文档内容
专题 11.6 三角形中的八大经典模型【八大题型】
【人教版】
【题型1 A字模型】..................................................................................................................................................1
【题型2 8字模型】...................................................................................................................................................3
【题型3 双垂直模型】..............................................................................................................................................4
【题型4 飞镖模型】..................................................................................................................................................6
【题型5 风筝模型】..................................................................................................................................................8
【题型6 两内角角平分线模型】..............................................................................................................................9
【题型7 两外角角平分线模型】............................................................................................................................11
【题型8 内外角角平分线模型】............................................................................................................................14
【知识点1 A字模型】
【条件】△ADE与△ABC.
【结论】∠AED+∠ADE=∠B+C.
【证明】根据三角形内角和可得，∠AED+∠ADE=180°-∠A，∠B+C=180°-∠A，
∴∠AED+∠ADE=∠B+C，得证.
【题型1 A字模型】
【例1】（2023春·湖北荆门·八年级校联考期末）如图，在△ABC中，∠C＝70º，沿图中虚线截去∠C，则
∠1＋∠2＝（ ）A．360º B．250º C．180º D．140º
【变式1-1】（2023春·八年级单元测试）如图所示，∠DAE的两边上各有一点B,C，连接BC，求证
∠DBC+∠ECB=180°+∠A．
【变式1-2】（2023春•常州期中）如图，△ABC中，∠B＝68°，∠A比∠C大28°，点D、E分别在AB、
BC上．连接DE，∠DEB＝42°．
（1）求∠A的度数；
（2）判断DE与AC之间的位置关系，并说明理由．
【变式1-3】（2023春·江苏泰州·八年级校联考期中）如图，已知∠A=40°，则∠1+∠2+∠3+∠4的度
数为 ．
【知识点2 8字模型】【条件】AD、BC相交于点O.
【结论】∠A+∠B=∠C+∠D.(上面两角之和等于下面两角之和)
【证明】在△ABO中，由内角和定理：∠A+∠B+∠BOA=180°，在△CDO中，∠C+∠D+∠COD=180°，
∴∠A+∠B+∠BOA=180°=∠C+∠D+∠COD，由对顶角相等：∠BOA=∠COD
∴∠A+∠B=∠C+∠D，得证.
【题型2 8字模型】
【例2】（2015-2016学年北京市怀柔区八年级上学期期末数学试卷（带解析））如图是由线段AB，CD，
DF，BF，CA组成的平面图形，∠D=28∘，则∠A+∠B+∠C+∠F的度数为( )
A．62∘ B．152∘ C．208∘ D．236∘
【变式2-1】（2013-2014学年初中数学苏教版八年级上册第一章练习卷（带解析））如图，
△ABC≌△ADE，且∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，∠EAB=120°，求∠DFB和∠DGB的度数．
【变式2-2】（2023·河北·统考中考真题）下图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD=110°，则图中∠D应
（填“增加”或“减少”） 度．
【变式2-3】（2023春·八年级期末）（1）如图①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；
（2）如图②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数；
（3）如图③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数．
【知识点3 双垂直模型】
【条件】∠B=∠D=∠ACE=90°.
【结论】∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED.
【证明】∵∠B=∠D=∠ACE=90°；∴∠BAC+∠ACB=90°；又∠ECD+∠ACB=90°；∴∠BAC=∠DCE
同理,∠ACB+∠DCE =90°，且∠CED+∠DCE =90°；∴∠ACB=∠CED，得证.
【题型3 双垂直模型】
【例3】（2023春·广东珠海·八年级校联考期末）如图1，线段AB⊥BC于点B，CD⊥BC于点C，点E在线
段BC上，且AE⊥DE．
（1）求证：∠EAB=∠CED；
（2）如图2，AF、DF分别平分∠BAE和∠CDE，EH平分∠DEC交CD于点H，EH的反向延长线交AF于点G．
①求证EG⊥AF；
②求∠F的度数．【提示：三角形内角和等于180度】
【变式3-1】（2023春·江苏泰州·八年级校考期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AE是角平分线，
CD是高，AE、CD相交于点F， 求证：∠CFE=∠CEF 请在以下的解题过程中的括号里填推理的理由．
证明：∵AE平分∠CAB（已知）
∴∠CAE=∠FAB（_____________________）
∵∠ACE=90°（已知）
∴∠CAE+∠CEF=90°（_____________________）
∵CD是△ABC的高（已知）
∴∠FDA=90°（三角形高的定义）
∴∠FAB+∠AFD=90°（直角三角形的两锐角互余）
∴∠CEF=∠AFD（____________________________）
∵∠CFE=∠AFD（_____________________）
∴∠CFE=∠CEF（____________________）
【变式3-2】（2023春·山东青岛·八年级山东省青岛第五十九中学校考期中）如图，在等腰Rt△ABC中，
∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接
CF交AD于点G．(1)判断△DBF的形状，并说明理由．
(2)求证：AD⊥CF．
【变式3-3】（2023春·山东济南·八年级济南育英中学校联考期中）如图，△ABC中，∠B=90°，点D在
射线BC上运动，DE⊥AD交射线AC于点E．
（1）如图1，若∠BAC=60°，当AD平分∠BAC时，求∠EDC的度数；
（2）如图2，当点D在线段BC上时，①判断∠EDC与∠BAD的数量关系并说明理由；
②作EF⊥BC于F，∠BAD、∠DEF的角平分线相交于点G，随着点D的运动，∠G的度数会变化吗？如
果不变，求出∠G的度数；如果变化，说明理由；
（3）如图3，当点D在BC的延长线上时，作EF⊥BD于F，∠BAD的角平分线和∠DEF的角平分线的反
向延长线相交于点G，∠G的度数会变化吗？如果不变，求出∠G的度数；如果变化，说明理由．
【知识点4 飞镖模型】
【条件】四边形ABDC如上左图所示.
【结论】∠D=∠A+∠B+∠C.(凹四边形凹外角等于三个内角和)【证明】如上右图，连接AD并延长到E，则：
∠BDC=∠BDE+∠CDE=(∠B+∠1)+(∠2+∠C)=∠B+∠BAC+∠C.本质为两个三角形外角和定理证明.
【题型4 飞镖模型】
【例4】（2023春·江苏镇江·八年级统考期中）在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示
的零件，如果∠A=52°,∠B=25°，∠C=30°,∠D=35°,∠E=72°，那么∠F的度数是（ ）．
A．72° B．70° C．65° D．60°
【变式4-1】（2023春·八年级期末）如图，已知在△ABC中，∠A=40°，现将一块直角三角板放在
△ABC上，使三角板的两条直角边分别经过点B,C，直角顶点D落在△ABC的内部，则
∠ABD+∠ACD=（ ）．
A．90° B．60° C．50° D．40°
【变式4-2】（2023·全国·八年级假期作业）如图所示，已知四边形ABDC，求证
∠BDC=∠A+∠B+∠C．
【变式4-3】（2023春·福建南平·八年级统考期中）如图，若∠EOC=115°，则
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= ．【知识点5 风筝模型】
【条件】四边形ABPC，分别延长AB、AC于点D、E，如上左图所示.
【结论】∠PBD+∠PCE=∠A+∠P.
【证明】如上右图，连接AP，则：∠PBD=∠PAB+∠APB，∠PCE=∠PAC+∠APC，
∴∠PBD+∠PCE=∠PAB+∠APB+∠PAC+∠APC=∠BAC+∠BPC，得证.
【题型5 风筝模型】
【例5】（2023春·重庆渝北·八年级校考期中）如图,将△ABC沿着DE翻折,使B点与B'点重合,若
∠1+∠2=80°,则∠B的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【变式5-1】（2023春·八年级期末）如图，把△ABC沿EF对折，叠合后的图形如图所示．若∠A＝55°，
∠1＝95°，则∠2的度数为（ ）．A．14° B．15° C．28° D．30°
【变式5-2】（2023春·八年级期末）如图，三角形纸片ABC中，∠A=65°,∠B=75°，将∠C沿DE翻
折，使点C落在△ABC外的点C'处．若∠1=20°，则∠2的度数为 ．
【变式5-3】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且
A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为（ ）
A．90° B．100° C．110° D．120°
【知识点6 两内角角平分线模型】
【条件】△ABC中，BI、CI分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且相交于点I.【结论】
【证明】∵BI是∠ABC平分线，∴ ∵CI是∠ACB平分线，∴
由A→B→I→C→A的飞镖模型可知：
∠I=∠A+∠2+∠3=∠A+ + =∠A+ = .
【题型6 两内角角平分线模型】
【例6】（2023春·江苏苏州·八年级期中）直线MN与直线PQ垂直相交于点O，点A在直线PQ上运动，
点B在直线MN上运动．
（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的
大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小．
（2）如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是
∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，
请说明理由；若不发生变化，试求出∠CED的度数．
（3）如图3，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及反向延长线相交
于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，则∠ABO的度数为____（直接写答案）
【变式6-1】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，BE平分∠ABD，CF平分∠ACD，BE与CF交于
点G，若∠BDC=140°，∠BGC=100°，则∠A=（ ）A．80° B．75° C．60° D．45°
【变式6-2】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点
O，延长BO与∠ACB的外角平分线交于点D，若∠BOC＝130°，则∠D＝
【变式6-3】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校联考期末）如图1，点A、B分别在射线OM、ON上运动
（不与点O重合），AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，BC延长线交OM于点G．
（1）若∠MON=60°，则∠ACG= ；（直接写出答案）
（2）若∠MON=n°，求出∠ACG的度数；（用含n的代数式表示）
（3）如图2，若∠MON=80°，过点C作CF∥OA交AB于点F，求∠BGO与∠ACF的数量关系．
【知识点7 两外角角平分线模型】【条件】△ABC中，BI、CI分别是△ABC的外角的角平分线，且相交于点O.
【结论】 .
【证明】∵BO是∠EBC平分线，∴ ，∵CO是∠FCB平分线，∴
由△BCO中内角和定理可知：
∠O=180°-∠2-∠5=180°- - =180°- - =
= =
【题型7 两外角角平分线模型】
【例7】（2023春·江苏·八年级专题练习）【问题背景】
（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B=∠C+∠D；
【简单应用】
（2）如图2， AP、CP分别平分∠BAD． ∠BCD，若∠ABC=46°，∠ADC=26°，求∠P的度数；
【问题探究】
（3）如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，
∠ADC=16°，请猜想∠P的度数，并说明理由．
【拓展延伸】
1 1
（4） ①在图4中，若设∠C=α，∠B=β，∠CAP= ∠CAB，∠CDP= ∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间
3 3
的数量关系为： （用α、β表示∠P）；
②在图5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE， 猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结
论．【变式7-1】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，五边形ABCDE在∠BCD,∠EDC处的外角分别是
∠FCD,∠GDC,CP,DP分别平分∠FCD和∠GDC且相交于点P．若
∠A=160°,∠B=80°,∠E=90°，则∠CPD= ．
【变式7-2】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，点P是ΔABC的外角∠BCE和∠CBF的角平分线交
点，延长BP交AC于G，请写出∠A和∠CPG的数量关系.
【变式7-3】（2023春·八年级期末）如图1，△ABC的外角平分线交于点F．
（1）若∠A＝40°，则∠F的度数为 ；（2）如图2，过点F作直线MN∥BC，交AB，AC延长线于点M，N，若设∠MFB＝α，∠NFC＝β，则
∠A与α+β的数量关系是 ；
（3）在（2）的条件下，将直线MN绕点F转动．
①如图3，当直线MN与线段BC没有交点时，试探索∠A与α，β之间的数量关系，并说明理由；
②当直线MN与线段BC有交点时，试问①中∠A与α，β之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明
理由；若不成立，请给出三者之间的数量关系．
【知识点8 内外角角平分线模型】
【条件】△ABC中，BP、CP分别是△ABC的内角和外角的角平分线，且相交于点P.
【结论】
【证明】 ∵BP是∠ABC平分线，∴ ∵CP是∠ACE平分线，∴
由△ABC外角定理可知：∠ACE=∠ABC+∠A即：2∠1=2∠3+∠A ……①
对①式两边同时除以2，得：∠1=∠3+ ……②又在△BPC中由外角定理可知：∠1=∠3+∠P ……③
比较②③式子可知： . = = .
【题型8 内外角角平分线模型】
【例8】（2023春·八年级期末）如图，BA 和C A 分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA 是
1 1 2∠A BD的平分线，C A 是∠A CD的平分线，BA 是∠A BD的平分线，C A 是∠A CD的平分线，
1 2 1 3 2 3 2
……以此类推，若∠A=α，则∠A = ．
2020
【变式8-1】（2023春·八年级期末）如图，已知△ABC的两条高BD、CE交于点F，∠ABC的平分线与
△ABC外角∠ACM的平分线交于点G，若∠BFC=8∠G，则∠A= °．
【变式8-2】（2023春·八年级期末）如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，
M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分
∠EBC、∠ECQ，则∠F= ．
【变式8-3】（2023春·江苏南通·八年级南通田家炳中学校考期末）在△ABC中，若存在一个内角角度是
另外一个内角角度的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为n倍角三角形．例如，在△ABC中，
∠A＝80°，∠B＝75°，∠C＝25°，可知∠B＝3∠C，所以△ABC为3倍角三角形．
（1）在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，则△ABC为 倍角三角形；
（2）若锐角三角形MNP是3倍角三角形，且最小内角为α，请直接写出α的取值范围为 ．
（3）如图，直线MN与直线PQ垂直相交于点O，点A在射线OP上运动（点A不与点O重合），点B在
射线OM上运动（点B不与点O重合）．延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，若△AEF为4倍角三角形，求∠ABO的度数．
