq q p p q （5） 考向三 错位相减法求和 【核心知识】 错位相减法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a·b}的前n项和，其 n n中{a}，{b}分别是等差数列和等比数列． n n 【典例分析】 典例7.（2022·天津·统考高考真题）设 是等差数列， 是等比数列，且 ． (1)求 与 的通项公式； (2)设 的前n项和为 ，求证： ； (3)求 ． 典例8.（2022·浙江杭州·模拟预测）已知数列 满足 ，记 ，在 中每相邻 两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的正项等比数列 ，若数列 中的第 项是 数列 中的第 项. (1)求数列 及 的通项公式. (2)求数列 的前 项和 . 典例9.（2022秋·河北张家口·高三统考期末）已知 为数列 的前 项和, ． (1)证明:数列 为等比数列; (2)求数列 的前 项和 ． 【规律方法】 1．求解此类题需掌握三个技巧：一是巧分拆，即把数列的通项转化为等差数列、等比数列的通项的积，并求 出等比数列的公比；二是构差式，求出前n项和的表达式，然后乘以等比数列的公比，两式作差；三是得结论， 即根据差式的特征进行准确求和． 2．运用错位相减法求和时应注意三点：一是判断模型，即判断数列{a}，{b}一个为等差数列，一个为等比数 n n 列；二是错开位置；三是相减时一定要注意最后一项的符号. 3．用错位相减法求和时，应注意： (1)等比数列的公比为负数的情形；(2)在写出“S”和“qS”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便准确写出“S－qS”的表达式． n n n n (3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解． 考向四 数列的综合问题 【核心知识】 数列与函数、不等式的综合问题是高考命题的一个方向，此类问题突破的关键在于通过函数关系寻找数列的递 推关系，通过放缩进行等式的证明． 【典例分析】 典例10.（2022秋·江苏南通·高三期末）已知数列 成等比数列， 是其前 项的和，若 成等差数列. (1)证明： 成等差数列； (2)比较 与 的大小； (3)若 ， 为大于1的奇数，证明： 典例11.（2021·浙江·统考高考真题）已知数列 的前n项和为 ， ，且 . （1）求数列 的通项； （2）设数列 满足 ，记 的前n项和为 ，若 对任意 恒成立，求 实数 的取值范围. 典例12.（2022·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知函数 ，其中 (1)当 时，求 ； (2)设 ，记数列 的前n项和为 ，求使得 恒成立的m的最小整数. 典例13.（2022秋·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）已知公差不为零的等差数列 ， 为等比数列， 且满足 ， ， ， ， ， 成等比数列. (1)求数列 和 的通项公式； (2)设数列 的前 项和为 ，若不等式 恒成立，求实数 的取值范围. 典例14. （2022秋·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）已知数列 是公差为2的等差数列，其前8项的 和为64．数列 是公比大于0的等比数列， ， ． (1)求数列 和 的通项公式； (2)记 ， ，求数列 的前 项和 ； (3)设 ，记 ，证明：当 时， ． 【总结提升】 1.数列与不等式的综合应用是高考命题的一个重要方向.此类问题的常见类型及求解策略: （1）依据数列的单 调性解答数列中的最值问题.求解策略:一是根据数列的结构特征构建对应的函数，利用函数的性质、导数等判 断函数的单调性，从而得到数列的单调性；二是通过对数列相邻项的比较( 作差、作商) 得到数列的单调性. （2）利用“放缩法”证明数列型不等式.求解策略:一是在求和过程中将通项“放缩”为“可求和的数列”； 二是求和后再 “放缩”. 2.易错提醒： (1)公式a＝S－S 适用于所有数列，但易忽略n≥2这个前提． n n n－1 (2)数列和不等式的综合问题，要注意条件n∈N*，求最值要注意等号成立的条件，放缩不等式要适度． 考向五 数列中的奇、偶项问题 【核心知识】 数列中的奇、偶项问题是对一个数列分成两个新数列进行单独研究，利用新数列的特征(等差、等比数列或其他特征)求解原数列． 【典例分析】 典例15.（2021·全国·统考高考真题）已知数列 满足 ， （1）记 ，写出 ， ，并求数列 的通项公式； （2）求 的前20项和. 典例16.（2022秋·广东东莞·高三统考期末）已知数列 的前n项和为 ，且对于任意的 都有 ． (1)求数列 的通项公式； (2)记数列 的前n项中的最大值为 ，最小值为 ，令 ，求数列 的前20项和 ． 典例17.（2022秋·天津静海·高三静海一中校考阶段练习）已知数列 为等差数列，数列 为等比数列， 且 ， ， ， . (1)求 ， 的通项公式. (2)已知 ，求数列 的前2n项和 . (3)求证： . 【规律方法】 1．数列中的奇、偶项问题的常见题型 ①数列中连续两项和或积的问题(a＋a ＝f(n)或a·a ＝f(n))； n n＋1 n n＋1 ②含有(－1)n的类型； ③含有{a }，{a }的类型； 2n 2n－1 ④已知条件明确的奇偶项问题． 2．对于通项公式分奇、偶不同的数列{a}求S 时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以把 n n看作一项，求出S ，再求S ＝S －a . 2k 2k－1 2k 2k 考向六 数列中的创新与数学文化问题 【核心知识】 数学文化问题是近年来高考命题的亮点，此类问题把数学史、数学美、数学语言、数学思维及数学方法结合起 来，可有效考查学生在新情境中对数学文化的鉴赏、对数学知识的理解、对数学方法的迁移，因此备受命题者 青睐.在我国浩瀚的传统文化中，有丰富的与数列有关的数学文化背景知识，故也成为近年高考命题的热点. 【典例分析】 典例18. （2020·全国·统考高考真题）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有 一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第 一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则 三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ） A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块 典例19. （2022秋·安徽·高三合肥一六八中学校联考阶段练习）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题： “今有人持金出五关，前关二税一；次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所 税，适重一斤.问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的 ，第2关收税金为剩 余金的 ，第3关收税金为剩余金的 ，第4关收税金为剩余金的 ，第5关收税金为剩余金的 ，5关所收 税金之和恰好重1斤.问原来持金多少？”.记这个人原来持金为 斤，设 ，则 （ ） A．0 B．1 C．-1 D．2 【规律方法】对于数学文化中所涉及的数列模型，解题时应认真审题，从问题背景中提取相关信息并分析归纳，然后构造恰 当的数列模型，再利用数列的有关知识进行解答，最后对实际问题作出解释，必要时要进行检验.