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第 04 讲 数列求和
一、单选题
1．在数列 中， ， ，则数列 的前 项
和 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由等差数列求和公式可整理得到 ，进而可得 ，采用裂项相消法可求得 .
【详解】 ，
，
.故选：A.
2．已知函数 为奇函数，且 ，若 ，则数列 的前
2022项和为（ ）
A．2023 B．2022 C．2021 D．2020
【答案】B
【分析】由 为奇函数，可得 ，再由 ，得
，然后利用倒序相加法可求得结果.
【详解】由于函数 为奇函数，则 ，
即 ，所以 ，
所以 ，
所以因此数列 的前2022项和为 ．故选：B.
3．如图1所示，古筝有多根弦，每根弦下有一个雁柱，雁柱用于调整音高和音质.图2是根
据图1绘制的古筝弦及其雁柱的简易平面图.在图2中，每根弦都垂直于x轴，相邻两根弦
间的距离为1，雁柱所在曲线的方程为 ，第n根弦（ ，从左数第1根弦在y轴
上，称为第0根弦）分别与雁柱曲线和直线 交于点 （ ， ）和 （ ，
），则 ( )
参考数据：取 .
A．814 B．900 C．914 D．1000
【答案】C
【分析】求出 ，用错位相减法求和即可.
【详解】由条件可得 ①，
所以 ②，
－②得：
，
，
所以 .故选：C.
4．已知数列 满足 ，数列 的前 项和为 ，则下列
结论错误的是（ ）
A． 的值为2
B．数列 的通项公式为C．数列 为递减数列
D．
【答案】B
【分析】利用 与 的关系可求数列的通项公式，利用 可判断单调性，利用错位
相减法求 .
【详解】当 时， ，∴ ，故A正确；
当 时， ，
∴ ，
∴ ，∵上式对 也成立，∴ （ ），故B错误；
∵ ，
∴数列 为递减数列，故C正确；
∵ ，
∴ ，
两式相减得， ，
∴ ，故D正确．故选：B．
5．已知数列 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由 利用裂项相消求和可得答案.
【详解】因为 ，所以 ，所以．
故选：D.
6．已知数列 满足 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由 再利用裂项相消求和可得答案.
【详解】因为 ，所以 ，即
，
则
.
所以
当 时， 上式成立，故 .故选：C.
7．已知数列 是递增的等差数列， 是 与 的等比中项，且 .若
，则数列 的前 项和 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】因为 是递增的等差数列，所以先假设 ，接着利用题意得到 的方程
组，解出 的值，就可以得到 的通项公式，然后代入 ，进而求出 的前 项和
【详解】因为数列 是递增的等差数列，所以数列 的公差 .
由题意得 即解得 或 （舍去）.所以 .
所以 .所以
故选：A.
二、填空题
8．已知数列 的通项公式 为数列 的前n项和，则
___________．
【答案】
【分析】根据裂项求和即可求解.
【详解】由题知： ，所以
，
故答案为：
9．数列 的前 项和 ___________.
【答案】
【分析】利用分组求和法，结合等差数列、等比数列前n项和公式求解作答.
【详解】依题意， .
故答案为：
10．数列 满足 ，前16项和为540，则 __．
【答案】-2
【分析】分 为奇数与偶数两种情况，分别求得前16项中奇数项和偶数项的和，再根据偶
数项与 的关系求解即可
【详解】因为数列 满足 ，
当 为奇数时， ，
所以 ， ， ， ，
则 ，
当 为偶数时， ，
所以 ， ， ， ， ， ，，
故 ， ， ， ， ， ， ，
因为前16项和为540，
所以 ，
所以 ，解得 ．故答案为： ．
三、解答题
11．已知数列 满足 ，设 .
(1)证明： 是等比数列；
(2)求 .
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先求出 ，对 两边同时加1，化简可得结论，
（2）由（1）可得 ，然后利用分组求和可求得结果.
（1）证明：当 时， ，则
从而由 ，得 ，又 ，
所以 是以2为首项，2为公比的等比数列.
（2）由（1）得 ，
所以
12．已知单调递减的正项数列 ， 时满足
． 为 前n项和．
(1)求 的通项公式；
(2)证明： .
【答案】(1)
(2)证明见解析【分析】（1）通过分组分解法化简已知条件，然后构造等差数列 ，求得 的通项
公式，进而求得 的通项公式.
（2）结合分析法、裂项求和法证得不等式成立.
（1）由 ，
得 ，
即 ，
由 是单调递减的正项数列，得 ，
则 ，即 ，
故 是以 为首项，1为公差的等差数列，
则 ，即 .
（2）要证： ，
只需证： ，
即证： ，
即证： ，
即证： ，
即证： ，
即证： ，
而此不等式显然成立，
所以 成立.
13．已知数列 的前 项和为 ，点 在曲线 上．
(1)证明：数列 为等差数列；
(2)设 ，求数列 的前 项和．【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由 即可求出数列 的通项公式，再证明 即
可；
（2）可利用分组求和法求数列 的前 项和.
（1）因为点 在曲线 上，
所以 ， ．
当 时， ；
当 时， ，
当 时上式也成立，
所以数列 的通项公式为 ，
，
所以数列 为等差数列．
（2）由（1）知， ， ，
故数列 的前 项和
．
14．已知数列 的前 项和为 ，且 ， ，数列 满足
，其中 .
(1)分别求数列 和 的通项公式；
(2)在 与 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，求数列
的前 项和
【答案】(1) ，
(2)【分析】（1）由 可得 ，两式作差即可得数列 的递推
关系，即可求通项，最后验证 是否符合即可；数列 利用累乘法即可求，最后验证
是否符合即可；
（2）由题，由等差数列的性质得 ，即可求出 的通项公式，最后利用错
位相减法求 即可
（1）
由 可得 ，
两式相减可得 ，故数列 从第3项开始是以首项为 ，公比 的等比
数列.
又由已知 ，令 ，得 ，即 ，得 ，故
；
又 也满足上式，则数列 的通项公式为 ；
由 ， 得： ，
以上 个式子相乘，可得 ， ，
又 满足上式，所以 的通项公式
（2）若在 与 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，
则 ，即为 ，
整理得 ，所以 ，
，
两式相减得： ，
所
一、单选题1．各项都不为0的数列 的前 项和 满足 其中 数列 的前
项和为 若 恒成立，则 的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．20
【答案】D
【分析】先由题给条件求得数列 的通项公式，再利用裂项相消法求得数列 的
前 项和 ，再由 恒成立构造关于 的不等式，即可求得 的最小值
【详解】数列 的前 项和 满足
则 时， ，则
又数列 的各项都不为0，则
又由 ，可得
则数列 的奇数项是以1为首项公差为2的等差数列，
数列 的偶数项是以2为首项公差为2的等差数列，
则数列 的通项公式为
则
则数列 的前 项和
又 ，即 恒成立，则 恒成立
又当 时 的最大值为20，则 故选：D
2．已知数列 的前n项和为 ，且 ， ，则数列 的前
2021项的和为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由 得 ，两式相减可得数列 的规律，
由此可求 的通项公式，从而求出其前n项和 ，根据 通项公式的特征，采用裂
项相消法即可求出结果．【详解】∵ ， (*)，
∴ ，解得 ．
，∴ ，
两式相减，得 ，
数列 的奇数项与偶数项均为公差为4的等差数列，
当 为偶数时， ．
当 为奇数时， 为偶数，∴根据上式和(*)知 ，
数列 的通项公式是 ，
易知 是以2为首项，2为公差的等差数列，
故 ， ，
设 的前n项和为 ，
则 ．故选：A．
3．斐波那契数列因以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.此数列在现代物理､
准晶体结构､化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列 可以用如下方法定义：
，且 ，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列 ，则数
列 的前2022项和为（ ）
A．2698 B．2697 C．2696 D．2695
【答案】C
【分析】根据 , 递推得到数列 ,然后再得到数列
是以6为周期的周期数列求解.
【详解】因为
所以数列 为
此数列各项除以 4 的余数依次构成的数列 为:
是以 6 为周期的周期数列,
所以 . 故选：C.4．已知数列 满足 ， ，记数列 的前n项和
为 ，若对于任意 ，不等式 恒成立，则实数k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知得 ，根据等比数列的定义得数列 是首项为 ，公比
为 的等比数列，由此求得 ，然后利用裂项求和法求得 ，进而求得 的取值范围.
【详解】解：依题意 ，当 时， ，则 ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列， ，即 ，
所以 ，
所以
，所以 的取值范围是 .故选：C.
5．记数列 中不超过正整数n的项的个数为 ，设数列 的前n项的和为 ，则
等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先由定义判断出当 时， ，再变形得到
，
再按照错位相减法求和，即可求解
【详解】 ，
当 时， ，
所以
，
记 ， ，两式相减得 ，
化简得 ，所以 ．故选：B.
6．已知 ，数列1，1，2，1，1，2，4，2，1，1，2，4，8，4，2，1，···，1，2，
4，···， ， ，···，2，1，···的前 项和为 ，若 ，则 的最小值为（ ）
A．81 B．90 C．100 D．2021
【答案】B
【分析】将数列排成杨辉三角的形式，得到各行所有数的项及其和的通项公式，再求前i
行的数的和求解.
【详解】依题意，把数列排列成如下所示的形式：
第1行 1
第2行 1，2，1
第3行 1，2，4，2，1
第4行 1，2，4，8，4，2，1
… …
第 行 1，2，4，…， ，…，4，2，1
可知此数列第1行有1项，第2行有3项，第3行有5项，…，第 行有 项，
前 行共有 项．
设第 行的 个数的和为 ，
则 ．
则前 行的和 ，
，
，
所以 ， ．
又 ，
， ，
所以 的最小值为90．故选：B
7．已知函数 ，数列 满足 ，数列 的前
项和为 ，若 ，使得 恒成立，则 的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A【分析】根据递推关系式求出 ，再求和后即可求解.
【详解】函数 ，数列 满足 ，
，
，
，
，
，
，
，且 ，可知数列 为递增数列，
所以 ，因此 ，
， ，使得 恒成立
整数 的最小值是2，故选：A
二、填空题
8．数列 满足 ， ，则 前40项和为________．
【答案】
【分析】根据题设中的递推关系可得 、 ，利用
分组求和可求 前40项和，
【详解】当 时， ，
故
，
当 时， ，
所以 ，
所以 ，当 时， ；
当 时，
；
当 时，
；
当 时，
；
故
，
故 前40项和为 ，
故答案为：
9．已知数列 的前n项和为 ，且 ，设函数 ，
则 ______．
【答案】 ##
【分析】根据 可求 ，从而可求 .易验证 ，故可
采用倒序相加法求题设式子的值．
【详解】∵ ①，
∴当 时， ②，
①－②得 ，∴ ；
当 时， ，∴ ，此时 仍然成立，∴ ．
∴当n=1时， ；
当 时， ，
当n=1时，上式也成立，故 ．
由于 ，
设
则
，
∴ ．
故答案为： ．
三、解答题
10．从条件① ，② ，③ ，中任选
一个，补充到下面问题中，并给出解答.
已知数列 的前 项和为 ，___________.
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，记数列 的前 项和为 ，是否存在正整数 使得 .
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）若选择①，根据数列递推式可得到 为常数列，从而求得 ；
若选择②，根据数列递推式可得 ，从而得 ，利用等差数
列通项公式可求得 ；
若选择③，由 变形得， ，可得 ，
从而求得 ，继而可求 ；（2）若选择①或②，可得 ，利用错位相减法可求得答案;
若选择③，可得 ，利用错位相减法可求得答案;
（1）
若选择①，因为 ，所以 ，
两式相减得 ，整理得 ,
即 ，所以 为常数列，而 ，所以 ；
若选择②，因为 ，所以 ，
两式相减 ，
得 ，
因为 ，
所以 是等差数列，所以 ；
若选择③，由 变形得， ，
所以 ，
由题意知 ，所以 ，所以 为等差数列，
又 ，所以 ，
又 时， 也满足上式，所以 ；
（2）
若选择①或②， ，
所以
所以 ，
两式相减得
，则 ，故要使得 ，即 ，整理得， ，
当 时， ，所以不存在 ，使得 .
若选择③，依题意， ，
所以 ，
故 ，
两式相减得：
，则 ，令 ，则 ，
即 ，令 ，则 ，
当 时， ，
又 ，故 ，
综上，使得 成立的最小正整数 的值为5.
11．设数列 满足：对任意正整数n，有 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将 改写成 形式，利用类似
与 的关系来处理；
（2）使用错位相减法求和.
（1）当n＝1，得 ．
当 时， ，得 ，即 ，
又 也满足上式，
所以 的通项公式为 ．
（2）由（1）及 ，得 ．因此
，①
，②
①－②得 ，
化简得 .
12．已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，当 时，
.
(1)计算： ， ；
(2)证明 为等差数列，并求数列 的通项公式；
(3)设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1) ；
(2)证明见解析，
(3)
【分析】（1）利用特值法可得 ， ；
（2）构造数列 ，即可得证，进而可得 ，再利用退一相减法可得数列 的通
项公式；
（3）由（2）得 ，利用裂项相消法，可得数列的
前 项和.（1）
令 ，得 ，又 ，所以 ；
令 ，得 ，又 ；
（2）
因为当 时， ，
所以 ，
所以数列 为等差数列，首项为 ，公差为 ，
所以 ，
所以 ，
于是，当 时，
，
当 时， ，满足上式，
故 ；
（3）因为 ，则 ，
于是，
.
13．已知数列 各项都是正数， ，对任意n∈N*都有 ．
数列 满足 ， （n∈N*）．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)数列 满足cn＝ ，数列 的前n项和为 ，若不等式 对一切
n∈N*恒成立，求 的取值范围．
【答案】(1) ，n∈N*；(2)
【分析】（1）由数列的递推式，结合等比数列和等差数列的定义、通项公式，可得所求；
（2）由等比数列的求和公式和数列的错位相减法求和，以及不等式恒成立思想，结合数列
的单调性，计算可得所求范围．
（1）
数列 各项都是正数， ，对任意n∈N*都有 ，①
当 时， ，②
①﹣②可得 ，
因为数列 各项都是正数，
所以可化为 ，
因为 ，
所以 ，所以 ，
所以数列 是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以 ，n∈N*；
数列 满足 ， （n∈N*），
可得 ，
当 时， ，又 ，
两式相减可得 ，
所以 的奇数项和偶数项均为公差为2的等差数列，
可得奇数项为1，3，5，7，...，2n﹣1，...，偶数项为2，4，6，...，2n，...，
所以 ；
（2）
因为 ，
所以 ，
所以两式相减可得
化为 ，
若不等式 对一切n∈N*恒成立，
即为 恒成立，
设 ，
﹣1＝ ﹣1＝ ﹣1＝ ，
当 时， ，当 时， ，
所以 时， 取得最大值 ，
则﹣9 ，解得 ﹣ ，
即λ的取值范围是 ．
14．已知等比数列 的各项均为正数， ， ， 成等差数列，且满足 ，数
列 的前 项之积为 ，且 ．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)设 ，若数列 的前 项和 ，证明： ．
【答案】(1) ，
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意求得等比数列 的公比和首项，可得其通项公式，由数列 的
前 项之积为 可得 ，结合 可得即 ，从而
是以2为公差的等差数列，求得答案；（2）利用列项求和法可求得数列 的前 项和 的表达式，结合数列的单调性，即可
证明结论.
(1)设等比数列 的公比为 ， ,
∵ ， ， 成等差数列，∴ ，∴ ，
化为： ， ，解得 ．
又满足 ，∴ ，即 ，解得 ,∴ ，
∵数列 的前 项之积为 ，∴ ，
∴ ，
即 ，∴ 是以2为公差的等差数列．
又 ，即 ，所以
(2) ,
所以数列 的前 项和证明：
，
，
则 ，又 ， 随着n的增大而增大，故
所以 ．
一、单选题
1．（2021·浙江·高考真题）已知数列 满足 .记数列 的前
n项和为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】显然可知， ，利用倒数法得到 ，再放缩
可得 ，由累加法可得 ，进而由 局部放缩可得
，然后利用累乘法求得 ，最后根据裂项相消法即可得到 ，
从而得解．
【详解】因为 ，所以 ， ．
由
，即
根据累加法可得， ，当且仅当 时取等号，
，
由累乘法可得 ，当且仅当 时取等号，
由裂项求和法得：
所以 ，即 ．
故选：A．
2．（2020·江苏·高考真题）设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．
已知数列{an+bn}的前n项和 ，则d+q的值是_______．
【答案】
【分析】结合等差数列和等比数列前 项和公式的特点，分别求得 的公差和公比，
由此求得 .
【详解】设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，根据题意 .
等差数列 的前 项和公式为 ，
等比数列 的前 项和公式为 ，依题意 ，即 ，
通过对比系数可知 ，故 .故答案为：
三、解答题
3．（2022·天津·高考真题）设 是等差数列， 是等比数列，且
．
(1)求 与 的通项公式；
(2)设 的前n项和为 ，求证： ；
(3)求 ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用等差等比数列的通项公式进行基本量运算即可得解；
（2）由等比数列的性质及通项与前n项和的关系结合分析法即可得证；
（3）先求得 ，进而由并项求和可得
，再结合错位相减法可得解.
（1）
设 公差为d， 公比为 ，则 ，
由 可得 （ 舍去），
所以 ；
（2）
证明：因为 所以要证 ，
即证 ，即证 ，
即证 ，而 显然成立，所以 ；
（3）
因为
，
所以
，
设
所以 ，
则 ，
作差得
，
所以 ，
所以 .
4．（2022·全国·高考真题）记 为数列 的前n项和，已知 是公差为 的等
差数列．
(1)求 的通项公式；
(2)证明： ．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得 ，得到 ，
利用和与项的关系得到当 时， ,进而得：
，利用累乘法求得 ，检验对于 也成立，得到 的通项公式；
（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到 ，进而证得.
（1）∵ ，∴ ,∴ ,
又∵ 是公差为 的等差数列，
∴ ,∴ ,
∴当 时， ，
∴ ,
整理得： ,即 ,
∴
，
显然对于 也成立，
∴ 的通项公式 ；
（2）
∴
5．（2021·天津·高考真题）已知 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． 是公
比大于0的等比数列， ．
（I）求 和 的通项公式；
（II）记 ，
（i）证明 是等比数列；
（ii）证明【答案】（I） ， ；（II）（i）证明见解析；（ii）证明见解
析.
【分析】（I）由等差数列的求和公式运算可得 的通项，由等比数列的通项公式运算可
得 的通项公式；
（II）（i）运算可得 ，结合等比数列的定义即可得证；
（ii）放缩得 ，进而可得 ，结合错位相减法即可得证.
【详解】（I）因为 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．
所以 ，所以 ，
所以 ；
设等比数列 的公比为 ，
所以 ，解得 （负值舍去），
所以 ；
（II）（i）由题意， ，
所以 ，
所以 ，且 ，
所以数列 是等比数列；
（ii）由题意知， ，
所以 ，
所以 ，
设 ，
则 ，
两式相减得 ，所以 ，
所以 .
6．（2021·全国·高考真题（文））设 是首项为1的等比数列，数列 满足 ．
已知 ， ， 成等差数列．
（1）求 和 的通项公式；
（2）记 和 分别为 和 的前n项和．证明： ．
【答案】（1） ， ；（2）证明见解析.
【分析】（1）利用等差数列的性质及 得到 ，解方程即可；
（2）利用公式法、错位相减法分别求出 ，再作差比较即可.
【详解】（1）因为 是首项为1的等比数列且 ， ， 成等差数列，
所以 ，所以 ，
即 ，解得 ，所以 ，
所以 .
（2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和
，
，
．
设 ， ⑧
则 ． ⑨由⑧-⑨得 ．
所以 ．
因此 ．
故 ．
[方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法
证明：由（1）可得 ，
，①
，②
① ②得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
[方法三]：构造裂项法
由（Ⅰ）知 ，令 ，且 ，即
，
通过等式左右两边系数比对易得 ，所以 ．
则 ，下同方法二．[方法四]：导函数法
设 ，
由于 ，
则 ．
又 ，所以
，下同方法二．
7．（2011·全国·高考真题（理））等比数列 的各项均为正数，且
.
（1）求数列 的通项公式；
（2）设bn＝log a＋log a＋…＋log an，求数列 的前 项和 .
3 1 3 2 3
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）根据题意列出方程组，求出首项与公比，即可求出等比数列的通项公式即可；
（2）由an＝ 化简bn＝log a＋log a＋…＋log an，可得到bn的通项公式，求出 的通
3 1 3 2 3
项公式，利用裂项相消法求和.
【详解】（1）设数列{an}的公比为q,
由 ＝9aa 得 ＝9 ,
2 6
所以q2＝ .由条件可知q＞0,故q＝ .
由2a＋3a＝1得2a＋3aq＝1,所以a＝ .
1 2 1 1 1故数列{an}的通项公式为an＝ .
（2）bn＝log a＋log a＋…＋log an＝－（1＋2＋…＋n）＝－ .
3 1 3 2 3
故 .
所以数列 的前n项和为
8．（2020·天津·高考真题）已知 为等差数列， 为等比数列，
．
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）记 的前 项和为 ，求证： ；
（Ⅲ）对任意的正整数 ，设 求数列 的前 项和．
【答案】（Ⅰ） ， ；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ） .
【分析】(Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到
结果；
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得数列 前n项和，然后利用作差法证明即可；
(Ⅲ)分类讨论n为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减
求和计算 和 的值，据此进一步计算数列 的前2n项和即可.
【详解】(Ⅰ)设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为q.
由 ， ，可得d=1.
从而 的通项公式为 .
由 ，
又q≠0，可得 ，解得q=2，
从而 的通项公式为 .(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得 ，
故 ， ，
从而 ，
所以 .
(Ⅲ)当n为奇数时， ，
当n为偶数时， ，
对任意的正整数n，有 ，
和 ①
由①得 ②
由①②得 ，
由于 ，
从而得： .
因此， .
所以，数列 的前2n项和为 .
9．（2020·全国·高考真题（理））设数列{an}满足a=3， ．
1
（1）计算a，a，猜想{an}的通项公式并加以证明；
2 3
（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．
【答案】（1） ， ， ，证明见解析；（2） .
【分析】（1）方法一：（通性通法）利用递推公式得出 ，猜想得出 的通项公式，
利用数学归纳法证明即可；（2）方法一：（通性通法）根据通项公式的特征，由错位相减法求解即可．
【详解】（1）
［方法一］【最优解】：通性通法
由题意可得 ， ，由数列 的前三项可猜想数
列 是以 为首项，2为公差的等差数列，即 ．
证明如下：
当 时， 成立；
假设 时， 成立.
那么 时， 也成立.
则对任意的 ，都有 成立；
［方法二］：构造法
由题意可得 ， ．由 得 ．
，则 ，两式相减得 ．令
，且 ，所以 ，两边同时减去2，得 ，且
，所以 ，即 ，又 ，因此 是首项为3，公差为2
的等差数列，所以 ．
［方法三］：累加法
由题意可得 ， ．
由 得 ，即 ， ，……
．以上各式等号两边相加得
，所以 ．所以 ．
当 时也符合上式．综上所述， ．
［方法四］：构造法
，猜想 ．由于 ，所以可设
，其中 为常数．整理得 ．故
，解得 ．所以
．又 ，所以 是各
项均为0的常数列，故 ，即 ．（2）由（1）可知，
［方法一］：错位相减法
，①
，②
由① ②得：
，
即 .
［方法二］【最优解】：裂项相消法
，所以
．
［方法三］：构造法
当 时， ，设 ，即
，则 ，解得 ．
所以 ，即 为常数列，而
，所以 ．
故 ．
［方法四］：
因为 ，令 ，则
，
，
所以 ．
故 ．
10．（2020·全国·高考真题（理））设 是公比不为1的等比数列， 为 ， 的等差
中项．
（1）求 的公比；（2）若 ，求数列 的前 项和．
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）由已知结合等差中项关系，建立公比 的方程，求解即可得出结论；
（2）由（1）结合条件得出 的通项，根据 的通项公式特征，用错位相减法，即可
求出结论.
【详解】（1）设 的公比为 ， 为 的等差中项，
，
；
（2）设 的前 项和为 ， ，
，①
，②
① ②得，
，
.
11．（2019·天津·高考真题（理））设 是等差数列， 是等比数列.已知
.
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 满足 其中 .
（i）求数列 的通项公式；
（ii）求 .
【答案】（Ⅰ） ； （Ⅱ）（i） （ii）
【分析】(Ⅰ)由题意首先求得公比和公差，然后确定数列的通项公式即可；
(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论可得数列 的通项公式，结合所得的通项公式对所求的数列通项公式进行等价变形，结合等比数列前n项和公式可得 的值.
【详解】(Ⅰ)设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 .
依题意得 ，解得 ，
故 ， .
所以， 的通项公式为 ， 的通项公式为 .
(Ⅱ)(i) .
所以，数列 的通项公式为 .
(ii)
.
12．（2019·天津·高考真题（文）） 设 是等差数列， 是等比数列，公比大于 ，
已知 ， ， .
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 满足 求 .
【答案】（I） ， ；
（II）
【分析】（I）首先设出等差数列的公差，等比数列的公比，根据题意，列出方程组，求得
，进而求得等差数列和等比数列的通项公式；
（II）根据题中所给的 所满足的条件，将 表示出来，之后应用分组
求和法，结合等差数列的求和公式，以及错位相减法求和，最后求得结果.
【详解】（I）解：设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，依题意，得 ，解得 ，
故 ， ，
所以， 的通项公式为 ， 的通项公式为 ；
（II）
，
记 ①
则 ②
② ①得， ，
所以
.
四、双空题
13．（2021·全国·高考真题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的
某条对称轴把纸对折，规格为 的长方形纸，对折1次共可以得到 ，
两种规格的图形，它们的面积之和 ，对折2次共可以得到
， ， 三种规格的图形，它们的面积之和 ，以
此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折 次，那么
______ .
【答案】 5
【分析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得 ，再根据错位相减法得结果.
【详解】（1）由对折2次共可以得到 ， ， 三种规格的
图形，所以对着三次的结果有： ，共4种不同规格（单位 ；
故对折4次可得到如下规格： ， ， ， ， ，共5种不同规格；
（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积成公比为 的等比数列，首项为120 ,第n次对折后的图形面积为
，对于第n此对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为
种（证明从略），故得猜想 ，
设 ，
则 ，
两式作差得：
，
因此， .
故答案为： ； .
