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第 02 讲 等差数列及其前 n 项和
本讲为高考命题热点，分值12-17分，题型多变，选择题，填空题，解答题都会出现，
选择填空题常考等差等比数列的性质，大题题型多变，但对于文科来讲常考察基本量的计
算与数列求和，对于理科考点相对难度较大，比如新定义，奇偶列等，考察逻辑推理能力
与运算求解能力.
考点一 等差数列的概念
(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么
这个数列就叫做等差数列.
数学语言表达式：a －a ＝d(n∈N*，d为常数).
n＋1 n
(2)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝.
考点二 等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)若等差数列{a }的首项是a ，公差是d，则其通项公式为a ＝a ＋ ( n － 1 ) d.
n 1 n 1
(2)前n项和公式：S ＝na ＋ ＝ .
n 1
考点三 等差数列的性质
(1)通项公式的推广：a ＝a ＋ ( n － m ) d (n，m∈N*).
n m
(2)若{a }为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则a ＋ a ＝ a ＋ a .
n k l m n
(3)若{a }是等差数列，公差为d，则a ，a ，a ，…(k，m∈N*)是公差为md
n k k＋m k＋2m
的等差数列.
(4)若S 为等差数列{a }的前n项和，则数列S ，S －S ，S －S ，…也是等差
n n m 2m m 3m 2m
数列.
(5)若S 为等差数列{a }的前n项和，则数列也为等差数列.
n n
考点四 常用结论
1.已知数列{a }的通项公式是a ＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{a }一定是
n n n
等差数列，且公差为p.
2.在等差数列{a }中，a ＞0，d＜0，则S 存在最大值；若a ＜0，d＞0，则S 存
n 1 n 1 n
在最小值.
3.等差数列{a }的单调性：当d＞0时，{a }是递增数列；当d＜0时，{a }是递
n n n减数列；当d＝0时，{a }是常数列.
n
4.数列{a }是等差数列⇔S ＝An2＋Bn(A，B为常数).
n n
高频考点一 等差数列基本量的运算
【例1】记S 为等差数列{a }的前n项和.已知S ＝0，a ＝5，则( )
n n 4 5
A.a ＝2n－5 B.a ＝3n－10
n n
C.S ＝2n2－8n D.S ＝n2－2n
n n
答案 A
解析 设首项为a ，公差为d.
1
由S ＝0，a ＝5可得解得
4 5
所以a ＝－3＋2(n－1)＝2n－5，
n
S ＝n×(－3)＋×2＝n2－4n.
n
【例2】(2022·江南十校调研)已知等差数列{a }的前n项和为S ，若S ＝a ＝8，
n n 8 8
则公差d＝( )
A. B.
C.1 D.2
答案 D
解析 ∵S ＝a ＝8，∴a ＋a ＋…＋a ＝a ，
8 8 1 2 8 8
∴S ＝7a ＝0，则a ＝0.∴d＝＝2.
7 4 4
【方法技巧】
1.等差数列的通项公式及前 n项和公式共涉及五个量a ，a ，d，n，S ，知其中
1 n n
三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.
2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 和d是等
1
差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.
【变式训练】
1.(2019·全国Ⅰ卷)记S 为等差数列{a }的前n项和.已知S ＝－a .
n n 9 5
(1)若 a ＝4，求{a }的通项公式；
3 n
(2)若a >0，求使得S ≥a 的n的取值范围.
1 n n
解 (1)设{a }的公差为d.
n由S ＝－a 可知9a ＝－a ，所以a ＝0.
9 5 5 5 5
因为a ＝4，所以d＝＝＝－2，
3
所以a ＝a ＋(n－3)×(－2)＝10－2n，
n 3
因此{a }的通项公式为a ＝10－2n.
n n
(2)由(1)得a ＝0，
5
因为a >0，所以等差数列{a }单调递减，即d<0，
1 n
a ＝a －4d＝－4d，S ＝，
1 5 n
a ＝－4d＋d(n－1)＝dn－5d，
n
因为S ≥a ，
n n
所以≥dn－5d，
又因为d<0，所以1≤n≤10.
高频考点二 等差数列的判定与证明
【例3】 (经典母题)若数列{a }的前n项和为S ，且满足a ＋2S S ＝0(n≥2)，
n n n n n－1
a ＝.
1
(1)求证：成等差数列；
(2)求数列{a }的通项公式.
n
【解析】(1)证明 当n≥2时，由a ＋2S S ＝0，
n n n－1
得S －S ＝－2S S ，所以－＝2，
n n－1 n n－1
又＝＝2，
故是首项为2，公差为2的等差数列.
(2)解 由(1)可得＝2n，∴S ＝.
n
当n≥2时，
a ＝S －S ＝－＝＝－.
n n n－1
当n＝1时，a ＝不适合上式.
1
故数列{a }的通项公式为a ＝
n n
【迁移1】 若将本例中的条件“a ＋2S S ＝0(n≥2)”变为“a ＝”其他条
n n n－1 n＋1
件保持不变，试求解下面问题：
(1)求证：数列是等差数列；
(2)若b ＝a a ，求数列{b }的前n项和S .
n n n＋1 n n
【解析】(1)证明 易知a ≠0，∵a ＝，
n n＋1∴＝，∴－＝，
又a ＝，则＝2，
1
∴数列是以2为首项，为公差的等差数列.
(2)解 由(1)知，＝2＋(n－1)＝，即a ＝，
n
∴b ＝＝4，
n
∴S ＝4
n
＝4＝.
【迁移2】 本例中，若将条件变为 a ＝，na ＝(n＋1)a ＋n(n＋1)，试求数列
1 n＋1 n
{a }的通项公式.
n
【解析】由已知可得＝＋1，即－＝1，又a ＝，
1
∴是以＝为首项，1为公差的等差数列，
∴＝＋(n－1)·1＝n－，∴数列{a }的通项公式为a ＝n2－n.
n n
【方法技巧】
1.证明数列是等差数列的主要方法
(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证a －a 为同一常数.
n n－1
(2)等差中项法：验证2a ＝a ＋a (n≥3，n∈N*)都成立.
n－1 n n－2
2.判定一个数列是等差数列还常用到的结论
(1)通项公式：a ＝pn＋q(p，q为常数) {a }是等差数列.
n n
(2)前n项和公式：S
n
＝An2＋Bn(A，B为⇔常数) {a
n
}是等差数列.问题的最终判定
还是利用定义.
⇔
【变式训练】
1.已知数列{a }的前n项和为S ，a ＝1，a ≠0，a a ＝λS －1，其中λ为常数.
n n 1 n n n＋1 n
(1)证明：a －a ＝λ；
n＋2 n
(2)是否存在λ，使得{a }为等差数列？并说明理由.
n
【解析】(1)证明 由题设知，a a ＝λS －1，a a ＝λS －1.
n n＋1 n n＋1 n＋2 n＋1
两式相减得a (a －a )＝λa .
n＋1 n＋2 n n＋1
由于a ≠0，所以a －a ＝λ.
n＋1 n＋2 n
(2)解 存在实数λ，理由如下：
由题设知，a ＝1，a a ＝λS －1，可得a ＝λ－1.
1 1 2 1 2
由(1)知，a ＝λ＋1.
3令2a ＝a ＋a ，解得λ＝4.
2 1 3
故a －a ＝4，由此可得
n＋2 n
{a }是首项为1，公差为4的等差数列，a ＝4n－3；
2n－1 2n－1
{a }是首项为3，公差为4的等差数列，a ＝4n－1.
2n 2n
所以a ＝2n－1，a －a ＝2.
n n＋1 n
因此存在λ＝4，使得数列{a }为等差数列.
n
高频考点三 等差数列的性质及应用
【例4】 (1)在等差数列{a }中，若a ＋a ＝8，则(a ＋a )2－a ＝( )
n 2 8 3 7 5
A.60 B.56 C.12 D.4
(2)(2022·衡水调研)已知等差数列{a }中，a ＋a －a ＝10，则S 的值为( )
n 5 9 7 13
A.130 B.260 C.156 D.168
答案 (1)A (2)A
解析 (1)∵在等差数列{a }中，a ＋a ＝8，
n 2 8
∴a ＋a ＝a ＋a ＝2a ＝8，解得a ＝4，
2 8 3 7 5 5
所以(a ＋a )2－a ＝82－4＝60.
3 7 5
(2)由于a ＋a －a ＝10，得2a －a ＝10，
5 9 7 7 7
∴a ＝10，则S ＝＝13a ＝130.
7 13 7
【例5】已知等差数列{a }的前n项和为S ，且满足S ＝S ，则下列结论中正
n n 20 40
确的是( )
A.S 是S 中的最大值 B.S 是S 中的最小值
30 n 30 n
C.S ＝0 D.S ＝0
30 60
【答案】D
【解析】∵S －S ＝a ＋a ＋…＋a ＋a
40 20 21 22 39 40
＝10(a ＋a )＝0，
30 31
∵a ＋a ＝0，故S ＝30(a ＋a )＝0.
30 31 60 30 31
【例6】 (2019·北京卷)设{a }是等差数列，a ＝－10，且a ＋10，a ＋8，a ＋6
n 1 2 3 4
成等比数列.
(1)求{a }的通项公式；
n
(2)记{a }的前n项和为S ，求S 的最小值.
n n n【解析】(1)设{a }的公差为d.
n
因为a ＝－10，
1
所以a ＝－10＋d，a ＝－10＋2d，a ＝－10＋3d.
2 3 4
因为a ＋10，a ＋8，a ＋6成等比数列，
2 3 4
所以(a ＋8)2＝(a ＋10)(a ＋6).
3 2 4
所以(－2＋2d)2＝d(－4＋3d).
解得d＝2.
所以{a }的通项公式为a ＝a ＋(n－1)d＝2n－12.
n n 1
(2)由(1)知，a ＝2n－12.
n
则当n≥7时，a >0；当n＝6时，a ＝0，当n<6时，a <0；
n n n
所以S 的最小值为S ＝S ＝－30.
n 5 6
【方法技巧】
1.项的性质：在等差数列{a }中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则a ＋a
n m n
＝a ＋a .
p q
2.和的性质：在等差数列{a }中，S 为其前n项和，则
n n
(1)S ＝n(a ＋a )＝…＝n(a ＋a )；
2n 1 2n n n＋1
(2)S ＝(2n－1)a .
2n－1 n
(3)依次k项和成等差数列，即S ，S －S ，S －S ，…成等差数列.
k 2k k 3k 2k
3.求等差数列前n项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出
其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；(2)利用公
差不为零的等差数列的前n项和S ＝An2＋Bn(A，B为常数，A≠0)为二次函数，
n
通过二次函数的性质求最值.
【变式训练】
1.(2022·洛阳质检)记等差数列{a }的前n项和为S ，若S ＝272，则a ＋a ＋a
n n 17 3 9 15
＝( )
A.24 B.36
C.48 D.64
【答案】C
【解析】因为数列{a }是等差数列，其前n项和为S ，
n n
所以S ＝272＝×17＝×17＝17a ，
17 9∴a ＝16，所以a ＋a ＋a ＝3a ＝48.
9 3 9 15 9
2.(2020·北京卷)在等差数列中，a ＝－9，a ＝－1.记 T ＝a a …a (n＝1，
1 5 n 1 2 n
2，…)，则数列( )
A.有最大项，有最小项 B.有最大项，无最小项
C.无最大项，有最小项 D.无最大项，无最小项
【答案】B
【解析】设等差数列{a }的公差为d，∵a ＝－9，a ＝－1，
n 1 5
∴a ＝－9＋4d＝－1，则d＝2.
5
所以a ＝－9＋2(n－1)＝2n－11.
n
令a ＝2n－11≤0，得n≤5.5.
n
∴n≤5时，a <0；
n
当n≥6时，a ≥1>0.
n
因为 T ＝a a …a (n＝1，2，…)，所以 T ＝－9，T ＝63，T ＝－315，T ＝
n 1 2 n 1 2 3 4
945，T ＝－945.
5
当n≥6时，a ≥1，
n
∴T <0，且T
