易错点7数列和数列的综合应用答案-备战2023年高考数学易错题_2.2025数学总复习_赠品通用版（老高考）复习资料_一轮复习_2023年高考数学一轮复习易错题（含解析）

易错点 06 数列求和、数列综合应用 高考数列求和部分重点考查裂项相消法和错位相减法，多为解答题第二问，难度为中 档. 易错点1：已知数列{a }的前n项和S 与通项a 的关系式，求a 时应注意分类讨论的应用， n n n n 特别是在利用a ＝S －S 进行转化时，要注意分n＝1和n≥2两种情况进行讨论，学生 n n n－1 特别是容易忽视要检验n＝1是否也适合a . n 易错点2已知数列{a }的前n项和S 与通项a 的关系式，求a 时应注意分类讨论的应用， n n n n 特别是在利用a ＝S －S 进行转化时，要注意分n＝1和n≥2两种情况进行讨论，学生 n n n－1 特别是容易忽视要检验n＝1是否也适合a . n 易错点3：用裂项相消法求和时,注意裂项后的系数以及搞清未消去的项 易错点4：利用错位相减法求解数列的前n项和时，应注意两边乘以公比后，对应项的幂 指数会发生变化，为避免出错，应将相同幂指数的项对齐，这样有一个式子前面空出一项 另外一个式子后面就会多了一项，两式相减，除第一项和最后一项外，剩下的 n－1项是 一个等比数列． 易错点5：含有字母的数列求和,常伴随着分类讨论. 易错点6：数列中的最值错误。 数列的通项公式、前n项和公式都是关于正整数的函数，要善于从函数的观点认识和 理解数列问题。但是考生很容易忽视n为正整数的特点，或即使考虑了n为正整数，但对 于n取何值时，能够取到最值求解出错。在关于正整数n的二次函数中其取最值的点要根 据正整数距离二次函数的对称轴远近而定。 题组一、利用常用求和公式求和 1.（2019全国3理14）记 S n为等差数列 {a n } 的前n项和，若 a 1 0 ， a 2 3a 1， S 10  S 则 5 ． 【答案】4 【解析】设等差数列 的公差为 ，则由 ， 可得， ， . 2．（2019•新课标Ⅰ，理9）记 为等差数列 的前 项和．已知 ， ，则 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】1.设等差数列 的公差为 ，由 ， ，得 ， ， ， ，故选 ． 3.（2019全国1理14）记 为等比数列 的前 项和．若 ， ，则 ．【答案】 {a } 【解析】设等比数列 n 的公比为q(q>0),由 得 ， 所以 4．（2017新课标Ⅲ）等差数列 的首项为1，公差不为0．若 成等比数列，则 前6项的和为_____. 【答案】 【解析】设 的公差为 （ ），由 ，得 ， 所以 ， ． 5.（2018全国卷Ⅲ）等比数列 a n  中， a 1 1，a 5 4a 3．记 S n为 a n  的前n项和． 若 S m 63 ，m ． =________ 【答案】 【解析】设 的公比 ，由 ， 当 时，所以 当 时，所以 故答案为m=6 6．(2018全国卷Ⅰ)记 为数列 的前 项和，若 ，则 _____． 【答案】 【解析】法1： 因为 ，所以当 时， ，解得 ； 当 时， ，解得 ； 当 时， ，解得 ； 当 时， ，解得 ； 当 时， ，解得 ； 当 时， ，解得 ． 所以 ． 法2：因为 ，所以当 时， ，解得 ， 当 时， ，所以 ， 所以数列 是以 为首项，2为公比的等比数列，所以 ， 所以 ．题组二、裂项法求和 7.（2017新课标Ⅱ）等差数列 的前项和为 ， ， ， 则 ． 【答案】 【解析】设等差数列的首项为 ，公差为 ，则 ， 解得 ， ， ∴ ，所以 ， 所以 ． 8.（2015新课标Ⅰ）已知 ,设 ，数列 的前n项和 =______. 【答案】 【解析】由 ， ， 所以数列{ }前n项和为 = = . （2011新课标）已知 ,设 9. 数列 的前n项和 =___________. 【答案】 【解析】由 ，所以 所以 所以{a } n S S 0 S 5 10.（2013新课标1）已知等差数列 n 的前 项和 n满足 3 ， 5 ． 1 { } {a } a a n （1）求 n 的通项公式；（2）求数列 2n1 2n1 的前 项和． 【答案】 【解析】（1）设 的公差为 ，则 = ． 由已知可得 （2）由（1）知 从而数列 . 题组三、错位相减法求和 11．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设 是首项为1的等比数列，数列 满足 ．已知 ， ， 成等差数列． （1）求 和 的通项公式； （2）记 和 分别为 和 的前n项和．证明： ． 【答案】（1） ， ；（2）证明见解析. 【解析】因为 是首项为1的等比数列且 ， ， 成等差数列， 所以 ，所以 ， 即 ，解得 ，所以 ，所以 . （2）证明：由（1）可得 ， ，① ，②① ②得 ， 所以 ， 所以 ， 所以 . 12．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)设 是公比不为1的等比数列， 为 ， 的等 差中项． (1)求 的公比； (2)若 ，求数列 的前 项和． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）设 的公比为 ， 为 的等差中项， ， ； （2）设 前的项和为 ， ， ，① ，② ① ②得， ， ． 13．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)设数列{a}满足a=3， ． n 1 (1)计算a，a，猜想{a}的通项公式并加以证明； 2 3 n (2)求数列{2na}的前n项和S． n n 【答案】（1） ， ， ，证明见解析；（2） ． 【解析】（1）由题意可得 ， ， 由数列 的前三项可猜想数列 是以 为首项，2为公差的等差数列，即 ， 证明如下： 当 时， 成立； 假设 时， 成立．那么 时， 也成立． 则对任意的 ，都有 成立； （2）由（1）可知， ，① ，② 由① ②得： ， 即 ． a>0,b>0, 1 + 1 =√ab a3 +b3 a , b 14.（2014新课标1）已知 是递增的等差数列，ab ， 是方程 C 2a+3b=6 的根．(Ⅰ)求 的通项公式；（Ⅱ）求数列 的前P项和． 【解析】(Ⅰ)方程 的两根为2,3，由题意得 a>0,b>0, 设数列 的公差为d，则 故 从而 a>0,b>0, 所以 的通项公式为 ． C （Ⅱ）设 的前n项和为 由（I）知 则 两式相减得 所以 ． 题组四、分组法求和 15.（2012新课标）数列 满足 ，则 的前 项和为 . 【答案】1830 【解析】可证明： ． 16．（2016年全国II） 为等差数列 的前n项和，且 ， ．记 ， 其中 表示不超过x的最大整数，如 ， ． （Ⅰ）求 ， ， ；（Ⅱ）求数列 的前 项和． 【答案】1893【解析】（Ⅰ）设 的公差为 ， ， ∴ ，∴ ，∴ ． ∴ ， ， ． （Ⅱ）记 的前 项和为 ，则 ． 当 时， ； 当 时， ； 当 时， ； 当 时， ． ∴ ． 题组五、数列中的最值 17．（2018全国卷Ⅱ）记 为等差数列 的前 项和，已知 ， ． (1)求 的通项公式；(2)求 ，并求 的最小值． 【解析】(1)设 的公差为d，由题意得 ．由 得d=2． 所以 的通项公式为 ． (2)由(1)得 ． 所以当 时， 取得最小值，最小值为−16． 18．（2019•新课标Ⅰ，文18）记 为等差数列 的前 项和，已知 ． （1）若 ，求 的通项公式； S ≥a （2）若 ，求使得 n n的 的取值范围． 【解析】（1）根据题意，等差数列 中，设其公差为 ， 若 ，则 ，变形可得 ，即 ， 若 ，则 ， 则 ， n(n−1) S ≥a na 1 + 2 d≥a 1 +(n−1)d （2）若 n n，则 ， 当 时，不等式成立， nd ≥d−a 当 n≥2 时，有 2 1 ，变形可得 (n−2)d≥−2a 1， 又 由 ， 即 ， 则 有 ， 即 ， 则 有 a (n−2)(− 1 )≥−2a 4 1 ， 又由 ，则有 n≤10 ， 则有 2≤n≤10 ， 综合可得： 2≤n≤10 ， ．19．（2018•新课标Ⅱ，理（文）17）记 为等差数列 的前 项和，已知 ， ． （1）求 的通项公式； （2）求 ，并求 的最小值． 【解析】（1） 等差数列 中， ， ， ， ，解得 ， ， ； （2） ， ， ， ， 当 时，前 项的和 取得最小值为 ． {a } S S =0 S =25 20.（2013新课标2）等差数列 n 的前n项和为 n，已知 10 ， 15 ， S 则n n的最小值为 。 2a 9d 0 1  a  a d S 0 S 25  3a 21d 5 【解析】设 n 的首项为 1，公差 ，由 10 ， 15 ，得 1 ，解得 2 1 a 3,d  nS   n310n2 1 3 ，∴ n 3 ， 1 20 f n  n310n2 fnn2  n, 设 3 ， 3 20 20 当 0n 3 时 fn0 ，当 n 3 ， fn0 ，由 nN* ， 1 f 6  631036  48 n6 3 当 时， 1 f n  731072 49 n7 3 当 时， nS n7 49 ∴ 时， n取得最小值 ． 1．已知数列 满足 ， ，记 的前n项和为 ，则满足 不等式 的最小整数n的值为（ ） A．61 B．62 C．63 D．64 【答案】C 【解析】∵ ，∴ ，∴ ， 又 ，则数列 是首项为4，公比为 的等比数列，∴ ，∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴满足不等式 的最小整数n的值为63. 故选：C. 2．“斐波那契数列”又称“兔子”数列，是由意大利数学家里昂那多斐波那契发现的，该 数列满足： ， ， （ ， ），若 ，则其前2022项 和为（ ） A．G B． C．-G D． 【答案】D 【解析】由 ，可得 …① …② ①+②得 ， 化简得 .故选：D 3．已知数列 为 的前 项和，其中 ，则 （ ） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 【答案】B 【解析】由题意 设 为奇数，则 是偶数， 是奇数， 则 ，① ，② ①+②得： 所以 的奇数项是首项为 ，公差为2的等差数列， 同理 的偶数项是首项为 ，公差为2的等差数列.所以故选：B 4．等比数列 ， ， ， 成公差不为0的等差数列， ，则数列 的前10 项和 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设等比数列 的公比为 ， ， ， 成公差不为0的等差数列，则 ， ， 都不相等， ，且 ， ， ， ，即 ，解得： 或 （舍去）， ，所以数列 的前10项和： . 故选：C. 5．已知数列 ，满足 ，则 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为 ，① 所以 ，② ①－②得， ，所以 ， 而 ，适合上式，所以 ， ， ， ∴ . 故选：D． 6．已知数列 是首项与公差均为1的等差数列，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知当 时， ， 又 ，故 ， 所以 ， 所以 .故选：B 7．已知数列 的首项为2，前n项和为 ， ， .若数列 的前n项和为 ，则满足 成立的n的最小值为______. 【答案】6 【解析】因为 ①，当 时， ②，①-②得： ，当 时， ，即 ，故 是首项为2，公比为3的等比数列，所以 ，又 ，所以 ， ，解得： ，已知 ， ，故n的 最小值为6故答案为：6 8．等差数列 中， ， ，若数列 的前n项和为 ，则 ___________. 【答案】 【解析】设等差数列 的公差为 ，由 ， ，得 ，解得 ， 所以数列 的通项公式为 ， 设 ，所以 . 故答案为： . 9．已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， . (1)求 的通项公式以及 ； (2)若数列 ，求数列 的前 项和 . 【答案】(1) ， ；(2) . 【解析】(1)设等差数列 的公差为 ，依题意， ，解得 ， 则 ， ， 所以 的通项公式是 ， . (2)由(1)知， ，即有 ， 则 ， 因此 ， ， 所以 . 10．已知数列 的前n项和为 ，且 ． (1)证明： 是等比数列． (2)设 ，求数列 的前n项和 . 【答案】(1)证明见解析；(2) . 【解析】(1)因 ， ，则当 时， ，整理得 ，即 ， 当 时， ，解得 ，即 ， 所以 是以1为首项，2为公比的等比数列. (2)由(1)可知 ，则 ， 则 ， 因此 ， 两式相减得 ， 所以 .