文档内容
第一篇 热点、难点突破篇
专题 13 数列的通项与数列的求和（练）
【对点演练】
一、单选题
1．（2022·四川宜宾·统考模拟预测）南宋数学家杨辉给出了著名的三角垛公式：
，则数列 的前 项和为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022秋·浙江金华·高三期末）1883年，德国数学家康托提出了三分康托集，亦称康托尔集.下图是其构造
过程的图示，其详细构造过程可用文字描述为：第一步，把闭区间 平均分成三段，去掉中间的一段，剩
下两个闭区间 和 ；第二步，将剩下的两个闭区间分别平均分为三段，各自去掉中间的一段，剩下四
段闭区间： ， ， ， ；如此不断的构造下去，最后剩下的各个区间段就构成了三分康托
集.若经历 步构造后，所有去掉的区间长度和为（ ） （注： 或 或 或 的区间长度均为
）
A． B． C． D．
3．（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）中国古代的武成王庙是专门祭祀姜太公以及历代良臣名将的
庙宇，这类庙宇的顶部构造颇有讲究.如图是某武成王庙顶部的剖面直观图，其中 ， ，，且数列 是第二项为 的等差数列.若以 为坐标原点，以 ，
分别为 ， 轴正方向建立平面直角坐标系，则直线 的斜率为（ ）
A．0.4 B．0.45 C．0.5 D．0.55
4．（2022秋·北京·高三统考阶段练习）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在中国南宋
数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中.如图，若在“杨辉三角”中从第2行右边的1开始按
“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则此数列的前20项的和
为（ ）
A．350 B．295 C．285 D．230
二、多选题
5．（2022秋·吉林·高三东北师大附中校考阶段练习）十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明
的.明万历十二年（公元1584年），他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论.十二平均律的数学意义是：
在1和2之间插入11个数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，记插入的11个数之和为M，则
依此规则，下列结论正确的有（ ）
A． B．该等比数列的公比为
C．插入的第9个数是插入的第5个数的 倍D．
三、填空题
6．（2022秋·湖北·高三校联考期中）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作 孙子算经 卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五
数之剩三，七七数之剩二，问物几何 现有这样一个相关的问题：被 除余 且被 除余 的正整数按照从小到
大的顺序排成一列，构成数列 ，记数列 的前 项和为 ，则 的最小值为__________．
四、解答题
7．（2022·上海浦东新·统考一模）已知数列 是公差不为0的等差数列， ，且 ， ， 成等比数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)求当n为何值时，数列 的前n项和 取得最大值.
8．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知数列 满足
.
(1)令 ，求证：数列 为等差数列，并求 ;
(2)记 ，求数列 的前 项和 .
9．（2022秋·江苏苏州·高三统考阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，且 ，数列 满足
,且 .
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)设数列 满足 ，求数列 的前 项和 .
10．（2022秋·河南·高三洛阳市第一高级中学校联考阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，且
，递增的等比数列 满足： .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 的前 项和分别为 ，求 .【冲刺提升】
解答题
1．（2023·全国·高三专题练习）数列 满足 ，点 在直线 ，设数列 的前n项
和为 ，且满 ， ．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)是否存在 ，使得对任意的 ，都有 ．
2．（2022秋·安徽·高三校联考阶段练习）已知数列 各项均为正数，且
.
(1)求 的通项公式；
(2)记数列 的前 项和为 ，求 的取值范围.
3．（2022·四川资阳·统考二模）已知 为等差数列，且 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足： ， 的前n项和为 ，求 成立的n的最大值.
4．（2022秋·江苏徐州·高三期末）设 为数列 的前 项和， ， ， 成等差数列．
(1)求 的通项公式；
(2)证明： ．5．（2022·全国·高三校联考阶段练习）已知各项均为正数的等差数列 的前n项和为 ，4是 , 的等比
中项,且 .
(1)求 的通项公式；
(2)设数列 的前n项和为 ，试比较 与 的大小，并说明理由.
6．（2022秋·北京·高三北京八十中校考期末）已知数列 满足 ，
，数列 的前 项和记为 .
(1)写出 的最大值和最小值；
(2)若 ，求 的值；
(3)是否存在数列 ，使得 ？如果存在，写出此时 的值；如果不存在，说明理由.
7．（2022秋·河南·高三校联考阶段练习）在正项数列 中， ， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)若数列 满足 ， ，且 ，设数列 的前n项和为 ，证明：
．
8．（2022秋·上海黄浦·高三校考阶段练习）已知数列 和 有 ， ，而数列
的前 项和 ．
(1)求数列 的通项公式；(2)证明数列 为等比数列，其中 ；
(3)如果 ，试证明数列 的单调性．
9．（2022秋·广西南宁·高三统考阶段练习）已知数列 满足 ，且 ．
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)记 的前 项和为 ，若 ，均有 ，求实数 的最小值．
10．（2022·四川遂宁·四川省遂宁市第二中学校校考一模）已知数列 的前 项和为 ， 且
， __________．请在 成等比数列; ， 这三个条件中任选一个补充在上
面题干中， 并解答下面问题．
(1)求数列 的通项公式;
(2)设数列 的前 项和 ， 求证： ．
11．（2022秋·河南·高三信阳高中校联考期末）已知各项均为正数的数列 的前n项和为 ， ，且
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，且数列 的前n项和为 ，求证： .
12．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前n项和为 ，且 ．
(1)令 ，求数列 的前n项和 ；(2)设 ，是否存在实数 使得对于任意的 ，恒有 ？若存在，求出 的
取值范围；若不存在，请说明理由．
