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第 17 讲 数列的通项、求和及数列不等式的证明
真题展示
2022 新高考一卷第 17 题
记 为数列 的前 项和，已知 ， 是公差为 的等差数列．
（1）求 的通项公式；
（2）证明： ．
【思路分析】（1）直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式；
（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法的应用求出数列的和，进一步
利用放缩法的应用求出结果．
【解析】（1）解：【解法一】(隔项累乘法)：已知 ， 是公差为 的等差
数列，
所以 ，整理得 ，①，
故当 时， ，②，
① ②得： ，
故 ，
化简得： ， ， ， ， ， ， ；
所以 ，
故 （首项符合通项）．所以 ．
【解法二】(王安寓补解)(相邻累乘)：仿法一得 ,
∴ =1× = ,
显然 n=1时 =1适合上式，故 = .
【解法三】(王安寓补解)(构造常数列)：仿法一得(n−1) =(n+1) ,
即 n(n−1) =(n+1)n , ,故{ }是常数列，∴ = ，∴ = .
（2）证明：由于 ，
所以 ，
所以 ．
【试题评价】本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求
法，数列的求和，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力
和数学思维能力，属于中档题．
试题亮点
试题以考生熟悉的等差数列为载体而设计，但不是通常的给定等差数列求通
项、求和等常规操作，而是将等差数列的性质融合在前n项和与通项的关系之
中，特别是第（2）问中的数列的求和运算涉及裂项相消．试题源于教材、其创
新思想又高于教材，充分体现高考的选拔功能.试题对高中数学教学具有指导作
用，要求考生在强化基本功的同时，加强对知识的灵活运用，形成学科素养.
知识要点整理
数列求和问题
数列求和是数列问题中的基本题型，是数列部分的重点内容，在高考中也占据重要地位，它具有复杂
多变、综合性强、解法灵活等特点．数列求和的方法主要有公式法、分组转化法、倒序相加法、错位相减
法、裂项相消法、并项求和法等．
一、公式法求和
例1 求数列1,3＋5,7＋9＋11,13＋15＋17＋19，…的前n项和．
解 所求数列的前n项中共有1＋2＋3＋4＋…＋n＝个连续的奇数，这些奇数组成等差数列，首项为1，公
差为2，故该数列的前n项和
S＝×1＋×××2
n
＝＋
＝2＝.
反思感悟 公式法求和中的常用公式有
(1)等差、等比数列的前n项和
①等差数列：S＝na＋d(d为公差)或S＝.
n 1 n
②等比数列：S＝其中q为公比．
n
(2)四类特殊数列的前n项和
①1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)．
②1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.
③12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)．
④13＋23＋33＋…＋n3＝n2(n＋1)2.
二、分组转化法求和
例2 求和：S＝2＋2＋…＋2(x≠0)．
n
解 当x≠±1时，
S＝2＋2＋…＋2
n
＝＋＋…＋
＝(x2＋x4＋…＋x2n)＋2n＋
＝＋＋2n
＝＋2n；
当x＝±1时，S＝4n.
n
综上可知，
S＝
n
反思感悟 某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比
数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和．
三、倒序相加法求和
例3 设F(x)＝，求F＋F＋…＋F.
解 ∵F(x)＋F(1－x)＝＋＝1，
∴F＋F＝F＋F＝…＝1.
设F＋F＋…＋F＝S，
∴S＝×2S＝×2 020＝1 010.
反思感悟 (1)倒序相加法类比推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列(反
序)，再把它与原数列相加，就可以得到n个(a＋a)．
1 n
(2)如果一个数列{a}，首末两端等“距离”的两项的和相等，那么求其和可以用倒序相加法．
n
四、裂项相消法求和
例4 求和：＋＋＋…＋，n≥2，n∈N*.解 ∵＝＝，
∴原式＝＝
＝－(n≥2，n∈N*)．
延伸探究
求和：＋＋＋…＋，n≥2，n∈N*.
解 ∵＝＝1＋，
∴原式＝＋＋＋…＋
＝(n－1)＋
以下同例4解法．
∴原式＝ n－－(n≥2，n∈N*)
反思感悟 (1)对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列，在求和时常用“裂项法”，分式的求和多利用
此法，可用待定系数法对通项公式拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项．
(2)常见的拆项公式有
①＝－.
②＝.
③＝.
④＝－.
⑤＝.
五、错位相减法求和
例5 已知{a}是等比数列，{b}是等差数列，且a＝1，b＝3，a＋b＝7，a＋b＝11.
n n 1 1 2 2 3 3
(1)求数列{a}和{b}的通项公式；
n n
(2)设c＝，n∈N*，求数列{c}的前n项和T.
n n n
解 (1)设等比数列{a}的公比为q(q≠0)，等差数列{b}的公差为d，
n n
依题意有
即解得或(舍去)．
所以a＝2n－1，n∈N*，b＝3＋2(n－1)＝2n＋1，n∈N*.
n n
(2)由(1)得c＝＝，
n
所以T＝＋＋…＋，①
n
所以T＝＋＋…＋＋，②
n
由①－②，得T＝3＋2－＝3＋2×－＝5－，
n
所以T＝10－.
n
反思感悟 一般地，如果数列{a}是等差数列，{b}是等比数列，求数列{a·b}的前n项和时，可采用错位
n n n n
相减法求和，在写出“S”与“qS”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便于下一步准确写出
n n
“S－qS”的表达式．
n n六、并项求和法求和
例6 求和：S＝－1＋3－5＋7－…＋(－1)n(2n－1)．
n
解 当n为奇数时，
S＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋(－9＋11)＋…＋[(－2n＋5)＋(2n－3)]＋(－2n＋1)
n
＝2·＋(－2n＋1)＝－n.
当n为偶数时，
S＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋[(－2n＋3)＋(2n－1)]＝2·＝n.
n
∴S＝(－1)n·n (n∈N*)．
n
反思感悟 通项中含有(－1)n的数列求前n项和时可以考虑使用奇偶并项法，分项数为奇数和偶数分别进
行求和．
三年真题
1．设 是等差数列， 是等比数列，且 ．
(1)求 与 的通项公式；
(2)设 的前n项和为 ，求证： ；
(3)求 ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）设 公差为d， 公比为 ，则 ，
由 可得 （ 舍去），所以 ；
（2）证明：因为 所以要证 ，
即证 ，即证 ，
即证 ，
而 显然成立，所以 ；
（3）因为
，
所以
，
设
所以 ，
则 ，
作差得
，
所以 ，
所以 .2．已知 为等差数列， 是公比为2的等比数列，且 ．
(1)证明： ；
(2)求集合 中元素个数．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ．
【详解】（1）设数列 的公差为 ，所以， ，即可解得， ，所以
原命题得证．
（2）由（1）知， ，所以 ，即 ，亦即
，解得 ，所以满足等式的解 ，故集合
中的元素个数为 ．
3．已知等差数列 的首项 ，公差 ．记 的前n项和为 ．
(1)若 ，求 ；
(2)若对于每个 ，存在实数 ，使 成等比数列，求d的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
所以 ，又 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
（2）因为 ， ， 成等比数列，
所以 ，
，
，
由已知方程 的判别式大于等于0，
所以 ，
所以 对于任意的 恒成立，
所以 对于任意的 恒成立，
当 时， ，
当 时，由 ，可得
当 时， ，
又
所以
4．已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)当 时， ，求a的取值范围；(3)设 ，证明： ．
【答案】(1) 的减区间为 ，增区间为 .
(2)
(3)见解析
【详解】（1）当 时， ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
故 的减区间为 ，增区间为 .
（2）设 ，则 ，
又 ，设 ，
则 ，
若 ，则 ，
因为 为连续不间断函数，
故存在 ，使得 ，总有 ，
故 在 为增函数，故 ，
故 在 为增函数，故 ，与题设矛盾.
若 ，则 ，
下证：对任意 ，总有 成立，
证明：设 ，故 ，故 在 上为减函数，故 即 成立.
由上述不等式有 ，
故 总成立，即 在 上为减函数，
所以 .
当 时，有 ，
所以 在 上为减函数，所以 .
综上， .
（3）取 ，则 ，总有 成立，
令 ，则 ，
故 即 对任意的 恒成立.
所以对任意的 ，有 ，
整理得到： ，
故
，
故不等式成立.
【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处
导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式.
5．记 为数列 的前n项和．已知 ．
(1)证明： 是等差数列；(2)若 成等比数列，求 的最小值．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ．
【详解】（1）因为 ，即 ①，
当 时， ②，
① ②得， ，
即 ，
即 ，所以 ， 且 ，
所以 是以 为公差的等差数列．
（2）[方法一]：二次函数的性质
由（1）可得 ， ， ，
又 ， ， 成等比数列，所以 ，
即 ，解得 ，
所以 ，所以 ，
所以，当 或 时， ．
[方法二]：【最优解】邻项变号法
由（1）可得 ， ， ，
又 ， ， 成等比数列，所以 ，
即 ，解得 ，所以 ，即有 .
则当 或 时， ．
【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出 的最小值，适用于可以求出 的表达式；
法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．
6．已知 为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的 ，在Q中存在
，使得 ，则称Q为 连续可表数列．
(1)判断 是否为 连续可表数列？是否为 连续可表数列？说明理由；
(2)若 为 连续可表数列，求证：k的最小值为4；
(3)若 为 连续可表数列，且 ，求证： ．
【答案】(1)是 连续可表数列；不是 连续可表数列．
(2)证明见解析．
(3)证明见解析．
【详解】（1） ， ， ， ， ，所以 是 连续可表数列；易知，不存
在 使得 ，所以 不是 连续可表数列．
（2）若 ,设为 ,则至多 ，6个数字，没有 个，矛盾；
当 时,数列 ，满足 ， ， ， ， ， ，
， ， ．
（3） ，若 最多有 种，若 ，最多有 种，所以最多有 种，若 ，则 至多可表 个数，矛盾,
从而若 ,则 ， 至多可表 个数，
而 ，所以其中有负的，从而 可表1~20及那个负数（恰 21个），这表明
中仅一个负的，没有0，且这个负的在 中绝对值最小，同时 中没有两数相同,设那个负数为
，
则所有数之和 ， ，
，再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足 个，
（仅一种方式），
与2相邻，
若 不在两端,则 形式，
若 ，则 （有2种结果相同，方式矛盾），
， 同理 ，故 在一端，不妨为 形式，
若 ,则 （有2种结果相同，矛盾）， 同理不行，
，则 （有2种结果相同，矛盾），从而 ，
由于 ,由表法唯一知3,4不相邻,、
故只能 ，①或 ，②
这2种情形，
对①： ，矛盾，
对②： ，也矛盾，综上 ，
当 时，数列 满足题意，
．
【点睛】关键点睛，先理解题意，是否为 可表数列核心就是是否存在连续的几项（可以是一项）之和
能表示从 到 中间的任意一个值．本题第二问 时，通过和值可能个数否定 ；第三问先通过和值
的可能个数否定 ，再验证 时，数列中的几项如果符合必然是 的一个排序，可验证这组数不合题．
7．记 为数列 的前n项和，已知 是公差为 的等差数列．
(1)求 的通项公式；
(2)证明： ．
【答案】(1)
(2)见解析
【详解】（1）∵ ，∴ ,∴ ,
又∵ 是公差为 的等差数列，
∴ ,∴ ,
∴当 时， ，
∴ ,
整理得： ,
即 ,
∴
，显然对于 也成立，
∴ 的通项公式 ；
（2）
∴
8．已知 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． 是公比大于0的等比数列， ．
（I）求 和 的通项公式；
（II）记 ，
（i）证明 是等比数列；
（ii）证明
【答案】（I） ， ；（II）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
【详解】（I）因为 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．
所以 ，所以 ，
所以 ；
设等比数列 的公比为 ，
所以 ，解得 （负值舍去），
所以 ；
（II）（i）由题意， ，所以 ，
所以 ，且 ，
所以数列 是等比数列；
（ii）由题意知， ，
所以 ，
所以 ，
设 ，
则 ，
两式相减得 ，
所以 ，
所以 .
【点睛】关键点点睛：
最后一问考查数列不等式的证明，因为 无法直接求解，应先放缩去除根号，再由错位相减法即
可得证.
9．记 是公差不为0的等差数列 的前n项和，若 ．
（1）求数列 的通项公式 ；（2）求使 成立的n的最小值．
【答案】(1) ；(2)7.
【分析】(1)由题意首先求得 的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；
(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.
【详解】(1)由等差数列的性质可得： ，则： ，
设等差数列的公差为 ，从而有： ，
，
从而： ，由于公差不为零，故： ，
数列的通项公式为： .
(2)由数列的通项公式可得： ，则： ，
则不等式 即： ，整理可得： ，
解得： 或 ，又 为正整数，故 的最小值为 .
10．设p为实数.若无穷数列 满足如下三个性质，则称 为 数列：
① ，且 ；
② ；
③ ， ．
（1）如果数列 的前4项为2，-2，-2，-1，那么 是否可能为 数列？说明理由；
（2）若数列 是 数列，求 ；
（3）设数列 的前 项和为 .是否存在 数列 ，使得 恒成立？如果存在，求出所有的p；
如果不存在，说明理由．【答案】（1）不可以是 数列；理由见解析；（2） ；（3）存在； ．
【详解】(1)因 为 所以 ，
因 为 所 以
所以数列 ，不可能是 数列.
(2)性质① ，
由性质③ ，因此 或 ， 或 ，
若 ，由性质②可知 ，即 或 ，矛盾；
若 ，由 有 ，矛盾.
因此只能是 .
又因为 或 ，所以 或 .
若 ，则 ，
不满足 ，舍去.
当 ，则 前四项为:0，0，0，1，
下面用数学归纳法证明 ：
当 时，经验证命题成立，假设当 时命题成立，
当 时：
若 ，则 ，利用性质③：
，此时可得： ；
否则，若 ，取 可得： ，而由性质②可得： ，与 矛盾.
同理可得：
，有 ；
，有 ；
，又因为 ，有
即当 时命题成立，证毕.
综上可得： ， .
(3)令 ，由性质③可知：
，
由于 ，
因此数列 为 数列.
由（2）可知:
若 ；
， ，
因此 ，此时 ， ，满足题意.
11．记 为数列 的前n项和，已知 ，且数列 是等差数列，证明： 是等差数列.
【答案】证明见解析.
【详解】∵数列 是等差数列，设公差为
∴ ，
∴ ，∴当 时，
当 时， ，满足 ，
∴ 的通项公式为 ，
∴
∴ 是等差数列.
12．已知数列 的前n项和为 ， ，且 .
（1）求数列 的通项；
（2）设数列 满足 ，记 的前n项和为 ，若 对任意 恒成立，
求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【详解】（1）当 时， ，
，
当 时，由 ①，
得 ②，① ②得
，
又 是首项为 ，公比为 的等比数列，
；
（2）由 ，得 ，所以 ，
，
两式相减得
，
所以 ，
由 得 恒成立，
即 恒成立，
时不等式恒成立；
时， ，得 ；
时， ，得 ；
所以 .
【点睛】易错点点睛：（1）已知 求 不要忽略 情况；（2）恒成立分离参数时，要注意变量的正
负零讨论，如（2）中 恒成立，要对 讨论，还要注意 时，
分离参数不等式要变号.
13．记 为数列 的前n项和， 为数列 的前n项积，已知 ．（1）证明：数列 是等差数列;
（2）求 的通项公式．
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【详解】（1）[方法一]：
由已知 得 ,且 ， ,
取 ,由 得 ,
由于 为数列 的前n项积，
所以 ,
所以 ，
所以 ,
由于
所以 ，即 ,其中
所以数列 是以 为首项，以 为公差等差数列;
[方法二]【最优解】：
由已知条件知 ①
于是 ． ②由①②得 ． ③
又 ， ④
由③④得 ．
令 ，由 ，得 ．
所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列．
[方法三]：
由 ，得 ，且 ， ， ．
又因为 ，所以 ，所以
．
在 中，当 时， ．
故数列 是以 为首项， 为公差的等差数列．
[方法四]：数学归纳法
由已知 ，得 ， ， ， ，猜想数列 是以 为首项， 为公差的等
差数列，且 ．
下面用数学归纳法证明．
当 时显然成立．
假设当 时成立，即 ．那么当 时， ．
综上，猜想对任意的 都成立．
即数列 是以 为首项， 为公差的等差数列．
（2）
由（1）可得，数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列，
,
,
当n=1时， ,
当n≥2时, ,显然对于n=1不成立,
∴ .
【整体点评】（1）方法一从 得 ，然后利用 的定义，得到数列 的递推关系，进
而替换相除消项得到相邻两项的关系，从而证得结论；
方法二先从 的定义，替换相除得到 ，再结合 得到 ，从而证得结论，为最优
解；
方法三由 ，得 ，由 的定义得 ，进而作差证得结论；方法四利用
归纳猜想得到数列 ，然后利用数学归纳法证得结论．（2）由（1）的结论得到 ，求得 的表达式,然后利用和与项的关系求得 的通项公式；
14．已知数列 的各项均为正数，记 为 的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另
外一个成立．
①数列 是等差数列：②数列 是等差数列；③ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】证明过程见解析
【详解】选①②作条件证明③：
[方法一]：待定系数法+ 与 关系式
设 ，则 ，
当 时， ；
当 时， ；
因为 也是等差数列，所以 ，解得 ；
所以 ， ，故 .
[方法二] ：待定系数法
设等差数列 的公差为d，等差数列 的公差为 ，
则 ，将 代入 ，
化简得 对于 恒成立．
则有 ，解得 ．所以 ．
选①③作条件证明②：因为 ， 是等差数列，
所以公差 ，
所以 ，即 ，
因为 ，
所以 是等差数列.
选②③作条件证明①：
[方法一]：定义法
设 ，则 ，
当 时， ；
当 时， ；
因为 ，所以 ，解得 或 ；
当 时， ，当 时， 满足等差数列的定义，此时 为等差数列；
当 时， ， 不合题意，舍去.
综上可知 为等差数列.
[方法二]【最优解】：求解通项公式
因为 ，所以 ， ，因为 也为等差数列，所以公差
，所以 ，故 ，当 时，
，当 时，满足上式，故 的通项公式为 ，所
以 ， ，符合题意.【整体点评】这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，
选①②时，法一：利用等差数列的通项公式是关于 的一次函数，直接设出 ，平方后得
到 的关系式，利用 得到 的通项公式，进而得到 ，是选择①②证明③的通
式通法；法二：分别设出 与 的公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等
量关系 ， ，进而得到 ；选①③时，按照正常的思维求出公差，表示出 及 ，进
而由等差数列定义进行证明；选②③时，法一：利用等差数列的通项公式是关于 的一次函数，直接设出
，结合 的关系求出 ，根据 可求 ，然后可证 是等差数列；法二：利
用 是等差数列即前两项的差 求出公差，然后求出 的通项公式，利用
，求出 的通项公式，进而证明出结论.
15．设 是首项为1的等比数列，数列 满足 ．已知 ， ， 成等差数列．
（1）求 和 的通项公式；
（2）记 和 分别为 和 的前n项和．证明： ．
【答案】（1） ， ；（2）证明见解析.
【详解】（1）因为 是首项为1的等比数列且 ， ， 成等差数列，
所以 ，所以 ，
即 ，解得 ，所以 ，所以 .
（2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和
，
，
．
设 ， ⑧
则 ． ⑨
由⑧-⑨得 ．
所以 ．
因此 ．
故 ．
[方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法
证明：由（1）可得 ，
，①
，②① ②得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
[方法三]：构造裂项法
由（Ⅰ）知 ，令 ，且 ，即
，
通过等式左右两边系数比对易得 ，所以 ．
则 ，下同方法二．
[方法四]：导函数法
设 ，
由于 ，
则 ．
又 ，所以
，下同方法二．
16．已知数列 满足 ，
（1）记 ，写出 ， ，并求数列 的通项公式；
（2）求 的前20项和.
【答案】（1） ；（2） .
【详解】解：（1）[方法一]【最优解】：
显然 为偶数，则 ，
所以 ，即 ，且 ，
所以 是以2为首项，3为公差的等差数列，
于是 ．
[方法二]：奇偶分类讨论
由题意知 ，所以 ．
由 （ 为奇数）及 （ 为偶数）可知，
数列从第一项起，
若 为奇数，则其后一项减去该项的差为1，
若 为偶数，则其后一项减去该项的差为2．
所以 ，则 ．
[方法三]：累加法由题意知数列 满足 ．
所以 ，
，
则 ．
所以 ，数列 的通项公式 ．
（2）[方法一]：奇偶分类讨论
．
[方法二]：分组求和
由题意知数列 满足 ，
所以 ．
所以数列 的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；
同理，由 知数列 的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列．
从而数列 的前20项和为：
．
三年模拟一、单选题
1．已知角 的终边不在坐标轴上，则下列一定成等比数列的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】对于A，令 ，则 ，
所以 ，即 ，故A错误；
对于B，令 ，则 ，即 ，故B错误；
对于C，令 ，则 ，
所以 ，即 ，故C错误；
对于D，因为角 的终边不在坐标轴上，所以 ， ， ，
所以 ，即 ，则 ，
所以 一定成等比数列，故D正确.
故选：D.
2．已知数列 的前 项和为 ，首项 ，且满足 ，则 的值为（ ）
A．4093 B．4094 C．4095 D．4096
【答案】A
【解答】 ，故 ，又 ，
所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，所以 ，则
故选：A
3．已知数列 为等差数列， 为等比数列 的前n项和，且 ， ， ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设等差数列 的公差为d，由 得 ，解得 ，
则 ，所以 ， ，
设等比数列 的公比为q，则 ，
则 ，
故选：D．
二、填空题
4．设 是由正整数组成且项数为 的增数列，已知 ， ，数列 任意相邻两项的差的绝
对值不超过1，若对于 中任意序数不同的两项 和 ，在剩下的项中总存在序数不同的两项 和 ，
使得 ，则 的最小值为___________.【答案】
【详解】因为数列 任意相邻两项的差的绝对值不超过1， ，所以 ，
又 是由正整数组成且项数为 的增数列，所以 或 ，
当 时， ，此时 ，
这与在剩下的项中总存在序数不同的两项 和 ，使得 矛盾，
所以 ，类似地，必有 ， ， ， ，
由 得前6项任意两项之和小于等于3时，均符合，
要最小，则每项尽可能小，且 值要尽量小，
则 ， ，
同理， ， ，…， ，当 中间各项为公差为1的等差数列时，可使得 值最小，且满
足已知条件.
由对称性得最后6项为 ， ，
则 的最小值 .
【点睛】对于数列的新定义题，关键在于读懂题意.根据题意，可得出当 时， 或
，根据已知，可推出数列的前6项以及后6项， 进而推得中间项和取的最小值应满足的条件.
5．已知项数为m的有限数列 是1，2，3，…，m的一个排列.若
，且 ，则所有可能的m值之和为______.
【答案】9【详解】当 时，显然不合题意;
当 时,因为 ,
所以 ,不符合题意;
当 时,数列为 ，此时 ,
符合题意，
当 时,数列为 .
此时 ,符合题意;
下证当 时,不存在 满足题意.
令 ,
则 ,且 ,
所以 有以下三种可能: ① ；
② ； ③
当 时,因为 ,
即 .
所以 或 .
因为数列 的各项互不相同,所以 .
所以数列 是等差数列.
则 是公差为1(或 的等差数列.当公差为1时,由 得 或 ,
所以 或 ,与已知矛盾.当公差为 时,
同理得出与已知矛盾.
所以当 时,不存在 满足题意.
其它情况同理可得.
综上， 的所有取值为4或5，故所有可能的 值之和为9.
故答案为：9.
6．数列 满足 ， ，则 __________
【答案】
【详解】由 得： ，
；
设 ，
则 ，
，
，
，即 ，
， ，
.故答案为： .
7．已知等差数列 中， ，则 的值等于__________.
【答案】14
【详解】解：由题意得：
等差数列，所以设等差数列的首项为： ，公差为：
又 ，
故答案为：
8．已知公差为 且各项均为正数的等差数列 的前 项和为 ，且 ，则 的最小值为
__________.
【答案】9
【详解】因为 ，则 ，化简得 ，
因为数列 的各项均为正数，则 ，
则
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值为9.
故答案为：9.9．已知数列 满足 ，且 ， 表示数列 的前n项和，则使不等式
成立的正整数n的最小值是______．
【答案】10
【详解】因为数列 满足 且 ，所以数列 是首项为2，公差为2的等差数列，
所以 ，所以 ，所以
．令 ，解得
．
故答案为：10．
三、解答题
10．已知数列 的前 项和为 ，且 成等比数列．
(1)求数列 的通项公式;
(2)设数列 的前 项和 ，求证: .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）因为 ，所以 ，即 ，所以数列 是首项为 ，
公差为 1 的等差数列，其公差 .
由 成等比数列，得 ，则 ，所以 ，
所以 ;
（2）由题可知 ，所以 ，
所以 ，
两式相减得 ，
所以 .
所以 ，又 ，
所以 是递增数列， ，故 .
11．已知数列 的首项 ，且满足 .
(1)求证：数列 为等比数列；
(2)若 ，求满足条件的最大整数 .
【答案】(1)证明见解析
(2)4
【详解】（1）由 ，可得 ，
，又 ，故数列 是以3为首项，3为公比的等比数列.
（2）由（1）可知 ，故 .
.
令
易知 随 的增大而增大.
，故满足 的最大整数 为4.
12．近两年，直播带货逐渐成为一种新兴的营销模式，带来电商行业的新增长点.某直播平台第1年初的启
动资金为500万元，由于一些知名主播加入，平台资金的年平均增长率可达 ，每年年底把除运营成本
万元，再将剩余资金继续投入直播平合.
(1)若 ，在第3年年底扣除运营成本后，直播平台的资金有多少万元？
(2)每年的运营成本最多控制在多少万元，才能使得直播平台在第6年年底㧅除运营成本后资金达到3000万
元？（结果精确到 万元）
【答案】(1)936万元
(2)3000万元
【详解】（1）记 为第 年年底扣除运营成本后直播平台的资金，
则 ，
故第3年年底扣除运营成本后直播平台的资金为936万元.
（2） ，由 ，得 ，
故运营成本最多控制在 万元，
才能使得直播平台在第6年年底扣除运营成本后资金达到3000万元.
13．若函数 是其定义域内的区间 上的严格增函数，而 是 上的严格减函数，则称
是 上的“弱增函数”.若数列 是严格增数列，而 是严格减数列，则称 是“弱增数
列”.
(1)判断函数 是否为 上的“弱增函数”，并说明理由（其中 是自然对数的底数）；
(2)已知函数 与函数 的图像关于坐标原点对称，若 是 上的“弱增函
数”，求 的最大值；
(3)已知等差数列 是首项为4的“弱增数列”，且公差d是偶数.记 的前 项和为 ，设
是正整数，常数 ，若存在正整数 和 ，使得 且 ，求 所有可能的
值.
【答案】(1) 是 上的“弱增函数”，理由见解析
(2)1
(3) 所有可能的值为 和【详解】（1）函数 是 上的“弱增函数”，理由如下：
显然， 是 上的严格增函数，
对于函数 ， ，
当 时， 恒成立，
故 是 上的严格减函数，
从而 是 上的“弱增函数”.
（2）记 ，
由题意得 ，
，
由 是 上的“弱增函数”可得函数 是 上的严格增函数，而 是 上
的严格减函数，
函数 图像的对称轴为 ，且是区间 上的严格增函数，
令 ，则 ，
当 ，即 时，解得 或 ，
当 时， ，则函数 在 上单调递减，
即函数 是区间 上的严格减函数，
由 是 上的“弱增函数”，得 ，
所以 ，
所以 的最大值为1.（3） ，
由 是“弱增数列”得 ，即 .
又因为d是偶数，所以 ，
从而 .
故 ，
由 得 ，所以当 时， ，即 ，
故若 ，则不存在 和 ，使得 .
从而 .
若 ，解得 ，满足；
若 ，解得 ，满足；
若 ，解得 ，不满足.
当 时， ，故不存在大于5的正整数，使得 .
综上， 所有可能的值为 和 .
14．已知数列 满足 ，记 ，在 中每相邻两项之间都插入3个数，使
它们和原数列的数一起构成一个新的正项等比数列 ，若数列 中的第 项是数列 中的第 项.
(1)求数列 及 的通项公式.
(2)求数列 的前 项和 .
【答案】(1) ，(2)
【详解】（1）因为 ，所以 ，因为 ，
所以 ，所以 是首项为1，公比为2的等比数列，
所以 .所以 .由题意知 .所以 ，即 ，
又 ，则 .
所以 .又 ，则 ，则 .
（2）
，①
，②
①-②得 ，
.
所以 .
15．已知数列 是公差不为0的等差数列， ，且 ， ， 成等比数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)求当n为何值时，数列 的前n项和 取得最大值.
【答案】(1) ；(2) 或 时， 取得最大值.
【详解】（1）设数列 的公差为d， ，由 ， ， 成等比数列，得 ，即
，解得 .
所以数列 的通项公式为 .
（2）由
得 ， ，
当 或5时， 取得最大值，最大值为10.
16．已知 是数列 的前 项和，已知 目 ，
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1) ， .
(2) ，其中 .
【详解】（1）由题 ，又由 ， .
可得 ， .故 .
则当 ， 时， .
又 时， ，故数列 的通项公式是 ， .
（2）由（1）可知 ， ，
则 .
则当 为偶数时，
.
当 为奇数时， .
综上： ，其中 .
