文档内容
期中复习 5 大类型 29 个考点（前 3 章）
【人教版】
【基础概念易错篇】.....................................................................................................................................................2
【考点1 判断是否是一元二次方程】....................................................................................................................2
【考点2 一元二次方程的一般形式】....................................................................................................................2
【考点3 一元二次方程的解】................................................................................................................................2
【考点4 解一元二次方程—直接开平方法】.......................................................................................................2
【考点5 解一元二次方程—配方法】....................................................................................................................3
【考点6 配方法的应用】........................................................................................................................................3
【考点7 一元二次方程根的判别式】....................................................................................................................3
【考点8 解一元二次方程—公式法】....................................................................................................................4
【考点9 解一元二次方程—因式分解法】...........................................................................................................4
【考点10 一元二次方程根与系数的关系】...........................................................................................................4
【考点11 二次函数的定义】....................................................................................................................................5
【考点12 二次函数y=ax2的图象与性质】...........................................................................................................5
【考点13 二次函数y=ax2+k的图象与性质】.....................................................................................................6
【考点14 二次函数y=a(x−h) 2的图象与性质】................................................................................................7
【考点15 二次函数y=a(x−h) 2+k的图象与性质】..........................................................................................7
【考点16 二次函数y=ax2+bx+c的图象与的性质】.........................................................................................8
【考点17 二次函数y=ax2+bx+c图象与系数的关系】.....................................................................................9
【考点18 二次函数图象与几何变换】..................................................................................................................10
【考点19 二次函数与一元二次方程】..................................................................................................................11
【考点20 图形的旋转】..........................................................................................................................................12
【考点21 中心对称】..............................................................................................................................................13
【计算篇】...................................................................................................................................................................14
【考点22 一元二次方程的解法】..........................................................................................................................14
【实际应用篇】...........................................................................................................................................................14
【考点23 一元二次方程的应用】..........................................................................................................................14
【考点24 实际问题与二次函数】..........................................................................................................................16
【作图篇】...................................................................................................................................................................18
【考点25 作图-旋转与中心对称】........................................................................................................................18
【压轴篇】...................................................................................................................................................................20
【考点26 换元法解一元二次方程】......................................................................................................................20
【考点27 一元二次方程根的判别式与根与系数关系的综合】.........................................................................20
【考点28 利用二次函数的性质求最值】..............................................................................................................22【考点29 二次函数中的存在性问题】..................................................................................................................23
【基础概念易错篇】
【考点1 判断是否是一元二次方程】
1．（25-26九年级上·全国·阶段练习）若方程(a−3)x|a)−1+6x−2=0是关于x的一元二次方程，则a的值
为（ ）
A．3 B．−3 C．3或−3 D．0
2．（25-26九年级上·河南商丘·阶段练习）下列是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．3x2−44x+1 B．ax2+bx+c=0
1
C．2(x+2)(x−1)−x2=0 D．x2− −5=0
x
3．（24-25九年级上·云南昆明·期末）已知关于x的一元二次方程(m−1)x2+2x−3=0有实数根，则m的
取值范围是 ．
【考点2 一元二次方程的一般形式】
1
1．将一元二次方程 x(x−2)=5化为二次项系数为“1”的一般形式，其中二次项系数是 ，
3
一次项系数是 ，常数项是 ．
2．把方程x(2x−1)=1化成ax2+bx+c=0的形式，则a、b、c的一组值是（ ）
A．2、−1、−1B．2、−1、1 C．2、1、−1 D．2、1、1
【考点3 一元二次方程的解】
1．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，若9a−3b+c=0，
则该方程一定有一个根为（ ）
A．−3 B．3 C．±3 D．不能确定
2．下列一元二次方程中，有一个根为x=1的是（ ）
A．x2=3x−4 B．x2=2x−1 C．x2−2x=1 D．x2+2x=1
3．（25-26九年级上·山东青岛·阶段练习）若m是一元二次方程x2+2x−7=0的一个根，则
2025−m2−2m=
【考点4 解一元二次方程—直接开平方法】
1．方程100x2−1=0的解为 ．2．（25-26九年级上·四川宜宾·阶段练习）已知关于x的一元二次方程(a−1)x2+x+a2=1的常数项是0，
则a的值为（ ）
A．1 B．−1 C．1或−1 D．0
3．（2025·上海徐汇·二模）若一元二次方程3x2+(m−1)x−4=0中的b2−4ac=73，则m的值为 ．
【考点5 解一元二次方程—配方法】
1．（25-26九年级上·河北唐山·阶段练习）用配方法解关于x的一元二次方程x2−4x−11=0时，配方结果
正确的是（ ）
A．(x−2) 2=7 B．(x−2) 2=15 C．(x−4) 2=7 D．(x−4) 2=15
2．（25-26九年级上·新疆伊犁·阶段练习）如果一元二次方程x2−6x+k=0经配方后，得(x−3) 2=4，那
么k= ．
【考点6 配方法的应用】
1．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知多项式A=x2−x+(3−2k)，若无论x取何实数，A的值都
不是负数，则k的取值范围是 ．
{x+ y−2z=6)
2．（24-25九年级下·山东烟台·期末）已知x,y,z为实数，满足 ，那么x2+ y2+z2的最小值
x−2y+z=3
为 ．
3．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）已知a,b满足(a2+4a+7)(b2−6b+11)=6，则2a+b=（）
A．−6 B．−1 C．2 D．3
4．已知：a、b、c是ΔABC的三边，且a2 −2a+b−2❑√b−1+|c−❑√5|+1=0，ΔABC的形状是
．
【考点7 一元二次方程根的判别式】
1．（25-26九年级上·山东滨州·阶段练习）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ）
A．x2−4x=0 B．x2−4=0
C．x2−4x+4=0 D．x2−4x+16=0
2．（24-25八年级下·上海金山·期末）若k<0，关于x的一元二次方程kx2−x+1=0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
3．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）已知关于x的一元二次方程(k−1)x2−2x−3=0有实数根，则k
的取值范围是 ．4．已知m、n、3分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程
x2−4x+k+2=0的两个根，则k的值是 ．
【考点8 解一元二次方程—公式法】
1．（24-25八年级下·浙江丽水·期中）已知关于x的方程x2−(m+2)x+3m+3=0，若方程的根都是整数，
则满足条件的正整数m的值为 ．
2．（24-25八年级下·山东烟台·期中）已知关于x的一元二次方程x2−(k+5)x+6+2k=0恰有一个根小于
−1，则k的取值范围为 ．
3．（25-26九年级上·安徽宿州·阶段练习）关于x的方程x(x−1)=3(x−1)，下列解法完全正确的是（ ）
甲 乙 丙 丁
整理得x2−4x=−3 整理得x2−4x=−3，
移项得
∵a=1，b=−4，c=−3， 配方得
两边同时除 x(x−1)−3(x−1)=0，
以(x−1)得
∴b2−4ac=28， x2−4x+2=−1，
∴(x−3)(x−1)=0，
x=3 ∴x= 4±❑√28 =2±❑√7， ∴(x−2) 2=−1， ∴x−3=0或x−1=0，
∴x =2+
2
❑√7，x =2−❑√7
∴
x =
x
3
−2=±1，∴x
1
=1， ∴x
1
=1，x
2
=3
1 2 2
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．（24-25九年级上·天津蓟州·阶段练习）方程2x2+3x−2=0的两个根为（ ）
1 1
A．x =−2，x = B．x =2，x =
1 2 2 1 2 2
1 1
C．x =−2，x =− D．x =2，x =−
1 2 2 1 2 2
【考点9 解一元二次方程—因式分解法】
1．（25-26九年级上·陕西汉中·阶段练习）若△ABC的三边长都是方程x2−5x+6=0的根，则△ABC的
周长是（ ）
A．7 B．8 C．7或8 D．13
2．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知关于x的一元二次方程(k+1)x2+3x+k2−2k−3=0的常数
项为0，则k的值为（ ）
A．−1 B．3 C．−1或3 D．1或−3
3．已知关于x的方程mx2+x+m2−1=0的一个根是1，则m= ．
【考点10 一元二次方程根与系数的关系】
1．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）设a，b是方程x2+x−2036=0的两个实数根，则a2+2a+b的
值为（ ）A．2036 B．2035 C．2034 D．2033
2．（25-26九年级上·湖南岳阳·阶段练习）已知α,β是关于x的一元二次方程x2−(2m+3)x+m2=0的两个
1 1
不相等的实数根，且满足 + =1，则m的值是（ ）
α β
A．3 B．−1 C．3或1 D．−3或1
3．（25-26九年级上·山东枣庄·阶段练习）已知α，β是方程x2+2023x+1=0的两个根，则代数式
(1+2024α+α2)(1+2025β+β2)的值是 ．
【考点11 二次函数的定义】
1．（25-26九年级上·宁夏吴忠·阶段练习）以x为自变量的函数：①y=(x+2)(x−2)；②y=(x+2) 2；③
y=1+2x−3x2；④y=x2−x(x−1)，是二次函数的有 ．
2．已知函数y=(m−1)xm2+1是二次函数，则m= ．
3．（25-26八年级上·安徽·阶段练习）二次函数y=2x2−3的二次项系数、一次项系数、常数项的和为（
）
A．−1 B．1 C．5 D．−5
4．（24-25九年级上·全国·期末）下列函数关系中，可以看作是二次函数模型的是( )
A．两直角边的和为12的直角三角形，面积y与斜边x的关系
B．周长为12的长方形，长y与宽x的关系
C．面积为12的长方形，周长y与长x的关系
D．面积为12的长方形，长y与宽x的关系
【考点12 二次函数y=ax2 的图象与性质】
1．（24-25九年级上·吉林长春·期末）若点(0,y ),(1,y ),(2,y )都在二次函数y=x2图象上，则（ ）
1 2 3
A．y 0时，y随x的增大而增大
2．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）若正比例函数y=mx，y随x的增大而增大，则它和二次函数
y=mx2+m的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
3．二次函数y=−2x2+3，当−1≤x≤2时，y的取值范围是（ ）A．−5≤ y≤3 B．−1≤ y≤3 C．−5≤ y≤1 D．−5≤ y≤0
4．（24-25九年级上·江苏南通·期末）定义：对于函数图象上的两点M(x ,y )，N(x ,y )(x ≠x )，将
1 1 2 2 1 2
y −y
1 2 的值称为该函数图象在MN段的“攀登值”，记作k ．已知二次函数y=ax2+1(a>0)的图象上
x −x MN
1 2
有两点M(x ,y )，N(x ,y )，若对于任意的x ，x 均满足当x >x ≥1时，该函数图象在MN段的“攀
1 1 2 2 1 2 2 1
登值”始终有k >2，则a的取值范围是 ．
MN
【考点14 二次函数y=a(x−h) 2 的图象与性质】
1．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）已知二次函数y=(a−5)(x−1) 2的图象如图所示，则a可能是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．设函数y =−(x−m) 2，y =−(x−n) 2，直线x=1与函数y ，y 的图象分别交于点
1 2 1 2
A(1，a )，B(1，a )，得（ ）
1 2
A．若1a
1 2 2 1
3．老师给出一个二次函数，甲、乙两名同学各指出这个函数的一个性质．甲：函数图象的顶点在x轴上；
乙：抛物线开口向下；已知这两位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数表达式
．
4．（24-25八年级下·北京·期中）对于二次函数y =a(x+2) 2和y =a(x−2) 2(a>0)，其自变量和函数值
1 2
的两组对应值如下表所示：
x −4 my =a(x+2) 2 b b+5
1
y =a(x−2) 2 d b
2
根据二次函数图象的相关性质可知：m= ，d−b= ．
【考点15 二次函数y=a(x−h) 2+k的图象与性质】
1．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）已知点A(x ,y )，B(x ,y )在抛物线y=−(x−4) 2+m（m是常
1 1 2 2
数）上．若x y >m B．y >y >m
1 2 2 1
C．m>y >y D．m>y >y
1 2 2 1
2．当−2≤x≤1时，二次函数y=−(x−m) 2+5有最大值4，则实数m的值为( )
A．−3 B．−1或2 C．2或−3 D．2或−3或−1
3．若二次函数y=a(x−4) 2+4的图像在22 C．1≤m≤3 D．1y
1 2 1 2
3．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知二次函数y=−x2+bx+c（b，c为
常数）．
（1）当b=2时，该函数图象的对称轴为直线x= ；
（2）当x<0时，y的最大值为7；当x≥0时，y的最大值为3，则b−c= ．
4．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）如图，点G为抛物线y=−x2+2x+3对称轴上的点，点
E(m,y )，F(n,y )在对称轴右侧抛物线上，若△GEF为等腰直角三角形，∠EGF=90°，则n−m=
1 2
．
【考点17 二次函数y=ax2+bx+c图象与系数的关系】
1．（25-26九年级上·山东·阶段练习）若二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则下列说法正确的
是 ．
①图象与x轴的交点为(−2,0)，(1,0)；②2a−b=0；③b<0；④4a+2b+c<0；⑤当x<0时，y随x的增
大而减小
2．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）一次函数y=mx+n的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（ ）
y=−m(x+n) 2
A． B．
C． D．
3．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(−1,0)、点
B(3,0)、点C(4,y )，若点D(x ,y )是抛物线上任意一点，有下列结论：①二次函数y=ax2+bx+c的最
1 2 2
小值为−4a；② 3b−2c>0；③若−1≤x ≤4，则0≤ y ≤5a；④若y >y ，则x >4；⑤一元二次方程
2 2 2 1 2
1
cx2+bx+a=0的两个根为−1和 ．其中正确结论的个数是（ ）
3
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（24-25九年级上·内蒙古通辽·期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A(−1,0)，B(3,0)，交y轴
的负半轴于C，顶点为D．下列结论：①abc>0；②2a+b=0；③2c<3b；④当m≠1时，1
a+b0)的图象向右平移1个单位长
度后关于y轴对称．其中正确的为（ ）
b
① =2；
a
3 5
②当 ≤a≤ 时，代数式a2+b2−5b+8的最小值为3；
2 2
③对于任意实数m，不等式am2+bm−a+b≥0一定成立；
④P(x ,y )，Q(x ,y )为该二次函数图象上任意两点，且x 0时，一定有y 0)的两实根分别为α，β，且
α<β，则α，β满足（ ）
A．1<α<β<2 B．1<α<2<β
C．α<1<2<β D．α<1<β<2
2．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）抛物线y=ax2+bx+c经过点A(−3,0)、B(4,0)两点，则关于
x的一元二次方程a(x−1) 2+bx+c=b的解是 ．
3．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2−2mx+m2−1，直线y=−x+3与x轴交于点A，与y轴
交于点B，过点B作垂直于y轴的直线l与抛物线y=x2−2mx+m2−1有两个交点，在抛物线对称轴右侧的
交点记为P，当△OAP为锐角三角形时，则m的取值范围是（ ）
A．m>−1 B．m<−2
C．m<−2或m>1 D．−2
2 2 2
3．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，正方形ABCD和正方形EFGH的对称中心都是点O，其
边长分别是8和6，则图中阴影部分的面积是 ．
4．如图，过平行四边形ABCD内的点P作各边的平行线分别交AB,BC,CD,DA于点E，F，G，H．连
接AF,AG,FG．已知△AFG与平行四边形AEPH的面积分别为m，n．
n
（1）若点P是平行四边形ABCD的对称中心，则 = ；
m
（2）平行四边形ABCD的面积为 （用含m、n的代数式表示）．
【计算篇】
【考点22 一元二次方程的解法】
1．（25-26九年级上·山东青岛·阶段练习）用指定方法解下列一元二次方程：
(1)3(x−1) 2=12（直接开平方法）；
(2)x2+4x−3=0（配方法）；
7
(3)y2= y+ （配方法）．
4
2．（25-26九年级上·辽宁锦州·阶段练习）解方程：
(1)3x2+5x−1=0
(2)3(y−1) 2=1−y
3．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）用适当的方法解下列关于x的方程：(1)x(2x−5)=4x−10
(2)2x2−5x−1=0
(3)(x+8)(x−1)=−12
(4)(x2+2x) 2 −2(x2+2x)−3=0
4．（25-26九年级上·广东江门·阶段练习）已知关于x的一元二次方程x2−(2m+1)x+m−1=0．
(1)求证：无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)当m=2时，求此方程的解．
5．（25-26九年级上·山东枣庄·阶段练习）关于x的一元二次方程x2+2x+3−k=0有两个实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若方程的两个根为α，β，且k2=αβ+3k，求k的值．
【实际应用篇】
【考点23 一元二次方程的应用】
1．（25-26九年级上·陕西汉中·阶段练习）乒乓球作为陕西中考体育“体质健康测试类”选考项目，因其
对体能要求相对较低且趣味性较高，成为同学们选考热点，乒乓球拍的销量也在持续增长．某体育用品店
销售一种乒乓球拍，进价为每副42元，按每副66元销售，平均每月能卖出200副，为了推广宣传，商家
决定降价促销，同时，在不亏本的情况下，尽量减少库存，经调研发现，售价每降低2元，平均每月可多
卖出20副．
(1)小明说：“如果薄利多销，平均每月的销售量肯定能达到500副．”请你判断小明的说法是否正确？并
说明理由；
(2)该体育用品店期望销售这种乒乓球拍，平均每月的销售利润为4830元，销售员甲说：“在原售价的基
础上降低1元，销售利润即可达到预期目标．”销售员乙说：“在原售价的基础上降低3元更合适”，如
果你作为老板，请用方程的思想说明应采纳谁的意见．
2．城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速G69银百高速公路（银川至百色）的一
段，线路全长129.3公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分
别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所
需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元．
3
(1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的 ，求甲最多施工多少米？
2
(2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧m m
道施工成本增加m万元时，则每天可多挖 米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖 米，若最
2 3
终每天实际总成本比计划多(9m−2)万元，求m的值．
3．为鼓励广大凤中学子走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，初三年级某班组织同
学们周末共跑沙滨路，其中，小凤和小鸣两人同时从A地出发，匀速跑向距离12000m处的B地，小凤的
跑步速度是小鸣跑步速度的1.2倍，那么小凤比小鸣早5分钟到达B地．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)小凤每分钟跑多少米？
(2)若从A地到达B地后，小凤以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，
前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量
就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小凤共消耗2300卡路里的热量，小凤从A地到C地锻炼共用多少分
钟？
4．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）某校新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层
长为50米，宽30米．阴影部分设计为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知喷漆面积为
1056平方米．
(1)求通道的宽是多少米．
(2)据调查分析，停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；每个
车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又
能使对外开放的月租金收入为14400元？
【考点24 实际问题与二次函数】
1．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）道路的隔离栏通常会涂上醒目的颜色，呈抛物线形状（如图
1），图2是一个长为2米，宽为1米的矩形隔离栏，中间被4根栏杆五等分，每根栏杆的下面一部分涂上
醒目的蓝色，颜色的分界处（点E，点P）以及点A，点B落在同一条抛物线上，若第1根栏杆涂色部分
(EF)与第2根栏杆未涂色部分(PQ)长度相等，则求EF的长度．2．（24-25九年级上·内蒙古·期中）中国元素几乎遍布卡塔尔世界杯的每一个角落，某特许商品专卖店销
售中国制造的纪念品，深受大家喜爱．自世界杯开赛以来，其销量不断增加，该商品销售第x天（
1≤x≤20，且x为整数）与该天销售量y（件）之间满足函数关系如表所示：
第x天 1 2 3 4 5 6 7 …
销售量y（件） 220 240 260 280 300 320 340 …
为回馈顾客，该商家将此纪念品的价格不断下调，其销售单价z（元）与第x天（1≤x≤20且x为整数）成
一次函数关系且满足z=−4x+100．已知该纪念品成本价为20元/件．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)求这20天中第几天销售利润为18000元；
(3)这20天中，最大利润能否超过18000元？如果能求出最大利润，如果不能说明理由．
3．（25-26九年级上·北京·阶段练习）佩奇和朋友们一起踢足球，球射向球门的路线呈抛物线形．佩奇从
球门正前方8m的A处射门，当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点B，此时球离地面3m，球门高
OC为2.44m．
(1)请建立适当平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式．
(2)通过计算判断佩奇此次射门能否射入球门内．
(3)点D为OC上一点，且OD=2.25m，若射门路线的形状和大小、最大高度均保持不变，当佩奇带球向正
后方移动n(m)再射门，足球恰好经过OD区域（含点O和D），直接写出n的取值范围．
4．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）根据以下信息，探索完成任务：
探索目的 制作简易水流装置
如图，CD是进水通道，AB是出水通道，OE是圆柱形容
信息1 器的底面直径，从CD将圆柱形容器注满水，内部安装调
节器，使水流从B处流出且呈抛物线形．以点O为坐标原点，OE所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建立平面直
角坐标系，水流最终落到x轴上的点M处．
圆柱的高为40cm，点A到圆柱顶端的距离为4cm，
信息2 AB∥x轴，AB=5cm，OM=11cm，B为水流所在抛物
线的顶点，点A，B，O，E，M均在同一平面内．
问题解决
填空：OA的长度为______cm，该抛物线顶点坐标为
任务一
（______，______）．
任务二 求水流所在抛物线的函数解析式．
现有一个底面半径为2cm，高为25cm的圆柱形水杯，将
该水杯底面圆的圆心恰好放在点M处，水流是否能流到
任务三
圆柱形水杯内？请通过计算说明理由．（圆柱形水杯的厚
度忽略不计）
【作图篇】
【考点25 作图-旋转与中心对称】
1．（25-26九年级上·福建·阶段练习）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面
直角坐标系xOy，
(1)画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A B C
1 1 1
(2)将△ABC绕点B逆时针旋转90°得到△A BC （点A ，C 分别为A，C的对应点）画出△A BC ，
2 2 2 2 2 2
(3)画出四边形ABCP，且四边形ABCP为中心对称图形．2．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(−1,1)，B(−3,1)，C(−1,4)
，P(2,0)．
(1)画出△ABC关于原点中心对称的△A B C ；
1 1 1
(2)画出△ABC绕点P顺时针旋转90°后得到的△A B C ；
2 2 2
(3)求出点C旋转到点C 所走过的路径长．
2
3．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，
Rt△ABC的三个顶点分别为A(−2,2)，B(0,5)，C(0,2).
(1)在网格中作△A B C，使它与△ABC关于点C成中心对称；
1 1
(2)平移△ABC，使点A的对应点A 坐标为(−4,−6)，点B的对应点为B ，点C的对应点为C ，画出平
2 2 2
移后对应的△A B C ；
2 2 2
(3)若将△A B C绕某一点旋转180∘可得到△A B C ，则此旋转中心的坐标为______．
1 1 2 2 2
4．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点分别为
A(−3,4)，B(−5,1)，C(−1,2)．(1)画出△ABC关于原点对称的△A B C ，并写出点A 的坐标；
1 1 1 1
(2)画出△ABC绕原点逆时针旋转90°后的△A B C ，并写出点C 的坐标．
2 2 2 2
(3)点P为x轴上一点，直接写出当|PA−PB)最大时，点P的坐标．
【压轴篇】
【考点26 换元法解一元二次方程】
1．（25-26九年级上·河南商丘·阶段练习）阅读下面的材料，回答问题：
解方程x4−5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2= y，那么
x4= y2，于是原方程可变为y2−5 y+4=0①，解这个方程得y =1,y =4．
1 2
当y=1时，x2=1，∴x=±1；
当y=4时，x2=4，∴x=±2；
∴原方程有四个根：x =1,x =−1，x =2，x =−2．
1 2 3 4
请运用上面学到的方法填空：
(1)解方程(x2+2x) 2 −4(x2+2x)−5=0，则x2+2x=______；
(2)若(a2+b2)(a2+b2−1)=20，求a2+b2=______．
2．（24-25九年级上·江西吉安·期中）定义：我们把关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0与
cx2+bx+a=0(ac≠0，a≠c)称为一对“友好方程”．如2x2−7x+3=0的“友好方程”是
3x2−7x+2=0．
(1)写出一元二次方程x2+3x−10=0的“友好方程”________；
(2)已知一元二次方程x2+3x−10=0的两根为x =2，x =−5，它的“友好方程”的两根x =________，
1 2 3x = ________．根据以上结论，猜想ax2+bx+c=0的两根x ，x ，与其“友好方程”cx2+bx+a=0的两
4 1 2
根x ，x 之间存在的一种特殊关系为________；
3 4
1
(3)已知关于x的方程2024x2+bx+c=0的两根是x =−1，x = ，请利用（2）中的结论，求出关于x
1 2 2024
的方程c(x−1) 2+bx−b=−2024的两根．
【考点27 一元二次方程根的判别式与根与系数关系的综合】
1．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订
正》中提出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,b2−4ac≥0)的两根x ,x 有如下的关系（韦达定理）：
1 2
b c
x +x =− ,x ⋅x = ；
1 2 a 1 2 a
材料2：如果实数m、n满足m2−m−1=0、n2−n−1=0，且m≠n，则可利用根的定义构造一元二次方程
x2−x−1=0，将m、n看作是此方程的两个不相等的实数根．
请根据上述材料解决下面问题：
(1)已知实数m、n满足m2+4m−2=0、n2+4n−2=0，求m3+n3的值．
pq+p+1
(2)已知实数p、q满足p2=3p+2、2q2=1−3q，且pq≠1，求 的值．
q
27
(3)已知实数a、b、c满足a+b=c−10、ab= ，且c<10，求c的最大值．
4(10−c)
2．（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）我们知道一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x ，x ，
1 2
若其中一个根是另一个根的n倍（n为正整数），则称这样的方程为n倍“梅石花”方程，例如：方程
x2−6x+8=0的两个根分别是2和4，则这个方程就是二倍“梅石花”方程；若一元二次方程
a y2+by+c=m(a≠0,m≠0)的两根为y ，y ，则称这样的方程为“状元来”方程．
1 2
(1)根据上述定义，请判断：2x2−5x+2=0是_________倍“梅石花”方程；
b2
(2)若关于x的方程x2−bx+c=0(c≠0)是n倍“梅石花”方程，直接写出 的最小值是_________．
4c
(y −1) 2 y −2
(3)若方程−y2+3 y−2=m(m≠0)为“状元来”方程，求证： 1 = 2 ．
m y −2
1
3．（2025·湖南长沙·二模）我们知道：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c均为整−b±❑√b2−4ac
数），如果b2−4ac≥0时，这个方程的实数根就可以表示为x= ，其中b2−4ac就叫做一
2a
元二次方程根的判别式，我们用Δ表示，即Δ=b2−4ac，通过观察公式，我们可以发现，如果Δ的值是一
个完全平方数（若n=m2（m为整数），则n是一个完全平方数）时，一元二次方程的根不一定都为整数，
但是如果一元二次方程的根都为整数，Δ的值一定是一个完全平方数．
例：方程2x2−x−1=0，Δ=b2−4ac=(−1) 2−4×2×(−1)=9=32，Δ的值是一个完全平方数，但是该
1
方程的根为x =1，x =− ，不都为整数；方程x2−6x+8=0的两根x =2，x =4，都为整数，此时
1 2 2 1 2
Δ=b2−4ac=(−6) 2−4×1×8=4=22，Δ的值是一个完全平方数．
我们定义：两根都为整数的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c均为整数）称为“幸运方
4ac−b2
程”，两整数根称为“幸运根”，代数式 的值为该“幸运方程”的“幸运数”，用F(a,b,c)表
4a
4ac−b2
示，即F(a,b,c)= ．若有另一个“幸运方程”px2+qx+r=0（p≠0，p，q，r均为整数）的
4a
“幸运数”为F(p,q,r)，若r⋅F(a,b,c)=c⋅F(p,q,r)，则称F(a,b,c)与F(p,q,r)互为“开心
数”．
(1)关于x的一元二次方程x2−(m+1)x+m=0是一个“幸运方程”．
①当m=2时，该幸运方程的“幸运数”是______；
②若该幸运方程的“幸运数”是−1，则m的值为______．
(2)若关于x的一元二次方程x2−(2m−1)x+m2−2m−3=0（m为整数，且40)，A(m−1,y )、B(m+a,y )
1 2
(1)若m=1，a=4，①写出抛物线的对称轴为_____，②直接写出y 与y 的大小关系_____；
1 2
(2)现有一动点P从点A出发，沿x轴方向水平运动到与y轴平行且经过点B的直线L上，再沿着直线L运
动到点B，点P运动的总路径为d．当AB所在直线经过第二、四象限时，
①求a的取值范围；
②求d关于a的函数关系式．
(3)关于x的二次函数：z=−2x2−x+t，若在（1）的条件下，当0≤x≤1时，存在z≥ y，求t的最小值．
3
3．（25-26九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，已知抛物线C ：y=ax2+bx− 经过点A(−1，0)，
1 2
B(5,6)，M是C 的顶点．
1(1)求a，b的值及点 M 的坐标；
(2)将抛物线 C 平移，使其顶点落在x轴上，得到抛物线C ，C 的对称轴为直线x=h．
1 2 2
①当 C 平移路程最短时，直接写出C 的解析式；
1 2
②动点Q(x ，y )在抛物线C 上，当−1≤x ≤4时，y 的最小值为2，求 h的值；
0 0 2 0 0
③我们将横、纵坐标均为整数的点称为整点．连接AB，C 与线段AB只有一个交点 F，且AF与BF上的
2
整点个数比为5:2，直接写出h的取值范围．
4．如图①，平面直角坐标系中，抛物线y= ax2+bx+3(a<0)与x轴分别交于点A(−3,0)，和点B(1,0)
，与y轴交于点C，P为抛物线上一动点．
(1)拋物线的对称轴为直线______，拋物线的函数表达式为______；
(2)如图②，连接AC，若点P在AC上方，作PQ∥y轴交AC于点Q，把上述抛物线沿射线PQ的方向向下
平移，平移的距离为h(h>0)，在平移过程中，该抛物线与直线AC始终有交点，求h的最大值；
(3)若点P在AC上方，设直线AP，BP与抛物线的对称轴分别相交于点F，E．请探索以A,F,B,G（G是
点E关于x轴的对称点）为顶点的四边形面积是否随着点P的运动而发生变化？若不变，求出这个四边形的
面积；若变化，请说明理由．
【考点29 二次函数中的存在性问题】
1．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与 y 轴的正半
轴交于C点，且OB=OC=3OA=3．(1)求抛物线的表达式；
(2)在直线BC下方的抛物线上是否存在点M，使得△MBC的面积为6，若存在求出点M的坐标，若不存
在，请说明理由．
(3)抛物线的顶点为D，连接BC、BD．抛物线上是否存在一点P，使得 ∠PCB=∠CBD？ 若存在，
求P点的坐标； 若不存在，说明理由；
2．（25-26九年级上·吉林·阶段练习）如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左
侧），点A的坐标为(−1,0)，与y轴交于点C(0,3)，作直线BC，动点P在x轴上运动，过点P作PM⊥x
轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N，设点P的横坐标为m．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求直线BC的解析式；
(3)当点P在线段OB上运动时，求线段MN的最大值；
(4)当点P在线段OB上运动时，若△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形时，直接写出m的值；
(5)当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出m的值．
3．（25-26九年级上·辽宁·阶段练习）如图，已知抛物线经过点A(−1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点．
(1)求抛物线的解析式；(2)点M是线段BC上的点（不与B、C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N．若点M的横坐标为m．
请用m的代数式表示MN的长；
(3)在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存
在，说明理由．
4．（25-26九年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A(−4,0)，B(2,0)，
与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，若点D在抛物线的对称轴上，当CD平分∠ACO时，求点D的坐标；
(3)如图2，平行于x轴的动直线l从x轴出发向上平移，直线l与抛物线交于点M，N（点M在点N左侧），
若在x轴上存在点P使△PMN是等腰直角三角形，求点M的纵坐标．
