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专题 11.4 三角形的外角【十大题型】
【人教版】
【题型1 应用三角形的外角性质求角度】..............................................................................................................1
【题型2 应用三角形的外角性质比较角度大小】.................................................................................................2
【题型3 三角形的外角性质与角平分线的综合】.................................................................................................3
【题型4 三角形的外角性质与平行线的综合】.....................................................................................................4
【题型5 三角形的外角性质与垂线的综合】.........................................................................................................5
【题型6 应用三角形的外角性质解决折叠问题】.................................................................................................6
【题型7 应用三角形的外角性质解决三角板组合问题】.....................................................................................7
【题型8 三角形中角的不等关系的证明】..............................................................................................................8
【题型9 应用三角形外角的性质解决角度测量问题】.......................................................................................10
【题型10 三角形有关角度关系的探究题】............................................................................................................11
【知识点 三角形的外角】
概念：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
性质：①三角形的外角和为360°；
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
【题型1 应用三角形的外角性质求角度】
【例1】（2023春·重庆忠县·八年级统考期末）如图所示，点D是∠ACB内一点，若∠1=35°，
∠2=40°，∠ADB=145°，则∠ACB的大小为（ ）
A．75° B．70° C．65° D．60°
【变式1-1】（2023春·海南省直辖县级单位·八年级统考期末）若一个三角形两个外角之和为280°，那么这个三角形是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
【变式1-2】（2023春·山东滨州·八年级统考期中）如图，D是△ABC的BC边上一点，∠B=∠1，
∠3=80°，∠BAC=70°．则∠2的大小是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【变式1-3】（2023春·广东江门·八年级台山市新宁中学校考期中）如图，已知△ABC中，
∠BAC=3∠ABC=3∠ACB，CD是AB边上的高，求∠ACD度数．
【题型2 应用三角形的外角性质比较角度大小】
【例2】（2023春·山东威海·八年级统考期中）如图，∠1，∠2，∠3的大小关系正确的是（ ）
A．∠1=∠2+∠3 B．2∠2=∠1+∠3 C．∠3>∠2>∠1 D．
∠1>∠2>∠3
【变式2-1】（2023春·陕西榆林·八年级统考期末）如图，点D为△ABC的边BC延长线上一点，关于∠B
与∠ACD的大小关系，下列说法正确的是( )A．∠B>∠ACD B．∠B=∠ACD C．∠B<∠ACD D．无法确定
【变式2-2】（2023春·浙江杭州·八年级统考阶段练习）如图，点P是△ABC内一点，连接BP并延长交
AC于D，连接PC，则图中∠1,∠2,∠A的大小关系是（ ）
A．∠A>∠2>∠1 B．∠A>∠1>∠2 C．∠2>∠1>∠A D．
∠1>∠2>∠A
【变式2-3】（2023春·甘肃张掖·八年级校考期末）如图，∠A、∠DOE和∠BEC的大小关系是( ).
A．∠A＞∠DOE＞∠BEC B．∠DOE＞∠A＞∠BEC
C．∠BEC＞∠DOE＞∠A D．∠DOE＞∠BEC＞∠A
【题型3 三角形的外角性质与角平分线的综合】
【例3】（2023春·黑龙江大庆·八年级校考期末）如图，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平
分线交于点A ，得∠A ；∠A BC和∠A CD的平分线交于点A ，得∠A ；…；∠A BC和
1 1 1 1 2 2 2021
∠A CD的平分线交于点A ，则∠A ＝ °．
2021 2022 2023
【变式3-1】（2023春·天津·八年级校考期中）如图，△ABC中，AF是∠BAC的外角∠EAB的平分线，
交CB的延长线于点F，BG是∠ABC的外角∠DBC的平分线，交AC的延长线于点G，若AF=BG=AB，
则∠F的大小= （度）．【变式3-2】（2023春·广东肇庆·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AN是∠BAC的角平分线，
∠B=50°，∠ANC=80°．求∠BAC和∠C的度数．
【变式3-3】（2023春·浙江杭州·八年级校考开学考试）如图，在△ABC中，BO,CO分别平分
∠ABC,∠ACB，交于点O,CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E．以下结论①
1
∠OCE=90°，②∠1=2∠2，③∠BOC=90°+ ∠1，④∠BOC=3∠2，其中正确的是
2
（填序号）．
【题型4 三角形的外角性质与平行线的综合】
【例4】（2023春·广东清远·八年级期末）如图，已知直线AB∥CD，∠C=125°，∠A=40°，那么
∠E的大小为（ ）
A．75° B．85° C．90° D．95°
【变式4-1】（2023春·河南郑州·八年级河南省实验中学校考开学考试）如图，AB∥EF，∠C＝90°，
则α、β、γ的关系为（ ）A．β=α+γ B．α+β+γ=180°
C．β+γ-α=90° D．α+β-γ=90°
【变式4-2】（2023春·安徽安庆·八年级统考期末）如图，在△ABC中，E，F分别是AB，AC上的点，且
EF∥BC，AD是∠BAC的平分线，分别交EF，BC于点H，D，则∠1、∠2和∠3之间的数量关系为
（ ）
A．∠1=∠2+∠3 B．∠1=2∠2+∠3 C．∠1+∠2=2∠3 D．
∠1+∠3=2∠2
【变式4-3】（2023春·江西吉安·八年级统考期末）已知：AB∥CD,∠AEB=∠BFC．
(1)如图1，求证：∠AEB=∠ABE+∠DCF；
1
(2)如图2，连接BC，∠BCF=2∠ABE，点P在射线AB上，∠BCP= ∠BCD，射线CP交EF于点
2
M，补全图形后请探究∠BMC,∠CAB,∠AEB的数量关系，并证明你的结论．
【题型5 三角形的外角性质与垂线的综合】
【例5】（2023春·广东东莞·八年级校考期中）如图，已知DF⊥AB于点F，且∠A=45°，∠D=30°，
求∠ACD的度数．【变式5-1】（2023春·湖北荆州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E在射线BC
上，EF⊥AD于F，∠B=40°，∠ACE=76°，则∠E的度数为（ ）
A．32° B．34° C．56° D．58°
【变式5-2】（2023春·江苏南京·八年级统考期末）在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC
于点D，M为直线AC上一点，ME⊥BC，垂足为E，∠AME的平分线交直线AB于点F．
(1)如图①，当点M在线段AC上，且∠C=50°时，求证BD∥MF；
(2)当点M在边AC的延长线上时，补全图②，判断BD与MF的位置关系并证明．
【变式5-3】（2023春·广西南宁·八年级校考期中）在△ABC中.
(1)如图1，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AE平分∠BAC，AE，CD相交于点F，请直接写出线段
CF与CE的数量关系；
(2)如图2，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，△ABC的外角∠BAG的平分线交CD的延长线于点F，其
反向延长线与BC的延长线交于点E，则（1）中的结论还成立吗？请说明理由；
(3)如图3，AB上存在一点D，使得∠ACD=∠B，∠BAC的平分线AE交CD于点F．△ABC的外角
∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M．请求出∠M与∠CFE的数量关系．【题型6 应用三角形的外角性质解决折叠问题】
【例6】（2023春·湖北武汉·八年级校联考期中）如图1，△ADC中，点E和点F分别为AD，AC上的动
点，把△ADC纸片沿EF折叠，使得点A落在△ADC的外部A'处，如图2所示．若∠1-∠2=42°，则
∠A度数为( )
A．20° B．21° C．21.5° D．22.5°
【变式6-1】（2023春·重庆涪陵·八年级校考期中）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，
且BA'平分∠ABC，C A'平分∠ACB，若∠BA'C=110°，则∠ADE的度数为（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【变式6-2】（2023春·广东湛江·八年级岭师附中校联考期末）如图，将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在
边BC上点F处，已知∠1+∠2=100°，则∠A= ．【变式6-3】（2023春·辽宁沈阳·八年级沈阳市第七中学校考期末）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，使点
A落在图中的A'处，若∠A=28°，∠BDA'=90°，则∠A'EC的大小为 ．
【题型7 应用三角形的外角性质解决三角板组合问题】
【例7】（2023春·江苏·八年级开学考试）如图所示，一副三角板叠放在一起，则图中∠α的度数为
（ ）
A．45° B．50° C．75° D．80°
【变式7-1】（2023春·四川泸州·八年级统考期末）如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于
（ ）
A．45° B．60° C．105° D．120°
【变式7-2】（2023春·安徽淮北·八年级统考期中）将一副三角板按如图的方式摆放，若∠1=70°，则∠2
的度数是（ ）A．140° B．150° C．155° D．160°
【变式7-3】（2023春·山东滨州·八年级统考期末）一副三角板如图所示摆放，则∠α与∠β的数量关系为
（ ）
A．∠α=∠β+15° B．∠α+∠β=180°
C．∠α+∠β=225° D．∠α=∠β
【题型8 三角形中角的不等关系的证明】
【例8】（2013春·河北邯郸·八年级统考期末）如图：CD是△ABC中∠ACB的外角平分线，请猜测
∠BAC和∠B的大小关系，并说明理由.
【变式8-1】（2023春·八年级课时练习）已知：如图，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E为边AC上
一点，延长BC到D，连接DE．求证：∠1＞∠2．
【变式8-2】（2023春·内蒙古赤峰·八年级统考期中）实验与探究：在（ ）内填写理论根据．在横线上填写结论
在△AC中，如果AB>AC，那么我们可以将△ABC折叠，使边AC落在AB上，点C落在AB边上的D点，
折线交BC于点E，
则∠C=∠ADE．
∵∠ADE=∠B+∠BED（ ）
∴∠ADE>∠B（ ）
∴∠C>∠B（ ）
结论：在一个三角形中，如果＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
那么＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
利用此结论，回答下面的问题：
（1）在△ABC中，已知BC>AB>AC，那么∠A、∠B、∠C有怎样的大小关系？（用“>”表示出来）
（2）如果一个三角形中最大的边所对的角是锐角，这个三角形一定是锐角三角形吗？为什么？（写出已
知、求证、证明）
【变式8-3】（2023春·河南周口·八年级阶段练习）如图，O是△ABC内任意一点，连接OB、OC．
（1）求证：∠BOC＞∠A；
（2）比较AB+AC与OB+OC的大小，并说明理由．
【题型9 应用三角形外角的性质解决角度测量问题】
【例9】（2023春·广东梅州·八年级校考阶段练习）工人师傅生产了一种如图所示的零件，要求AB∥CD，
工人师傅量出 ∠BAE=30°，∠AED=70°，∠EDC=40°，则该零件 （填“合格”或“不合
格”）．【变式9-1】（2023春·山东济宁·八年级统考期中）一个零件的形状如图，按规定∠A＝90°，∠B＝∠D＝
25°，判断这个零件是否合格，只要检验∠BCD的度数就可以了．量得∠BCD＝150°，这个零件
（填“合格”不合格”）．
【变式9-2】（2023春·江西南昌·八年级统考阶段练习）如图，有一个“工”字形零件，经测量，
∠BMN=100°,∠MNC=70°，那么直线AB与CD所成的锐角的大小是 ．
【变式9-3】（2023春·八年级课时练习）下图是某工人加工的一个机器零件（数据如图），经过测量不符
合标准．标准要求是：∠EFD=120°，且∠A、∠B、∠C保持不变为了达到标准，工人在保持∠E不变
情况下，应将图中∠D （填“增大”或“减小”） 度．
【题型10 三角形有关角度关系的探究题】
【例10】（2023春·广东河源·八年级校考开学考试）△ABC中，∠C=80∘，点D，B分别是△ABC边AC，BC上的点，点P是一动点，令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．
(1)若点P在边AB边上，且∠α=50°，如图1，则∠1+∠2=__．
(2)若点P在边AB上运动，如图2所示．则∠α，∠1，∠2之间有何关系？猜想并说明理由．
(3)若点P运动到边AB的延长线上，如图3，则∠α，∠1，∠2之间有何关系？猜想并说明理由．
【变式10-1】（2023春·广东河源·八年级校考期末）如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．
我们不妨把这样图形叫做“规形图”，请发挥你的聪明才智，解决以下问题：
(1)观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；
(2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若
∠A=50°，直接写出∠ABX+∠ACX的结果；
②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=50°,∠DBE=130°，求∠DCE的度数；
③如图4，∠ABD,∠ACD的10等分线相交于点G1、G 、⋯、G ，若
2 9
∠BDC=140°,∠BG C=77°，求∠A的度数．
1
【变式10-2】（2023春·陕西西安·八年级统考期中）在△ABC中，∠C>∠B，AE平分∠BAC，F为射
线AE上一点(不与点E重合)，且FD⊥BC于D．
(1)如果点F与点A重合，且∠C=50°，∠B=30°，如图1，求∠EFD的度数；
1
(2)如果点F在线段AE上（不与点A重合），如图2，求证：∠EFD= (∠C-∠B)；
2(3)如果点F在△ABC外部，如图3，此时∠EFD与∠C-∠B的数量关系是否发生变化？请说明理由．
【变式10-3】（2023春·江西南昌·八年级统考期末）在△ABC中，∠A=60°，点D、E分别是△ABC边
AC、AB上的点，点P是一动点，设∠PDC=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．
(1)如图1，若点P在线段BC上，且∠α=50°，求∠1+∠2的度数；
(2)若点在线段延长线上，请借助图2和图3，分别探究、与之间的关系，并说明理由．
