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2.4 一元一次不等式组
题型一 一元一次不等式组的定义
1．（25-26七年级下·全国·单元测试）下列各式不是一元一次不等式组的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25七年级下·上海宝山·期中）下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
3．（2025七年级下·全国·专题练习）下列不等式组：
① ② ③ ④ ⑤
其中是一元一次不等式组的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各不等式组中，是一元一次不等式组的是 （填序号）．
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥
题型二 求不等式组的解集
1．（甘肃省兰州市四校联考2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试卷）解不等式组：
，并把解集在数轴上表示出来．
2．（2026·陕西西安·一模）解不等式组： ．
3．（25-26八年级上·福建漳州·月考）下面是嘉嘉同学解一元一次不等式组 的过程，请
认真阅读并完成相应的任务．
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学科网（北京）股份有限公司解：由①去分母，得 第一步
去括号，得 第二步
移项，得 第三步
合并同类项，得 第四步
系数化为1，得 第五步
(1)任务一：以上解题过程中，第一步的依据是______；第______步开始出现错误；
(2)任务二：请你帮嘉嘉同学正确求解如上不等式组，并把它的解集表示在数轴上．
4．（25-26九年级上·宁夏中卫·期末）解不等式组：
5．（24-25八年级上·山西太原·月考）解不等式(组)
(1)
(2)
6．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）解不等式组： ，并将不等式组的解集表示在如图
所示的数轴上．
7．（25-26八年级上·浙江·期末）（1）解不等式： ， 并把解集在数轴上表示出来 ．
（2）解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来．
题型三 求一元一次不等式组的整数解
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学科网（北京）股份有限公司1．（2025·四川雅安·二模）一元一次不等式组 的最小整数解是（ ）
A． B．2 C．1 D．0
2．（25-26九年级上·湖南邵阳·期中）不等式组 的整数解有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
3．（24-25七年级上·吉林白城·月考）不等式组 的整数解是 ．
4．（25-26九年级上·重庆·月考）求不等式组 的所有整数解．
5．（25-26八年级上·全国·期末）解不等式组 ，并求出它的所有非正整数解的和．
6．（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）求不等式组 的整数解．
（2）求满足不等式组 的最大整数和最小整数．
7．（25-26九年级上·重庆·月考）解不等式组： ，并求出它的所有整数解的和．
题型四 解特殊不等式组
1．（23-24八年级下·浙江杭州·月考）已知 ，则 的取值范围是 ．
2．（23-24七年级下·江苏南通·期中）已知 ，则 的取值范围是 ．
3．（20-21七年级下·江苏南京·期末）已知 的解集为 ，则 的解集为
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学科网（北京）股份有限公司．
4．（23-24八年级下·全国·期末）已知 （ 为常数）的解集为 ，则关于 的一元
一次不等式 的解集为 ．
5．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·月考）若等腰三角形的周长为 ，腰长为 ．
(1)求x的取值范围；
(2)若该三角形的一边长是 ，求该三角形的另两边长．
题型五 列一元一次不等式组
1．（20-21七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）用每分钟可抽30吨水的抽水机来抽污水管道里的积存的污水，
估计积存的污水超过1200吨而不足1500吨，设用 分钟将这些污水抽完，那么根据题意列出的不等式组
是（）
A． B． C． D．
2．（25-26八年级上·全国·课后作业）若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，
则还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25七年级下·广西百色·期中）在“保护地球，爱护家园”活动中，校团委把一批树苗分给七年级
（2）班的同学们去栽种．若每人分2棵，还剩42棵；若每人分3棵，则最后一人得到的树苗少于5棵
（但至少分得一棵）．若设七年级（2）班人数为 人，则该班最少有多少名学生？以下列式正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）若干名学生乘船．若每条船坐4人，则2人无船坐；若每条船坐6人，
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学科网（北京）股份有限公司则空一条船，还有船不空也不满，设有 条船，则可列不等式组为（ ）
A． B．
C． D．
5．（24-25九年级上·贵州铜仁·期中）将一些书分给九（1）班的所有学生，若每人分4本，则还剩77本
书；若每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本，求这些书的本数与九（1）班学生的人数，设九
（1）班有学生x人，则列出的不等式组是（ ）
A． B．
C． D．
6．（24-25七年级下·上海闵行·期中）小明用18克咖啡粉冲泡了300毫升的咖啡液（假设咖啡粉完全溶解，
体积忽略不计）．他认为浓度过高，决定先倒掉一部分咖啡液，然后加入一定量的水进行稀释，倒掉咖啡
液的量与加入的水量相等．调整后的咖啡浓度既不低于 又不超过 ．设加入的水量为x毫升，请列
出符合题意的一元一次不等式组 ．
7．（24-25七年级下·全国·课后作业）应用意识 用甲、乙两种原料配制成某种饮料，设所需甲种原料的质
量为 ．已知这两种原料中维生素C的含量及购买这两种原料的价格如表所示：
甲种原
乙种原料
料
维生素C的含量/（单位/千克） 600 100
原料价格/（元/千克） 8 4
现配制这种饮料 ，要求含有4200单位以上的维生素C．
(1)请列出x应满足的不等式；
(2)如果要求购买甲、乙两种原料的总费用低于72元，那么请列出x应满足的所有不等式．
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学科网（北京）股份有限公司题型一 由一元一次不等式组的解集求参数
1．（25-26八年级上·山东聊城·月考）已知关于 的不等式组 有解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）若关于 的不等式组 有且仅有4个整数解，则 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26九年级上·黑龙江大庆·月考）已知关于x的不等式 有且只有1个负整数解，则a的取值
范围是 ．
4．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）若不等式组 的解集是 ，则 的值是 ．
5．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）已知关于x的不等式 有且只有4个负整数解，则a的取值
范围是 ．
6．（25-26九年级上·浙江金华·自主招生）已知不等式组 有且仅有一个整数根 ，则a的取值
范围是 ．
7．（25-26八年级上·重庆·期中）若不等式组 的解集为 ，且关于y的分式方程
有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
8．（25-26八年级上·四川成都·月考）如果关于 ， 的二元一次方程组 有解，且关于 的一
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学科网（北京）股份有限公司元一次不等式组 有且仅有4个整数解，那么所有满足条件的整数 的值之和是 ．
9．（17-18七年级下·全国·单元测试）若不等式组 的整数解共有三个，则 的取值范围是
．
10．（25-26八年级上·重庆·月考）若关于 的不等式组 无解，且关于 的分式方程
有负整数解，则符合条件的所有整数 的和为 ．
11．（2025七年级上·全国·专题练习）若关于x的一元一次不等式组 ，至少有2个整数解，且关
于y的分式方程 有非负整数解，求所有满足条件的整数a的值之和是多少？
题型二 不等式组和方程组结合问题
1．（25-26八年级上·重庆·月考）设 表示不超过x的最大整数，如 ， ， ，若
x，y满足 ，那么 的值是（ ）
A．3 B．2或 C．3或 D．1或2
2．（2025八年级上·全国·专题练习）若关于x，y的方程组 的解满足 ，则 的取
值范围是 ．
3．（24-25七年级下·全国·周测）已知关于x，y的二元一次方程组
(1)若以x，y为坐标的点 在第一象限，求m的取值范围．
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学科网（北京）股份有限公司(2)若该方程组的解满足 ，求m的取值范围．
4．（25-26八年级上·广东汕头·期中）若关于 ， 的二元一次方程组 的解都是正数．
(1)求 的取值范围；
(2)化简： ．
5．（22-23七年级下·陕西汉中·期末）已知关于x，y的方程组 的解满足不等式
，求m的取值范围．
6．（25-26八年级上·浙江金华·月考）已知方程组 的解满足 为非正数， 为负数．
(1)求 的取值范围；
(2)在（1）的条件下，若不等式 的解为 ．求整数 的值．
7．（24-25七年级下·四川乐山·期末）已知关于 、 的方程组
(1)若 ，求这个方程组的解；
(2)若该方程组的解满足 、 均为正数，求 的取值范围．
题型三 不等式组的行程问题
1．（24-25七年级下·北京·期末）小华在公园的环形跑道（周长大于 ）练习长跑，从起点出发按逆时针
方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑 软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前 的记录如
图所示．小华一共跑了 且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是（ ）
A．14圈 B．15圈 C．16圈 D．17圈
2．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·月考）哈市乘坐出租车的收费标准：起步价8元（即行驶距离不超过3
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学科网（北京）股份有限公司千米都须付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米的部分按1千米计）．某
人乘出租车从甲地到乙地共付车费18元，那么甲地到乙地路程 满足（ ）
A． B．7 C．7 D．7
3．（24-25八年级下·全国·假期作业）某人上午8时以5千米/时的速度从A地步行到B地，到B地时已过
12时，但不到12时10分，设A、B两地相距x千米，根据题意列不等式组 ．
4．（2022·河南洛阳·一模）已知一列慢车与一列快车相继从泰州开往上海，慢车先出发，一小时后快车出
发，设慢车行驶的时间为 ，两车之间的距离为 ，图中的折线表示 与 之间的函数关系．
(1)请解释图中点 的实际意义；
(2)分别求慢车和快车的速度、泰州与上海的距离；
(3)如果两车都配有对讲机，并且二车相距不超过 时，能相互通话，求两车均在行驶过程中能通话的
时间．
5．（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图 ，A，B两地间的公路长 ，其中有一段长 的施工
道路 ，M距离A地 甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车
晚出发 在非施工道路 其限速情况如图 所示 ，甲车始终以 的速度行驶，乙车始终以
的速度行驶；在施工道路，两车均以 的速度行驶．
(1)若
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学科网（北京）股份有限公司①甲车出发 时，甲车行至______处，乙车行至______处； 填“M”“N”或“ 的中点”
②甲车行至 的中点时，乙车行驶的时间为______h
(2)已知两车在P处相遇．
①若P与N重合，求V的值；
②若P在非施工道路上 不与M，N重合 ，直接写出V的取值范围．
6．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）小张骑自行车匀速从甲地到乙地，在途中休息了1小时后，仍然按
原路行驶，他距乙地的距离y与时间x的关系如图中折线 所示；小李骑摩托车匀速从乙地到
甲地，比小张晚出发6小时，他距乙地的距离y与时间x的关系式如图中线段 所示．
(1)小李到达甲地后，小张再经过___小时到达乙地，小张骑自行车的速度是___千米/时．
(2)小张出发几小时与小李相遇？
(3)若小李想在小张修休息期间与他相遇，则小李出发的时间应在什么范围？（直接写出答案）
题型四 不等式组的工程问题
1．（24-25七年级下·全国·期末）为实现区域教育均衡发展，重庆市计划今后几年对我区各乡镇中、小学
校全部进行改造．根据预算，共需资金1 300万元．改造一所中学和一所小学共需资金135万元；改造两
所中学和一所小学共需资金215万元．
(1)改造一所中学和一所小学所需的资金分别是多少万元？
(2)若我区要改造的乡镇中学不超过8所，则要改造的小学有多少所？
(3)重庆市计划今年对我区乡镇中、小学共10所进行改造，改造资金由市财政和区财政共同承担．若今年
市财政拨付的改造资金不超过550万元；区财政投入的改造资金不少于110万元，其中区财政投入到中、
小学的改造资金分别为每所15万元和10万元．请你通过计算求出有哪几种改造方案？
2．（2025·湖南永州·模拟预测）习近平总书记高度重视水污染防治工作，将其作为生态文明建设和环境保
护的关键环节，提出一系列新理念、新思路和新举措，为解决污水问题提供了根本遵循．祁阳市某河流防
污治理工程已正式启动，由甲队单独做5个月后，乙队再加入合作2个月就可以完成这项工程．已知若甲
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学科网（北京）股份有限公司队单独做需要8个月可以完成．
(1)乙队单独完成这项工程需要几个月？
(2)已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在
一年内竣工（包括12个月），为了确保经费和工期，采取甲队做 个月（ 为整数），乙队做4个月分工
合作的方式施工，请问有哪几种施工方案并求出最省钱的方案费用？
3．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）2024年初，洪山区某老旧小区，积极推动实施小区“瓶改管”燃气
改造项目甲、乙两个工程队参与该项目施工．该工程若由甲队单独施工会超过规定工期40天；若由乙队单
独施工则会超过规定工期80天．施工方案如下：甲、乙两队先合做64天，剩余的由乙队单独完成，恰好
如期完成．
(1)求这项工程的规定工期是多少天？
(2)在甲、乙两队工作效率不变的前提下，为让居民更快用上天然气，工程指挥部决定缩短工期，总工期不
超过100天，并修改原有施工方案：甲、乙两队先合做a天，剩余的由乙队单独施工，恰好按缩短后的总
工期完成．请给出所有可行具体施工方案（合做天数a和总工期均为正整数）
4．（2023·广西河池·一模）某社区计划对面积为1800 的区域进行绿化．经投标，由甲、乙两个工程队
来完成．已知甲队每天绿化的面积是乙队的2倍，并且在独立完成400 的绿化时，甲队比乙队少用4天．
(1)分别求出甲队、乙队每天完成的绿化面积；
(2)设甲队施工x天，乙队施工y天，刚好完成绿化任务，且甲、乙两队施工的总天数不超过26天，写出y
与x的函数解析式和自变量x的取值范围；
(3)在（2）条件下，若甲队每天绿化费用是0.6万元，乙队每天绿化费用为0.25万元，如何安排甲、乙两
队施工的天数，使施工总费用最低？并求出最低费用．
题型五 不等式组的经济问题
1．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）有 、 两家粮食种植基地往甲、乙两个粮食配送中心运送粮食，
地可运出粮食80吨， 地可运出粮食60吨甲地需要粮食90吨，乙地需要粮食50吨，每吨粮食运费如
下：从 基地运往甲、乙两中心的运费分别为每吨500元和400元，从 基地运往甲、乙两中心的运费分
别为每吨200元和300元，设 地运送到甲中心粮食为 吨．
(1)设运送粮食的总费用为 元，求 关于 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；
(2)若运输公司要求总运费不超过51000元，且为了保障 基地的运输效率，规定 地运往甲中心的粮食吨
数至少比 地运往乙中心的粮食吨数多16吨，请求出所有符合条件的 值．（ 为整数）
(3)按照题（2）的调运方案，当 取何值时，总运费 最低？最低总运费是多少元？
2．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·月考）某商店计划购进甲、乙两种商品，已知甲商品的单价比乙商
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学科网（北京）股份有限公司品的单价少20元，用3000元购进甲商品的数量与用4000元购进乙商品的数量相同．甲商品售价为每件
100元，乙商品售价为每件130元．
(1)甲、乙两种商品的单价各是多少元？
(2)商店购进两种商品共150件，其中甲商品的数量不低于乙商品数量的2倍，且全部售出后获利不少于
6480元，问商店有几种进货方案？
(3)在（2）的条件下，商店决定对甲商品售价进行调整，每件甲商品变动m元，乙商品售价不变，若要使
所有进货方案获利都相同，请直接写出m的值．
3．（25-26八年级上·安徽·月考）某商场购进足球和篮球共60个，篮球的数量不少于足球的2倍，付款总
额不过4500元，已知篮球和足球的进价分别为80元／个、50元／个，售价分别为120元／个、100元／
个．现购进x（x为整数）个篮球．
(1)求付款总额y和x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
(2)该商场将足球和篮球全部售出，能获得的最大利润是多少？
(3)若足球的进价涨了m（ ）元／个，售价不变，将这60个球全部售出能获得的最大利润是550元，
求m的值．
4．（25-26七年级下·全国·课后作业）某商场为响应国家“绿色智能家电下乡”的惠农政策，决定采购一
批智能家电，优惠销售给农民朋友．商场从厂家直接购进甲、乙、丙三种不同的智能家电共 件．其中，
甲种智能家电的件数是乙种智能家电件数的2倍，购买三种智能家电的总金额不超过 元．已知甲、
乙、丙三种智能家电每件的出厂价格分别为 元、 元和 元，那么该商场购进的乙种智能家电至少
为多少件？
5．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）某商场销售甲、乙两种服装，其进价与售价的情况如下表：
进价/（元/件） 售价/（元/件）
甲种服
160 210
装
乙种服
120 150
装
现计划购进这两种服装共100件，其中甲种服装不少于60件．设购进甲种服装x件，两种服装全部售完，
商场获利y元．
(1)求y与x之间的函数关系式．
(2)若购进100件服装的总费用不超过15000元，求最大利润．
(3)在（2）的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠a元的价格进行优惠促销活动，乙种服装每件的进
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学科网（北京）股份有限公司价减少 元，售价不变，且 ．若最大利润为4000元，求b的值．
6．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）某商场购进甲、乙两种商品进行销售，设用 元购进甲种商品工件，
与 之间的函数关系如图所示，乙种商品按 元 件的价格购进．
(1)求当 时， 与 之间的函数关系式；
(2)若经销商计划一次性购进甲、乙两种商品共 件，且甲种商品不少于 件，甲、乙两种商品的总进货
款不少于 元，求 的取值范围；
(3)若甲、乙两种商品的销售价格分别为 元 件和 元 件，经销商将（ ）中购进的甲、乙两种商品全
部销售完，获得的利润最多为 元，求 的值．
题型六 不等式组的分配问题
1．（25-26七年级下·全国·课后作业）七年级某班部分学生参加端午节包粽子活动，活动结束后把包好的
粽子分给这些学生．如果每人分4个，那么余6个；如果前面的学生每人分5个，那么最后1名学生能分
到的粽子不少于2个但少于4个．求参加端午节包粽子活动的学生的人数．
2．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）一个车间有20名工人，每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零
件5个，每制造一个甲种零件可获利润150元，每制造一个乙种零件可获利润260元．在这20名工人中，
车间每天安排x名工人制造甲种零件，其余人去制造乙种零件．
(1)写出此车间每天所获利润y元与x名工人之间的函数表达式；
(2)如果要车间每天所获利润不低于24000元，至少应安排多少工人去制造乙种零件？
3．（25-26八年级上·广西南宁·月考）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电
难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，地上和地下每个充电桩的占地面积分别为 和 ．
已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩共需要1.1万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩共需要
1万元．
(1)该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少万元？
(2)若该小区计划用不超过22万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于37个，则共有几种
建造方案？并列出所有方案；
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学科网（北京）股份有限公司(3)现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过 ，在（2）的前提下，
若仅有1种方案可供选择，直接写出 的取值范围．
4．（2025八年级上·全国·专题练习）为了鼓励在秋季运动会期间表现积极的学生，八年级某班决定购买甲、
乙两种图书作为奖品．已知购买一本甲种图书与一本乙种图书共花费80元，用120元购进甲种图书与用
200元购进乙种图书的数量相同．
(1)求甲、乙两种图书的单价分别为多少元/本；
(2)该班计划购进甲、乙两种图书共20本，其中乙种图书的数量不少于5本，同时此次购书的总资金不超
过800元，求该班共有哪几种购买方案．
5．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分2件，则剩余3件；若前面
每人分3件，则最后一个人得到的玩具数不足2件．求小朋友的人数与玩具数．
6．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）理论源于实践，理论指导实践．请你阅读以下案例，尝试用所学知
识解决实际问题．
东区有肥料 ，西区有肥料 ．现要把这些肥料全部运往南，北两区，从东区往南，北两区运肥料的
费用分别为30元/t和35元/t；从西区往南、北两区运肥料的费用分别为24元/ 和32元/ ．已知南区需要
肥料 ，北区需要肥料 ．
(1)设从东区往南区运 吨肥料，则从东区往北区运__________吨肥料，从西区往南区运_______吨肥料，
从西区往北区运__________吨肥料；（用含 的式子表示，并化简结果）
(2) 的取值范围是______________；
(3)设调运的总运费为 元，求 关于 的函数解析式以及调运总费用最少的方案．
东区 西区 合计
南区
北区
合计
7．（24-25七年级下·甘肃甘南·期末）养殖场计划用甲乙两种原料配制饲料，已知每千克甲原料含营养物
质 为200克；每千克乙原料含营养物质 为300克．如果要求配好的饲料每千克中含营养物质 不低于
240克、不高于245克．求配制每千克饲料需要甲原料的重量范围．
题型七 不等式组的方案选择问题
1．（25-26八年级上·浙江台州·月考）随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景
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学科网（北京）股份有限公司不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A，B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下：
信息一
A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元）
1 3 220
3 2 310
信息二
A型机器人每台每天可分拣快递22万件；B型机器人每台每天可分拣快递18万件．
(1)求A，B两种型号智能机器人的单价．
(2)现该企业准备购买A，B两种型号智能机器人共10台，若要求总价不超过620万元，并且每天分拣快递
不少于200万件，则该企业购买方案有哪几种？
2．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电
难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要 万
元；新建 个地上充电桩和 个地下充电桩需要 万元．
(1)该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需多少万元？
(2)若该小区计划用不超过 万元的资金新建 个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的
2倍，则共有几种建造方案？并列出所有方案．
3．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价
比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同．
(1)求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？
(2)若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且乙的数量不超过25个，甲、乙两种商品
的售价分别是12元 个和15元 个，将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超
过380元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？
4．（25-26八年级上·重庆·期末）小渝是一名建筑设计师，受甲方委托，负责为一栋建筑设计窗户．设计
方案结合了平开窗和推拉窗两种形式．已确认项目总预算为14800元，其中推拉窗每平方米单价为平开窗
的 倍．若将10000元用于采购平开窗，余下资金全部用于购买推拉窗，则所购平开窗的面积将比推拉窗
面积多出15平方米．
(1)请分别求出平开窗和推拉窗的单价；
(2)设计过程中，甲方进一步提出：窗户全部按整数平方米分配，且用于推拉窗的资金不低于4000元．如
果窗户规划总计为35平方米，那么在总费用不超出预算的前提下，小渝共有哪几种可行的设计方案？
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学科网（北京）股份有限公司5．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）中秋节前，某超市第一次购进A，B两种月饼礼盒共100个，上市一
周，全部售空，两种礼盒共获利4600元．如表列出了两种礼盒的进价与售价：
进价（元/个） 售价（元/个）
A礼盒 150 220
B礼盒 100 140
(1)根据上表，求该超市第一次购进A，B礼盒各多少个；
(2)根据第一次的销售情况，该超市决定第二次购进A，B两种礼盒共100个，两种礼盒的进价均不变．由
于A礼盒特别畅销，超市计划比第一次多购进A礼盒m个，A礼盒的售价比第一次的售价提高20元，B礼
盒的售价也比第一次的售价提高 、在第二次购进的礼盒全部售空情况下，使得第二次的总利润至少比
第一次的总利润多2060元，且第二次购进礼盒总成本不超过12100元时，请通过计算说明该超市有几种进
货方案？
6．（25-26八年级上·甘肃·期末）某校为开展“阳光体育”活动，计划购买一批篮球和足球．已知购买2
个篮球和3个足球共需380元；购买4个篮球和1个足球共需440元．
(1)求每个篮球和每个足球的售价；
(2)若学校计划用不超过2600元的资金购买篮球和足球共30个，且篮球数量不少于足球数量的2倍，请问
有哪几种购买方案？
7．（2025八年级上·重庆·专题练习）为了更好地开展阳光体育活动，某校计划购买一批排球．已知购买4
个甲品牌排球的费用与购买3个乙品牌排球的费用相同，学校首次购买甲品牌排球20个、乙品牌排球30
个共花费3600元．
(1)求甲、乙两品牌排球的单价；
(2)因排球运动受到学生们的欢迎，根据需要，学校决定再次购买甲、乙两品牌排球共50个，正逢商场举
行促销活动，甲品牌排球每个优惠4元，乙品牌排球每个打8折．如果要求购买甲乙两品牌50个排球的总
费用不超过2960元，且购买乙品牌排球的数量不少于甲品牌排球数量的 ，则有哪几种购买方案？最少需
要多少费用？
题型八 不等式组的阶梯收费问题
1．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）大连地铁票收费标准如下：
不超过 ，2元 人次；超过 到 （含）， 元/人次；
超过 到 （含），4元/人次；
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学科网（北京）股份有限公司超过 到 （含），5元/人次；
超过 到 （含），6元/人次；
超过 到 （含），7元/人次；
超过 到 （含），8元/人次；
超过 部分，票价每增加 元可再乘坐 ．
一位乘客单次乘坐地铁购票花费了 元，设他乘坐地铁的里程为 ，用不等式表示 的范围为 ．
2．（24-25七年级下·山东临沂·期末）某市地铁票收费标准如下：不超过6 3元；超过6 到12
（含）4元；超过12 到22 （含）5元；超过22 到32 （含）6元；超过32 部分，每增加1
元可再乘坐20 ．一位乘客单次乘坐地铁购票花费了9元，设他乘坐地铁的里程为 ，用不等式表示
x的范围 ．
3．（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，在我们的生活中，经常见到共享自助洗车．它的收费
标准如下：洗车13分钟内（包括13分钟）收费6元，超出后加收 元/分钟，不足一分钟按一分钟计算．
某同学的爸爸洗车花费了 元，请你写出洗车的时间 的范围（单位：分钟） ．
题型九 不等式组的其他应用
1．（25-26八年级上·内蒙古呼伦贝尔·月考）三角形的三边分别是 ， ， ，则 的取值范围
．
2．（2025·四川绵阳·中考真题）某学校摄影社到商场购买A，B两种不同型号的相册，商场的销售方式为
以下两种：
①一次性购买 型相册不超过20本，按照零售价销售；超过20本时，超过部分每本的价格比零售价低6
元销售．
②一次性购买 型相册不超过15本，按照零售价销售；超过15本时，超过部分每本的价格比零售价低4
元销售．
若购买30本 型相册和10本 型相册，共需支付2240元；若购买20本 型相册和40本 型相册，共需
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学科网（北京）股份有限公司支付3100元．
(1)这家商场A，B型相册每本的零售价分别是多少元？
(2)若该社团计划购买 型和 型相册共15本，要求 型相册数量大于或等于 型相册数量的2倍，且总费
用不超过870元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案．
3．（2026八年级下·全国·专题练习）已知甲、乙两果园预计今年水蜜桃的产量分别为 和 ，打算
成熟后运到 ， 两个仓库存放． 仓库可储存 ， 仓库可储存 ．甲、乙两果园运往两仓库的运
费价格如下表：
甲 乙
140元/
仓库 150元/
仓库 200元/ 180元/
设从甲果园运往 仓库的水蜜桃为 ，甲、乙两果园运往两仓库的水蜜桃的运输费用分别为 （单位：
元）和 （单位：元）．
(1)求 ， 关于 的函数解析式．
(2)甲果园预计今年拿出不超过36000元的费用作为运费，乙果园预计今年拿出不超过50000元的费用作为
运费．在这种情况下，甲果园运往 仓库的水蜜桃为多少吨时，能使两果园的运费之和最小？最小是多少？
4．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）2023年4月23日是世界第28个读书日，为培养学生的阅读兴趣，
某校准备购进甲、乙两种图书．经调查，甲种图书费用y（元）与购进本数x（本）之间的函数关系如图所
示，乙种图书每本25元．
(1)当 时，求y与x之间的函数关系式；
(2)①若只购买80本甲种图书，则需费用______元；
②学校准备购进400本图书，且两种图书均不少于100本，如何购买，才能使总费用最少？最少总费用多
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学科网（北京）股份有限公司少元？
题型一 一元一次不等式组的综合应用
1．（25-26七年级上·陕西西安·开学考试）甲组同学每人有28个核桃，乙组同学每人有30个核桃，丙组
同学每人有31个核桃，三组的核桃总数是365个，则丙组有 名同学．
2．（25-26九年级上·重庆万州·期中）如果一个四位自然数 的各数位上的数字均不为0，满足
，那么称这个四位数为“天天向上数”．例如：四位数2129，∵ ，
∴2129是“天天向上数”：如3465，∵ ，∴3465不是“天天向上数”．若一个“天天
向上数”为 ，则此时 ；若一个“天天向上数”的前三个数字组成的三位数 与后三位
数字组成的三位数 的和能被13整除，则满足条件“天天向上数”的最大值为 ．
3．（2024·天津·模拟预测）已知关于 x的不等式组 有解， 求 a的取值范围．
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