文档内容
期中复习 5 大类型 29 个考点（前 3 章）
【人教版】
【基础概念易错篇】.....................................................................................................................................................2
【考点1 判断是否是一元二次方程】....................................................................................................................2
【考点2 一元二次方程的一般形式】....................................................................................................................3
【考点3 一元二次方程的解】................................................................................................................................4
【考点4 解一元二次方程—直接开平方法】.......................................................................................................5
【考点5 解一元二次方程—配方法】....................................................................................................................6
【考点6 配方法的应用】........................................................................................................................................7
【考点7 一元二次方程根的判别式】....................................................................................................................9
【考点8 解一元二次方程—公式法】..................................................................................................................12
【考点9 解一元二次方程—因式分解法】.........................................................................................................14
【考点10 一元二次方程根与系数的关系】.........................................................................................................16
【考点11 二次函数的定义】..................................................................................................................................17
【考点12 二次函数y=ax2的图象与性质】.........................................................................................................19
【考点13 二次函数y=ax2+k的图象与性质】...................................................................................................21
【考点14 二次函数y=a(x−h) 2的图象与性质】..............................................................................................23
【考点15 二次函数y=a(x−h) 2+k的图象与性质】........................................................................................27
【考点16 二次函数y=ax2+bx+c的图象与的性质】.......................................................................................30
【考点17 二次函数y=ax2+bx+c图象与系数的关系】...................................................................................33
【考点18 二次函数图象与几何变换】..................................................................................................................38
【考点19 二次函数与一元二次方程】..................................................................................................................41
【考点20 图形的旋转】..........................................................................................................................................44
【考点21 中心对称】..............................................................................................................................................48
【计算篇】...................................................................................................................................................................52
【考点22 一元二次方程的解法】..........................................................................................................................52
【实际应用篇】...........................................................................................................................................................56
【考点23 一元二次方程的应用】..........................................................................................................................56
【考点24 实际问题与二次函数】..........................................................................................................................60
【作图篇】...................................................................................................................................................................66
【考点25 作图-旋转与中心对称】........................................................................................................................66
【压轴篇】...................................................................................................................................................................73
【考点26 换元法解一元二次方程】......................................................................................................................73
【考点27 一元二次方程根的判别式与根与系数关系的综合】.........................................................................75
【考点28 利用二次函数的性质求最值】..............................................................................................................82【考点29 二次函数中的存在性问题】..................................................................................................................91
【基础概念易错篇】
【考点1 判断是否是一元二次方程】
1．（25-26九年级上·全国·阶段练习）若方程(a−3)x|a)−1+6x−2=0是关于x的一元二次方程，则a的值
为（ ）
A．3 B．−3 C．3或−3 D．0
【答案】B
【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的
整式方程叫一元二次方程．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）．
根据一元二次方程的定义得到|a)−1=2且a≠3，然后解方程和不等式即可得到满足条件的a值．
【详解】解：∵(a−3)x|a)−1+6x−2=0是关于x的一元二次方程，
∴|a)−1=2，
∴|a)=3．
∴a=±3．
∵a−3≠0，
∴a≠3．
∴a=−3．
故选：B．
2．（25-26九年级上·河南商丘·阶段练习）下列是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．3x2−44x+1 B．ax2+bx+c=0
1
C．2(x+2)(x−1)−x2=0 D．x2− −5=0
x
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是
2 ，（2）二次项系数不为 0 ，（3）是整式方程，（4）只含有一个未知数，熟练掌握一元二次方程必须
满足的四个条件，是解题的关键．
根据一元二次方程的定义解答即可．
【详解】解：A．不是等式，故不是一元二次方程，不符合题意；
B．当a=0时，ax2+bx+c=0不是一元二次方程，不符合题意；C．该方程化简后为x2+2x−4=0，是一元二次方程，符合题意；
D．该方程不是整式方程，不符合题意；
故选：C．
3．（24-25九年级上·云南昆明·期末）已知关于x的一元二次方程(m−1)x2+2x−3=0有实数根，则m的
取值范围是 ．
2
【答案】m≥ 且m≠1
3
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，根据根的判别式可得
Δ=22−4×(m−1)×(−3)≥0，根据一元二次方程的定义可得m−1≠0，据此求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程(m−1)x2+2x−3=0有实数根，
∴¿，
2
解得：m≥ 且m≠1，
3
2
∴m的取值范围是m≥ 且m≠1．
3
2
故答案为：m≥ 且m≠1．
3
【考点2 一元二次方程的一般形式】
1
1．将一元二次方程 x(x−2)=5化为二次项系数为“1”的一般形式，其中二次项系数是 ，
3
一次项系数是 ，常数项是 ．
【答案】 1 −2 −15
【分析】本题主要考查一元二次方程化为一般形式，掌握一元二次方程化为一般形式
ax2+bx+c=0(a≠0)是解题的关键．
先通过去括号、移项、合并同类项、然后同时除以二次项的系数得到二次项系数是1的一元二次方程，再
确定二次项系数、一次项系数、常数项即可．
1
【详解】解： x(x−2)=5，
3
1 2
x2− x−5=0，
3 3
x2−2x−15=0，
所以该方程的二次项系数是1，一次项系数是−2，常数项是−15．故答案为：1；−2；−15．
2．把方程x(2x−1)=1化成ax2+bx+c=0的形式，则a、b、c的一组值是（ ）
A．2、−1、−1B．2、−1、1 C．2、1、−1 D．2、1、1
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，先把方程左边去括号，然后把常数项移到方程左边即
可得到答案．
【详解】解：∵x(2x−1)=1，
∴2x2−x=1，
∴2x2−x−1=0，
∴a=2，b=−1，c=−1，
故选：A．
【考点3 一元二次方程的解】
1．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，若9a−3b+c=0，
则该方程一定有一个根为（ ）
A．−3 B．3 C．±3 D．不能确定
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的
解，掌握一元二次方程的解的概念是解题的关键．由于当x=−3时，9a−3b+c=0，则可判断该方程一
定有一个根为−3．
【详解】解：当x=−3时，9a−3b+c=0，所以若9a−3b+c=0，则一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)一定有一个根为−3．
故选：A．
2．下列一元二次方程中，有一个根为x=1的是（ ）
A．x2=3x−4 B．x2=2x−1 C．x2−2x=1 D．x2+2x=1
【答案】B
【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，把x=1代入选项中每个方程进行检验即可得到答案．
【详解】解：把x=1代入x2=3x−4，得x2=1,3x−4=−1，
∴x2≠3x−4，故A不符合题意；
把x=1代入x2=2x−1，得x2=1,2x−1=1，
∴x2=2x−1，故B符合题意；
把x=1代入x2−2x，得x2−2x=−1，∴x2−2x≠1，故C不符合题意；
把x=1代入x2+2x，得x2+2x=3，
∴x2+2x≠1，故D不符合题意；
故选：B
3．（25-26九年级上·山东青岛·阶段练习）若m是一元二次方程x2+2x−7=0的一个根，则
2025−m2−2m=
【答案】2018
【分析】本题考查一元二次方程的解．根据题意将m代入方程x2+2x−7=0中，再观察结果和所得方程关
系即可得到本题答案．
【详解】解：∵m是一元二次方程x2+2x−7=0的一个根，
∴m2+2m−7=0，即m2+2m=7，
∴2025−m2−2m=2025−(m2+2m)=2025−7=2018．
故答案为：2018．
【考点4 解一元二次方程—直接开平方法】
1．方程100x2−1=0的解为 ．
1 1
【答案】x = ,x =−
1 10 2 10
【分析】本题考查解一元二次方程，利用直接开方法解方程即可．
【详解】解：100x2−1=0，
100x2=1，
1
x2=
，
100
1 1
∴x = ,x =− ．
1 10 2 10
1 1
故答案为：x = ,x =−
1 10 2 10
2．（25-26九年级上·四川宜宾·阶段练习）已知关于x的一元二次方程(a−1)x2+x+a2=1的常数项是0，
则a的值为（ ）
A．1 B．−1 C．1或−1 D．0
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程的定义和解法，掌握一元二次方程的定义与基本解法是解题关键．
根据一元二次方程的定义和题意列出a满足的条件求解即可．【详解】解：原方程变形为(a−1)x2+x+a2−1=0，
{a2−1=0)
由题意， ，
a−1≠0
解得：a=−1，
故选：B．
3．（2025·上海徐汇·二模）若一元二次方程3x2+(m−1)x−4=0中的b2−4ac=73，则m的值为 ．
【答案】6或−4
【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，直接开平方法解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关
键．先理解题意得(m−1) 2−4×3×(−4)=73，整理得(m−1) 2=25，运用直接开平方法进行解方程，即
可作答．
【详解】∵一元二次方程3x2+(m−1)x−4=0中的b2−4ac=73，
∴(m−1) 2−4×3×(−4)=73，
∴(m−1) 2=25．
∴m−1=±5.
∴m=6或−4．
故答案为：6或−4
【考点5 解一元二次方程—配方法】
1．（25-26九年级上·河北唐山·阶段练习）用配方法解关于x的一元二次方程x2−4x−11=0时，配方结果
正确的是（ ）
A．(x−2) 2=7 B．(x−2) 2=15 C．(x−4) 2=7 D．(x−4) 2=15
【答案】B
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）
把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．先把常数项移到方程右侧，再把
方程两边同时加上4，然后把方程左边写成完全平方形式即可．
【详解】解：x2−4x−11=0，
x2−4x=11，
x2−4x+4=15，(x−2) 2=15，
故选：B．
2．（25-26九年级上·新疆伊犁·阶段练习）如果一元二次方程x2−6x+k=0经配方后，得(x−3) 2=4，那
么k= ．
【答案】5
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成(x+m) 2=n的形式，再利用直接开平方
法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．先移项得到x2−6x=−k，再把方程两边加上9得到
(x−3) 2=9−k，从而得到9−k=4，然后解关于k的方程即可．
【详解】解：x2−6x+k=0，
x2−6x=−k，
x2−6x+9=9−k，
(x−3) 2=9−k，
所以9−k=4，
解得k=5．
故答案为：5．
【考点6 配方法的应用】
1．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知多项式A=x2−x+(3−2k)，若无论x取何实数，A的值都
不是负数，则k的取值范围是 ．
11
【答案】k≤
8
【分析】本题主要考查配方法的应用，根据配方法可进行求解．
【详解】解：A=x2−x+(3−2k)= ( x− 1) 2 +3−2k− 1 = ( x− 1) 2 + 11 −2k，
2 4 2 4
( 1) 2
∵无论x取何实数，A的值都不是负数，且 x− ≥0，
2
11
∴ −2k≥0，
4
11
解得k≤ ，
811
故答案为：k≤ ．
8
{x+ y−2z=6)
2．（24-25九年级下·山东烟台·期末）已知x,y,z为实数，满足 ，那么x2+ y2+z2的最小值
x−2y+z=3
为 ．
【答案】14
【分析】本题考查解三元一次方程组、配方法的应用．解方程组转化为只含x的代数式，利用配方法求最
值，是解题的关键．用含x的式子表示出y,z，将x2+ y2+z2转化为只含x的代数式，利用配方法，求出最
值即可．
{x+ y−2z=6①)
【详解】解： ，
x−2y+z=3②
①×2+②，得x−z=5，则z=x−5③，
①+2×②，得x−y=4，则y=x−4④，
把③④代入x2+ y2+z2得，
x2+(x−4) 2+(x−5) 2
=x2+x2−8x+16+x2−10x+25
=3x2−18x+41
=3(x−3) 2+14；
∵(x−3) 2≥0，
∴x2+ y2+z2的最小值是14，
故答案为：14．
3．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）已知a,b满足(a2+4a+7)(b2−6b+11)=6，则2a+b=（）
A．−6 B．−1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】本题考查了代数式求值，配方法的应用，非负数的性质，将(a2+4a+7)(b2−6b+11)=6变形，
然后根据非负数的性质和式子的结果，可以求出a、b的值，再代入求解即可，掌握相关知识是解题的关
键．
【详解】解：∵(a2+4a+7)(b2−6b+11)=6，∴[(a+2) 2+3)[(b−3) 2+2)=6，
∵(a+2) 2≥0，(b−3) 2≥0，
∴当a+2=0,b−3=0时，[(a+2) 2+3)[(b−3) 2+2)=6，
解得：a=−2,b=3，
∴2a+b
=2×(−2)+3
=−4+3
=−1，
故选：B．
4．已知：a、b、c是ΔABC的三边，且a2 −2a+b−2❑√b−1+|c−❑√5|+1=0，ΔABC的形状是
．
【答案】直角三角形
【分析】等式配方成a2 −2a+b−2❑√b−1+|c−❑√5|+1=0，利用非负数性求得a、b、c的长，再利用勾股
定理的逆定理即可求解．
【详解】解：∵a2 −2a+b−2❑√b−1+|c−❑√5|+1=0，
∴a2 −2a+1+(❑√b−1) 2 −2❑√b−1+1+|c−❑√5|=0，
∴(a−1)2+(❑√b−1−1) 2 +|c−❑√5|=0，
∴a−1=0，❑√b−1−1=0，c−❑√5=0，
∴a=1，b=2，c=❑√5，
∵12+22=(❑√5)2，
∴ΔABC的形状是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
【点睛】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，勾股定理的逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
【考点7 一元二次方程根的判别式】
1．（25-26九年级上·山东滨州·阶段练习）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ）
A．x2−4x=0 B．x2−4=0
C．x2−4x+4=0 D．x2−4x+16=0【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程根的情况，熟练掌握判断一元二次方程根的情况是解题的关键，利用一元
二次方程根的判别式Δ=b2−4ac对各选项逐一判断即可得到答案．
【详解】解：A、 x2−4x=0，
∵
Δ=b2−4ac=(−4) 2−4×1×0=16>0，
∴
方程有两个不相等实数根，此项错误；
∴B、 x2−4=0，
Δ=∵b2−4ac=02−4×1×(−4)=16>0，
∴方程有两个不相等实数根，此项错误；
∴C、 x2−4x+4=0，
∵
Δ=b2−4ac=(−4) 2−4×1×4=0，
∴
方程有两个相等实数根，此项正确；
∴D、x2−4x+16=0，
Δ=b2−4ac=(−4) 2−4×1×16=−48<0，
∴
方程没有实数根，此项错误；
∴故选：C．
2．（24-25八年级下·上海金山·期末）若k<0，关于x的一元二次方程kx2−x+1=0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的情况的关系，是
解题的关键．
根据一元二次方程根的判别式Δ进行判断．当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，有两个相
等的实数根；当Δ<0时，无实数根．
【详解】解：∵方程kx2−x+1=0中，a=k，b=−1，c=1．
∴Δ=b2−4ac=(−1) 2−4⋅k⋅1=1−4k．
∵k<0，
∴−4k>0，∴Δ=1+(−4k)>1，
即Δ>0．
故方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
3．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）已知关于x的一元二次方程(k−1)x2−2x−3=0有实数根，则k
的取值范围是 ．
2
【答案】k≥ 且k≠1
3
【分析】本题考查一元二次方程的定义，根的判别式，掌握相关知识是解决问题的关键．由题意k−1≠0
且Δ≥0，进行计算即可．
【详解】解：根据题意得k−1≠0且Δ=(−2) 2−4×(k−1)×(−3)≥0，
2
解得k≥ 且k≠1．
3
2
故答案为：k≥ 且k≠1．
3
4．已知m、n、3分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程
x2−4x+k+2=0的两个根，则k的值是 ．
【答案】1或2/2或1
【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的解，等腰三角形的性质等知识点，注意：等腰三角形的
两腰相等．已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c为常数，a≠0)，①当Δ=b2−4ac>0时，方程有
两个不相等的实数根，②当Δ=b2−4ac=0时，方程有两个相等的实数根，③当Δ=b2−4ac<0时，方程
没有实数根．分为两种情况：①m、n是腰，②m、n其中一个是腰，另一个是底边，分别求出答案即可．
【详解】解：①当m、n为腰时，m=n，
∵m、n是关于x的一元二次方程x2−4x+k+2=0的两个根，
∴方程有两个相等的实数根，
∴Δ=(−4) 2−4×1×(k+2)=0，
解得：k=2；
∴x2−4x+4=0，
解得x =x =2，
1 2此时三角形三边长为：2、2、3，符合三角形三边关系，
②当m和3（或n和3)是腰时，m=3，
∵三角形不是等边三角形，
∴此时方程有两个不相等的实数根，
∵m、n是关于x的一元二次方程x2−4x+k+2=0的两个根，
∴把m=3代入方程得9−12+k+2=0，
解得：k=1；
∴x2−4x+3=0，
解得x =3，x =1，
1 2
此时三角形三边长为：1、3、3，符合三角形三边关系，
∴k=1或2．
故答案为：1或2．
【考点8 解一元二次方程—公式法】
1．（24-25八年级下·浙江丽水·期中）已知关于x的方程x2−(m+2)x+3m+3=0，若方程的根都是整数，
则满足条件的正整数m的值为 ．
【答案】11或9
【分析】本题考查利用求根公式求方程，熟练掌握求根公式以及平方数的定义是解题的关键．本题由求根
m+2±❑√(m+2) 2−4(3m+3)
公式可得：x= ，结合方程的根都是整数以及m2−8m−8为平方数进行分析
2
求解即可．
【详解】解：由x2−(m+2)x+3m+3=0可知，
a=1,b=−(m+2),c=3m+3，
由题意知方程有实数根，
m+2±❑√(m+2) 2−4(3m+3)
所以由求根公式可得：x= ，
2
m+2±❑√m2−8m−8
化简得：x= ，
2
∵方程的根都是整数，
∴ m2−8m−8为平方数，
设m2−8m−8=k2（k为正整数），∴ (m−4) 2−k2=24，则(m−4+k)(m−4−k)=24，
∵ m为正整数，k为正整数，
∴ m−4+k和m−4−k为24的正整数因数，且m−4+k>m−4−k，
∵24=1×24=2×12=3×8=4×6，
33
当m−4+k=24,m−4−k=1时，m= （舍去），
2
当m−4+k=12,m−4−k=2时，m=11，代入验证方程的根是整数，满足条件，
19
当m−4+k=8,m−4−k=3时，m= （舍去），
2
当m−4+k=6,m−4−k=4时，m=9，代入验证方程的根是整数，满足条件，
∴正整数m的值为11或9．
故答案为：11或9．
2．（24-25八年级下·山东烟台·期中）已知关于x的一元二次方程x2−(k+5)x+6+2k=0恰有一个根小于
−1，则k的取值范围为 ．
【答案】k<−4
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，解一元一次不等式，解一元二次方程得
出x =2，x =k+3，结合题意得出k+3<−1，解一元一次不等式即可得解．
1 2
【详解】解：由题意可得：Δ=[−(k+5)) 2 −4×1×(6+2k)=k2+2k+1=(k+1) 2≥0，
∴此方程总有两个实数根，
k+5±❑√(k+1) 2 k+5±(k+1)
∴x= = ，
2 2
∴x =2，x =k+3，
1 2
∵关于x的一元二次方程x2−(k+5)x+6+2k=0恰有一个根小于−1，
∴k+3<−1，
∴k<−4，
故答案为：k<−4．
3．（25-26九年级上·安徽宿州·阶段练习）关于x的方程x(x−1)=3(x−1)，下列解法完全正确的是（ ）
甲 乙 丙 丁
两边同时除 整理得x2−4x=−3 整理得x2−4x=−3， 移项得
以(x−1)得∵a=1，b=−4，c=−3， 配方得
x(x−1)−3(x−1)=0，
∴b2−4ac=28， x2−4x+2=−1，
∴(x−3)(x−1)=0，
x=3 ∴x= 4±❑√28 =2±❑√7， ∴(x−2) 2=−1， ∴x−3=0或x−1=0，
2 ∴x−2=±1，∴x
1
=1，
∴x =1，x =3
∴x =2+❑√7，x =2−❑√7 x =3 1 2
1 2 2
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【分析】本题考查了等式的性质，解一元二次方程的方法，根据等式的性质，解一元二次方程的方法逐一
判断即可，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：A、两边同时除以x−1时，未考虑x−1=0的情况，导致漏解x=1，所以甲错误，故选不符
合题意；
B、整理得：x2−4x+3=0，
∵a=1，b=−4，c=3，
∴b2−4ac=4，
4±2
∴x= =2±1，
2
∴x =3，x =1，所以乙错误，故选项不符合题意；
1 2
C、整理得x2−4x=−3，
配方得：x2−4x+4=1，
∴(x−2) 2=1，
∴x−2=±1，
∴x =1，x =3，所以丙错误，故选项不符合题意；
1 2
D、移项得：x(x−1)−3(x−1)=0，
∴(x−3)(x−1)=0，
∴x−3=0或x−1=0，
∴x =1，x =3，所以丁正确，故选项符合题意；
1 2
故选：D．
4．（24-25九年级上·天津蓟州·阶段练习）方程2x2+3x−2=0的两个根为（ ）
1 1
A．x =−2，x = B．x =2，x =
1 2 2 1 2 2
1 1
C．x =−2，x =− D．x =2，x =−
1 2 2 1 2 2【答案】A
【分析】本题主要考查了利用公式法解一元二次方程，解题的关键是掌握求根公式．
利用一元二次方程的求根公式进行求解即可．
【详解】解：2x2+3x−2=0，a=2,b=3,c=−2，
Δ=b2−4ac=9−4×2×(−2)=25>0，
根据求根公式得，
−b±❑√Δ −3±❑√25 −3±5
x= = = ，
2a 2×2 4
1
∴x =−2，x = ，
1 2 2
故选：A．
【考点9 解一元二次方程—因式分解法】
1．（25-26九年级上·陕西汉中·阶段练习）若△ABC的三边长都是方程x2−5x+6=0的根，则△ABC的
周长是（ ）
A．7 B．8 C．7或8 D．13
【答案】C
【分析】本题主要考查了解一元二次方程、三角形的三边关系等知识点，正确解出一元二次方程并分类讨
论是解题的关键．
先利用因式分解法求的方程两个根分别是2和3，再结合三角形的三边关系进行分类讨论即可解答．
【详解】解：x2−5x+6=0，
(x−2)(x−3)=0，
x−2=0,x−3=0，
x =2,x =3．
1 2
当2为腰，3为底时，3<2+2，能构成等腰三角形，此时△ABC的周长为2+2+3=7；
当3为腰，2为底时，3<3+2，能构成等腰三角形，此时△ABC的周长为2+3+3=8．
综上，△ABC周长分别为7或8．
故选：C．
2．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知关于x的一元二次方程(k+1)x2+3x+k2−2k−3=0的常数
项为0，则k的值为（ ）
A．−1 B．3 C．−1或3 D．1或−3
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的定义与因式分解法解一元二次方程．此题难度不大，注意二次项系数不等于零，这是易错点．根据题意可得k2−2k−3=0且k+1≠0，继而求得答案．
【详解】解：由题意，得k2−2k−3=0且k+1≠0，
∴(k−3)(k+1)=0且k+1≠0，
∴k−3=0．
解得k=3．
故选：B．
3．已知关于x的方程mx2+x+m2−1=0的一个根是1，则m= ．
【答案】0或−1
【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，解一元二次方程；分m=0和m≠0分别讨论，即可求解．
【详解】解：当m=0时，x−1=0，
可得：x=1，符合题意，
当m≠0时，方程mx2+x+m2−1=0是一元二次方程，
把x=1代入mx2+x+m2−1=0得，
m+1+m2−1=0
∴m2+m=0，
∴m(m+1)=0
解得：m=0（舍去）或m=−1，
综上所述，m=0或m=−1
故答案为：0或−1．
【考点10 一元二次方程根与系数的关系】
1．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）设a，b是方程x2+x−2036=0的两个实数根，则a2+2a+b的
值为（ ）
A．2036 B．2035 C．2034 D．2033
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的定义，代数求值，解题的关键是掌握根与系
数的关系．
根据一元二次方程根与系数的关系得出a+b=−1，根据根的定义得出a2+a=2036，然后代数求值即可．
【详解】解：根据题意得，a+b=−1，
∵a，b是方程x2+x−2036=0的两个实数根，
∴a2+a=2036
∴a2+2a+b=(a2+a)+(a+b)=2036−1=2035，故选：B．
2．（25-26九年级上·湖南岳阳·阶段练习）已知α,β是关于x的一元二次方程x2−(2m+3)x+m2=0的两个
1 1
不相等的实数根，且满足 + =1，则m的值是（ ）
α β
A．3 B．−1 C．3或1 D．−3或1
【答案】A
1 1
【分析】本题考查根与系数的关系以及根的判别式，由根与系数的关系结合 + =1，可得出关于m的分
α β
式方程，解之即可得出m的值，再根据根的判别式Δ＞0，即可得出m的值，此题得解．
【详解】解：∵α,β是关于x的一元二次方程x2−(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根，
∴α+β=2m+3，αβ=m2，
1 1 α+β 2m+3
∴
+ = = =1，
α β αβ m2
解得：m=−1或m=3，
经检验，m=−1或m=3均为原分式方程的解．
∵α,β是关于x的一元二次方程x2−(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根，
∴Δ=[−(2m+3)) 2 −4m2=12m+9>0，
3
∴m>− ，
4
∴m=3．
故选：A．
3．（25-26九年级上·山东枣庄·阶段练习）已知α，β是方程x2+2023x+1=0的两个根，则代数式
(1+2024α+α2)(1+2025β+β2)的值是 ．
【答案】2
【分析】本题考查一元二次方程的解、一元二次方程根与系数关系，解答的关键是熟知一元二次方程根与
b c
系数的关系：设一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x 、x ，则x +x =− ，x ⋅x = ．根据
1 2 1 2 a 1 2 a
题意得到αβ=1，α2+2023α+1=0，β2+2023β+1=0，进而化简求值即可．
【详解】解：∵α，β是方程x2+2023x+1=0的两个根，
∴αβ=1，α2+2023α+1=0，β2+2023β+1=0，∴(1+2024α+α2)(1+2025β+β2)
=(α+1+2023α+α2 )(2β+1+2023β+β2
)
=(α+0)(2β+0)
=2αβ
=2×1
=2．
故答案为：2．
【考点11 二次函数的定义】
1．（25-26九年级上·宁夏吴忠·阶段练习）以x为自变量的函数：①y=(x+2)(x−2)；②y=(x+2) 2；③
y=1+2x−3x2；④y=x2−x(x−1)，是二次函数的有 ．
【答案】①②③
【分析】本题考查了二次函数的定义，熟记概念是解题的关键．
根据二次函数的定义进行判断．
【详解】解：①y=(x+2)(x−2)=x2−4，符合二次函数的定义，故①是二次函数；
②y=(x+2) 2，符合二次函数的定义，故②是二次函数；
③y=1+2x−3x2，符合二次函数的定义，故③是二次函数；
④y=x2−x(x−1)=x2−x2+x=x，不符合二次函数的定义，故④不是二次函数．
所以，是二次函数的有①②③，
故答案为①②③．
2．已知函数y=(m−1)xm2+1是二次函数，则m= ．
【答案】−1
【分析】根据定义得：形如y=ax2+bx+c (a、b、c是常数，且a≠0)的函数是二次函数，列方程可求
得答案．
【详解】解：依题意得：m2+1=2且m−1≠0，
解得m=−1．
故答案为：−1．
【点睛】本题考查了二次函数的定义．注意：二次函数y=ax2+bx+c中，a是常数，本题关键点为a≠0．
3．（25-26八年级上·安徽·阶段练习）二次函数y=2x2−3的二次项系数、一次项系数、常数项的和为（）
A．−1 B．1 C．5 D．−5
【答案】A
【分析】此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏
掉符号．
根据二次函数的定义得出二次项系数、一次项系数、常数项，再相加计算即可．
【详解】解：二次函数y=2x2−3的二次项系数是2，一次项系数是0，常数项是−3，
∴二次项系数、一次项系数、常数项的和为2+0+(−3)=−1，
故选：A．
4．（24-25九年级上·全国·期末）下列函数关系中，可以看作是二次函数模型的是( )
A．两直角边的和为12的直角三角形，面积y与斜边x的关系
B．周长为12的长方形，长y与宽x的关系
C．面积为12的长方形，周长y与长x的关系
D．面积为12的长方形，长y与宽x的关系
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的定义，解题关键是掌握一次函数与二次函数的定义条件：（1）一次函数
y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1；（1）二次函数y=ax2+bx+c的定义条件
是：a、b、c为常数，a≠0，自变量最高次数为2．根据二次函数的定义，分别列出关系式，进行选择即
可．
【详解】解：A、两直角边的和为12的直角三角形，
1
设两直角边分别为a,b，则a+b=12, ab= y，
2
∴x2=a2+b2=(a+b) 2−2ab=144−4 y
1
∴y=− x2+36
4
∴面积y与斜边x的关系是二次函数，故此选项符合题意；
B、关系式为：y=6−x，是一次函数，故此选项不符合题意；
24
C、关系式为： y=2x+ ，不是二次函数，故此选项不符合题意；
x
12
D、关系式为：y = ，不是二次函数，故此选项不符合题意；
x故选：A．
【考点12 二次函数y=ax2 的图象与性质】
1．（24-25九年级上·吉林长春·期末）若点(0,y ),(1,y ),(2,y )都在二次函数y=x2图象上，则（ ）
1 2 3
A．y 0时，y随着x的增大而增大，由0<1<2，可得y 0，
∴对称轴为y轴，当x>0时，y随着x的增大而增大，
∵0<1<2，
∴y a >0,
1 2∵由图像可知y =a x2 ，y =a x2 开口向下，并且y =a x2 开口小于y =a x2 的开口，
3 3 4 4 4 4 3 3
∴|a )>|a ),
4 3
又a <0，a <0,
4 3
∴a 0，计算求解，然后作答即可．
【详解】解：由题意知，a−1>0，
解得，a>1，
∴实数a可以为2，
故答案为：2．
4．对于二次函数y=ax2(a≠0)，当x取x ，x (x ≠x )时，函数值相等，则当x取x +x 时，函数值为
1 2 1 2 1 2
．
【答案】0
【分析】先判断出二次函数图像对称轴为y轴，再根据二次函数的性质判断出x ，x 关于y轴对称即可解
1 2
答．
【详解】解：二次函数y=ax2的对称轴为y轴，
∵x取x ，x (x ≠x )时，函数值相等，
1 2 1 2
∴x ，x 关于y轴对称，
1 2
∴x +x =0，
1 2
∴当x取x +x 时，函数值为0．
1 2
故答案为：0．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟记性质并判断出x ，x 关于y轴对称是解题的关键．
1 2【考点13 二次函数y=ax2+k的图象与性质】
1
1．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）二次函数y= x2+3的图象是一条抛物线，则下列说法错误的是
3
（ ）
A．抛物线开口向上 B．抛物线经过点(3,6)
C．抛物线的顶点是(1,3) D．当x>0时，y随x的增大而增大
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的标准式形式，分析开口方向、顶点坐标、对称轴及增
减性，逐一验证各选项的正确性．
1
【详解】解：A、抛物线开口方向由二次项系数决定，因a= >0，故开口向上，A正确，不符合题意；
3
1
B、将x=3代入函数，得y= (3) 2+3=3+3=6，故抛物线经过点(3,6)，B正确，符合题意；
3
1
C、函数为y= x2+3，属于标准形式y=ax2+k，顶点坐标为(0,3)，而非(1,3)，C错误，符合题意；
3
D、因开口向上，对称轴为y轴（x=0），当x>0时，y随x增大而递增，D正确，不符合题意．
故选：C．
2．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）若正比例函数y=mx，y随x的增大而增大，则它和二次函数
y=mx2+m的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正比例函数图象与二次函数图象综合判断，由正比例函数得出m>0，从而得出二次函
数y=mx2+m的图象开口向上，与y轴交于正半轴，再判断出正比例函数与二次函数图象没有交点即可得
解．【详解】解：∵正比例函数y=mx，y随x的增大而增大，
∴m>0，
∴二次函数y=mx2+m的图象开口向上，与y轴交于正半轴，故A、C不符合题意；
{ y=mx )
联立 得：mx2−mx+m=0，
y=mx2+m
则Δ=(−m) 2−4m×m=−3m2<0，
故正比例函数与二次函数图象没有交点，故D符合题意；
故选：D．
3．二次函数y=−2x2+3，当−1≤x≤2时，y的取值范围是（ ）
A．−5≤ y≤3 B．−1≤ y≤3 C．−5≤ y≤1 D．−5≤ y≤0
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的性质，由抛物线解析式可得抛物线的对称轴为直线x=0，抛物线开口向
下，再结合x的取值范围可得当x=0时，取得最大值y=3，再分别计算出当x=−1时和当x=2时y的值，
即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：∵二次函数的解析式为y=−2x2+3，
∴抛物线的对称轴为直线x=0，
∵a=−2<0，
∴抛物线开口向下，
∵−1≤x≤2，
∴当x=0时，取得最大值y=3，当x=−1时，y=1，当x=2时，y=−2×22+3=−5，
∴当−1≤x≤2时，y的取值范围是−5≤ y≤3，
故选：A．
4．（24-25九年级上·江苏南通·期末）定义：对于函数图象上的两点M(x ,y )，N(x ,y )(x ≠x )，将
1 1 2 2 1 2
y −y
1 2 的值称为该函数图象在MN段的“攀登值”，记作k ．已知二次函数y=ax2+1(a>0)的图象上
x −x MN
1 2
有两点M(x ,y )，N(x ,y )，若对于任意的x ，x 均满足当x >x ≥1时，该函数图象在MN段的“攀
1 1 2 2 1 2 2 1
登值”始终有k >2，则a的取值范围是 ．
MN【答案】a≥1/1≤a
2
【分析】本题考查的是新定义的含义，二次函数的性质，根据新定义可得a(x +x )>2，可得x +x > ，
1 2 1 2 a
再结合x >x ≥1进一步解答即可．
2 1
【详解】解：由题意可得：y =ax 2+1，y =ax 2+1，
2 2 1 1
y −y ax 2+1−ax 2−1 a(x +x )(x −x )
∴ 1 2= 1 2 = 1 2 1 2 =a(x +x )，
x −x x −x (x −x ) 1 2
1 2 1 2 1 2
∵k >2，
MN
∴a(x +x )>2，
1 2
2
∴x +x > ，
1 2 a
∵x >x ≥1，
2 1
2
∴ ≤2，而a>0，
a
∴a≥1；
故答案为：a≥1
【考点14 二次函数y=a(x−h) 2 的图象与性质】
1．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）已知二次函数y=(a−5)(x−1) 2的图象如图所示，则a可能是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的性质．根据二次函数的性质“对于二次函数y=a(x−h) 2，开口向上a>0
，开口向下a<0”，据此求解即可．
【详解】解：∵二次函数y=(a−5)(x−1) 2的图象如图所示，∴a−5<0，
∴a<5，
观察四个选项，选项A符合题意，
故选：A．
2．设函数y =−(x−m) 2，y =−(x−n) 2，直线x=1与函数y ，y 的图象分别交于点
1 2 1 2
A(1，a )，B(1，a )，得（ ）
1 2
A．若1a
1 2 2 1
【答案】C
【分析】根据题意分别画出y ，y 的图象，继而根据图象即可求解．
1 2
【详解】解：如图所示，若1a ，
1 2
故A选项错误；
如图所示，若m<1a 或a 0)，其自变量和函数值
1 2
的两组对应值如下表所示：
x −4 m
y =a(x+2) 2 b b+5
1
y =a(x−2) 2 d b
2
根据二次函数图象的相关性质可知：m= ，d−b= ．
【答案】 4 5
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先将表格的自变量和函数值转化为点的坐标，然后根据函数的
对称性直接写出每个字母的值即可．
【详解】解：对于二次函数y =a(x+2) 2 和y =a(x−2) 2(a>0)，
1 2
由表格中的数据得：当x=−4时，y =a(−4+2) 2=4a=b，
1
即b=4a；
y =a(−4−2) 2=36a=d，
2
∴d=36a；
当x=m时，y =a(m+2) 2=b+5，
1
代入b=4a得，a(m+2) 2=4a+5，
y =a(m−2) 2=b，代入b=4a得a(m−2) 2=4a，
2
化简得，(m−2) 2=4，
解得：m=4或m=0；
若m=0，代入y 则可得4a=4a+5，此情况不存在，
1
当m=4时，代入y 则可得36a=4a+5，
15
解得a= ，符合a>0，
32
5 45 5 5
∴d=36a=36× = ，b=4a=4× = ，
32 8 32 8
45 5
∴d−b= − =5；
8 8
故答案为：4；5．
【考点15 二次函数y=a(x−h) 2+k的图象与性质】
1．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）已知点A(x ,y )，B(x ,y )在抛物线y=−(x−4) 2+m（m是常
1 1 2 2
数）上．若x y >m B．y >y >m
1 2 2 1
C．m>y >y D．m>y >y
1 2 2 1
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质得到抛
物线y=−(x−4) 2+m的开口向下，有最大值为m，对称轴为直线x=4,得到当x<4时，y随x的增大而增
大，再根据x y >y
1 2 2 1
故选：D．
2．当−2≤x≤1时，二次函数y=−(x−m) 2+5有最大值4，则实数m的值为( )
A．−3 B．−1或2 C．2或−3 D．2或−3或−1【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的性质；求出二次函数对称轴为直线x=m，再分m<−2，−2≤m≤1，m>1
三种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可．
【详解】解：二次函数对称轴为直线x=m，
①m<−2时，x=−2取得最大值，−(−2−m) 2+5=4
解得m=−3；
②−2≤m≤1时，x=m取得最大值为5，不合题意；
③m>1时，x=1取得最大值，−(1−m) 2+5=4，
解得m=2．
故选：C．
3．若二次函数y=a(x−4) 2+4的图像在22 C．1≤m≤3 D．1y
1 2 1 2
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象与性质
是解题关键．根据−2<0可得该二次函数的图象的开口向下，由此即可判断选项A正确；将二次函数的解
析式化成顶点式即可判断选项B错误；求出当y=0时，x的值即可判断选项C正确；根据二次函数的增减
性即可判断选项D正确．
【详解】解：∵二次函数y=−2x2−12x+14中的−2<0，
∴该二次函数的图象的开口向下，则选项A正确；
二次函数y=−2x2−12x+14化成顶点式为y=−2(x+3) 2+32，
∴该二次函数图象的顶点坐标是(−3,32)，则选项B错误；
当y=0时，−2x2−12x+14=0，解得x=−7或x=1，
∴该二次函数的图象与x轴的交点坐标是(−7,0)和(1,0)，则选项C正确；
∵二次函数y=−2(x+3) 2+32的图象的开口向下，对称轴为直线x=−3，
∴当x>−3时，y随x的增大而减小，
又∵点(−1,y )和(2,y )都在这个二次函数的图象上，且2>−1>−3，
1 2
∴y >y ，则选项D正确；
1 2
故选：B．
3．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知二次函数y=−x2+bx+c（b，c为
常数）．
（1）当b=2时，该函数图象的对称轴为直线x= ；
（2）当x<0时，y的最大值为7；当x≥0时，y的最大值为3，则b−c= ．
【答案】 1 −7
【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质、待定系数法等知识点，掌握二次函数图像的性质成为解题的关键．
（1）将b=2代入二次函数y=−x2+bx+c，然后根据对称轴公式即可解答；
（2）先确定对称轴在y轴左侧，得出b<0，c=3．根据x<0时，y的最大值为7，根据顶点坐标的纵坐标
为7，建立方程，求得b=−3，代入代数式即可求解．
【详解】（1）当b=2时，y=−x2+2x+c，
2
∴该函数图象的对称轴为直线x=− =1．
2×(−1)
故答案为：1．
（2）∵当x<0时，y的最大值为7；当x≥0时，y的最大值为3，且a=−1<0，
∴对称轴在y轴左侧．
∴b<0，c=3．
4×(−1)×3−b2
∴ =7，解得b=−4（正值舍去）．
4×(−1)
∴b−c=−4−3=−7．
故答案为：−7．
4．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）如图，点G为抛物线y=−x2+2x+3对称轴上的点，点
E(m,y )，F(n,y )在对称轴右侧抛物线上，若△GEF为等腰直角三角形，∠EGF=90°，则n−m=
1 2
．
【答案】−1
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，分别过E、
F作对称轴的垂线，垂足为M、N，证明△EMG≌△GNF(AAS)，所以EM=GN，GM=NF，又点
E(m,y )，F(n,y )，则EM=GN=m−1，GM=NF=n−1，得MN=m+n−2>0，再由
1 2
MN= y −y =(m−n)(m+n−2)，从而求出m−n=1即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
2 1【详解】解：抛物线y=−x2+2x+3对称轴为：直线x=1，
如图，分别过E、F作对称轴的垂线，垂足为M、N，
∴∠EMG=∠FNG=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∵△GEF为等腰直角三角形，
∴¿=GF，∠EGF=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠3，
∴△EMG≌△GNF(AAS)，
∴EM=GN，GM=NF，
∵点E(m,y )，F(n,y )，
1 2
∴EM=GN=m−1，GM=NF=n−1，
∴MN=GN+GM=m−1+n−1=m+n−2>0，
∵y =−m2+2m+3，y =−n2+2n+3，
1 2
∴MN= y −y =−n2+2n+3−(−m2+2m+3)
2 1
=m2−n2−2(m−n)
=(m−n)(m+n−2)，
∴m−n=1，
∴ n−m=−1，
故答案为：−1．
【考点17 二次函数y=ax2+bx+c图象与系数的关系】
1．（25-26九年级上·山东·阶段练习）若二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则下列说法正确的
是 ．①图象与x轴的交点为(−2,0)，(1,0)；②2a−b=0；③b<0；④4a+2b+c<0；⑤当x<0时，y随x的增
大而减小
【答案】②③④
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质逐一判断即可，熟练掌握知识点及运用数形结
合的思想是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线x=−1，与x轴的一个交点为(1,0)，
∴另一个交点为(−3,0)，故①不符合题意，
b
∵x=− =−1，
2a
∴b=2a，
∴2a−b=0，故②符合题意；
∵抛物线开口方向向下，
∴a<0，
∴b=2a<0，故③符合题意；
当x=2时，根据图象可知，y=4a+2b+c<0，故④符合题意；
当x>0时，根据图象可知，y随x的增大而减小，故⑤不符合题意；
故答案为：②③④．
2．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）一次函数y=mx+n的图象如图所示，则二次函数
y=−m(x+n) 2的图象大致为（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数和一次函数的图象与性质，根据一次函数的图象，判断m、n的符号；再根
据m、n的符号判断抛物线的开口方向及对称轴即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：由一次函数y=mx+n的图象可知m<0，n>0，
则二次函数y=−m(x+n) 2可得−m>0，开口向上，
又二次函数的对称轴为直线x=−n<0，在y轴左侧，
故二次函数y=−m(x+n) 2的图象大致为：
故选：C．
3．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(−1,0)、点
B(3,0)、点C(4,y )，若点D(x ,y )是抛物线上任意一点，有下列结论：①二次函数y=ax2+bx+c的最
1 2 2
小值为−4a；② 3b−2c>0；③若−1≤x ≤4，则0≤ y ≤5a；④若y >y ，则x >4；⑤一元二次方程
2 2 2 1 2
1
cx2+bx+a=0的两个根为−1和 ．其中正确结论的个数是（ ）
3A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质；根据A、B两点写出抛物线的交点式化简得
y=ax2−2ax−3a，再配成顶点式y=a(x−1) 2−4a，即可判断①；由b=−2a和c=−3a，即可判断
②；当x=4时，y=5a，根据二次函数的性质，即可判断③；利用二次函数的对称性及增减性即可判断
④；由y=ax2−2a−3a可知b=−2a，c=−3a，则cx2+bx+a=0可化为−3ax2−2ax+a=0，a>0，
解方程即可判断⑤．
【详解】解：抛物线解析式化成交点式为y=a(x+1)(x−3)，
即y=ax2−2ax−3a，
配成顶点式得y=a(x−1) 2−4a，
∴当x=1时，二次函数有最小值为−4a，所以①正确；
∵对称轴为直线x=1，
b
∴x=− =1
2a
∴b=−2a，
由y=ax2−2ax−3a得到c=−3a，
∴3b−2c=−6a+6a=0
故②错误，
当x=4时，y=a(3−1) 2−4a=5a，
∴当−1≤x ≤4，−4a≤ y ≤5a，所以③错误；
2 2
∵C点的坐标为(4,5a)，C点关于直线x=1的对称点为(−2,5a)，
∴若y >y ，则x >4或x <−2，所以④错误；
2 1 2 2由y=ax2−2ax−3a可知b=−2a，c=−3a，则cx2+bx+a=0可化为−3ax2−2ax+a=0，
∵a>0，
∴方程−3ax2−2ax+a=0整理得：3ax2+2ax−a=0，
1
解得x =−1，x = ，所以⑤正确．
1 2 3
综上分析可知：正确的有2个．
故选：B．
4．（24-25九年级上·内蒙古通辽·期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A(−1,0)，B(3,0)，交y轴
的负半轴于C，顶点为D．下列结论：①abc>0；②2a+b=0；③2c<3b；④当m≠1时，
1
a+b0，
∴−2a<0，即b<0，
∵c<0，
∴abc>0，所以①正确；
∵c=−3a，
∴2c−3b=−6a+6a=0，故2c=3b，所以③错误；
∵y=ax2−2ax−3a=a(x−1) 2−4a，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∴当x=1时，y有最小值，
∴a+b+c0)的图象向右平移1个单位长
度后关于y轴对称．其中正确的为（ ）
b
① =2；
a
3 5
②当 ≤a≤ 时，代数式a2+b2−5b+8的最小值为3；
2 2
③对于任意实数m，不等式am2+bm−a+b≥0一定成立；
④P(x ,y )，Q(x ,y )为该二次函数图象上任意两点，且x 0时，一定有y 0)的图象向右平移1个单位长度后关于y轴对称．可得− +1=0，可得①符合题意；
2a
3 5
由b=2a，可得a2+b2−5b+8 =5(a−1) 2+3，结合 ≤a≤ ，可得②不符合题意；由对称轴为直线
2 2
x=−1，结合a>0，可得③符合题意；分三种情况分析④当x <−10，当x 0，不符合题意，舍去，可得④符合题意；
1 2 1 2 1 2
b
【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象的对称轴为直线x=− ，
2a
而二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象向右平移1个单位长度后关于y轴对称．b
∴− +1=0，
2a
b
∴ =2，故①符合题意；
a
∴b=2a，
∴a2+b2−5b+8
=5a2−10a+8，
=5(a−1) 2+3，
3 5
∵ ≤a≤ ，
2 2
3 17
∴当a= 时，a2+b2−5b+8取最小值 ，故②不符合题意；
2 4
b
∵− +1=0，
2a
∴对称轴为直线x=−1，
∵a>0，
当x=−1时，函数取最小值a−b+c，
当x=m时，函数值为am2+bm+c，
∴am2+bm+c≥a−b+c，
∴对于任意实数m，不等式am2+bm−a+b≥0一定成立，故③符合题意；
当x <−10，
1 2
∴x +1>−1−x ，
2 1
∴y 0，
1 2 1 2
∴x +10，不符合题意，舍去，故④符合题意；
1 2 1 2
综上：符合题意的有①③④；
故选：C．
【考点19 二次函数与一元二次方程】
1．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）设一元二次方程(x−1)(x−2)=m(m>0)的两实根分别为α，β，且α<β，则α，β满足（ ）
A．1<α<β<2 B．1<α<2<β
C．α<1<2<β D．α<1<β<2
【答案】C
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点、因式分解法解一元二次方程以及图形的平移，依照题意画出图
形，利用数形结合解决问题是解题的关键．由(x−1)(x−2)=0的两根分别为1、2，可得出抛物线
y=(x−1)(x−2)与x轴交于点(1,0),(2,0)，将其往下平移m个单位可得到新抛物线y=(x−1)(x−2)−m
，观察函数图象即可得出α<1<2<β，此题得解．
【详解】解：∵(x−1)(x−2)=0的两根分别为1、2，
∴抛物线y=(x−1)(x−2)与x轴交于点(1,0),(2,0)．
∴将抛物线y=(x−1)(x−2)往下平移m个单位可得到新抛物线y=(x−1)(x−2)−m，且一元二次方程
(x−1)(x−2)=m(m>0)的两实根分别为α，β，如图所示，
∴由图象可知：α<1<2<β．
故选：C．
2．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）抛物线y=ax2+bx+c经过点A(−3,0)、B(4,0)两点，则关于
x的一元二次方程a(x−1) 2+bx+c=b的解是 ．
【答案】x =−2，x =5
1 2
【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的根的关系，理解抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点的
横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0的解是解题的关键．根据抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点的横
坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0的解，即可求解．
【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A(−3,0)、B(4,0)两点，
∴当y=0 ，即ax2+bx+c=0时，解得：x=−3或x=4
由a(x−1) 2+bx+c=b即a(x−1) 2+b(x−1)+c=0得到x−1=−3或x−1=4．解得：x =−2，x =5，
1 2
故答案为x =−2，x =5．
1 2
3．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2−2mx+m2−1，直线y=−x+3与x轴交于点A，与y轴
交于点B，过点B作垂直于y轴的直线l与抛物线y=x2−2mx+m2−1有两个交点，在抛物线对称轴右侧的
交点记为P，当△OAP为锐角三角形时，则m的取值范围是（ ）
A．m>−1 B．m<−2
C．m<−2或m>1 D．−20，
∴当x2+3x−5=0时，在x=1.18与x=1.20之间，
∴方程x2+3x−5=0一个解x的取值范围为1.180
∴当x=3时，AD2有最小值，最小值为12，
当x=0时，AD2=48；当x=4时，AD2=16，
∴12≤AD2<48
∴2❑√3≤AD<4❑√3
故答案为：2❑√3≤AD<4❑√3.
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，二次函数的最值问题，全等
三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
【考点21 中心对称】
1．（24-25八年级下·山东济南·期中）春晚主标识通过视觉元素传达出春晚的主题和寓意．下列主标识
中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了中心对称图形的识别，中心对称图形是把一个图形绕着某一个点（即对称中心）旋转
180∘后，能够与原图完全重合，解题的关键是寻找对称中心．利用中心对称图形的识别方法分别判断各选
项即可．
【详解】解：A选项中图形找不到对称中心，使图形旋转180∘后能够与原图完全重合，∴该图形不是中心
对称图形，故本选项不符合题意；
B选项中图形找不到对称中心，使图形旋转180∘后能够与原图完全重合，∴该图形不是中心对称图形，故
本选项不符合题意；
C选项中图形找不到对称中心，使图形旋转180∘后能够与原图完全重合，∴该图形不是中心对称图形，故
本选项不符合题意；
D选项中图形可以找到对称中心，使图形旋转180∘后能够与原图完全重合，∴该图形是中心对称图形，故
本选项符合题意；
故选：D．
2．已知点P(a+1,2a−3)关于原点的对称点在第二象限，则a的取值范围是( )
3 3 3
A．a<−1 B．−1
2 2 2
【答案】B
【分析】本题考查坐标与中心对称，根据点所在的象限求参数的范围，求不等式组的解集，根据关于原点
对称的点的横纵坐标均互为相反数，以及第二象限的点的符号特征，列出不等式组进行求解即可．
【详解】解：∵点P(a+1,2a−3)关于原点的对称点为(−a−1,3−2a)，且(−a−1,3−2a)在第二象限，
∴
{−a−1<0)
，解得：−10 2
故选B．
3．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，正方形ABCD和正方形EFGH的对称中心都是点O，其
边长分别是8和6，则图中阴影部分的面积是 ．【答案】7
【分析】本题考查了中心对称，正方形的性质，掌握关于中心对称图形的性质是解题的关键．连接
AF,BG，根据中心对称的定义可知，阴影的面积等于两个正方形面积差的四分之一．
【详解】解：连接AF，BG，
∵正方形ABCD的边长为8和正方形EFGH的边长为6，
∴正方形ABCD的面积为64，正方形EFGH的面积为36，
∵正方形ABCD和正方形EFGH的对称中心都是点O，
1
∴S = ×(64−36)=7．
阴影 4
故答案为：7．
4．如图，过平行四边形ABCD内的点P作各边的平行线分别交AB,BC,CD,DA于点E，F，G，H．连
接AF,AG,FG．已知△AFG与平行四边形AEPH的面积分别为m，n．
n
（1）若点P是平行四边形ABCD的对称中心，则 = ；
m
（2）平行四边形ABCD的面积为 （用含m、n的代数式表示）．
2
【答案】 n+2m
3【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质、三角形中位线的判定及性质，中心对称的性质．
（1）连接AC、BD，根据平行四边形的判定及性质得出四边形AEGD，ABFH，AEPH，EBFP，
HPGD，PFCG为平行四边形，再根据中心对称的性质得出点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA
1
的中点，设四边形ABCD面积为4x，即可得到则n=S = S =x，
▱AEPH 4 ▱ABCD
3
m=S =S −S −S −S = x，再作比即可得出答案；
△AFG ▱ABCD △ABF △CFG △ADG 2
（2）由题意得四边形AEGD为平行四边形，四边形ABFH为平行四边形，四边形PFCG为平行四边形，
1 1 1
分别表示出S = S ，S = S ，S = S ，再根据图形的面积和整理即可得
△ADG 2 ▱AEGD △ABF 2 ▱ABFH △CFG 2 ▱PFCG
出答案．
【详解】（1）连接AC、BD
∵四边形ABCD为平行四边形
∴AD∥BC，AB∥CD ，AD=BC，AB=CD，S =S ，
△ABC △ACD
∴AB∥FH∥CD，AD∥EG∥BC，
∴四边形AEGD，ABFH，AEPH，EBFP，HPGD，PFCG为平行四边形，
∵点P是平行四边形ABCD的对称中心，
∴点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，
1
∴平行四边形AEPH，EBFP，HPGD，PFCG的面积都相等，且等于四边形ABCD面积的 ，
4
1
设四边形ABCD面积为4x，则n=S =S = S =x，
▱AEPH ▱PFCG 4 ▱ABCD
1 1 1 1 1 1 1
∴S = S = ×2x=x，S = S = ×2x=x，S = S = ×x= x，
△ADG 2 ▱AEGD 2 △ABF 2 ▱ABFH 2 △CFG 2 ▱PFCG 2 2
1 3
∴m=S =S −S −S −S =4x−x−x− x= x，
△AFG ▱ABCD △ABF △CFG △ADG 2 2n x 2
∴ = =
m 3 3，
x
2
2
故答案为： ；
3
（2）由题意得四边形AEGD为平行四边形，四边形ABFH为平行四边形，四边形PFCG为平行四边形，
1 1 1
∴S = S ，S = S ，S = S ，
△ADG 2 ▱AEGD △ABF 2 ▱ABFH △CFG 2 ▱PFCG
∴S =S +S +S +S
▱ABCD △ABF △CFG △ADG △AFG
1 1 1
= S + S + S +S
2 ▱ABFH 2 ▱PFCG 2 △AEGD AFG
1
= (S +S +S )+S
2 ▱ABFH ▱PFCG ▱AEDG AFG
1
= (S +S )+S ，
2 ▱ABCD ▱AEPH △AFG
∴2S =S +S +2S ，
▱ABCD ▱ABCD ▱AEPH ▱AFG
∴S =S +2S =n+2m，
▱ABCD ▱AEPH △AFG
故答案为：n+2m．
【计算篇】
【考点22 一元二次方程的解法】
1．（25-26九年级上·山东青岛·阶段练习）用指定方法解下列一元二次方程：
(1)3(x−1) 2=12（直接开平方法）；
(2)x2+4x−3=0（配方法）；
7
(3)y2= y+ （配方法）．
4
【答案】(1)x =3，x =−1
1 2
(2)x =−2+❑√7，x =−2−❑√7
1 2
1 1
(3)y = +❑√2，y = −❑√2
1 2 2 2
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法是解题的关键．
（1）根据直接开平方法步骤计算可得；
（2）将常数项移到右边后，再配上一次项系数的一半的平方，写成完全平方式后开方可得；（3）将含未知数的项移到一边，常数项移到另一边后，再配上一次项系数的一半的平方，写成完全平方
式后开方可得．
【详解】（1）解：3(x−1) 2=12，
(x−1) 2=4，
∴x−1=±2，
∴x =3，x =−1；
1 2
（2）解：x2+4x−3=0，
x2+4x=3，
x2+4x+4=7，
(x+2) 2=7，
∴x+2=±❑√7，
∴x =−2+❑√7，x =−2−❑√7；
1 2
7
（3）解：y2= y+ ，
4
7
y2−y=
，
4
1
y2−y+ =2，
4
1
（ y− ） 2=2，
2
1
∴y− =±❑√2，
2
1 1
∴y = +❑√2，y = −❑√2．
1 2 2 2
2．（25-26九年级上·辽宁锦州·阶段练习）解方程：
(1)3x2+5x−1=0
(2)3(y−1) 2=1−y
−5+❑√37 −5−❑√37
【答案】(1)x = ,x =
1 6 2 62
(2)y = ,y =1
1 3 2
【分析】本题考查了解一元二次方程．
（1）根据公式法求解即可；
（2）先移项，再根据因式分解法求解即可．
【详解】（1）3x2+5x−1=0
a=3,b=5,c=−1
Δ=52−4×3×(−1)=25+12=37
−5±❑√37 −5±❑√37
x= =
2×3 6
−5+❑√37 −5−❑√37
x = ,x =
1 6 2 6
（2）3(y−1) 2=1−y
3(y−1) 2+ y−1=0
(3 y−3+1)(y−1)=0
(3 y−2)(y−1)=0
3 y−2=0或y−1=0
2
y = ,y =1
1 3 2
3．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）用适当的方法解下列关于x的方程：
(1)x(2x−5)=4x−10
(2)2x2−5x−1=0
(3)(x+8)(x−1)=−12
(4)(x2+2x) 2 −2(x2+2x)−3=0
5
【答案】(1)x = ，x =2
1 2 2
5+❑√33 5−❑√33
(2)x = ，x =
1 4 2 4
−7+❑√33 −7−❑√33
(3)x = ，x =
1 2 2 2
(4)x =−3，x =1，x =x =−1
1 2 3 4【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法：直接开平方法、配方法、公式法、
因式分解法，并熟练掌握利用一元二次方程特征选用合适方法解一元二次方程是解题的关键．
（1）整理后，利用因式分解法解一元二次方程即可．
（2）先求解Δ=b2−4ac=(−5) 2−4×2×(−1)=33，再利用公式法解一元二次方程即可．
（3）整理得x2+7x+4=0，利用公式法解一元二次方程即可．
（4）先把方程化为(x+3)(x−1)(x+1) 2=0，再进一步解方程即可．
【详解】（1）解：x(2x−5)=4x−10，
变形为x(2x−5)−2(2x−5)=0，
∴(2x−5)(x−2)=0，
∴2x−5=0或x−2=0，
5
解得：x = ，x =2．
1 2 2
（2）解：2x2−5x−1=0，
∴a=2，b=−5，c=−1，
∴Δ=b2−4ac=(−5) 2−4×2×(−1)=33，
5±❑√33
∴x= ，
4
5+❑√33 5−❑√33
∴x = ，x = ．
1 4 2 4
（3）解：(x+8)(x−1)=−12，
整理得：x2+7x+4=0，
∴a=1，b=7，c=4，
∴Δ=b2−4ac=72−4×1×4=33，
−7±❑√33
∴x= ，
2
−7+❑√33 −7−❑√33
∴x = ，x = ．
1 2 2 2
（4）解：(x2+2x) 2 −2(x2+2x)−3=0，
∴(x2+2x−3)(x2+2x+1)=0，∴(x+3)(x−1)(x+1) 2=0，
∴x+3=0或x−1=0或x+1=0，
解得：x =−3，x =1，x =x =−1．
1 2 3 4
4．（25-26九年级上·广东江门·阶段练习）已知关于x的一元二次方程x2−(2m+1)x+m−1=0．
(1)求证：无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)当m=2时，求此方程的解．
【答案】(1)见解析
5+❑√21 5−❑√21
(2)x = ，x = ．
1 2 2 2
【分析】题目主要考查一元二次方程根的判别式及解一元二次方程，
（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可；
（2）将m的值代入利用公式法求解一元二次方程即可．
【详解】（1）证明：Δ=b2−4ac
2
=[−(2m+1)) −4×1×(m−1)
=4m2+4m+1−4m+4
=4m2+5，
∵m2≥0，
∴4m2+5>0，
∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：将m=2代入方程x2−(2m+1)x+m−1=0中，
得x2−5x+1=0，
∴Δ=(−5) 2−4×1×1=21，
5±❑√21
∴x= ，
2
5+❑√21 5−❑√21
即x = ，x = ．
1 2 2 2
5．（25-26九年级上·山东枣庄·阶段练习）关于x的一元二次方程x2+2x+3−k=0有两个实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若方程的两个根为α，β，且k2=αβ+3k，求k的值．
【答案】(1)k≥2(2)k=3
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的判别式和根与系
数的关系是解题的关键，
（1）利用方程有两个实数根，得到Δ=b2−4ac≥0，代入即可求得k的取值范围；
（2）利用根与系数的关系得到αβ=3−k，代入k2=αβ+3k，解出关于k的一元二次方程即可得到答案．
【详解】（1）解：∵一元二次方程x2+2x+3−k=0有两个实数根，
∴Δ=b2−4ac≥0
∵a=1,b=2,c=3−k，
∴4−4(3−k)≥0，
解得：k≥2．
（2）解：∵α，β是方程x2+2x+3−k=0的两个根 ，
c
∴αβ= =3−k，
a
∵k2=αβ+3k，
∴k2−2k−3=0，
解得：k =3，k =−1（舍去）．
1 2
【实际应用篇】
【考点23 一元二次方程的应用】
1．（25-26九年级上·陕西汉中·阶段练习）乒乓球作为陕西中考体育“体质健康测试类”选考项目，因其
对体能要求相对较低且趣味性较高，成为同学们选考热点，乒乓球拍的销量也在持续增长．某体育用品店
销售一种乒乓球拍，进价为每副42元，按每副66元销售，平均每月能卖出200副，为了推广宣传，商家
决定降价促销，同时，在不亏本的情况下，尽量减少库存，经调研发现，售价每降低2元，平均每月可多
卖出20副．
(1)小明说：“如果薄利多销，平均每月的销售量肯定能达到500副．”请你判断小明的说法是否正确？并
说明理由；
(2)该体育用品店期望销售这种乒乓球拍，平均每月的销售利润为4830元，销售员甲说：“在原售价的基
础上降低1元，销售利润即可达到预期目标．”销售员乙说：“在原售价的基础上降低3元更合适”，如
果你作为老板，请用方程的思想说明应采纳谁的意见．
【答案】(1)小明的说法不正确，理由见解析
(2)采纳销售员乙的意见，理由见解析
【分析】本题考查了一元一次方程中的应用，一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
（1）设售价降低x元，平均每月的销售量能达到500副，根据“售价每降低2元，平均每月可多卖出20
副”列出方程，可求出具体降价金额，从而可求出售价，将售价与进价比较即可得出结论；
（2）设售价降低x元，可使平均每月的销售利润为4830元，根据利润、售价、进价之间的关系列出方
程，解出结果后，再根据增加销售量可以减少库存即可得出结论．
【详解】（1）解：设售价降低x元，平均每月的销售量能达到500副，
x
依题意得，200+20× =500，
2
解得x=30，
∴降价后每副的售价为66−30=36（元），
∵进价为每副42元，36<42，
∴平均每月的销售量能达到500副时会亏本，
∴小明的说法不正确；
（2）解：采纳销售员乙的意见，理由如下：
设降低x元，
∵售价每降低2元，平均每月可多卖出20副，
∴售价每降低1元，平均每月可多卖出10副，
由题意得(66−x−42)(200+10x)=4830，
解得x=1或x=3，
当x=1时（甲的意见），销售量为200+10×1=210副；
当x=3时（乙的意见），销售量为200+10×3=230副；
∵尽量减少库存，
∴采纳销售员乙的意见．
2．城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速G69银百高速公路（银川至百色）的一
段，线路全长129.3公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分
别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所
需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元．
3
(1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的 ，求甲最多施工多少米？
2
(2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧m m
道施工成本增加m万元时，则每天可多挖 米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖 米，若最
2 3
终每天实际总成本比计划多(9m−2)万元，求m的值．
【答案】(1)甲最多施工900米
(2)m的值为2
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用等知识点，审清题意、弄清量之间
的关系、正确列出不等式和方程是解题的关键．
（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工(2000−x)米，根据不等关系“工程结算时乙总施工成本不低
3
于甲总施工成本的 ”列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可解答；
2
（2）根据“最终每天实际总成本比计划多(9m−2)万元”即可得出关于m的一元二次方程求解即可．
【详解】（1）解：设甲施工x米，
3
由题意可得：9(2100−x)≥8x× ，
2
解得：x≤900．
答：甲最多施工900米．
( m) ( m)
（2）解：由题意可得：(8+m) 6+ +9 6− =9m−2+6×(8+9)，
2 3
整理得m2−4m+4=0，
解得m =m =2．
1 2
答：m的值为2．
3．为鼓励广大凤中学子走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，初三年级某班组织同
学们周末共跑沙滨路，其中，小凤和小鸣两人同时从A地出发，匀速跑向距离12000m处的B地，小凤的
跑步速度是小鸣跑步速度的1.2倍，那么小凤比小鸣早5分钟到达B地．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)小凤每分钟跑多少米？
(2)若从A地到达B地后，小凤以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，
前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量
就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小凤共消耗2300卡路里的热量，小凤从A地到C地锻炼共用多少分
钟？
【答案】(1)小凤的跑步速度为每分钟480m；
(2)小凤从A地到C地锻炼共用70分钟．【分析】（1）设小鸣的跑步速度为每分钟x m，则小凤的跑步速度为每分1.2x m．根据小鸣的跑步时间
−小凤的跑步时间=5列分式方程求解即可；
（2）设小凤从B地到C地用时y分钟，根据前30分钟消耗的热量+30分钟后的热量=2300列方程解答即
可．
【详解】（1）设小鸣的跑步速度为每分钟x m，则小凤的跑步速度为每分1.2x m，
12000 12000
根据题意，得 − =5，
x 1.2x
解得x=400，
经检验x=400是原方程的解，
∴原方程的解为x=400，
∴小凤的跑步速度为每分钟400×1.2=480m，
答：小凤的跑步速度为每分钟480m；
（2）由（1）知，小凤的跑步速度为每分480m，
12000
则小凤从A地到B地所用时间为 =25（分钟）．
480
设小凤从B地到C地用时y分钟，
根据题意，得30×10+(y−5)×(10+ y−5)=2300，
解得y=45或y=−45（舍去），
则25+45=70（分钟）．
答：小凤从A地到C地锻炼共用70分钟．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程与分式方程的应用，读懂题意，找到关键描述语，列出等量关系是
解题的关键．
4．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）某校新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层
长为50米，宽30米．阴影部分设计为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知喷漆面积为
1056平方米．
(1)求通道的宽是多少米．
(2)据调查分析，停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又
能使对外开放的月租金收入为14400元？
【答案】(1)3米
(2)上涨40元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．
（1）设通道的宽是x米，根据题意列出方程，解出x的值即可解答；
（2）设每个车位的月租金上涨y元，根据题意列出方程，解出y的值，结合优惠大众选择较小的y的值即
可解答．
【详解】（1）解：设通道的宽是x米，则每一层的停车位可合成长为(50−2x)米，宽为(30−2x)米的长
方形，
依题意，得(50−2x)(30−2x)=1056，
解得x =3,x =37（不合题意，舍去）．
1 2
答：通道的宽是3米．
( y )
（2）解：设每个车位的月租金上涨y元，则每个车位的月租金为(200+ y)元，可租出 64− 个车位，
10
( y )
依题意，得(200+ y) 64− =14400，
10
解得y =40，y =400，
1 2
又∵要优惠大众，
∴y=40．
答：每个车位的月租金应上涨40元．
【考点24 实际问题与二次函数】
1．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）道路的隔离栏通常会涂上醒目的颜色，呈抛物线形状（如图
1），图2是一个长为2米，宽为1米的矩形隔离栏，中间被4根栏杆五等分，每根栏杆的下面一部分涂上
醒目的蓝色，颜色的分界处（点E，点P）以及点A，点B落在同一条抛物线上，若第1根栏杆涂色部分
(EF)与第2根栏杆未涂色部分(PQ)长度相等，则求EF的长度．
【答案】EF=0.4米
【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是能在几何图形中建立适当的坐标系并结合图形的特点建立等式求出二次函数表达式．
设B为坐标原点，BA所在的直线为x轴，BC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为：
y=ax2+bx+c，代入B(0,0)，A(2,0)，设EF=PQ=m，则E(0.4,m),P(0.8,1−m)，再将E和点P坐
标分别代入拋物线解析式求解m即可．
【详解】解：设B为坐标原点，BA所在的直线为x轴，BC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图：
∵中间被4根栏杆五等分，AB=2m，
∴x =2÷5=0.4，x =0.4×2=0.8，
E P
设抛物线解析式为：y=ax2+bx+c，
将B(0,0)代入得：c=0，
∴y=ax2+bx,
∵BA=2米,
∴A(2,0),
∴0=a×22+2b,
∴b=−2a,
∴y=ax2−2ax,
设EF=PQ=m，
则E(0.4,m),P(0.8,1−m)，
{ m=a×0.42−2a×0.4 )
将点E和点P坐标分别代入拋物线解析式得： ，
1−m=a×0⋅82−2a×0.8
{m=0.4
)
解得 5 ．
a=−
8
∴EF=0.4米．
2．（24-25九年级上·内蒙古·期中）中国元素几乎遍布卡塔尔世界杯的每一个角落，某特许商品专卖店销
售中国制造的纪念品，深受大家喜爱．自世界杯开赛以来，其销量不断增加，该商品销售第x天（
1≤x≤20，且x为整数）与该天销售量y（件）之间满足函数关系如表所示：
第x天 1 2 3 4 5 6 7 …销售量y（件） 220 240 260 280 300 320 340 …
为回馈顾客，该商家将此纪念品的价格不断下调，其销售单价z（元）与第x天（1≤x≤20且x为整数）成
一次函数关系且满足z=−4x+100．已知该纪念品成本价为20元/件．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)求这20天中第几天销售利润为18000元；
(3)这20天中，最大利润能否超过18000元？如果能求出最大利润，如果不能说明理由．
【答案】(1)y=20x+200(1≤x≤20)
(2)第5天的销售利润为18000元
(3)不能，理由见解析
【分析】本题考查二次函数、一次函数的应用．
（1）根据表中数据可知y是x的一次函数，然后用待定系数法求函数解析式；
（2）设总利润为w元，根据总利润=每个纪念品的利润×销售量列出函数解析式，再根据题意列方程，解
方程即可；
（3）根据函数的性质求最值即可得出结论．
【详解】（1）解：由表格信息可知y是x的一次函数，设y关于x的函数表达式为y=kx+b，
{k+b=220
)
把(1,220)和(2,240)代入可得： ，
2k+b=240
{k=20
)
解得： ，
b=200
∴y关于x的函数表达式为y=20x+200(1≤x≤20)；
（2）设总利润为w元，
则w= y(z−20)=(20x+200)(−4x+80)=−80x2+800x+16000，
当w=18000时，则−80x2+800x+16000=18000，
解得：x =x =5，
1 2
∴第5天的销售利润为18000元，
答：第5天的销售利润为18000元；
（3）不能，理由如下：
由（2）可得w=−80x2+800x+16000=−80(x−5) 2+18000，
∵−80<0，1≤x≤20，
∴当x=5时，w最大，最大值18000，
∵18000=18000，∴最大利润不能超过18000元．
3．（25-26九年级上·北京·阶段练习）佩奇和朋友们一起踢足球，球射向球门的路线呈抛物线形．佩奇从
球门正前方8m的A处射门，当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点B，此时球离地面3m，球门高
OC为2.44m．
(1)请建立适当平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式．
(2)通过计算判断佩奇此次射门能否射入球门内．
(3)点D为OC上一点，且OD=2.25m，若射门路线的形状和大小、最大高度均保持不变，当佩奇带球向正
后方移动n(m)再射门，足球恰好经过OD区域（含点O和D），直接写出n的取值范围．
1
【答案】(1)y=− (x−2) 2+3
12
(2)球不能射进球门，理由见解析
(3)1≤n≤4
【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，平移规律：
（1）先根据题意建立平面直角坐标系，先得到抛物线的顶点坐标为(2,3)，设设抛物线y=a(x−2) 2+3，
把点A(8,0)代入，即可作答．
1 8
（2）依题意，当x=0时，y=− ×4+3= >2.44，即可作答．
12 3
1
（3）依题意，设佩奇带球向正后方移动n米，则移动后的抛物线为y=− (x−2−n) 2+3，再把点
12
1
(0,2.25)和点(0,0)分别代入y=− (x−2−n) 2+3，算出n的值，即可作答．
12
【详解】（1）解：如图所示，以O为原点，OA为x轴，建立如图所示直角坐标系，∵8−6=2，
∴抛物线的顶点坐标为(2,3)，
1
设抛物线y=a(x−2) 2+3，把点A(8,0)代入得：36a+3=0，解得a=− ，
12
1
∴抛物线的函数表达式为y=− (x−2) 2+3；
12
1 8
（2）解：依题意，当x=0时，y=− ×4+3= >2.44，
12 3
∴球不能射进球门．
1
（3）解：设佩奇带球向正后方移动n米，则移动后的抛物线为y=− (x−2−n) 2+3，
12
1
把点D(0,2.25)代入得：2.25=− (0−2−n) 2+3，
12
解得n=−5（舍去）或n=1，
1
把点O(0,0)代入得：0=− (0−2−n) 2+3，
12
解得：n=−8（舍去）或n=4，
即1≤n≤4．
4．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）根据以下信息，探索完成任务：
探索目的 制作简易水流装置
如图，CD是进水通道，AB是出水通道，OE是圆柱形容
器的底面直径，从CD将圆柱形容器注满水，内部安装调
信息1 节器，使水流从B处流出且呈抛物线形．以点O为坐标原
点，OE所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建立平面直
角坐标系，水流最终落到x轴上的点M处．圆柱的高为40cm，点A到圆柱顶端的距离为4cm，
信息2 AB∥x轴，AB=5cm，OM=11cm，B为水流所在抛物
线的顶点，点A，B，O，E，M均在同一平面内．
问题解决
填空：OA的长度为______cm，该抛物线顶点坐标为
任务一
（______，______）．
任务二 求水流所在抛物线的函数解析式．
现有一个底面半径为2cm，高为25cm的圆柱形水杯，将
该水杯底面圆的圆心恰好放在点M处，水流是否能流到
任务三
圆柱形水杯内？请通过计算说明理由．（圆柱形水杯的厚
度忽略不计）
【答案】任务一，36, (5,36)；任务二，y=−(x−5) 2+36；任务三，水流能流到圆柱形水杯内，理由见解
析
【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握待定系数法，函数值的计算是关键．
任务一，根据题意得出OA=40−4=36cm，B的横坐标为5，M(11,0)，求得点B的坐标，即可求解；
任务二，待定系数法求解析式，即可求解；
任务三，圆柱形水杯最左端到点O的距离是9，将x=9代入二次函数解析式，比较大小即可求解．
【详解】解：任务一，圆柱的高为40cm，点A到圆柱顶端的距离为4cm，
∴OA=40−4=36cm
∵AB=5cm，OM=11cm，AB∥x轴，
∴B的横坐标为5，M(11,0)
∴该抛物线顶点坐标为(5,36)，
故答案为：36, (5,36)．
任务二，设抛物线解析式为y=a(x−5) 2+36
将点M(11,0)代入得，0=(11−5) 2a+36解得：a=−1
∴抛物线解析式为y=−(x−6) 2+36
任务三，水流能流到圆柱形水杯内，理由如下，
圆柱形水杯最左端到点O的距离是11−2=9，
当x=9时，y=−(9−6) 2+36=27，
∵27>25，
∴水流能流到圆柱形水杯内．
【作图篇】
【考点25 作图-旋转与中心对称】
1．（25-26九年级上·福建·阶段练习）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面
直角坐标系xOy，
(1)画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A B C
1 1 1
(2)将△ABC绕点B逆时针旋转90°得到△A BC （点A ，C 分别为A，C的对应点）画出△A BC ，
2 2 2 2 2 2
(3)画出四边形ABCP，且四边形ABCP为中心对称图形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了作图—旋转变换，中心对称图形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据中心对称图形的性质，分别作出A、B、C三点关于原点O的对应点A 、B 、C ，再顺次连接即
1 1 1
可得解；
（2）根据旋转的性质，分别作出A、C两点绕点B逆时针旋转90°的对应点A 、C ，再顺次连接即可得
2 2解；
（3）根据平行四边形的性质作图即可．
【详解】（1）解：如图：△A B C 即为所作，
1 1 1
；
（2）解：如图：△A BC 即为所作，
2 2
；
（3）解：如图，四边形ABCP即为所作，
．
2．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(−1,1)，B(−3,1)，C(−1,4)
，P(2,0)．(1)画出△ABC关于原点中心对称的△A B C ；
1 1 1
(2)画出△ABC绕点P顺时针旋转90°后得到的△A B C ；
2 2 2
(3)求出点C旋转到点C 所走过的路径长．
2
【答案】(1)见解析
(2)见解析
5
(3) π
2
【分析】本题考查了网格作图——旋转变换，中心对称变换：旋转的性质，对应角都相等都等于旋转角，
对应点到旋转中心距离相等，对应线段也相等；中心对称性质，对称点连线经过对称中心，并且被对称中
心平分．
（1）根据关于原点中心对称的点的坐标特征写出点A 、B 、C 的坐标，然后描点、连线即可．
1 1 1
（2）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A 、B 、C 从而得到△A B C ；
2 2 2 2 2 2
（3）运用勾股定理求出PC=❑√32+42=5，代入弧长公式计算即得．
【详解】（1）解：∵A(−1,1)，B(−3,1)，C(−1,4)，
∴关于原点中心对称的点为A (1,−1)，B (3,−1)，C (1,−4)，
1 1 1
∴描点，连线得△A B C ，如图；
1 1 1（2）解：如图，△A B C 即为所求；
2 2 2
（3）解：∵PC=❑√32+42=5，
90π×5 5
∴点C旋转到点C 所走过的路径长为 = π．
2 180 2
3．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，
Rt△ABC的三个顶点分别为A(−2,2)，B(0,5)，C(0,2).
(1)在网格中作△A B C，使它与△ABC关于点C成中心对称；
1 1
(2)平移△ABC，使点A的对应点A 坐标为(−4,−6)，点B的对应点为B ，点C的对应点为C ，画出平
2 2 2
移后对应的△A B C ；
2 2 2
(3)若将△A B C绕某一点旋转180∘可得到△A B C ，则此旋转中心的坐标为______．
1 1 2 2 2
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析
(3)(−1,−2)
【分析】（1）根据中心对称的性质作图即可．（2）由题意得，△ABC向左平移2个单位长度，向下平移8个单位长度得到△A B C ，根据平移的性
2 2 2
质作图即可．
（3）连接A A ，B B ，CC ，相交于点P，则△A B C绕点P旋转180∘可得到△A B C ，即可得出
1 2 1 2 2 1 1 2 2 2
答案．
本题考查作图-旋转变换、作图-平移变换，熟练掌握旋转的性质、平移的性质、中心对称的性质是解答本
题的关键．
【详解】（1）解：如图，△A B C即为所求．
1 1
（2）解：由题意得，△ABC向左平移2个单位长度，向下平移8个单位长度得到△A B C ，
2 2 2
如图，△A B C 即为所求．
2 2 2
（3）解：连接A A ，B B ，CC ，相交于点P，如图所示：
1 2 1 2 2则△A B C绕点P旋转180∘可得到△A B C ，
1 1 2 2 2
∴此旋转中心的坐标为(−1,−2)．
故答案为：(−1,−2)．
4．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点分别为
A(−3,4)，B(−5,1)，C(−1,2)．
(1)画出△ABC关于原点对称的△A B C ，并写出点A 的坐标；
1 1 1 1
(2)画出△ABC绕原点逆时针旋转90°后的△A B C ，并写出点C 的坐标．
2 2 2 2
(3)点P为x轴上一点，直接写出当|PA−PB)最大时，点P的坐标．
【答案】(1)图见解析，A 的坐标为(3,−4)
1
(2)图见解析，C 的坐标为(−2,−1)
2
( 17 )
(3) − ,0
3
【分析】本题考查了中心对称、旋转作图、三角形的三边关系、一次函数解析式，熟练掌握以上知识点是
解题的关键．（1）根据中心对称的定义作图即可；
（2）根据旋转的性质作图即可；
（3）先根据三角形的三边关系推出当P、A、B三点共线时，|PA−PB)有最大值，然后利用一次函数的
解析式求解即可．
【详解】（1）解：如图：A 的坐标为(3,−4)；
1
（2）如图：C 的坐标为(−2,−1)；
2
（3）如图：点P为x轴上一点，由三角形的三边关系可知|PA−PB)0，
∴(10−c) 3−27≥0，
∴10−c≥3，
∴c≤7，
∴c的最大值为7．
2．（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）我们知道一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x ，x ，
1 2
若其中一个根是另一个根的n倍（n为正整数），则称这样的方程为n倍“梅石花”方程，例如：方程
x2−6x+8=0的两个根分别是2和4，则这个方程就是二倍“梅石花”方程；若一元二次方程
a y2+by+c=m(a≠0,m≠0)的两根为y ，y ，则称这样的方程为“状元来”方程．
1 2
(1)根据上述定义，请判断：2x2−5x+2=0是_________倍“梅石花”方程；
b2
(2)若关于x的方程x2−bx+c=0(c≠0)是n倍“梅石花”方程，直接写出 的最小值是_________．
4c
(y −1) 2 y −2
(3)若方程−y2+3 y−2=m(m≠0)为“状元来”方程，求证： 1 = 2 ．
m y −2
1
【答案】(1)4
(2)1
(3)证明见解析
【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、完全平方公式等知识，熟练掌握
一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．
1
（1）利用因式分解法解方程可得x = ,x =2，由此即可得；
1 2 2b
（2）设这个方程的两个根为x ,nx ，则可得x +nx =b，x ⋅nx =c，将x = 代入x ⋅nx =c化简
1 1 1 1 1 1 1 n+1 1 1
即可得b2= c(n+1) 2 ；化简可得 b2 = 1( n+ 1 +2 ) ，再根据 ( ❑√n− 1 ) 2 =n+ 1 −2≥0可得n+ 1 ≥2，由
n 4c 4 n ❑√n n n
此即可得；
（3）根据一元二次方程的根与系数的关系可得y + y =3，y y =2+m，则可得m=−(y −1)(y −2)，
1 2 1 2 1 1
(y −1) 2
代入 1 化简即可得证．
m
【详解】（1）解：2x2−5x+2=0，
(2x−1)(x−2)=0，
1
解得x = ,x =2，
1 2 2
1
∵2÷ =4，
2
∴2x2−5x+2=0是4倍“梅石花”方程，
故答案为：4．
（2）解：设这个方程的两个根为x ,nx ，
1 1
∴x +nx =b，x ⋅nx =c，
1 1 1 1
( b ) 2
∴n⋅ =c，
n+1
c(n+1) 2
∴b2= ，n为正整数，
n
b2 c(n+1) 2
∴ =
4c 4cn
(n+1) 2
=
4n
n2+2n+1
=
4n
1( 1 )
= n+ +2 ，
4 n( 1 ) 2 1
∵ ❑√n− =n+ −2≥0，
❑√n n
1
∴n+ ≥2，
n
b2 1( 1 ) 1
∴ = n+ +2 ≥ ×(2+2)=1，
4c 4 n 4
b2
∴ 的最小值为1，
4c
故答案为：1．
（3）证明：∵−y2+3 y−2=m(m≠0)可化成y2−3 y+2+m=0，
∴y + y =3，y y =2+m，
1 2 1 2
∴y =3−y ，y =3−y ，
2 1 1 2
∴m= y y −2= y (3−y )−2=−y2+3 y −2=−(y −1)(y −2)，
1 2 1 1 1 1 1 1
(y −1) 2 (y −1) 2 1−y 1−(3−y ) y −2
∴ 1 = 1 = 1= 2 = 2 ．
m −(y −1)(y −2) y −2 y −2 y −2
1 1 1 1 1
3．（2025·湖南长沙·二模）我们知道：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c均为整
−b±❑√b2−4ac
数），如果b2−4ac≥0时，这个方程的实数根就可以表示为x= ，其中b2−4ac就叫做一
2a
元二次方程根的判别式，我们用Δ表示，即Δ=b2−4ac，通过观察公式，我们可以发现，如果Δ的值是一
个完全平方数（若n=m2（m为整数），则n是一个完全平方数）时，一元二次方程的根不一定都为整数，
但是如果一元二次方程的根都为整数，Δ的值一定是一个完全平方数．
例：方程2x2−x−1=0，Δ=b2−4ac=(−1) 2−4×2×(−1)=9=32，Δ的值是一个完全平方数，但是该
1
方程的根为x =1，x =− ，不都为整数；方程x2−6x+8=0的两根x =2，x =4，都为整数，此时
1 2 2 1 2
Δ=b2−4ac=(−6) 2−4×1×8=4=22，Δ的值是一个完全平方数．
我们定义：两根都为整数的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c均为整数）称为“幸运方
4ac−b2
程”，两整数根称为“幸运根”，代数式 的值为该“幸运方程”的“幸运数”，用F(a,b,c)表
4a4ac−b2
示，即F(a,b,c)= ．若有另一个“幸运方程”px2+qx+r=0（p≠0，p，q，r均为整数）的
4a
“幸运数”为F(p,q,r)，若r⋅F(a,b,c)=c⋅F(p,q,r)，则称F(a,b,c)与F(p,q,r)互为“开心
数”．
(1)关于x的一元二次方程x2−(m+1)x+m=0是一个“幸运方程”．
①当m=2时，该幸运方程的“幸运数”是______；
②若该幸运方程的“幸运数”是−1，则m的值为______．
(2)若关于x的一元二次方程x2−(2m−1)x+m2−2m−3=0（m为整数，且40，
根据根与系数的关系可得：m+n=2−k，mn=−k−3，
作点N关于直线l的对称点N′，连接M N′，由题意得直线l:y=4，则N′(n,n2−2n+5)，
∴QM+QN=QM+QN′≥M N′，
过M点作MF⊥N N′于F，则F(n,−m2+2m+3)．
则N′F=|m2+n2−2(m+n)+2)，FM=|m−n)，
在Rt△MFN′中，
M N′2=M F2+N′F2=(m−n) 2+[m2+n2−2(m+n)+2) 2
=(m+n) 2−4mn+[(m+n) 2−2mn−2(m+n)+2) 2
=(2−k) 2−4(−k−3)+[(2−k) 2−2(−k−3)−2(2−k)+2) 2
=k4+17k2+80≥80，
即当k=0时，M N′2=80，此时M N′=4❑√5，
故QM+QN的最小值为4❑√5．
【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，解一元二次方
程，根的判别式，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
2．（24-25九年级下·江苏淮安·阶段练习）在平面直角坐标系中，有点A、B在函数y=−(x−m) 2−2ma的图像上(a>0)，A(m−1,y )、B(m+a,y )
1 2
(1)若m=1，a=4，①写出抛物线的对称轴为_____，②直接写出y 与y 的大小关系_____；
1 2
(2)现有一动点P从点A出发，沿x轴方向水平运动到与y轴平行且经过点B的直线L上，再沿着直线L运
动到点B，点P运动的总路径为d．当AB所在直线经过第二、四象限时，
①求a的取值范围；
②求d关于a的函数关系式．
(3)关于x的二次函数：z=−2x2−x+t，若在（1）的条件下，当0≤x≤1时，存在z≥ y，求t的最小值．
【答案】(1)①x=1；②>；
(2)①a>1；②a2+a；
(3)−9
【分析】（1）①将m=1，a=4代入，然后根据二次函数的性质即可解答；②由题意可得
A(0,y )、B(5,y )，然后代入函数解析式求得y 、y ，然后比较即可；
1 2 1 2
（2）①由题可得：A(m−1,−1−2ma)、B(m+a,−a2−2ma)，设直线AB的解析式为y=kx+b，将
{ k=1−a )
A、B代入可得 ，再根据AB所在直线经过第二、四象限列出关于a的不等式求解即
b=−m(a+1)−a
可；②先分别求出水平距离、垂直距离，然后求和即可解答；
（3）先用x表示出z−y=−x2−3x+t+9，设w=−x2−3x+t+9，当0≤x≤1时，存在w≥0，再根据二
次函数的性质以及存在的定义列不等式求解即可．
【详解】（1）解：①当m=1，a=4时，抛物线的解析式为y=−(x−1) 2−8，
∴抛物线的对称轴为x=1；
故答案为：x=1．
②∵点A、B在函数y=−(x−1) 2−8的图像上(a>0)，A(0,y )、B(5,y )，
1 2
∴y =−9，y =−(5−1) 2−8=−24，
1 2
∴y >y ．
1 2
故答案为：>．
（2）解：点A、B在函数y=−(x−m) 2−2ma的图像上(a>0)，A(m−1,y )、B(m+a,y )，
1 2∴y =−(m−1−m) 2−2ma=−1−2ma，y =−(m+a−m) 2−2ma=−a2−2ma，
1 2
∴A(m−1,−1−2ma)、B(m+a,−a2−2ma)，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
{−1−2ma=(m−1)k+b) { k=1−a )
则 ，解得： ，
−a2−2ma=(m+a)k+b b=−ma−m−a
∴直线AB的解析式为y=(1−a)x−ma−m−a，
∵AB所在直线经过第二、四象限时，
∴1−a<0，
解得：a>1．
②由①中的结论得，a>1，
由题意得，点P运动的水平距离为|(m+a)−(m−1))=|a+1)=a+1，
竖直距离为|y −y )=|−a2−2ma+1+2ma)=|1−a2)=a2−1，
2 1
所以总路径d=(a+1)+(a2−1)=a2+a．
（3）解：在（1）条件下m=1,a=4时，y=−(x−1) 2−8，
∵当0≤x≤1时，存在z≥ y，
∴当0≤x≤1时，存在z−y≥0，即z−y=−2x2−x+t−[−(x−1) 2−8)=−x2−3x+t+9≥0，
设w=−x2−3x+t+9，当0≤x≤1时，存在w≥0，
−3 3
∵抛物线的对称轴为x= =−
，开口向下，
−2×(−1) 2
∴在0≤x≤1，w随x的增大而减小，
∵当0≤x≤1时，存在w≥0，
∴当x=0时，w=t+9≥0，即t≥−9，
∴t的最小值为−9．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、比较函数值的大小、一次函数的性质、求一次函数解析式、二
次函数与不等式等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
3
3．（25-26九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，已知抛物线C ：y=ax2+bx− 经过点A(−1，0)，
1 2B(5,6)，M是C 的顶点．
1
(1)求a，b的值及点 M 的坐标；
(2)将抛物线 C 平移，使其顶点落在x轴上，得到抛物线C ，C 的对称轴为直线x=h．
1 2 2
①当 C 平移路程最短时，直接写出C 的解析式；
1 2
②动点Q(x ，y )在抛物线C 上，当−1≤x ≤4时，y 的最小值为2，求 h的值；
0 0 2 0 0
③我们将横、纵坐标均为整数的点称为整点．连接AB，C 与线段AB只有一个交点 F，且AF与BF上的
2
整点个数比为5:2，直接写出h的取值范围．
1
【答案】(1)a= ，b=−1，点M的坐标为(1，−2)
2
1
(2)①y= (x−1) 2 ；②h的值为6或−3；③3+2❑√24，−1≤x ≤4时，y 随x 的增大而减小，
0 Q Q
1
∴当x =4时，y 取最小值2，即 (4−h) 2=2，
Q Q 2
解得：h =2（舍），h =6；
1 2
综上所述，h的值为6或−3；
③设直线AB解析式为y=kx+c，将A(−1，0)，B(5,6)代入得：
{−k+c=0)
，
5k+c=6
{k=1)
解得： ，
c=1
∴直线AB解析式为y=x+1，
∵A(−1，0)，B(5,6)
∴线段AB上的整点为：(−1,0)，(0,1)，(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)，
∵AF与BF上的整点个数比为5 ∶ 2，
∴AF上有5个整点，BF上有2个整点，
∴C 与线段AB的交点F的横坐标在30)，在平移过程中，该抛物线与直线AC始终有交点，求h的最大值；
(3)若点P在AC上方，设直线AP，BP与抛物线的对称轴分别相交于点F，E．请探索以A,F,B,G（G是
点E关于x轴的对称点）为顶点的四边形面积是否随着点P的运动而发生变化？若不变，求出这个四边形的
面积；若变化，请说明理由．
【答案】(1)x=−1，y=−x2−2x+3
9
(2)
4
(3)不变，这个四边形的面积为16【分析】（1）根据二次函数图象与x轴的交点坐标即可求得对称轴，再利用待定系数法求函数解析式即
可；
（2）利用待定系数法求直线AC的解析式，设平移后函数解析式为：y=−(x+1) 2+4−h，建立方程组可
得x2+3x+h=0，再根据抛物线与直线AC始终有交点，可得Δ=9−4h≥0，再进行计算即可；
（3）分别求出直线AP、BP的解析式，再令x=−1，分别求得点F、E、G的坐标，从而求得AB、FG的
值，即可求得四边形AFBG的面积．
【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+3(a<0)与x轴分别交于点A(−3,0)和点B(1,0)，
−3+1
∴抛物线对称轴为： 直线x= =−1，
2
把点A(−3,0)和点B(1,0)代入y=ax2+bx+3(a<0)得：
{9a−3b+3=0)
，
a+b+3=0
{a=−1)
解得 ，
b=−2
∴二次函数解析式为：y=−x2−2x+3，
故答案为：x=−1，y=−x2−2x+3；
（2）解：∵抛物线y=−x2−2x+3=−(x+1) 2+4，
∴C(0,3)，
设直线AC的解析式为；y=kx+b(k≠0)，
{−3k+b=0)
把点A(−3,0)和点C(0,3)代入得： ，
b=3
{k=1)
解得： ，
b=3
∴直线AC解析式为：y=x+3，
设平移后函数解析式为：y=−(x+1) 2+4−h，
{y=−(x+1) 2+4−h)
建立方程组
y=x+3
整理得：x2+3x+h=0，
∵抛物线与直线AC始终有交点，
∴Δ=9−4h≥0，9
∴h≤ ，
4
9
∴h的最大值为 ；
4
（3）解：如图，设P(a,−a2−2a+3)，
设直线AP的解析式为：y=k x+b (k ≠0)，
1 1 1
∵A(−3,0)，
{ak +b =−a2−2a+3) { k =−a+1 )
∴ 1 1 ，解得： 1 ，
−3k +b =0 b =−3a+3
1 1 1
∴直线AP的解析式为：y=(−a+1)x−3a+3，
当x=−1时，y=(−a+1)×(−1)−3a+3=−2a+2，
∴F(−1,−2a+2)，
设直线BP的解析式为：y=k x+b (k ≠0)，
2 2 2
∵B(1,0)，
{ak +b =−a2−2a+3) {k =−a−3)
∴ 2 2 ，解得： 2 ，
k +b =0 b =a+3
2 2 2
∴直线BP的解析式为：y=(−a−3)x+a+3，
当x=−1时，y=(−a−3)×(−1)+a+3=2a+6，
∴E(−1,2a+6)，
∵G是点E关于x轴的对称点，
∴G(−1,−2a−6)，∵AB=1−(−3)=4，FG=−2a+2−(−2a−6)=8，
1 1
∴S = AB⋅FG= ×4×8=16．
四边形AGBF 2 2
综上，这个四边形的面积不变，这个四边形的面积为16．
【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数和一次函数解析式、二次函数与x轴的交点坐标与对称轴的关
系、二次函数与一元二次方程、一次函数与二元一次方程组、解二元一次方程，熟练掌握相关知识，利用
参数构建方程是解题的关键．
【考点29 二次函数中的存在性问题】
1．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与 y 轴的正半
轴交于C点，且OB=OC=3OA=3．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在直线BC下方的抛物线上是否存在点M，使得△MBC的面积为6，若存在求出点M的坐标，若不存
在，请说明理由．
(3)抛物线的顶点为D，连接BC、BD．抛物线上是否存在一点P，使得 ∠PCB=∠CBD？ 若存在，
求P点的坐标； 若不存在，说明理由；
【答案】(1)y=−x2+2x+3
(2)(4,−5)或(−1,0)
(3)(2.5,1.75)或(4,−5)
【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式；
（2）根据题意得出△MBC的面积与△ABC的面积相等，先求出直线BC的解析式为y=−x+3，进而得
到经过点A且与直线BC平行的直线解析式为y=−x−1，再由平行线间间距相等且△MBC和△ABC有
{ y=−x−1 )
公共边BC，因此当点M在直线y=−x−1上时，满足题意，据此联立 ，解方程即可得
y=−x2+2x+3
到答案；
（3）分两种情况①根据题意得出A,B,C的坐标，进而得出△BCD是直角三角形，再过B点作垂直于BE，连接EC，且BE=❑√2，求出△ECB≌△DBC，进而得出直线EC解析式，即可得出P点坐标；②先
求出直线BD解析式，根据只要PC∥BD，则有∠PCB=∠CBD，设直线PC为y=−2x+p，代入C点
坐标，求出直线PC解析式为y=−2x+3，联立：−2x+3=−x2+2x+3，即可求解．
【详解】（1）解：∵OB=OC=3OA=3，
∴OB=OC=3,OA=1，
∴A(−1,0),B(3,0),C(0,3)，
把A(−1,0),B(3,0)代入y=ax2+bx+3(a≠0)中得： { a−b+3=0 ) ，
9a+3b+3=0
{a=−1)
解得 ，
b=2
∴抛物线的表达式为y=−x2+2x+3；
1
（2）解：∵S = ×3×4=6，
△ABC 2
∴点M在x轴上或x轴下方的抛物线上，△MBC的面积与△ABC的面积相等，
设直线BC的解析式为y=kx+t，
{3k+t=0)
∴ ，
t=3
{k=−1)
∴ ，
t=3
∴直线BC的解析式为y=−x+3，
∴设经过A点且与直线BC平行的直线解析式为y=−x+t′，
则0=−(−1)+t′，解得：t′=−1，
∴y=−x−1，
∴当点M在直线y=−x−1上时，满足题意，
{ y=−x−1 )
联立 ，
y=−x2+2x+3
{ x=4 ) {x=−1)
解得 或 ，
y=−5 y=0
∴点M的坐标为(4,−5)或(−1,0)；
（3）解：存在，理由如下：①连接DC，
∵函数的解析式为：y=−x2+2x+3=−(x−1) 2+4，
∴点D的坐标为(1,4)，∵A(−1,0),B(3,0),C(0,3)，
∴BC=3❑√2,BD=2❑√5,CD=❑√2，
∴CD2+BC2=BD2，
∴△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°，
过B点作BE垂直于BC，且BE=❑√2，连接EC，
∵CO=OB=3，
∴∠OCB=∠CBO=45°，
过点E作EM⊥x轴于点M，则∠EBM=45°，
∴E(4,1)，
在△ECB和△DBC中，
{
BE=CD
)
∠DCB=∠CBE ，
BC=CB
∴△ECB≌△DBC(SAS)，
则∠ECB=∠DBC，
此时CE与抛物线的交点就是满足条件的点P，
设直线CE的解析式为：y=kx+b′，
{ b′=3 )
则 ，
4k+b′=1
{k=−0.5)
解得： ．
b′=3
∴CE直线解析式为：y=−0.5x+3，
∴−0.5x+3=−x2+2x+3，
解得：x =0（不合题意舍去），x =2.5，
1 2
∴y=1.75，
∴P点坐标为：(2.5,1.75)；{3m+n=0)
②设直线BD解析式为y=mx+n，代入B,D坐标，得 ，
m+n=4
{m=−2)
解得： ，
n=6
∴直线BD为y=−2x+6，
只要PC∥BD，则有∠PCB=∠CBD，
设直线PC为y=−2x+p，代入C点坐标：
则p=3，
直线PC解析式为y=−2x+3，
联立：−2x+3=−x2+2x+3，
∴x2−4x=0，
解得：x =0（舍去 ），x =4，
1 2
把x=4代入解析式y=−2x+3可得，y=−5，
∴P(4,−5)，
综上所述：P点坐标为：(2.5,1.75)或(4,−5)．
2．（25-26九年级上·吉林·阶段练习）如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左
侧），点A的坐标为(−1,0)，与y轴交于点C(0,3)，作直线BC，动点P在x轴上运动，过点P作PM⊥x
轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N，设点P的横坐标为m．
(1)求抛物线的解析式；(2)求直线BC的解析式；
(3)当点P在线段OB上运动时，求线段MN的最大值；
(4)当点P在线段OB上运动时，若△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形时，直接写出m的值；
(5)当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出m的值．
【答案】(1)y=−x2+2x+3
(2)y=−x+3
9
(3)MN的最大值为
4
(4)m=2
3+❑√21 3−❑√21
(5)m的值为 或
2 2
【分析】（1）由A、C两点的坐标利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）根据（1）中所求抛物线解析式可求得B点坐标，再利用待定系数法可求得直线BC的解析式；
（3）用m可分别表示出N、M的坐标，则可表示出MN的长，再利用二次函数的最值可求得MN的最大
值；
（4）由题意可得当△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形时则有MN=MC，且MC⊥MN，则可求表
示出M点纵坐标，代入抛物线解析式可求得m的值；
（5）由条件可得出MN=OC，结合（2）可得到关于m的方程，可求得m的值．
【详解】（1）解：∵抛物线过A，C两点，
{−1−b+c=0) {b=2)
∴代入抛物线解析式可得 ，解得 ，
c=3 c=3
∴抛物线解析式为y=−x2+2x+3；
（2）解：令y=0可得，−x2+2x+3=0，解x =−1，x =3，
1 2
∵B点在A点右侧，
∴B点坐标为(3,0)，
设直线BC解析式为y=kx+s，
{3k+s=0) {k=−1)
把B、C坐标代入可得 ，解得 ，
s=3 s=3
∴直线BC解析式为y=−x+3；
（3）解：∵PM⊥x轴，点P的横坐标为m，
∴M(m,−m2+2m+3)，N(m,−m+3)，
∵P在线段OB上运动，∴M点在N点上方，
∴MN=−m2+2m+3−(−m+3)=−m2+3m=− ( m− 3) 2 + 9 ，
2 4
3 9
∴当m= 时，MN有最大值，MN的最大值为 ；
2 4
（4）解：∵PM⊥x轴，
∴当△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形时，则有CM⊥MN，
∴M点纵坐标为3，
∴−m2+2m+3=3，解得m=0或m=2，
当m=0时，则M，C重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去，
∴m=2；
（5）解：∵CO∥MN，
∴当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，CO=MN，
∴|−m2+3m)=3，
∴−m2+3m=3或−m2+3m=−3，
解方程−m2+3m=3，即m2−3m+3=0，
此时Δ=(−3) 2−4×3=−3<0．
∴方程无解，
解方程−m2+3m=−3，即m2−3m−3=0，
−(−3)±❑√(−3) 2−4×1×(−3) 3±❑√21
∴m= = ，
2 2
3+❑√21 3−❑√21
综上，m的值为 或 ．
2 2
【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定和性
质、平行四边形的性质及分类讨论思想等知识点．在（3）中用m表示出MN的长是解题的关键，在（4）
中确定出CM⊥MN是解题的关键，在（5）中由平行四边形的性质得到OC=MN是解题的关键．
3．（25-26九年级上·辽宁·阶段练习）如图，已知抛物线经过点A(−1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点．(1)求抛物线的解析式；
(2)点M是线段BC上的点（不与B、C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N．若点M的横坐标为m．
请用m的代数式表示MN的长；
(3)在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存
在，说明理由．
【答案】(1)y=−x2+2x+3
(2)MN=−m2+3m(0
